Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
|
|
- Ernő Kelemen
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Megoldások 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 1 = 7. 5 Ezt rendezve a következő hiányos másodfokú egyenlethez jutunk: 70 = 0 ( 70) = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján 1 = 0, vagy 70 = 0, amiből = 70. Válasz: A keresett szám a 0 vagy a 70.. Egy kétjegyű szám egyik számjegye kettővel nagyobb, mint a másik. A szám és a számjegyek felcserélésével kapott szám négyzetösszege Melyik ez a szám? Legyen a tízesek száma, az egyeseké pedig +. Tízesek Egyesek Szám ( + ) + 1
2 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( ) + ( ) = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: + 15 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 3 és = 5. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A keresett szám a 35 vagy az Egy kétjegyű szám tízeseinek a száma eggyel nagyobb, mint az egyesek száma. A szám és a számjegyei összegének a szorzata Melyik ez a szám? Legyen a tízesek száma, az egyeseké pedig 1. Tízesek Egyesek Szám A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (10 + 1) ( + 1) = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 8 és = Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A keresett szám a 98.
3 4. Egy tört nevezője néggyel nagyobb a számlálójánál. Ha a számlálót hárommal csökkentjük és a nevezőt ugyanannyival növeljük, a tört értéke felére csökken. Melyik ez a tört? Legyen a tört nevezője, a számlálója pedig 4. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1 4. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 1 és = 1. Válasz: A keresett tört a 8 1 = 3 vagy a 3 1 = Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Mennyien vannak a társaságban, ha összesen 15 kézfogás történt? Legyen a tagok száma. Mivel egy ember önmagán kívül mindenkivel kezet fog, illetve egy kézfogást kétszer számolunk, ezért az összes kézfogások száma: ( 1). Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 1) = 15. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 30 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és = 5. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A társaságban 6-an vannak. 3
4 6. Van-e olyan konve sokszög, amelynek 35 átlója van? Legyen a sokszög oldalainak a száma. Mivel egy csúcsból önmagába és a szomszédos csúcsokba nem húzhatunk átlót, illetve egy átlót kétszer számolunk, ezért az összes átlók száma: ( 3). Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 3) = 35. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 3 70 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 10 és = 7. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A konve 10-szögnek 35 átlója van. 7. Melyik az a konve sokszög, amelynek 4-vel több átlója van, mint oldala? Legyen a sokszög oldalainak a száma. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 3) 4 =. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 5 84 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 1 és = 7. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A keresett sokszög a konve 1-szög. 4
5 8. Hány pontot helyezhetünk el a síkon, ha a pontok összesen 8 egyenest határoznak meg, és nincs olyan 3 pont, amely egy egyenesen sorakozna? Legyen a pontok száma. Mivel egy ponton át minden más pontba húzunk egyenest, illetve egy egyenest kétszer számolunk, ezért az összes egyenesek száma: ( 1). Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 1) = 8. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 56 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 8 és = 7. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Összesen 8 pont határoz meg a síkon 8 egyenest. 9. Egy derékszögű háromszög egyik befogója cm - rel nagyobb, mint a másik befogója, a háromszög területe pedig 4 cm. Mekkorák a háromszög befogói? Legyen a háromszög egyik befogója a =, a másik pedig b = +. Mivel a háromszög derékszögű, ezért a terület felírható a befogókkal is: T = a m a = a b. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( + ) = 4. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: + 48 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és = 8. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A háromszög befogói 6 cm és 8 cm hosszúak. 5
6 10. Egy téglatest éleinek aránya 1 3. Ha az éleket rendre, 1, illetve 3 cm - rel meghosszabbítjuk, a téglatest térfogata 46 cm 3 rel megnövekszik. Mekkorák a téglatest élei? Legyenek a téglatest élei a =, b = és c = 3. Egy téglatest térfogatát a következőképpen számolhatjuk ki: V = a b c. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( + ) ( + 1) (3 + 3) = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: + 0 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 4 és = 5. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A téglatest élei 4 cm, 8 cm és 1 cm hosszúságúak. 11. Egy téglalap kerülete 4 cm, átlója pedig 15 cm. Mekkorák a téglalap oldalai? Legyen a téglalap egyik oldala, a másik y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: + y = 4 + y = 15 } Az első egyenletből fejezzük ki -et, s a következőt kapjuk: = 1 y. Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe, s a következőt kapjuk: (1 y) + y = 5. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: y 1y = 0. 6
7 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: y 1 = 9 és y = 1. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy y 1 = 9 esetén 1 = 1 és y = 1 esetén = 9. Válasz: A téglalap oldalai 9 cm és 1 cm hosszúak. 1. Két kombájn együtt 4 nap alatt learatta a szövetkezet búzatábláját. Az egyik kombájn egyedül 6 nappal hosszabb idő alatt végezte volna el ugyanazt az aratási munkát, mint a másik. Hány napig aratott volna külön külön a két kombájn? Tegyük fel, hogy ez egyik kombájn egyedül nap alatt, a másik pedig + 6 nap alatt aratná le a búzatáblát. 1 nap alatt 4 nap alatt Első kombájn nap 1 4 Második kombájn + 6 nap A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 4 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és = 4. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az egyik kombájn 6 nap alatt, a másik 1 nap alatt aratná le egyedül a búzatáblát. 7
8 13. Két munkás együtt dolgozva 8 óra alatt tud befejezni egy munkát. Mennyi idő alatt lenne készen egyedül ezzel a munkával az első, illetve a második munkás, ha az utóbbinak 1 órával több időre lenne szüksége, mint az elsőnek? Tegyük fel, hogy ez első munkás egyedül óra alatt, a második pedig + 1 óra alatt végezne a munkával. 1 óra alatt 8 óra alatt Első munkás óra 1 8 Második munkás + 1 óra A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 4 96 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 1 és = 8. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az egyik munkás 1 óra alatt, a másik 4 óra alatt végezné el egyedül a munkát. 8
9 14. A tartályt az egyik csapon át 4, a másik csapon át 9 órával hosszabb idő alatt tölthetjük meg, mint ha mind a két csapot egyszerre használjuk. Mennyi idő alatt telik meg a tartály, ha csak az egyik, illetve a másik csapot nyitjuk meg? Tegyük fel, hogy a csapok együtt óra alatt töltik meg a tartályt. Ekkor az egyik + 4, a másik pedig + 9 órán keresztül töltené meg egyedül a tartályt. 1 óra alatt óra alatt Első csap + 4 óra Második csap + 9 óra A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1. Ezt rendezve a következő egyenlethez jutunk: = 36. Ebből kapjuk, hogy a két megoldás: 1 = 6 és = 6. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az egyik csapon át 10 óra alatt, a másikon keresztül 15 óra alatt telik meg a tartály. 9
10 15. Két munkás együtt egy munkát 1 óra alatt végez el. Ha az első munkás elvégezné a munka felét, a második pedig befejezné a munkát, akkor a munka 5 óráig tartana. Hány óra alatt végzi el a munkát a két munkás külön külön? Tegyük fel, hogy az egyik munkás óra alatt, a második pedig y óra alatt végezne a munkával. 1 óra alatt 1 óra alatt Első munkás óra 1 1 Második munkás y óra 1 y 1 y A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: = 1 y + y = 5} A második egyenletből fejezzük ki -et, s a következőt kapjuk: = 50 y. Ezt helyettesítsük be az első egyenletbe, s a következőt kapjuk: = y y Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: y 50y = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: y 1 = 0 és y = 30. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy y 1 = 0 esetén 1 = 30 és y = 30 esetén = 0. Válasz: Az egyik munkás 0 óra alatt, a másik 30 óra alatt végezné el egyedül a munkát. 10
11 16. Egy építkezéshez 30 tonna anyagot kell kiszállítani. A szállításhoz a megrendeltnél tonnával kisebb teherbírású teherautókat küldtek, de 4 gyel többet, így a szállítást időben elvégezhették. Hány teherautó végezte a szállítást és hány tonnásak voltak? Tegyük fel, hogy eredetileg rendeltek darab 30 tonna teherbírású teherautót. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( + 4) ( 30 ) = 30. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és = 10. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: 10 darab 3 tonna teherbírású teherautó végezte a szállítást. 17. Egy Ft - os termék árát kétszer egymás után ugyanannyi százalékkal csökkentették. Hány százalékos volt az árleszállítás az egyes esetekben, ha a termék ára így Ft lett? Legyen az árleszállítás mértéke p százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (1 p p ) (1 ) = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: p 00p = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: p 1 = 10 és p = 190. A p nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Mindkét esetben 10 % - kal csökkentették a termék árát. 11
12 18. Egy áru árát felemelték, majd később mivel nem fogyott kétszer annyi százalékkal csökkentették, mint ahány százalékkal felemelték annak idején. Így az eredeti árnál 5, 5 % - kal lett olcsóbb. Hány százalékkal emelték fel az árát eredetileg? Legyen az áru ára forint és a növelés mértéke pedig p százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (1 + p p ) ( ) = (1 5,5 100 ). Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: p + 50p 75 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: p 1 = 5 és p = 55. A p nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: 5 % - kal emelték meg eredetileg az áru árát. 19. Kamatozó betétbe betettünk a bankba Ft ot. Az első évi kamatnál 3 % - kal több volt a második évi kamat. Két év múlva Ft lett a kamattal növelt összeg. Hány százalékos volt a kamat az első, és mennyi a második évben? Legyen az első éves kamat mértéke p, a második éves kamat mértéke pedig p + 3 százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (1 + p p + 3 ) (1 + ) = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: p + 03p 1040 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: p 1 = 5 és p = 08. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: 5 % volt az első éves kamat és 8 % a második éves kamat. 1
13 0. Két kénsavoldat közül az első 0, 8 kg, a második 0, 6 kg tömény kénsavat tartalmaz. Ha a két oldatot összeöntjük, akkor 10 kg harmadik töménységű kénsavoldatot kapunk. Mekkora volt az első és a második oldat tömege, ha a kénsavtartalom százaléka az első esetben 10 - zel több, mint a másodikban? Legyen az első oldat tömege, a másodiké pedig y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 0,8 0,6 100 = y } + y = 10 A második egyenletből fejezzük ki -et, s a következőt kapjuk: = 10 y. Ezt helyettesítsük be az első egyenletbe, s a következőt kapjuk: 80 = y y Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: y + 4y 60 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: y 1 = 6 és y = 10. Az y nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy y = 6 esetén = 4. Válasz: A két oldalt tömege 4 kg és 6 kg volt. 13
14 1. Két turista egyszerre indul el egy 40 km hosszúságú úton. Az egyik turista óránként km - rel többet tesz meg, mint a másik, és ezért egy órával előbb ér az út végére. Mekkora a két turista sebessége? Legyen az egyik turistának a sebessége, a másiknak pedig +. s v t Első turista 40 Második turista A megoldáshoz a következő képleteket használjuk fel: v = s t = s s = t v. t v Mivel a lassabb turista ideje lesz a több, ezért abból kell kivonnunk a gyorsabb turista idejét ahhoz, hogy az egy órát megkapjuk. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: + 80 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 8 és = 10. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az első turista sebessége 8 km h, a második sebessége pedig 10 km h. 14
15 . Két folyóparti város távolsága 10 km. Egy hajó oda - vissza 1, 5 óra alatt teszi meg az utat. A folyó sebessége 4 km. Mekkora lenne a hajó sebessége állóvízben? h Legyen a hajó sebessége. Amennyiben a sodrással egy irányba haladunk, akkor a sebességünkhöz hozzá kell adnunk a folyó sebességét. Amennyiben folyásiránnyal szemben haladunk, úgy a sebességünkből ki kell vonnunk a folyó sebességét. s v t folyással ellenkező irányban haladva folyás irányában haladva A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1,5. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 1, = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 0 és = 0,8. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A hajó sebessége állóvízben 0 km h. 15
16 3. Két kikötő között a távolság egy folyón 1 km. Egy motorcsónak elindul az egyik kikötőből a másikba, ott 30 percet áll, majd visszaindul, és így az első indulás után 4 órával ér vissza a kikötőbe. A folyó vizének sebessége, 5 km h. Mekkora a motorcsónak sebessége állóvízben? Legyen a motorcsónak sebessége. s v t folyással ellenkező irányban haladva 1,5 1,5 folyás irányában haladva 1 +,5 1 +,5 Mivel 30 percet állt, ezért az út megtételéhez 3,5 órára volt szüksége. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 3,5.,5 +,5 Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: 1 = 1,5 és = 0,5. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A motorcsónak sebessége 1,5 km h állóvízben. 16
17 4. Két állomás közötti távolság 96 km. A személyvonat, amelynek átlagsebessége 1 km val nagyobb, mint a tehervonaté, 40 perccel rövidebb idő alatt teszi meg az h utat, mint a tehervonat. Mekkora a személy és a tehervonat sebessége? Legyen a személyvonatnak a sebessége, a tehervonatnak pedig 1. s v t Személyvonat 96 Tehervonat Mivel a tehervonat ideje lesz a több, ezért abból kell kivonnunk a személyvonat idejét ahhoz, hogy a 40 percet megkapjuk. A 40 perc átszámítva pedig 3 óra. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: =. 1 3 Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 48 és = 36. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A személyvonat sebessége 48 km h, a tehervonat sebessége pedig 36 km h. 17
18 5. A 150 km hosszúságú útszakaszon az egyik gépkocsi 10 km sebességgel gyorsabban h haladt, mint a másik, és ezért fél órával a hamarabb ért célba. Mekkora sebességgel haladt a két gépkocsi? Legyen az egyik kocsinak a sebessége, a másiknak pedig 10. s v t Első kocsi 150 Második kocsi Mivel a második kocsi ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk az első kocsi idejét, ahhoz, hogy a fél órát megkapjuk. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 60 és = 50. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az egyik kocsinak a sebessége 60 km h, a másiknak pedig 50 km h. 18
19 6. Egy kerékpárosnak 30 km-es utat kell megtennie. Mivel a kitűzött időnél 3 perccel később indult, ahhoz, hogy idejében megérkezzék, óránként 1 km-rel többet kellett megtennie, mint ahogy eredetileg tervezte. Mekkora sebességgel haladt? Legyen a kerékpáros tervezett sebessége, s a valós pedig + 1. s v t Tervezett 30 Valós Mivel a tervezett út ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk a 3 percet, ahhoz, hogy megkapjuk a megvalósult kerékpározás idejét. A 3 perc átszámítva pedig 3 60 = 1 0 óra. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 4 és = 5. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A kerékpáros valós sebessége tehát 5 km h volt. 19
20 7. Az A vasútállomásról reggel 5 órakor tehervonat indul B-be, mely A-tól 1080 km távolságra van. 8 órakor B-ből gyorsvonat indul A-ba, ez óránként 15 km-rel többet tesz meg a tehervonatnál. Félúton találkoznak. Hány órakor történik ez? Legyen a tehervonatnak a sebessége, a gyorsvonatnak pedig s v t Tehervonat 540 Gyorsvonat Mivel a tehervonat ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk a két indulás között eltelt 3 órát, ahhoz, hogy megkapjuk a gyorsvonat idejét. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 45 és = 60. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: A tehervonat 1 órát, a gyorsvonat 9 órát ment, így 17 órakor találkoztak. 0
21 8. Az A város 78 km-re van B-től. A-ból elindult egy kerékpár B-be. Egy órával később pedig egy másik kerékpáros B-ből A-ba. Ez utóbbi sebessége 4 km - val több, mint az h elsőé, így B-től 36 km-re találkoztak. Mennyi ideig kerékpározott mindegyik az indulástól a találkozásig és mekkora sebességgel? Legyen az első kerékpárosnak a sebessége, a másodiknak pedig + 4. s v t A-ból B-be 4 B-ből A-ba Mivel a második kerékpáros ideje volt a kevesebb, ezért ahhoz hozzá kell adnunk az 1 órát, ahhoz, hogy megkapjuk az első kerékpáros idejét. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 4 = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 168 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 14 és = 1. Az nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Az első kerékpáros 14 km h - val haladt 3 óráig, a második pedig 18 km h - val óráig. 1
22 9. Egy gépkocsi 10 m sebességgel halad el mellettünk, de abban a pillanatban s 4 m s gyorsulással egyenletesen növelni kezdi sebességét. Mennyi idő múlva halad el a tőlünk 100 m távolságra lévő oszlop mellett? Mekkora lesz ekkor a sebessége? Az egyenletesen gyorsuló, egyenes vonalú mozgással kapcsolatban a következő képleteket kell használnunk: v = v 0 + a t s = v 0 + v t s = s 0 + v 0 t + a t Ahol t az eltelt idő; s 0 az óra elindulásáig megtett út; s a t időpillanatig megtett út; v 0 a test kezdő sebessége; v a végsebessége, a test gyorsulása. A szövegben megadott adatok a következők: s 0 = 0 m, s = 100 m, v 0 = 10 m s, a = 4 m s. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 100 = t + 4 t. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: t + 5t 50 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: t 1 = 5 és t = 10. Az t nem lehetséges a szövegnek megfelelően. A végsebességét pedig a következőképpen számíthatjuk ki: v = = 30. Válasz: A kocsi 5 másodperc alatt ér el az oszlopig és ekkor a sebessége 30 m s lesz.
23 30. Egy gépkocsi 10 m - t megtéve érte el a m sebességet. Ekkor, 6 m s s egyenletes gyorsulással (egyenes úton) növelni kezdte a sebességét, és indulási helyétől 160 m távolságra elérte a végsebességét. Mennyi ideig gyorsított, és mekkora lett a végsebessége? A szövegben megadott adatok a következők: s 0 = 10 m, v 0 = m, a =,6 m s s, s = 160 m. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 160 = 10 + t +,6 t. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 13t + 0t 1500 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: t 1 = 10 és t = 11,5. Az t nem lehetséges a szövegnek megfelelően. A végsebességet pedig a következőképpen számíthatjuk ki: v = +,6 10 = 8. Válasz: A kocsi 10 másodpercig gyorsított és 8 m s lett a végsebessége. 31. Legyen a = 5; b = 15; c = ; d = 30; e = 49. Határozd meg az a; b, illetve a c; d; e számtani és mértani közepét! A közepek kiszámításához a következő képleteket kell használnunk. Az n darab nem negatív szám számtani közepén a következőt értjük: a 1 + a + + a n. n n Az n darab nem negatív szám mértani közepén a következőt értjük: a 1 a a n. Ezek alapján a megoldások: Számtani közép: A (a; b) = = 65 A (c; d; e) = = 50,5 3 Mértani közép: G (a; b) = 5 15 = 5 G (c; d; e) = ,86 3
24 3. Egy m hosszú fonál segítségével képezzünk téglalapot. Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy a terület maimális legyen? Használjuk fel azt az összefüggést, hogy n darab szám mértani közepe mindig kisebb vagy egyenlő, mint a számok számtani közepe. Legyen a téglalap egyik oldala. Mivel a kerülete, ezért a másik oldal 1 lesz. A téglalap területe ekkor: T = (1 ). A két oldalra írjuk fel a mértani és számtani közepek közötti összefüggést: (1 ) +1. Ezt rendezve a következőt kapjuk: (1 ) 1 4. Ebből következik, hogy a téglalap területe akkor lesz a legnagyobb, ha pontosan 1 4. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (1 ) = 1 4. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: = 1. Válasz: A legnagyobb területű téglalap az 1 m oldalú négyzet lesz. 4
25 33. A 100 cm területű téglalapok közül melyiknek a legkisebb a kerülete? A téglalap kerülete: K = a + b. Ezt átrendezve a következőt kapjuk: K a + b =. 4 A téglalap területe: T = a b. Ezt átrendezve a következőt kapjuk: T = a b. Ezek alapján a téglalap kerületének negyede a két oldal számtani közepével egyenlő, míg a terület négyzetgyöke éppen a két oldal mértani közepét adja eredményül. Írjuk fel a két oldal segítségével a számtani és mértani közepek közötti összefüggést: 100 K 4. Ezt rendezve a következőt kapjuk: 40 K. Ebből következik, hogy a téglalap kerülete akkor lesz a legkisebb, ha pontosan 40. A terület képletéből fejezzük ki a-t, s a következőt kapjuk: a = 100 b. Ezt helyettesítsük be a kerület képletébe, s a következő egyenletet kapjuk: 40 = b. b Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: b 0b = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: b = 10. Visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy b = 10 esetén a = 10. Válasz: A 40 cm kerületű, vagyis 10 cm oldalú négyzetnek lesz a legkisebb a kerülete. 5
26 34. Bontsd fel a 30-at két szám összegére úgy, hogy a tagok négyzetösszege a lehető legkisebb legyen! Legyen az egyik szám, a másik pedig 30. Ekkor a két szám négyzetösszege: + (30 ). Tekintsük ezt úgy, mint egy függvény és keressük meg a minimumát. f () = + (30 ) = = = = ( 30) = [( 15) 5] = ( 15) Ezek alapján a függvénynek az = 15 helyen lesz minimuma. Válasz: Akkor lesz a legkisebb a tagok négyzetösszege, ha a két szám lesz. 35. Bizonyítsd be, hogy egy pozitív számnak és reciprokának összege nem kisebb -nél! Legyen a feladatnak megfelelő szám ( > 0). A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: + 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlőtlenséghez jutunk: Az egyenlőtlenség bal oldala nevezetes azonossággal szorzattá alakítható: ( 1) 0. Mivel bármely valós szám négyzete nem negatív, így az egyenlőtlenség mindig teljesül. Az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha = 1. 6
Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek IX.
Egyenletek, egyenlőtlenségek IX. Szöveges feladatok megoldása: A szöveges feladatok esetén írjunk fel egyenletet a korábban tanultak alapján, majd a kapott másodfokú egyenletet oldjuk meg a megoldóképlet
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
RészletesebbenMásodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!
Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és
RészletesebbenMásodfokú egyenletek Gyakorló feladatok. Készítette: Porkoláb Tamás. Milyen p valós paraméter esetén lesz az alábbi másodfokú egyenlet egyik gyöke 5?
Másodfokú egyenletek Gyakorló feladatok Készítette: Porkoláb Tamás Gyökök Milyen p valós paraméter esetén lesz az alábbi másodfokú egyenlet egyik gyöke? 3 ( p ) = Milyen p paraméter esetén lesz a következı
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
RészletesebbenEGYENLETEK. Mérleg-elv. = + x 1. = x + 12 2. 2 x + = 1 3x 10. = 1. 17. 13 3x. 5 x 11. ( ) Abszolutértékes egyenletek, egyenlőtlenségek. 28.
EGYENLETEK Mérleg-elv..... 6. + = 7 = + = 7+ 7+ 6 + = + = = ( ) 7. = + + 6 8 6 8. = 7 7 9.. 7 = + ( ) + + =. + Abszolutértékes egyenletek, egyenlőtlenségek. = 7. =. =. 8 = 6. 7 9 = 7. = 8. 8 = 9. =. 6.
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenGyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
RészletesebbenA(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x
10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 1 1 számtani közép efiníció 1. (Két nemnegatív szám számtani közepe) Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét
RészletesebbenEGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával
Részletesebben11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
Részletesebben3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217.
Megoldások 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, hetedik eleme 64. Számítsd ki a sorozat második tagját! Először számítsuk ki a sorozat hányadosát: a 7 = a 3 q 4 64 = 4q 4 q 1 = 2 és q 2 = 2 Ezek alapján
RészletesebbenSZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok
SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Add meg az alábbi sorozatok következő három tagját! a) ; 7; ; b) 2; 5; 2; c) 25; 2; ; 2. Egészítsd ki a következő sorozatokat! a) 7; ; 9; ; b) 8; ; ; 9; c) ; ; ;
RészletesebbenKisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály IV. rész: Egyenletrendszerek Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék IV.
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
Részletesebben8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenSZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:
SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:
RészletesebbenSzámokkal kapcsolatos feladatok.
Számokkal kapcsolatos feladatok. 1. Egy tört számlálója -tel kisebb, mint a nevezője. Ha a tört számlálójához 17-et, a nevezőjéhez -t adunk, akkor a tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? A szám: 17
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egy sorozat első tagja ( 5), a második tagja. Minden további tag a közvetlenül előtte álló két tag összegével egyenlő. Mennyi a sorozat első 7 tagjának összege? A szöveg alapján írjuk fel
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek X.
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak
RészletesebbenJelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18
Szöveges feladatok Életkori feladatok. Feladat. Egy anya 29 éves volt, amikor a a született. év múlva az életkora évvel lesz kevesebb, mint a a akkori életkorának kétszerese. Hány évesek most? Megoldás.
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
Részletesebben4,5 1,5 cm. Ezek alapján 8 és 1,5 cm lesz.
1. Tekintse az oldalsó ábrát! a. Mekkora lesz a 4. sor téglalap mérete? b. Számítsa ki az ábrán látható három téglalap területösszegét! c. Mekkora lesz a 018. sorban a téglalap oldalai? d. Hány téglalapot
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2
RészletesebbenMATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenA III. forduló megoldásai
A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMozgással kapcsolatos feladatok
Mozgással kapcsolatos feladatok Olyan feladatok, amelyekben az út, id és a sebesség szerepel. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén jelölje s= a megtett utat, v= a sebességet, t= az id t. Ekkor érvényesek
RészletesebbenSzélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek IV.
Egyenletek, egyenlőtlenségek IV. Szöveges feladatok megoldásának lépései:. Értelmezzük a feladatot, az adatok között összefüggéseket keresünk és tervet készítünk. 2. Megválasztjuk az ismeretlent, majd
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész
Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenBoronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Vác, Németh László u : /fax:
5. OSZTÁLY 1.) Apám 20 lépésének a hossza 18 méter, az én 10 lépésemé pedig 8 méter. Hány centiméterrel rövidebb az én lépésem az édesapáménál? 18m = 1800cm, így apám egy lépésének hossza 1800:20 = 90cm.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenMegoldások p a.) Sanyi költötte a legkevesebb pénzt b.) Sanyi 2250 Ft-ot gyűjtött. c.) Klára
Megoldások 1. feladat: A testvérek, Anna, Klára és Sanyi édesanyjuknak ajándékra gyűjtenek. Anna ötször, Klára hatszor annyi pénzt gyűjtött, mint Sanyi. Anna az összegyűjtött pénzének 3/10 részéért, Klára
RészletesebbenXXIII. Vályi Gyula Emlékverseny május 13. V. osztály
XXIII. Vályi Gyula Emlékverseny Marosvásárhely 207. május 3. V. osztály. Sári néni a piacon 00 db háromféle tojást vásárolt 00 RON értékben. Tudva azt, hogy a tyúktojás ára 50 bani, a libatojás 5 RON és
RészletesebbenCurie Matematika Emlékverseny 8. évfolyam I. forduló 2011/2012.
Curie Matematika Emlékverseny 8. évfolyam I. forduló 2011/2012. A feladatokat írta: Kozma Lászlóné, Sajószentpéter Tóth Jánosné, Szolnok Lektorálta: Lengyel Lászlóné, Nádudvar Név:........ Iskola:.. Beküldési
RészletesebbenMásodfokú egyenletek egyszerű módszerek és a megoldóképlet
Másodfokú egyenletek egyszerű módszerek és a megoldóképlet 1. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket négyzetgyökvonás segítségével! a = 8 b = 484 c = 36 d 15 = 0 e + 7 = 0 f 1 = 4 7 g = 3 8 h =
RészletesebbenPYTAGORIÁDA. 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó?
Az iskolai forduló feladatai 2006/2007-es tanév Kategória P 3 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó? 2. Számítsd ki: 19 18 + 17 16 + 15 14 =
Részletesebben7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
Részletesebben1. A négyzetgyökre vonatkozó azonosságok felhasználásával állítsd növekvő sorrendbe a következő számokat!
Matematika A 10. évfolyam Témazáró dolgozat 1. negyedév 1 A CSOPORT 1. A négyzetgyökre vonatkozó azonosságok felhasználásával állítsd növekvő sorrendbe a következő számokat! 8 ; 7 1 ; ; ; 1. Oldd meg a
RészletesebbenJavítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök
Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
Részletesebben1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
Részletesebben(1 pont) (1 pont) Az összevont alak: x függvény. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? (2 pont)
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 014. október 14. KÖZÉPSZINT I. 1) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az 1; 3 ponton, és egyik normálvektora a 8;1 vektor! 8x y 5 ) Végezze el a következő műveleteket,
RészletesebbenMilyen messze van a faltól a létra? Milyen messze támasztotta le a mester a létra alját a faltól?
A kerámia szigetelő a padlótól számítva négy méter magasan van. A kihúzott létra hossza öt méter. Milyen messze van a faltól a létra? Milyen messze támasztotta le a mester a létra alját a faltól? Bármely
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
Részletesebben+ 3 5 2 3 : 1 4 : 1 1 A ) B ) C ) D ) 93
. Mennyi az alábbi művelet eredménye? 4 + 4 : 5 : 5 + 8 07 9 A ) B ) C ) D ) E ) 9 9 9 9 9. Egy digitális órát (amely 4 órás üzemmódban működik) pontosan beállítottunk. Kiderült azonban, hogy egy nap átlagosan
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
RészletesebbenVI. Vályi Gyula Emlékverseny november
VI. Vályi Gyula Emlékverseny 1999. november 19-1. VI. osztály 1. Ki a legidősebb, ha Attila 10 000 órás, Balázs 8 000 napos, Csanád 16 éves, Dániel 8000000 perces, Ede 00 hónapos. (A) Attila (B) Balázs
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Részletesebben1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenM/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24
OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók
RészletesebbenXXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.
XXIV NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, 05 április 8- XII évfolyam A szabályos hatoldalú csonka gúla alapélei és ( a b ) A csonka gúla oldalfelülete megegyezik az alaplapok területének összegével
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.
RészletesebbenPróbaérettségi feladatsor_b NÉV: osztály Elért pont:
Próbaérettségi feladatsor_b NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 12 példából áll, a megoldásokkal maimum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy derékszögű háromszög
RészletesebbenMatematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus
Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6
RészletesebbenAz 1. forduló feladatainak megoldása
Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. A fős osztály dolgozatot írt matematikából és a következő jegyek születtek: 6 darab jeles, 9 darab jó, 8 darab közepes, darab elégséges és darab elégtelen. Készíts gyakorisági táblázatot,
RészletesebbenV. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam
01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenParaméteres és összetett egyenlôtlenségek
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:
Részletesebben1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:
1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)
Részletesebben} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =
. Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg
RészletesebbenVIII. Vályi Gyula Emlékverseny 2001 november Mennyivel egyenlő ezen számjegyek összege?
VIII. Vályi Gyula Emlékverseny 001 november 3-5 VI osztály Csak az eredmény kérjük! 1. Frédi 3 naponként, Béni 4 naponként jár az uszodába, mindig pontosan délután 4-től 6-ig. Kedden találkoztak az uszodában.
RészletesebbenMegoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.
1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,
RészletesebbenBoronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Vác, Németh László u : /fax:
200 Vác, Németh László u. 4-. : 27-17 - 077 /fax: 27-1 - 09. OSZTÁLY 1.) Hány olyan négyjegyű természetes szám van, melynek jegyei között az 1 és 2 számjegyek közül legalább az egyik szerepel? Négyjegyű
Részletesebben