Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Átírás

1 Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }. Megjegyzés: Az 1 hez hozzárendelt szám a sorozat első tagja. Jele: a 1. A sorozat tagjait a sorozat elemeinek nevezzük. Sorozat megadása: függvényszerűen, pl.: f: N + N; x x az n edik (általános) tagot előállítható képlettel, pl.: a n = n 3 körülírással, pl.: {a n } = {a páros pozitív egész számok növekvő sorozat} rekurzív módon, pl.: a 1 = 4; a = 7; a n = 6 a n a n 1 DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton csökkenő sorozat) Az (a n ) valós számsorozat szigorúan monoton csökkenő, ha a n > a n+1 minden értelmezési tartománybeli n - re teljesül. DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton növekvő sorozat) Az (a n ) valós számsorozat szigorúan monoton növekvő, ha a n < a n+1 minden értelmezési tartománybeli n - re teljesül. Megjegyzés: Ha a n a n+1, illetve a n a n+1, akkor azt mondjuk, hogy a számsorozat monoton csökkenő, illetve monoton növekvő. DEFINÍCIÓ: (Sorozat alsó korlátja) Az (a n ) valós számsorozat alulról korlátos, ha van olyan k R, hogy k a n minden értelmezési tartománybeli n-re teljesül. Ekkor k-t a sorozat alsó korlátjának nevezzük. 1

2 DEFINÍCIÓ: (Sorozat felső korlátja) Az (a n ) valós számsorozat felülről korlátos, ha van olyan K R, hogy a n K minden értelmezési tartománybeli n-re teljesül. Ekkor K-t a sorozat felső korlátjának nevezzük. Megjegyzés: Egy sorozat alulról (felülről) korlátos, ha van olyan valós szám, amelynél a sorozat egyetlen tagja sem kisebb (nagyobb). DEFINÍCIÓ: (Korlátos sorozat) Az (a n ) valós számsorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. DEFINÍCIÓ: (Rekurzív sorozat) Az olyan sorozatokat, amelyeknél a sorozat általános tagját az előtte levők függvényében adjuk meg, rekurzív sorozatoknak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Fibonacci sorozat) A Fibonacci sorozat speciális rekurzív sorozat, ahol a 1 = 1; a = 1; a 3 = ; a 4 = 3 és az általános tag a n = a n 1 + a n. A Fibonacci sorozat tulajdonságai: A sorozat monoton növekvő. A sorozat alulról korlátos, az alsó korlát: k = 1. A sorozat n edik tagja 1 gyel nagyobb, mint az (n ) elem összege. Minden m > 1 természetes számnak van többszöröse a sorozatban. A sorozat elemeit egy m > 1 természetes számmal osztva a maradékok periodikus sorozatot alkotnak. A periódus hossza legfeljebb m. A sorozat bármely két szomszédos eleme relatív prím. A tagok négyzetösszege: a 1 + a = a a 3 ; a 1 + a + a 3 = a 3 a 4 ; Ha a Pascal háromszög elemeit megfelelő módon összeadjuk, akkor a Fibonacci sorozat tagjait kapjuk eredményül. A sorozat általános tagja megkapható a következő képlettel: a n = 1 5 [(1+ 5 ) n ( 1 5 ) n ].

3 DEFINÍCIÓ: (Számtani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot számtani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amelyet a sorozat bármelyik tagjához hozzáadva, a sorozat következő tagját kapjuk. Jelöléssel: a = a 1 + d. Megjegyzés: Ezt az állandó különbséget a sorozat differenciájának nevezzük. Jele: d. Ha d > 0, akkor a számtani sorozat szigorúan monoton növekvő és alulról korlátos. Ha d < 0, akkor a számtani sorozat szigorúan monoton csökkenő és felülről korlátos. Ha d = 0, akkor a sorozat konstans sorozat. TÉTEL: (Képzési szabály) Ha egy számtani sorozat első tagja a 1, differenciája d, akkor n edik tagja megkapható a következő összefüggés segítségével: a n = a 1 + (n 1) d. TÉTEL: Egy (a n ) számtani sorozat első n tagjának összege: S n = a 1+a n n = a 1+(n 1) d n. TÉTEL: A számtani sorozat bármelyik tagja (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő tagok számtani közepével. Jelölés: a n = a n k + a n+k. 3

4 1. Adott egy sorozat általános tagja: a n = n+1. Jellemezd a sorozatot monotonitás és n korlátosság szempontjából! Tekintsük a sorozat első néhány elemét. a 1 = = a = +1 = 3 a 3 = = 4 3 a 4 = = 5 4 Mivel az érték folyamatosan csökken, így a sorozat szigorúan monoton csökkenő. Ebből következik, hogy a sorozat első eleme a sorozat felső korlátja, vagyis K =. Az alsó korlát megállapításához alakítsuk át az általános képletet: a n = n+1 n = n n + 1 n = n. Mivel az n pozitív egész, így ez az összeg sosem éri el az 1 - et, vagyis a sorozat alsó korlátja k = 1. A sorozatnak van alsó és felső korlátja is, tehát a sorozat korlátos.. Egy 8 lépcsőfokból álló lépcsőn úgy mehetünk fel, hogy egyszerre 1 vagy lépcsőfokot léphetünk. Mennyi különböző módon lehet így a lépcsőn felmenni? Az első lépcsőfokra 1 - féleképen. a másodikra - féleképpen léphetünk fel. A harmadikra 3 - féleképpen juthatunk fel, mert vagy az első vagy a második lépcsőfokról lépünk. A negyedikre 5 - féleképpen juthatunk fel, mert vagy a második vagy a harmadik lépcsőfokról lépünk. Ezek alapján látszik, hogy a sorozat tagjait az előző két tag összegeként kapjuk meg, vagyis ez egy rekurzív sorozat. A megoldáshoz soroljuk fel a sorozat tagjait: a 1 = 1; a = ; a 3 = 3; a 4 = 5; a 5 = 8; a 6 = 13; a 7 = 1; a 8 = 34. Az utolsó lépcsőfokra tehát 34 - féleképpen juthatunk fel. 3. Egy sorozat első tagja ( 5), a második tagja. Minden további tag a közvetlenül előtte álló két tag összegével egyenlő. Mennyi a sorozat első 7 tagjának összege? A megoldáshoz soroljuk fel a sorozat első 7 elemét a képzési szabálynak megfelelően. A sorozat tagjai: a 1 = 5; a = ; a 3 = 3; a 4 = 1; a 5 = 4; a 6 = 5; a 7 = 9. Ezek alapján a megoldás: ( 5) + + ( 3) + ( 1) + ( 4) + ( 5) + ( 9) = 5. 4

5 4. Egy számtani sorozat első tagja 5, kilencedik tagja 141. Számítsd ki a sorozat harmadik, ötödik és hetedik tagját a differencia kiszámítása nélkül! A számtani sorozat egy tetszőleges eleme egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő tagok számtani közepével. Ezek alapján az ötödik tag: a 5 = a 1+a 9 = = 73. Az ötödik tag ismeretében pedig felírható a harmadik és hetedik tag is: a 3 = a 1+a 5 = 5+73 = 39 a 7 = a 5+a 9 = = Egy számtani sorozat negyedik eleme, differenciája 3. Számítsd ki a sorozat tízedik elemét, írd fel az általános (n - edik) tag képletét! Mennyi az első 1 tag összege? Először számoljuk ki a sorozat első elemét. a 4 = a 1 + 3d = a a 1 = 7 A sorozat első elemével és differenciájával már meghatározhatjuk a keresett értékeket. a 10 = a 1 + 9d = = 0 a n = a 1 + (n 1) d = 7 + (n 1) 3 = 7 + 3n 3 = 3n 10 S 1 = a 1+(n 1) d n = ( 7) = Mennyi a 101 és 501 közé eső azon természetes számok összege, melyek 3 - mal osztva 1 - et adnak maradékul? A sorozat első tagja a 1 = 103, utolsó tagja a n = 499 és differenciája d = 3. Először számoljuk ki az n - nek az értékét: a n = a 1 + (n 1) d 499 = (n 1) 3 n = 133 Ezek alapján a megoldás: S 133 = =

6 7. Egy számtani sorozat harmadik eleme 7, ötödik eleme 15. Tagja-e a sorozatnak a 133? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját. a 5 = a 3 + d 15 = 7 + d d = 4 a 3 = a 1 + d 7 = a a 1 = 1 Amennyiben tagja a sorozatnak, akkor legyen a n = 133, s számoljuk ki az n értékét. a n = a 1 + (n 1) d 133 = 1 + (n 1) 4 n = = 69 = 34,5 Mivel n értéke nem egész szám, így a 133 nem tagja a sorozatnak. 8. Egy számtani sorozatnak a második eleme 11, a hatodik eleme 39. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, de legfeljebb négyjegyű? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját. a 6 = a + 4d 39 = d d = 7 a = a 1 + d 11 = a a 1 = 4 A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb négyjegyű szám a 9 999, vagyis a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek. A keresett elemeket az általános tag képletével számíthatjuk ki, így felírható a következő egyenlőtlenség: 10 a n (n 1) Ebből n re a következő adódik: 1,85 n 148,85. Mivel az n csak egész szám lehet így a következő egyenlőtlenség adódik: n 148. Ezek alapján 1 47 olyan tagja van a sorozatnak, mely legalább kétjegyű, legfeljebb négyjegyű. 6

7 9. Egy számtani sorozat második és nyolcadik tagjának összege 10. A sorozat harmadik és tizennegyedik tagjának összege 31. Számítsd ki a sorozat tizenötödik tagját! Az adatokat a 1 és d segítségével felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a + a 8 = 10 a 3 + a 14 = 31 } a 1 + d + a 1 + 7d = 10 a 1 + d + a d = 31 } a 1 + 8d = 10 a d = 31 } A második egyenletből vonjuk ki az elsőt, s rendezés után a következő adódik: d = 3. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után a következő adódik: a 1 = 7. Ezek alapján a sorozat tizenötödik tagja: a 15 = = Egy számtani sorozat második, harmadik és negyedik tagjának összege 63. A sorozat ötödik és hatodik tagjának összege 7. Számítsd ki a sorozat tízedik tagját és írd fel a sorozat általános (n - edik) tagjának képletét! A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: a 5 + a 6 = 7 a + a 3 + a 4 = 63 } a 1 + 9d = 7 3a 1 + 6d = 63 } 6a 1 + 7d = 81 6a 1 + 1d = 16 } Az első egyenletből vonjuk ki a másodikat, s rendezés után a következő adódik: d = 3. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után a következő adódik: a 1 = 7. A sorozat első elemével és differenciájával már meghatározhatjuk a keresett értékeket. a 10 = ( 3) = 0 a n = 7 + (n 1) ( 3) = 7 3n + 3 = 30 3n 7

8 11. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 65, a következő öt tag összege 15. Mennyi a sorozat első tagja és különbsége? Írjuk fel az első 5 tag összegét a megfelelő képlettel: S 5 = a 1+a = a 1+4d 5 13 = a 1 + d Írjuk fel a következő 5 tag összegét a megfelelő képlettel: S 5 10 = a 6+a = a 1+14d 5 43 = a 1 + 7d A kapott egyenleteket egyenletrendszerként tekintve a második egyenletből vonjuk ki az elsőt: 5d = 30 d = 6. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után a következő adódik: a 1 = Egy számtani sorozat harmadik tagja 10, nyolcadik tagja 30. Melyik az a legkisebb n, amelyre teljesül, hogy a sorozat első n tagjának összege legalább 1 000? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját. a 8 = a 3 + 5d 30 = d d = 4 a 3 = a 1 + d 10 = a a 1 = A feladat alapján felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: S n (n 1) 4 n n 500 Ebből n re a következő adódik: n,36. Ezek alapján a sorozat első 3 tagjának összege lesz először feletti érték. 8

9 13. Egy m hosszúságú sálat akarunk kötni. Ha az első napon 18 cm - t, majd pedig minden nap az előző napinál 4 cm - rel hosszabb darabot kötünk, akkor hány nap alatt készül el a sál? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 18; d = 4; S n = 00. A kérdés az n értéke, így használjuk az S n képletét: 00 = 18 + (n 1) 4 n. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: n + 8n 100 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy n 1 6,77 és n 14,77, amiből n a feladat szövegének nem felel meg. Ezek alapján a sál a 7. napon fog elkészülni. 14. Egy cirkusz kör alakú nézőterén 8 sor ülőhely van. Az egyes sorok ülőhelyeinek száma számtani sorozatot alkot. Az ötödik sorban 100, a második sorban 70 ülőhely található. Hány ülőhely van a 8. sorban és az egész nézőtéren? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: a 5 = 100; a = 70; n = 8. Először számoljuk ki a sorozat első elemét és differenciáját. a 5 = a + 3d 100 = d d = 10 a = a 1 + d 70 = a a 1 = 60 A sorozat első elemével és differenciájával már meghatározhatjuk a keresett értékeket. a 8 = = 130 S 8 = = 760 Ezek alapján az utolsó sorban 130 ülőhely van, a nézőtéren pedig összesen

10 15. Egy gyümölcsös párhuzamos soraiban 660 fát ültettek. Az első sorba 8 - at, minden következő sorba 3 - mal többet ültettek, mint az előzőbe. Hány fa jutott az utolsó sorba és mennyi sor fa van a gyümölcsösben? A feladat szövege alapján a következő adatokat tudjuk: S n = 660; a 1 = 8; d = 3. Az n értékének kiszámításához használjuk az S n képletét: 660 = 8 + (n 1) 3 n. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3n + 13n A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy n 1 = 40 és n 44,3, amiből n a feladat szövegének nem felel meg. Ezt követően számítsuk ki az utolsó tagot: a 40 = = 15. Ezek alapján 40 sorból áll a gyümölcsös és az utolsó sorban 15 fa található. 16. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Legyenek a háromszög oldalai: a d a a + d Alkalmazzuk a Pitagorasz tételét: a + (a d) = (a + d). Ebből rendezés után a következő adódik: a = 4d. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy a háromszög oldalai: 3d; 4d; 5d. Ezek alapján a szögfüggvények segítségével kiszámíthatjuk a háromszög hiányzó szögeit: sin α = 3d 5d = 3 5 α 36,87 sin β = 4d 5d = 4 5 β 53,13 10