8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes"

Átírás

1 8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Készítette: Darabos Noémi Ágnes

2 Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok Trigonometriai alapismeretek ismétlése (trigonometrikus függvények és transzformációik, szögfüggvények és a közöttük levő kapcsolatok). Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. 8 óra. évfolyam Tágabb környezetben: Alkalmazás fizikai, biológiai, kémiai törvényszerűségek leírására. Szűkebb környezetben: Függvények grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal; egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőtlenségek algebrai megoldása. Ajánlott megelőző tevékenységek: Hegyesszögek szögfüggényei, a szögfüggvények kiterjesztése. Forgásszög szögfüggvényei, trigonometrikus függvények. Ajánlott követő tevékenységek: Szinusz- és koszinusztétel

3 Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számlálás, számítás: sebszámológép biztos használata. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Ismert adatokból logikus rend szerint ismeretlen adatok meghatározása. A mennyiségek folytonossága, fogalmának továbbfejlesztése. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásai számának a meghatározása. Szöveges feladatok, metakogníció: Szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A geometriai feladatok algebrai eszközökkel történő megoldásának képessége. Függvények grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal; egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása a függvény tulajdonságainak ismeretében. Másodfokúra visszavezethető trigonometrikus egyenletek. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben. TÁMOGATÓ RENDSER A modul mellékleteként készült a 8. kártyakészlet dominójátékhoz. Ezen kívül javasoljuk, hogy a tanár készítsen kártyákat diákkvartetthez, amelyeken A, B, C vagy D betű található. fős csoportonként - ilyen kártyakészletre van szükség. ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Tudja hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldalarányaival definiálni, ismereteit alkalmazza feladatokban. Tudja a szögfüggvények általános definícióját. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő

4 Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (0, 5, 0 ) szögfüggvényeit. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő trigonometrikus egyenleteket megoldani. Emelt szint Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Függvénytáblázat segítségével tudja alkalmazni egyszerű feladatokban az addíciós összefüggéseket ( sin( α ± β ), cos( α ± β ), tg( α ± β )). JAVASOLT ÓRABEOSTÁS. Trigonometrikus függvények és transzformációik ismétlése. Szögfüggvények közötti összefüggések ismétlése. Trigonometrikus egyenletek megoldása a függvények grafikonjainak felhasználásával. Trigonometrikus egyenletek megoldása a szögfüggvények közötti összefüggések felhasználásával 5. Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek. Feladatok megoldása 7. Trigonometrikus egyenlőtlenségek 8. Vegyes feladatok

5 Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 5 Modulvázlat Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/Feladat/ Gyűjtemény I. Trigonometrikus függvények és transzformációik (ismétlés). A mintapélda közös megbeszélése. Szinus, koszinus, tangensfüggvény grafikonjának, valamint tulajdonságainak átismétlése (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, periodicitás, monotonitás, szélsőérték, paritás).. Szakértői mozaik. Egyszerű függvények ábrázolása függvénytranszformációkkal és a Számolás, számítás. Kombinatív gondolkodás. Induktív és deduktív következtetés. Számolás, számítás. Kombinatív gondolkodás. Induktív és deduktív következtetés.. mintapélda 5. mintapélda 5. feladat függvények jellemzése.. Feladatok megoldása. és. 7. feladatokból válogatva II. Összefüggések a szögfüggvények között (ismétlés). Dominójáték. Számolás, számítás. 8. kártyakészlet A nevezetes szögek szögfüggvényeinek ismétlése.. A mintapéldák közös megbeszélése. Kombinatív gondolkodás. Induktív és deduktív 7. mintapélda Szögfüggvények közötti összefüggések ismétlése. következtetés.. Szakértői mozaik. Kombinatív gondolkodás. Induktív és deduktív 0. feladat Szögfüggvények közötti összefüggések gyakorlása. következtetés.. Feladatok megoldása 8 9. és. feladatokból válogatva

6 Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató III. Trigonometrikus egyenletek. A mintapéldák közös megbeszélése. A grafikon segítségével megoldható egyszerű egyenletek.. Szakértői mozaik. A grafikon segítségével megoldható egyszerű egyenletek megoldásának gyakorlása. Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás mintapélda 5 8. feladat. A mintapéldák közös megbeszélése. Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás.. mintapélda. Feladatok megoldása 9. feladatokból válogatva Trigonometrikus egyenletek megoldása a szögfüggvények közötti összefüggések felhasználásával 5. Szakértői mozaik. Egyenletmegoldás szögfüggvényekre vonatkozó összefüggések felhasználásával.. A mintapélda közös megbeszélése. Egyenletmegoldás a pótszögekre vonatkozó összefüggések felhasználásával. Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. 7. mintapélda 8. mintapélda 7. Feladatok megoldása 5. feladatokból válogatva Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek 8. A mintapéldák közös megbeszélése. Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek. 9. Torpedójáték. Másodfokú egyenletre vezethető trigonometrikus egyenletek megoldásának gyakorlása. 0. Feladatok megoldása. Különböző trigonometrikus egyenletek megoldása. Az eddig megismert módszerek rendszerezése. Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. Számolás, számítás. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás. 9. mintapélda. feladat 9 7. feladatokból válogatva

7 Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 7 IV. Trigonometrikus egyenlőtlenségek. A mintapéldák közös megbeszélése. Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása.. Vegyes feladatok megoldása. Számolás, számítás. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás. Különböző trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Az eddig megismert módszerek rendszerezése, gyakorlása. V. Vegyes feladatok. Vegyes feladatok megoldása. Különböző trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Az eddig megismert módszerek rendszerezése, gyakorlása. Számolás, számítás. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás.. mintapélda A 8 0., valamint a kimaradt feladatokból válogatva A 5., valamint a kimaradt feladatokból válogatva

8 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 8 I. Trigonometrikus függvények és transzformációik (ismétlés) Minden valós számnak mint radiánban megadott szögnek létezik szinusza, illetve koszinusza, valamint minden szöghöz pontosan egy szinusz-, illetve koszinuszérték tartozik. Ezért készíthetünk olyan függvényt, amely minden valós számhoz hozzárendeli azok szinuszát, illetve koszinuszát. Ismételjük át ezeknek a függvények a grafikonját, illetve legfontosabb tulajdonságaikat! Mintapélda Készítsük el a következő függvények grafikonját, majd jellemezzük a függvényeket! a) f ( ) = sin b) g( ) = cos c) h( ) = tg a) Jellemzés:. É.T.: R. É.K.: [ ; ]. érushely: sin = 0 = k, k. Periódus: 5. Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő: + l + l, l Szigorúan monoton csökkenő: + m + m, m. Szélsőérték: Maimumhely: = + n, n Maimumérték: sin = Minimumhely: = + s, s Minimumérték: sin = 7. Paritás: Páratlan, mert sin = sin( )

9 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 9 b) Jellemzés:. É.T.: R. É.K.: [ ; ]. érushely: sin = 0 = + k, k. Periódus: 5. Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: l + l, l Szigorúan monoton növekvő: + m + m, m. Szélsőérték: Maimumhely: = n, n Maimumérték: cos = Minimumhely: = + s, s Minimumérték: cos = 7. Paritás: Páros, mert cos = cos c) Jellemzés:. ÉT: R \ + k, k. ÉK: R. érushely: tg = 0 = l, l. Periódus: 5. Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő:. Szélsőérték: Nincs 7. Paritás: Páratlan, mert tg = tg ( ) + m ; + m, m

10 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 0 Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása Alakítsunk ki négy fős csoportokat! Minden csoportban mindenki kap egy-egy kártyát. A kártyákon az A, B, C, D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsoportot alkotnak azok a tanulók, akik azonos betűt kaptak. A betűk a feladatok nehézségi fokát jelentik: A a legkönnyebb, a D pedig a legnehezebb. A munkacsoportok feldolgozzák a kapott mintapéldát, megoldják a. feladatból a megfelelő részt, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csoportokban megbeszélik mind a négy feladat megoldását. Ezután közösen megbeszéljük a feladatokat. A trigonometrikus függvényekkel a fizikában is találkozhatunk. (Például a harmonikus rezgőmozgás, az elektromágneses rezgések, a hanghullámok tanulmányozásakor.) Azonban a gyakorlatban sokszor nem az egyszerű sin vagy cos függvény fordul elő, hanem ennél bonyolultabb, összetettebb alakokkal találkozunk, amelyek az alapfüggvényekből bizonyos függvénytranszformációval származtathatók. y tengely menti eltolás A jelűek feladata Mintapélda Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az ( ) = cos f függvényt! Módszertani megjegyzés: Megállapodás, hogy ha nem adjuk meg az értelmezési tartományt, akkor az a valós számoknak az a legbővebb halmaza, amelyen a függvény értelmezhető. Jellemzés:. É.T.: R. É.K.: [ ; ]. érushely: cos = 0 cos = nincs zérushelye. Periódus:

11 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 5. Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő: + k + k k Szigorúan monoton csökkenő: 0 + l + l l. Szélsőérték: Maimumhely: = k k Maimumérték: f ( ) = Minimumhely: = + l l Minimumérték: f ( ) = 7. Paritás: Páros y tengely menti nyújtás / zsugorítás B jelűek feladata Mintapélda Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az f ( ) sin Jellemzés:. É.T.: R. É.K.: [ ; ]. érushely: = függvényt! sin = 0 sin = 0 = k, k. Periódus: 5. Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő: + k + k k Szigorúan monoton csökkenő: + l + l l. Szélsőérték: Maimumhely: = + k k

12 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató Maimumérték: f ( ) = Minimumhely: = + l l Minimumérték: f ( ) = 7. Paritás: Páratlan tengely menti eltolás C jelűek feladata Mintapélda f = sin függvényt! Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az ( ) Jellemzés:. É.T.: R. É.K.: [ ; ]. érushely: sin = 0. Periódus: 5. Monotonitás: = + k Szigorúan monoton növekvő: Szigorúan monoton csökkenő:. Szélsőérték: Maimumhely: Maimumérték: ( ) Minimumhely: Minimumérték: ( ) = + k k f = 7 = + l l f = 7. Paritás: nem páros, nem páratlan k + k + k k 7 + l + l l

13 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató tengely menti nyújtás / zsugorítás D jelűek feladata Mintapélda 5 Ábrázoljuk a függvény grafikonját és jellemezzük az f ( ) cos Jellemzés:. É.T.: R. É.K.: [ ; ]. érushely: = függvényt! cos = 0 = + k k. Periódus: 5. Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő: Szigorúan monoton csökkenő:. Szélsőérték: Maimumhely: = k k Maimumérték: f ( ) = Minimumhely: = + l l f = Minimumérték: ( ) 7. Paritás: Páros + k + k k 0 + l + l l Feladatok. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket! a) f ( ) = sin b) h( ) = sin ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.

14 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket! a) g( ) = sin b) h( ) = cos ( ) ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket! a) f ( ) = sin b) g ( ) = cos + ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket! a) f ( ) = sin b) g ( ) = sin c) h ( ) = cos ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. 5. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett következő függvényeket és a h függvényt jellemezd! A jelűek feladata a) f ( ) = sin g( ) = sin h ( ) = sin B jelűek feladata b) f ( ) = cos g( ) = cos h( ) = cos C jelűek feladata c) f ( ) = cos g ( ) = cos h ( ) cos + D jelűek feladata d) f ( ) = sin g( ) = sin h( ) = sin =

15 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 5 A függvények jellemzése az ábráról leolvasható. a) b) c) d). Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket! a) f ( ) = sin b) h ( ) = sin ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.

16 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató II. Összefüggések a szögfüggvények között (ismétlés) Nevezetes szögek szögfüggvényei 8.. kártyakészlet alkalmazása Módszertani megjegyzés: Dominó játék A nevezetes szögek szögfüggvényeinek felelevenítésére minden csoportnak adjunk darab kártyát. Feladatuk felfelé fordítva kirakni a dominókat úgy, hogy minden nevezetes szögfüggvényhez megtalálják a hozzá tartozó értéket. Ha nem emlékeznének, segítségül felrajzolhatjuk a nevezetes szögeket tartalmazó derékszögű háromszögeket. sin 0 0 sin sin sin 0 cos cos 0 cos5 cos tg 5 tg tg 0 tg 0 ctg 5 ctg ctg 0 ctg α sinα cosα tgα ctgα 0 5 0

17 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 7 Pitagoraszi azonosság sin α + cos α = Pótszögek szögfüggvényei ( ) sin α = cos 90 α ( ) cos α = sin 90 α ( 90 α ) α 90 + k 80 tgα = ctg k ( 90 α ) α l 80 ctgα = tg l A tangens és kotangens szögfüggvényekre vonatkozó összefüggések sinα tgα = α 90 + k 80 k cosα cosα ctgα = α l 80 l sinα Mintapélda A számológép használata nélkül állítsuk növekvő sorrendbe az alábbi kifejezések pontos értékeit! a) sin 0 + cos 0 ; b) sin cos 7 ; 5 tg ; d) sin + sin. c) ( 5 ) ctg 5 Csak a nevezetes azonosságokkal meghatározott értékeket fogadjuk el. a) sin 0 + cos 0 = = b) sin sin( 90 7 ) = sin sin = 0 c) tg ( 80 5 ) ctg 5 = tg 5 ctg 5 =

18 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 8 5 d) sin + cos = sin + cos = = d) < a) < b) < c) Mintapélda 7 Az α szög meghatározása nélkül számítsuk ki a többi szögfüggvényértéket, ha cos α = 0, 8! Minden α szögre teljesül, hogy sin α + cos α =, ebből sin α = cos α. Behelyettesítve: sin α = 0,8 = 0,, ebből sin α = 0, sinα = 0, sinα = 0, sinα 0, sinα 0, tgα = = = 0,75 = tgα = = = 0,75 = cosα 0,8 cosα 0,8 ctgα = = = tgα 0,75 ctgα = = = tgα 0,75 Feladatok 8. Keresd meg a párját (számológép használata nélkül)! a) sin 0 A) b) cos ( 0 ) B) c) tg 0 C) d) ctg 0 D) e) ctg ( 50 ) E) f) tg 00 F) g) ctg 95 G) h) tg ( 5 ) H) i) cos ( 00 ) I)

19 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 9 j) sin ( 0 ) J) k) cos 5 K) l) sin 5 L) a) J), b) F), c) G), d) E), e) D), f) I), g) C), h) A), i) K), j) H), k) L), l) B). 9. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke? a) sin cos 79 + sin 79 cos ; b) cos 0 sin 50 ; c) sin + cos sin cos. 0 0 a) sin sin + cos cos = sin + cos = b) c) = Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása A következő négy feladat megoldásához szakértői mozaik módszert javaslunk. A jelűek feladata 0. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, sin α pontos értékét, ha cosα = 0,! A trigonometrikus pitagorasz azonosságot alkalmazva: sin = ( 0,) = 0, ebből sinα = 0,8 sinα = 0,8 sinα = 0, 8 α,

20 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 0 B jelűek feladata. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, cos α pontos értékét, ha sin α = 0,! ( 0,) = 0, 870 cos α =, ebből cosα = 0,9 cosα = 0,9 cosα = 0,9 C jelűek feladata. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, tg α pontos értékét, ha cos α =! sin α = = 5 9, ebből 5 5 sinα = sinα = sinα = tgα = = tgα D jelűek feladata 5 = =. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki, ctg α pontos értékét, ha 5 sinα =! 5 cos α = =, ebből cosα = cosα = cosα = ctgα 5 = = ctgα = = 5 5. Az α szög meghatározása nélkül számítsd ki a többi szögfüggvényértéket, ha a) sin α = b) 0 cosα = c) 7 tg α = 5 a) cos α = = cos = cos α α 9 =

21 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató tgα = = tgα = = ctgα = = ctgα = = Vagy felhasználható a következő derékszögű háromszög: b) 0 9 sin α = = sin = sin 7 α α 9 7 tgα 7 tg 7 = = α = = = ctgα = ctgα = Vagy felhasználható a következő derékszögű háromszög: c) 5 ctg α = sinα cosα cosα = sinα = + cos α = cos α = cosα cosα = cosα = 5 9 sin α = = sinα = sinα = 5 5 Vagy felhasználható a következő derékszögű háromszög:

22 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató III. Trigonometrikus egyenletek Azokat az egyenleteket és egyenlőtlenségeket, amelyekben az ismeretlen valamilyen szögfüggvénye szerepel, trigonometrikus egyenleteknek, illetve egyenlőtlenségeknek nevezzük. Ezeknek az egyenleteknek a megoldásához a tanult trigonometrikus azonosságok nyújtanak segítséget. Mintapélda 8 Oldjuk meg a sin = egyenletet a valós számok halmazán! A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a körben, akár az f ( ) sin = függvény grafikonja. sin definíciója az egységsugarú Két különböző egységvektor van, amelyek második koordinátája. Az ezekhez tartozó forgásszögek a A megoldások ívmértékben: sin = egyenlet megoldásai: = 0 + k 0 k = 50 + l 0 l = + k k 5 = + l l Ellenőrizhetjük, hogy és valóban gyökei a sin = egyenletnek.

23 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató Módszertani megjegyzés: Azokban a feladatokban, amelyekben nincs kimondva, hogy az eredményt fokban vagy radiánban várjuk, ott fogadjuk el a helyes megoldást, akár fokban, akár radiánban adja meg a tanuló, vagy jelezzük, hogy mit várunk. Az emelt szintű érettségin a valós számokon megoldandó trigonometrikus feladatok végeredményét radiánban kérik. Ha a feladatban radián szerepel, akkor a periódust is ívmértékben kell megadni, ha fokban mérik a szöget, akkor pedig fokban. Ha a tanár úgy látja, hogy a tanulók könnyebben dolgoznak fokokkal, akkor engedje meg, hogy az eredményt először fokban adják meg, még akkor is, ha a feladatban valós számok szerepelnek. Kívánjuk meg, hogy a végeredményt a feladatban előírtak szerint adják meg. Mintapélda 9 Oldjuk meg a cos + = 0 egyenletet a valós számok halmazán! Rendezzük az egyenletet: cos =. Az ezekhez tarto- Két különböző egységvektor van, amelyek első koordinátája zó forgásszögek a cos = egyenlet megoldásai: Az egyenlet megoldásai: A megoldások ívmértékben: = 50 + k 0 k = 0 + l 0 l 5 = + k k 7 = + l l melyek igazzá is teszik az eredeti egyenletet.

24 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató Módszertani megjegyzés: A következő mintapéldában számológépet használunk, mert nem nevezetes szögre visszavezethető. Mintapélda 0 Oldjuk meg a tg = 5 egyenletet a valós számok halmazán! 5 Rendezzük az egyenletet: tg =. Számológéppel vagy függvénytáblázat segítségével kapjuk a megoldást: A feladat megoldásában segítségünkre lehet akár a tg definíciója az egységsugarú körben, akár az f ( ) tg = függvény grafikonja.,7 + k 80 k Ívmértékben: 0, + k k Ennek helyességéről az ellenőrzés során meggyőződhetünk. Megjegyzés: A trigonometrikus egyenletek gyökeit általában radiánban adjuk meg, mert az valós szám, és a megoldásokat nagy részben ezen a halmazon keressük. Vigyázzunk a számológép DRG beállítására! Feladatok Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása A következő négy feladat megoldásához szakértői mozaik módszert javaslunk. A jelűek feladata 5. Add meg azoknak a 0 és 0 közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség!

25 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 5 a) sin α = 0 b) sinα = a) α = 0, α = 80, α = 0 ; b) α = 0, α = 0. B jelűek feladata. Add meg azoknak az α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! a) cos α = 0 b) cosα = a) α =, α = ; b) α 8,, α, 85. C jelűek feladata 7. Add meg azoknak a 0 és 0 közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! a) tgα = b) tg α = a) α = 0, α = 0 ; b) α 0,0 α 8, 0. D jelűek feladata 8. Add meg azoknak a 0 és közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! a) ctg α = b) ctgα = 0 a) α,8, α 5, 59 ; b) nincs ilyen szög.

26 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 9. Oldd meg a következő egyenleteket! a) sin α = 0, b) sin α =, 5 c) 8 sinα = a) α,87 + k 0 k, α, + l 0 l b) nincs ilyen szög, mert minden -re: sin 5 c) α = 0 + k 0 = + k k, α = 50 + l 0 = + l l 0. Oldd meg a következő egyenleteket! a) cosα = 0, b) cos α = c) cosα + = 0 a) α,58 + k 0 k, α, + l 0 l b) α = 0 + k 0 = + k k, α = 0 + l 0 = + l l c) α = 0 + k 0 = + k k α = 0 + l 0 = + l l. Oldd meg a következő egyenleteket! a) tg =, 75 b) tg = c) tg = 0 a) 70,0 + k 80 k b),9 + k 80 k c),9 + k 80 k. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) ctg =, 5 b) ctg = 5 c) ctg + = 0 a), + k 80 k b),80 + k 80 k c) 08, + k 80 k

27 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 7 Mintapélda Oldjuk meg Oszthatunk cos = sin egyenletet a valós számok halmazán! sin = = tg cos cos -szel, mert cos 0, ui. sin és cos nem lehet egyszerre 0. = 0 + k 80 = + k k Ez valóban megoldása az egyenletünknek. Mintapélda Oldjuk meg a sin cos + cos = cos egyenletet a valós számok halmazán! Rendezzük nullára az egyenletet: sin cos + cos = 0 Alakítsunk szorzattá: cos ( sin + ) = 0 Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, ezért vagy cos = 0 = 90 + k 80 = + k k 7 vagy sin = = 0 + l 0 = + l l, = 0 + m 0 = + m m Ez valóban megoldása az egyenletünknek. Feladatok Megjegyzés: A feladatok megoldásához az ellenőrzés vagy az ekvivalens lépésekre való hivatkozás hozzátartozik.. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) cos = sin b) cos sin = 0 c) 5 sin + cos = cos a) 8, + k 80 k b), + k 80 k c) 58, + k 80 k

28 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 8. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! b) cos + cos = 0 a) sin ( cos ) = 0 Nullára redukálunk. Szorzattá alakítunk. Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. a) sin = 0 = k 80 = k k cos = = 0 + l 0 = + l l, b) ( cos + ) cos = 0 5 = 00 + m 0 = + m m cos = 0 = 90 + k 80 = + k k cos = 0,8 + l 0 0,59 + l l, 55,5 + m 0, + m m 5. Oldd meg a következő egyenleteket! a) sin = b) sin = c) 9 a) sin = 9,7 + k 0 k cos = 0,5 + l 0 l 99,7 + m 0 m 0,5 + n 0 n b) sin = = 0 + k 80 = + k k 5 = 50 + l 80 = + l l c) cos = = 5 + k 90 = + k k

29 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 9 Mintapélda Oldjuk meg a 0 cos = + egyenletet a valós számok halmazán! Rendezzük az egyenletet: cos = Vezessünk be új változót: α = Ebből: cos = α + = k k α + = k + = k + = l l α + = l = l Az egyenlet megoldásai: ( ) + = + = k k k ( ) + = + = l l l Ezek helyességéről ellenőrzéssel győződjünk meg.

30 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 0 Feladatok. Oldd meg a következő egyenleteket! a) sin ( ) = 0 b) sin ( + 5 ) = 0, 5 a) = k 90 = k k b),7 + k 80 k,, + l 80 l 7. Oldd meg a következő egyenleteket! 5 a) cos = 0, 5 b) cos = 5 a) = 0 + k 0 = + k k, = 00 + l 0 = + l l b) = + k k 8. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) tg = b) tg = a) = 5 + k 90 = + k k b) = + k k 9. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) ctg = b) ctg + = a) = 5 + k 0 = + k k

31 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató b) = + k k 0. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin = b) cos + = a) sin = = + k k 5 = + l l = + m m = + n n b) cos + = = + k k. Határozd meg, hogy mely valós számokra értelmezhetők a következő kifejezések! a) sin b) sin A négyzetgyök definíciója miatt: c) + cos d) sin a) sin 0 A határszögek: sin = 0 = 0 = 0 = 80 = Értelmezési tartomány: k k 0, vagy k + k k b) sin > 0 A határszögek: sin = 0 = 0 = 0 = 80 = Értelmezési tartomány: k 0 < < 80 + k 0, vagy k < < + k k c) + cos 0 cos ez minden valós számra telesül. Értelmezési tartomány: R d) sin 0 cos 0 ez minden valós számra telesül. Értelmezési tartomány: R

32 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató Módszertani megjegyzés: Szakértői mozaik alkalmazása A következő négy mintapélda feldolgozásához szakértői mozaik módszert javaslunk. A jelűek feladata Mintapélda Oldjuk meg a sin( 0 ) = sin( + 00 ) egyenletet! Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenlőek: I. eset II. eset Ha a két szög megegyezik, illetve csak a periódus Ha a két szög egymás kiegészítő szögei, illet- egész számú többszörösével térnek el ve csak a periódus egész számú többszörösé- egymástól: vel térnek el egymástól: 0 = k 0 k 0 = 80 ( + 00 ) + l 0 l = 0 + k 0 = 0 + k 80 = 00 + l 0 = 5 + l 90 Az egyenlet megoldásai: = 0 + k 80 k = 5 + l 90 l Ezek helyességéről az ellenőrzés során győződjünk meg. B jelűek feladata

33 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató Mintapélda 5 Oldjuk meg a cos + = cos egyenletet a valós számok halmazán! Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek koszinuszai egyenlőek: I. eset II. eset Ha a két szög megegyezik, illetve csak a periódus egész számú többszörösével térnek el a periódus egész számú többszörösével térnek Ha a két szög egymás ellentettje, illetve csak egymástól: el egymástól: + = + k k + = + l l 5 = + k = + l l = + Az egyenlet megoldásai: 5 = + k k l = + l Ezek helyességéről az ellenőrzés során győződjünk meg. C jelűek feladata

34 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató Mintapélda Oldjuk meg a tg ( 8 )= tg ( 5 + ) egyenletet! Két szög tangense csak akkor egyenlő, ha a két szög megegyezik, illetve csak a periódus egész számú többszörösével térnek el egymástól: 8 = k 80 k = 7 + k 80 = 58 + k 0 Az egyenlet megoldásai: = 58 + k 0 k, melyek igazzá is teszik az eredeti egyenletet. D jelűek feladata Mintapélda 7 7 Oldjuk meg a sin = sin egyenletet a valós számok halmazán! 5 5 I. eset II. eset Ha a két szög megegyezik, illetve csak a periódus egész számú többszörösével térnek el ve csak a periódus egész számú többszörösé- Ha a két szög egymás kiegészítő szögei, illet- egymástól: vel térnek el egymástól: 7 7 = + k k = + l l = + k = + l 5 = + l

35 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 5 9 = + k 0 Az egyenlet megoldásai: 9 = + k k 0 = + l l Ellenőrizzük, hogy és valóban gyökei az eredeti egyenletnek. Feladatok. Oldd meg a következő egyenleteket! a) sin = sin b) sin + = sin c) cos cos = cos 5 cos = d) ( ) l a) = k 0 = k k, = 0 + l 0 = + l 5 l b) = + k k, = + l 8 l c) = k 80 = k k, = l 90 = l 5 d) = + k 0 k, = 5 + l 7 l. Oldd meg a következő egyenleteket! a) tg = tg b) 5 tg tg = c) tg = tg ( + 70 )

36 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató a) = k 80 = k k b) = k 90 = k k c) = 7,5 + k 5 k. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) sin = sin 5 b) cos = cos k a) = k, = + l l k l b) = + k, = l 8 cos 90 0 = cos. Mintapélda 8 Oldjuk meg a sin ( + 0 ) = cos egyenletet! Az egyenlet mindkét oldalát úgy alakítjuk át, hogy mindkét oldalon azonos szögfüggvények szerepeljenek. Felhasználjuk, hogy egy szög koszinusza megegyezik pótszögének szinuszával: sin ( + 0 ) = sin( 90 ) Fordítva is gondolkodhatunk. Egy szög szinusza megegyezik pótszögének koszinuszával: ( ) Meghatározzuk azokat a szögeket, amelyeknek szinuszai egyenlők: I. eset II. eset Ha a két szög megegyezik, illetve csak a periódus Ha a két szög egymás kiegészítő szögei, illet- egész számú többszörösével térnek el ve csak a periódus egész számú többszörösé- egymástól: vel térnek el egymástól: + 0 = 90 + k 0 k + 0 = 80 ( 90 ) + l 0 l = 70 + k 0 = 70 + l 0 = 7,5 + k 90 k = 5 + l 80 l

37 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 7 Az egyenlet megoldásai: = 7,5 + k 90 k = 5 + l 80 l A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződjünk meg. Feladatok 5. Oldd meg a következő egyenleteket! (A megoldáshoz használd fel a pótszögek szögfüggvényei közötti összefüggéseket!) 5 a) sin = cos b) cos = sin + a) =,5 + k 90 = + k k, = 5 + l 80 = + l l 8 b) = + k k Mintapélda 9 Oldjuk meg a tg tg + = 0 egyenletet a valós számok halmazán! Az egyenletnek csak ott van értelme, ahol a cos 0, azaz + k k Ez tg -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az tg = y új ismeretlent, ekkor y y + = 0, majd oldjuk meg az így kapott másodfokú egyenletet: y = y =. tg = = 0 + k 80 = + k k tg = = 0 + k 80 = + k k

38 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 8 Mintapélda 0 Oldjuk meg a 8 + 7cos = sin egyenletet! A pitagoraszi összefüggés alapján: sin = cos Ezt helyettesítsük be az eredeti egyenletbe: 8 + 7cos = ( cos ) Rendezzük az egyenletet: cos + 7cos + = 0 Ez cos -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az y = cos új ismeretlent, ekkor y + 7y + = 0 majd oldjuk meg az így kapott másodfokú egyenletet: y = y = cos = = 0 + k 0 = + k k = 0 + l 0 = + l l cos =,8 + m 0 m 88,9 + n 0 n Ezek helyességéről az ellenőrzés során győződjünk meg. Mintapélda Oldjuk meg a cos = sin egyenletet a valós számok halmazán! Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: cos = sin sin + A négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás, ezért bővülhet a gyökök halmaza, és hamis gyökök léphetnek fel. Ezért fontos, hogy a kapott értékeket ellenőrizzük. Mivel cos = sin, ezért ( sin ) = sin sin + Rendezzük az egyenletet: 7sin sin = 0 Ez sin -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az y = sin új ismeretlent, ekkor 7y y = 0 majd oldjuk meg az így kapott másodfokú egyenletet: y =,898 y = 0, 0. 0 sin = 0, 898,0 + k 0 k,90 + l 0 l sin = 0, 0, + m 0 m

39 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 9 98,9 + n 0 n Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy és valóban gyökei az eredeti egyenletnek, és azonban nem. Ez abból is látható, hogy ezekre az értékekre sin és cos előjele különböző, továbbá sin >. Feladatok Módszertani megjegyzés: Torpedójáték A játékban páros számú csoportra bontjuk az osztályt, majd megbeszéljük, hogy melyek a szembenálló csoportok. A csoportok egy-egy hadiflottának a parancsnokai; céljuk az ellenfél flottájának elsüllyesztése. Az első teendő a flotta elhelyezése a bal oldali 00-es táblán úgy, hogy a többi csoport ne láthassa. Minden csoportnak db -mezős, db -mezős, - db -, - és 5 mező nagyságú hajója van (a vagy többmezős hajóknak a mezőknek legalább egy oldalával érintkezniük kell). Ügyeljünk arra, hogy az elhelyezett hajók ne érintsék egymást. Ha az összes csoport minden hajóját elhelyezte, kezdődhet a munka. Minden csoportnak az a feladata, hogy a. feladatot legjobb tudása szerint megoldja. Minden jó feladatért adjunk 5 torpedót. Ha a feladatok megoldása nem tökéletes, de bizonyos része értékelhető adhatunk érte résztöltényeket is. Ezután összegezzük, hogy melyik csoport hány lövéssel rendelkezik, majd kezdődhet az ütközet. A csoportok felváltva indítják a torpedóikat, és bemondják az éppen célzott mezőt (pl. C). Válaszul az ellenfél bemondja, hogy sikeres volt-e a találat (pl.: nem talált, talált, süllyedt). A jobb oldali táblán jelölhetik a csoportok az ellenfél flottájának elhelyezkedését. A játék nyertese az a csoport, aki előbb lövi ki az ellenfél összes hajóját. Természetesen aki nem akarja a torpedót használni, az frontális munka formájában is megoldhatja az ott található egyenleteket.

40 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató A B C D E F G H I J A B C D E F G H I J. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! a) sin + 9sin 5 = 0 b) 5 + 8cos = cos c) cos + cos = 5cos + d) cos + 7cos = sin + e) 5sin cos + = sin + f) ( sin ) ( sin ) = g) tg = cos h) tg + ctg = i) ctg = tg j) sin = cos 5 a) = 0 + k 0 = + k k, = 50 + l 0 = + l l b) = 0 + k 0 = + k k, = 0 + l 0 = + l l c) = 80 + k 0 = + k k d) Alkalmazzuk a sin + cos = pitagoraszi összefüggést! Megoldjuk az így kapott másodfokú egyenletet. 5 = 0 + k 0 = + k k, = 00 + l 0 = + l l e) Alkalmazzuk a sin + cos = pitagoraszi összefüggést! Megoldjuk az így kapott másodfokú egyenletet. = 0 + k 0 = + k k, = 0 + l 0 = + l l f) Nincs olyan valós szám, amely az egyenletet kielégíti.

41 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató sin g) Alkalmazzuk a tg = azonosságot! cos cos 0, azaz 90 + k 80 = + k k 5 = 0 + k 0 = + k k, = 50 + l 0 = + l l h) Alkalmazzuk a ctg = azonosságot! tg sin 0, cos 0, azaz k 90 = k k = 5 + k 80 = + k k i) sin 0, cos 0, azaz k 90 = k k 0,9 + k 80 k, 9,09 + l 80 l j) Négyzetre emelünk. = k 0 = k k, = 90 + l 0 = + l l 7. Derékszögű háromszögben az α hegyesszögre teljesül, hogy tg α + ctgα =,. Határozd meg az α szöget? ctg α =, y = tg α, ekkor y,y + = 0 y,77, y 0,. tg α α 70, α 0

42 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató IV. Trigonometrikus egyenlőtlenségek Megjegyzés: Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásakor célszerű először megkeresni a határszögeket, majd ezután az egységkörön szemléltetni a megoldást. Mintapélda Oldjuk meg a cos egyenlőtlenséget! Legyen = α. A határszögek: cosα = α = 0 = α = 0 = 0 + k k 0, vagy + k + k k Az egyenlőtlenség megoldása: 5 + k k 80, vagy + k + k k Megjegyzés: A határszögeket elég az első négy negyedben meghatározni, de utána ne feledkezzünk meg a periodicitásról.

43 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató Mintapélda Oldjuk meg a sin cos < sin egyenlőtlenséget! Rendezzük az egyenlőtlenséget, úgy hogy a jobb oldalon 0 legyen: sin cos sin < 0 Kiemelünk sin -et: sin ( cos ) < 0 Egy két tényezős szorzat akkor negatív, ha tényezői ellenkező előjelűek, ezért a következő két eset fordulhat elő: I. eset: Ha sin > 0 és cos < 0 sin > 0 A határszögek: sin = 0 = 0 = 0 = 80 = 0 + k 0 < < 80 + k 0, vagy k < < + k k cos < A határszögek: cos = = 0 = 5 = 00 = k 0 < < 00 + k 0, vagy + k < < + k k A két intervallum metszete:

44 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 0 + k 0 < < 80 + k 0, vagy + k < < + k k II. eset: Ha sin < 0 és cos > 0 sin < 0 A határszögek: sin = 0 = 80 = = 0 = 80 + k 0 < < 0 + k 0, vagy + k < < + k k cos > A határszögek: cos = = 0 = = 0 = 0 + k 0 > > 0 + k 0, vagy + k > > + k k A két intervallum metszete:

45 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató k 0 < < 0 + k 0, vagy + k < < + k k Összefoglalva, az egyenlőtlenség megoldása: 0 + k 0 < < 80 + k 0, vagy + k < < + k k k 0 < < 0 + k 0, vagy + k < < + k k Mintapélda Oldjuk meg a tg ( + 5 ) > egyenlőtlenséget! Értelmezési tartomány: 5 + k 0 k Legyen α = + 5. A határszög: tgα = α = 5 Ebből: 5 + k 80 < + 5 < 90 + k 80 k

46 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 0 + k 80 < < 75 + k 80 k Az egyenlőtlenség megoldása: 0 + k 0 < < 5 + k 0 k Ezt mutatja az első négy negyedben az alábbi ábra: Feladatok 8. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket, majd keresd meg a feladathoz tartozó ábrát! a) sin 0 A) b) cos < B) c) sin C)

47 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 7 d) cos > D) e) tg > E) f) ctg F) a) A határszögek: sin = 0 = 0 = 0 = 80 = k k 0, vagy k + k k b) A határszögek: cos = = 0 = 5 = 00 = k 0 < < 00 + k 0, vagy + k < < + k k 5 c) A határszögek: sin = = 0 = = 00 = k k 0, vagy + k + k k d) A határszögek: cos = = 5 = = 5 =

48 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató k 0 < < 5 + k 0, vagy + k < < + k k e) A határszög: tg = = 0 = 0 + k 80 < < 90 + k 80, vagy + k + k k f) A határszög: ctg = = 5 = 5 + k k 80, vagy + k + k k 9. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a) sin > b) cos c) sin < d) cos 5 a) 0 + k 80 < < 50 + k 80, vagy + k < < + k k 5 b) 0 + k k 80, vagy + k + k k c) 5 + k 80 < < 5 + k 80, vagy + k < < + k k d) 0 + k k 80, vagy + k + k k 0. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a) sin b) cos a) 5 + k k 80, vagy másképp 7 + k + k k k 5 k b) 5 + k k 0, vagy + + k

49 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 9 V. Vegyes feladatok. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket! a) g ( ) = cos + b) f ( ) = cos ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket! a) f ( ) = tg ( ) b) g( ) = tg ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.. Ábrázold és jellemezd, a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvényeket! a) g( ) = cos b) i ( ) = cos + + ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.. Mennyi a következő kifejezések pontos értéke? a) ( 5 + cos 0 ) sin 0 tg ; b) + tg tg ; sin c) sin 70 tg55 ctg55 cos 0 ; d) sin 5 sin 5 cos55 + cos 55. a) ( + 0,5) 0,5 = 0, 75 b) + = 8 c) sin 70 sin 70 = d) ( sin 5 cos55 ) = ( sin 5 sin 5 ) = 0

50 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató Add meg azoknak a 0 és 0 közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! a) sin α = b) sinα = a) α = 0, α = 0 b) α = 5, α = 5. Add meg azoknak a 0 és közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! a) cos α = b) cosα = 5 a) α =, α = b) α = 7. Add meg azoknak a 0 és 0 közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! a) tgα = b) tgα = a) α = 5, α = 5 b) α = 0, α = Add meg azoknak a 0 és közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! a) ctgα = d) ctgα = 5 7 a) α =, α = b) α =, α =

51 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató 5 9. Oldd meg a következő egyenleteket! a) sin α = b) sinα = 0, 7 c) sinα = 0 a) α = 90 + k 0 = + k k b) α,9 + k 0 k, α, + l 0 l c) α = 0 + k 0 = + k k, α = 0 + l 0 = + l l 50. Oldd meg a következő egyenleteket! a) cosα = b) cos α = 0, 9 c) cosα = 0 a) nincs ilyen szög, mert minden -re: cos b) α 9,5 + k 0 k, α 90, + l 0 l c) α 5,7 + k 0 k α 05, + l 0 l 5. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: a) cos sin = sin b) cos = c) sin = 9 a) Nullára redukálunk. Szorzattá alakítunk. Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. sin = 0 = k 80 = k k cos = = 80 + k 0 = + k k b) cos = = 0 + k 80 = + k k c) sin = nincs megoldás = 0 + l 80 = + l l

52 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 5 5. Oldd meg a következő egyenleteket! a) sin = b) sin + = 0 8 a) = 0 + k 0 k, = 70 + l 0 l 5 b) = + k k, = + l l Oldd meg a következő egyenleteket! a) cos ( ) = b) cos( + 5 ) = 5 a) = k 90 k b), + k 80 k, 5,0 + l 80 l 5. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) tg + = b) ctg = a) = + k k ; b) = k k Egy háromszög α szögére a következő összefüggést kaptuk: sin ( + 0 ) = 0, 89 α. a) Mekkora lehet α? b) Mekkora a harmadik. szög, ha a háromszög derékszögű? a) α 5, α 95 ; b) α Egy derékszögű háromszög α és β hegyesszögeire fennáll, hogy sin α + cosβ =,85. Mekkorák a háromszög hegyesszögei? ( 90 α ) = sinα + sinα = sinα sin 0, 8 sin α + cos α = α 0, β 50

53 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató Igazoljuk, hogy minden derékszögű háromszögben α + cosα > ( α < 90 ) Derékszögű háromszögben sin! b a b sin α + cosα = a + = + (a és b befogók, c az átfogó). c c c a + b A háromszög egyenlőtlenség miatt a + b > c, ezért >, vagyis sin α + cosα >. c 58. Egy háromszög területe 9, cm, két oldala 5 cm és cm. Mekkora lehet a két oldal által közbezárt szög? a b sinγ 5 sinγ T = 9, = sinγ = 0, 57 γ 5, γ Egy paralelogramma egyik oldalának hossza cm, a másik oldalhoz tartozó magasság hossza 5,9 cm. Mekkorák a paralelogramma szögei? 5,9 sinα = 0, 9 γ 5, γ Egy 5 m hosszú létrát a ház falának támasztottak, úgy hogy a lába,5 m-re volt a faltól. Mekkora szöget zár be a létra a talajjal? Milyen magasan van létra a falhoz támasztva?,5 cosα = = 0, α 7, 5 5 sin 7,5 =,77 m 5. Sík terepen egy férfitől 50 m távolságban van egy 0 m magas torony. Mekkora szögben látja a férfi a tornyot, ha szemmagassága 80 cm-re van a földtől?

54 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 5,8 tgα = = 0,0 α, ,8 tgβ = = 50 β 9, 8, 50 = 0,5 α + β =,0 + 9, =, 8 Megjegyzés: Az ábra nem méretarányos.. Egy pontra ható két, egymásra merőleges erő nagysága F = 570 N, F = 80 N. Mekkora az eredő erő nagysága és F -gyel bezárt szöge! 80 tgα =,5 α 55, F = 00,89 N sin 55,5. Oldd meg a következő egyenleteket! b) cos = cos + a) sin = sin( + 8 ) a) = 9 + k 80 k, = 0,5 + l 90 l l b) = k k, = + l 5 5. Oldd meg a következő egyenleteket! a) sin5 cos = b) sin( + 5 ) = cos( 0 ) 90 k 0 k l a) = + = + k, = 0 + l 0 = + l b) = 7,5 + k 80 k

55 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a) ( sin + ) cos > 0 b) sin sin c) cos < cos a) 90 + k 0 < < 90 + k 0, vagy + k < < + k k b) 80 + k k 0, vagy + k + k k c) 90 + k 0 < < 90 + k 0, vagy + k < < + k k

56 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 5 Kisleikon Pitagoraszi azonosság: sin α + cos α = Pótszögek szögfüggvényei ( ) sin α = cos 90 α ( ) cos α = sin 90 α tg α = ctg ( 90 α) α + k k ( 90 α ) α l 80 ctgα = tg l Összefüggés egy szög tangense és kotangense között tgα = ctgα = ctg α tg α tg α ctgα = α k 90 k Trigonometrikus egyenlet (egyenlőtlenség): Az olyan egyenleteket és egyenlőtlenségeket, amelyekben az ismeretlen valamilyen szögfüggvénye szerepel, trigonometrikus egyenleteknek, illetve egyenlőtlenségeknek nevezzük. Megjegyzés: A fogalmak definíciói részletesebben a 0. évfolyam. moduljának kisleikonában találhatók.

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette:

Részletesebben

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA. Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr.

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA. Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr. Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 11. modul EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA Készítették: Vidra Gábor és Koller Lászlóné dr. MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 11. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

Részletesebben

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul: Az abszolútérték-függvény és más nemlineáris függvények

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY MATEMATIK A 9. évfolyam 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 7. modul Négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa Matematika A 10. évfolyam 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul: Egyenes arányosság és a lineáris függvények Tanári útmutató 2 A

Részletesebben

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK

16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 16. modul EGYBEVÁGÓSÁGOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 16. modul: EGYBEVÁGÓSÁGOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

MATEMATIK A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA

MATEMATIK A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA MATEMATIK A 9. évfolyam 1. modul: HALMAZOK KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA Matematika A 9. évfolyam. 1. modul: HALMAZOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok Halmazokkal

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS MATEMATIK A 9. évfolyam 5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 5. modul: ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 15. modul SÍKIDOMOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 15. modul SÍKIDOMOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 15. modul SÍKIDOMOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 15. modul: SÍKIDOMOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 13. modul SZÖVEGES FELADATOK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 13. modul SZÖVEGES FELADATOK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 13. modul SZÖVEGES FELADATOK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 13. modul: SZÖVEGES FELADATOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

MATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR

MATEMATIK A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR MATEMATIK A 9. évfolyam 2. modul: LOGIKA KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR Matematika A 9. évfolyam. 2. modul: LOGIKA Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

18. modul: STATISZTIKA

18. modul: STATISZTIKA MATEMATIK A 9. évfolyam 18. modul: STATISZTIKA KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA, GIDÓFALVI ZSUZSA MODULJÁNAK FELHASZNÁLÁSÁVAL Matematika A 9. évfolyam. 18. modul: STATISZTIKA Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

12. modul. Forgásszög szögfüggvényei

12. modul. Forgásszög szögfüggvényei MATEMATIKA A 10. évfolyam 1. modul Forgásszög szögfüggvényei Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A hegyesszög

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 10. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 10. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 10. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 3 = 111 A tanmenet 100 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása ezeken felül 8 órát

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK. Készítette: Vidra Gábor Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 14. modul GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK Készítette: Vidra Gábor MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM 14. modul: GEOMETRIAI ALAPFOGALMAK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra 9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára 8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

4. modul EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

4. modul EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 4. modul EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS MATEMATIKA A 9. szakiskolai évfolyam 4. modul: EGYENES ÉS FORDÍTOTT ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS Tanári útmutató

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

1. A komplex számok ábrázolása

1. A komplex számok ábrázolása 1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 1. modul GONDOLKODJUNK, RENDSZEREZZÜNK!

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 1. modul GONDOLKODJUNK, RENDSZEREZZÜNK! Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 1. modul GONDOLKODJUNK, RENDSZEREZZÜNK! MATEMATIKA A 9. szakiskolai évfolyam 1. modul:gondolkodjunk, RENDSZEREZZÜNK! Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Fa rudak forgatása II.

Fa rudak forgatása II. Fa rudak forgatása II. Dolgozatunk I. részében egy speciális esetre oldottuk meg a kitűzött feladatokat. Most egy általánosabb elrendezés vizsgálatát végezzük el. A számítás a korábbi úton halad, ügyelve

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK

15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK MATEMATIK A 9. évfolyam 15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK KÉSZÍTETTE: BIRLONI SZILVIA Matematika A 9. évfolyam. 15. modul: VEKTOROK, EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Tanári útmutató 2 A modul célja

Részletesebben