8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

Átírás

1 Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a= és b=! ( a+ b) ( a b) ( a+ b) ab pont. Adott két halmaz: A = {kétjegyű prímszámok}; = [0; 0[. Adja meg az AÇ halmaz elemeit! pont. Egy a hegyesszögre tgα =. Határozza meg sin a pontos értékét! pont. Egy osztály -a gyalog jár iskolába, a többiek 7%-a kerékpárral, -en pedig busszal. Hány fős az osztály? pont. Az alábbi grafikonnal megadott függvény értelmezési tartománya a [ ; ] intervallum. Adja meg az értelmezési tartomány azon intervallumait, ahol a függvény szigorúan monoton növekvő! pont y x 7. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 0 cm és cm, átlója cm hosszú. Mekkora a területe? pont 8

2 Kisérettségi feladatsorok matematikából 8. Hány egész megoldása van az x egyenlőtlenségnek? pont 9. Egy hatjegyű szám tartalmazza a 0; ; ; ; ; számjegyek mindegyikét, és osztható -vel. Melyik a legkisebb, illetve legnagyobb ilyen szám? pont 0. Az A és a halmazokra teljesül, hogy A = ; AÈ elemű a halmaz? = és A\ =. Hány pont. Oldja meg az x + 8x + x = 0 egyenletet! pont II./A rész. Két pozitív szám számtani és mértani közepe között a különbség 8. Az egyik szám -vel nagyobb a másiknál. Melyik ez a két szám? pont. Az f ( x)= x x függvény értelmezési tartománya a [ ; ] intervallum. a) Határozza meg a függvény értékkészletét! pont b) Határozza meg f x ( ) szélsőértékeit és azok helyét! 8 pont. Derékszögű háromszög magasságpontjának és súlypontjának távolsága egység. a) Milyen messze van a köré írható kör középpontja a súlyponttól? pont b) A háromszög legkisebb oldala 9 egység. Milyen hosszú a legkisebb szög szögfelezőjének a háromszögbe eső szakasza? 9 pont II./ rész. Egymástól m távolságban áll egy m és egy 0 m magas oszlop. Az oszlopok tetejéhez rögzítettünk egy m hosszú kötelet, és erre ráakasztottunk egy testet úgy, hogy egyensúlyi helyzetben a kötél két ága merőleges egymásra. a) Milyen hosszú a kötél két ága? 9 pont 0 9

3 megoldása I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? Ha a két különböző hosszúságú oldal által bezárt szög 7, akkor γ = 0 ; amiből g = 00. Így a szögek: 7 ; 0 ; 7 ; 00. Ha ez a szög a 0, akkor δ = 0 ; amiből d =. A deltoid szögei 0 ; 7 ; 0 ;.. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a= és b=! ( a+ b) ( a b) ( a+ b) ab a + ab+ b a + b ab + b ba ( + b) a+ b = = = ; a 0 és b 0. pont ab ab ab a ehelyettesítve: = =.. Adott két halmaz: A = {kétjegyű prímszámok}; = [0; 0[. Adja meg az AÇ halmaz elemeit! A Ç = { 7 9} ; ; ; ; pont. Egy a hegyesszögre tgα =. Határozza meg sin a pontos értékét! 97

4 Legyenek az a hegyesszögű derékszögű háromszög megfelelő oldalai a szokásos jelöléssel a, b és c! a tgα = = b= a b. 9 c = a + a = a c= a. a sinα = = c.. Egy osztály -a gyalog jár iskolába, a többiek 7%-a kerékpárral, -en pedig busszal. Hány fős az osztály? Ha az osztálylétszám x, akkor x+ 07, x+ = x. Ebből x = 0; azaz 0 fős az osztály. pont. Az alábbi grafikonnal megadott függvény értelmezési tartománya a [ ; ] intervallum. Adja meg az értelmezési tartomány azon intervallumait, ahol a függvény szigorúan monoton növekvő! y 8 0 x A függvény szigorúan monoton növekvő a [; ] és a [; 8] intervallumon. pont 7. Egy szimmetrikus trapéz alapjai 0 cm és cm, átlója cm hosszú. Mekkora a területe? Az ábra az adatokkal m + = ; amiből m =. 0 + A terület: T = = 0. m 8 98

5 8. Hány egész megoldása van az x egyenlőtlenségnek? x 9 x x x 7 pont egész megoldása van az egyenlőtlenségnek. 9. Egy hatjegyű szám tartalmazza a 0; ; ; ; ; számjegyek mindegyikét, és osztható -vel. Melyik a legkisebb, illetve legnagyobb ilyen szám? A számjegyek összege, ezért a szám osztható -mal, így elég a -gyel való oszthatóságot vizsgálni. Az utolsó két helyen lévő számjegyből alkotott számnak oszthatónak kell lenni -gyel. A legkisebb ilyen szám a 0, a legnagyobb pedig az 0. pont 0. Az A és a halmazokra teljesül, hogy A = ; AÈ elemű a halmaz? = és A\ =. Hány AÇ = A A\ = = AÈ = A + AÇ alapján = 8.. Oldja meg az x + 8x + x = 0 egyenletet! x ( x + 8x + )= 0 x ( x+ ) = 0 ebből x = 0 vagy x =. pont II./A rész. Két pozitív szám számtani és mértani közepe között a különbség 8. Az egyik szám -vel nagyobb a másiknál. Melyik ez a két szám? 99

6 Legyen az egyik szám x, a másik x + (x > 0)! A számtani közepük: x + x + = x +. ( ) A mértani közepük: x x+. A számtani közép nem kisebb a mértaninál, ezért ( ) = x+ x x + 8; pont x + x = x + 8. pont Minkét oldalt négyzetre emelve: x + x = x + x+. pont Ebből x =. A két szám a és a. Ellenőrzés. Az f ( x)= x x függvény értelmezési tartománya a [ ; ] intervallum. a) Határozza meg a függvény értékkészletét! b) Határozza meg f x ( ) szélsőértékeit és azok helyét! a) f ( x)= ( x ) 9 Mivel f másodfokú függvény, és a fő együtthatója pozitív, így a képe egy pozitív irányba nyíló parabola. f ( )= 7 és f ( )= 0 A függvény minimuma f ( )= 9; az értékkészlete [ 97 ; ]. pont b) Az x f ( x) függvény grafikonja: y f ( x) értékkészlete [ 09 ; ]; pont minimuma: 0; 8 7 minimumhelyei az x x = 0 megoldásai: x = és x = ; pont maximuma: 9; maximumhelye: x =. pont x. Derékszögű háromszög magasságpontjának és súlypontjának távolsága egység. a) Milyen messze van a köré írható kör középpontja a súlyponttól? 00

7 b) A háromszög legkisebb oldala 9 egység. Milyen hosszú a legkisebb szög szögfelezőjének a háromszögbe eső szakasza? a) Legyen az AC derékszögű háromszög súlypontja S, az A oldal felezőpontja F! A háromszög magasságpontja a derékszögű csúcs. M = C és MS =. A köré írható kör középpontja F és FM súlyvonal, amelyet S harmadol. FS = MS =. M = C S F A b) Az átfogó hossza c= sc = FC = ( FS + SM )= + =. pont A legrövidebb oldal a = 9. A másik befogó b= c a = 9 =. A legkisebb szög a legrövidebb oldallal szemközti szög, ez most a. a 9 sinα = = ; amiből a,87. c pont Legyen az A csúcsból induló szögfelező és a szemközti oldal metszéspontja D! A szögfelező hossza AD = f. Az ACD derékszögű háromszögben cos α = b f. Innen f = 8,. pont cos, II./ rész. Egymástól m távolságban áll egy m és egy 0 m magas oszlop. Az oszlopok tetejéhez rögzítettünk egy m hosszú kötelet, és erre ráakasztottunk egy testet úgy, hogy egyensúlyi helyzetben a kötél két ága merőleges egymásra. a) Milyen hosszú a kötél két ága? b) A két oszlop között, azoktól egyenlő távolságra állva mekkora emelkedési szögben látjuk az oszlopok tetejét, ha a szemmagasságunk, m? 0