Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Vác, Németh László u : /fax:

Átírás

1 200 Vác, Németh László u. 4-. : /fax: OSZTÁLY 1.) Hány olyan négyjegyű természetes szám van, melynek jegyei között az 1 és 2 számjegyek közül legalább az egyik szerepel? Négyjegyű természetes szám 9000 van. Ezek közül, amelyikben nincs sem 1-es, sem 2-es számjegy = 84 van. Ezért = 41 olyan van, amelyikben az 1-es és 2-es közül valamelyik szerepel. 2.) Az 1, 2,, 4,,, 7, 8, 9, 10 számokból egyet elhagyva kiszámoltuk a többi szám átlagát. Az eredmény 17 lett. Melyik számot hagytuk el? 1-től 10-ig a számok összege. Az elhagyott számon kívüli számok összege 9 17 = 1. Így az elhagyott szám a 4-es volt..) Készíts az 1, 2,, 4,,, 7, 8, 9 számok felhasználásával bűvös háromszöget úgy, hogy minden oldalon 20 legyen a számok összege! 1-től 9-ig a számok összege 4. A három oldalon a számok összege 20 = 0. Mivel a csúcsok két oldalhoz is hozzátartoznak, ezért a csúcsokban lévő számok összege 0 4 = 1. Egy lehetséges megoldás: 4.) Egy téglalap szomszédos oldalainak felezőpontjait az ábrán látható módon összekötöttük a téglalap két csúcsával. Hányszorosa a T 1 -gyel jelölt terület a T 2 - vel jelölt területnek? Mindkét háromszög területét a jelölt háromszög területével kiegészítve a téglalap területének negyedét kapjuk, ezért T 1 =T 2. T 1 egyszerese T 2 -nek.

2 200 Vác, Németh László u. 4-. : /fax: OSZTÁLY 1.) Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a számjegyek csökkenő vagy növekvő sorrendben követik egymást? Válasszunk ki három számjegyet az 1,2,,4,,,7,8,9 számok közül. Ez 84 féleképpen tehető meg. A három kiválasztott számjegyet írhatom növekvő sorrendbe. Így 2 84 = 18 megfelelő számot kapunk. Ha a háromjegyű számban szerepel a 0, akkor a jegyek nem követhetik növekvő sorrendben egymást. A 0-hoz a többi 9 szám közül kettőt -féleképpen választhatunk. A keresett számok száma: 18 + = ) Öt játékos megegyezett egy olyan játékban, amelyben minden játszma után az egyetlen vesztes megkétszerezi az összes többi játékos pénzét. Összesen öt játszmát játszottak és minden játékos pontosan egyszer veszített. Az öt játszma befejezése után mindegyik játékosnak 1024 Ft-ja maradt. Mennyi pénze volt a játékosoknak külön-külön a játék megkezdése előtt? A megoldások fordítva számolhatunk, az utolsó helyzetből indulva. Számoljunk úgy, hogy az utolsó fordulóban az ötödik., előtte a negyedik, játékos vesztett. A korábbi helyzet a későbbiből úgy számítható, hogy aki nyert, annak megduplázták a pénzét, tehát előtte fele volt és az összes nyereményt a vesztes fedezte. Így visszafelé haladva az öt játékos pénze rendre: Az utolsó számötös adja a választ a feladat kérdésére.

3 .) Helyezd el 1-től 9-ig a számokat egy x-as táblázatban úgy, hogy az első sorban a számok összege, a másodikban 1, a harmadikban 2, az első oszlopban 14, a másodikban 12, a harmadikban pedig 19 legyen! Az első sorban az 1,2, kell, hogy szerepeljen, a másodikban a 4,,7, a harmadikban a,8,9. A megoldás így: ) A T területű téglalap egyik átlójának tetszőleges P pontján át párhuzamosokat húztunk a téglalap oldalaival. Hányszorosa a T 1 -gyel jelölt terület a T 2 -vel jelölt területnek? Húzzuk meg a P ponton átmenő átlót. Ez a téglalapot két egyenlő területű részre osztja. Ezekből egyenlő területeket elvéve (t,t), egyenlő területek maradnak. Tehát T 1 =T 2 azaz, T 1 egyszerese T 2 -nek.

4 200 Vác, Németh László u. 4-. : /fax: OSZTÁLY 1.) Hat tyúk és nyolc csibe naponta 90 g takarmányt eszik. Hét csibe naponta 0 g takarmánnyal kevesebbet eszik, mint két tyúk. Mennyi takarmányt eszik naponta egy csibe, illetve egy tyúk külön-külön? Mérleg készítésével próbálkozunk. Jelölje Ty, illetve Cs egy tyúk, illetve egy csibe által elfogyasztott napi takarmányt. A következő mérlegeket készítjük el: Ty 8Cs 90 (1) 2Ty 7Cs 0 (2) Megháromszorozzuk a (2) mérleg tartalmát: 21Cs 90 Ty () Összeadva az (1) és () mérlegek tartalmát adódik, hogy: Ty 29Cs 90 Ty 90 (4) A (4) mérlegből adódik, hogy: 29Cs 870 () Tehát egy csibe naponta 870 : 29 0 g takarmányt eszik. Ezt összevetve a (2) mérleg tartalmával adódik, hogy: 2Ty 240 () Tehát egy tyúk naponta 240 : g takarmányt eszik. 1 2.) Béla osztálykiránduláson vett részt. Az első napon elköltötte zsebpénzének az részét és még forintot. A második napon a maradék pénzének a részénél 800 forinttal kevesebbet 9 költött. A harmadik napon elköltötte a maradék pénzének a részét. Így a harmadik nap végén 4920 forintja maradt. Mennyi pénze volt a kirándulás kezdetén? A visszafelé következtetés módszerével dolgozunk. 2 A harmadik nap végén megmaradt pénze a második nap végén maradt pénz részét képezi. 2 Tehát a második nap végére 4920 : 1200 forintja maradt.

5 Az első nap végére maradt pénzének az részét képezi a forint. Tehát az 9 első nap végére 1100 : 20700forintja maradt. 9 A kirándulás kezdetén lévő pénzösszeg része forint. Tehát Bélának a kirándulás kezdetén 2100 : 2800 forintja volt..) András, Béla és Csaba életkorának összege 140 év. 8 évvel ezelőtt András kétszer olyan idős volt, mint Csaba. 8 év múlva Béla másfélszer olyan idős lesz, mint András most. Hány évesek most külön-külön? Csaba jelenlegi életkorát jelöljük x -szel. Ebben az esetben most András 2 x x éves, míg a Béla életkora 1, 2 x 8 8 x 20 év. Mivel a három 8 személy életkorának összege 140 év, ezért felírhatjuk a következő egyenletet: x 2 x 8 x Az egyenlet megoldása x 28, tehát Csaba 28 éves, András éves, Béla pedig éves. Múlt Jelen Jövő András 2x-1 2x-8 Béla x-20 x-12 Csaba x-8 x 4.) Tekintsük 1-nek azokat a többszöröseit, amelyekben a számjegyek összege 1. Hány ilyen kétjegyű, háromjegyű illetve négyjegyű szám van? A 1 többszörösei -re vagy 0-ra végződnek. A 0-ra végződők többi számjegyének összege 1, míg az -re végződőké 10. Tehát nincs ilyen kétjegyű szám. A háromjegyű számok esetében is ugyanebből az alapötletből indulunk ki. Először vesszük azokat a kétjegyű számokat, amelyekben a számjegyek összege 1 (4 ilyen szám van), majd ezek végére 0-t írunk. Utána tekintsük azokat a kétjegyű számokat, amelyekben a számjegyek összege 10 (9 ilyen szám van), majd ezek végére -t írunk. Tehát 1 ilyen tulajdonságú háromjegyű szám van. A 0-ra végződő, a feltételnek eleget tevő, négyjegyű számok esetében a következőképpen járunk el. Ha a szám eggyel kezdődik, akkor a következő két számjegy összege 14, ha 2-vel kezdődik, akkor 1, és így tovább, ha 9-cel, akkor. Ezeket összeszámlálva adódik, hogy ilyen szám van. A feltételnek megfelelő -re végződő négyjegyű számok esetében a következőképpen járunk el. Ha a szám 1-gyel kezdődik, akkor a következő két számjegy összege 9, ha 2-vel, akkor 8, és így tovább, ha 9-cel, akkor 1. Ezeket összeszámlálva adódik, hogy = 4 ilyen tulajdonságú négyjegyű szám van. A fentiekből adódik, hogy = 12 négyjegyű szám van, amely a feltételeknek eleget tesz.

6 200 Vác, Németh László u. 4-. : /fax: OSZTÁLY 1.) Egy radír, három ceruza és négy golyóstoll 900 forint. Két radír, egy ceruza és két golyóstoll 2100 forint. Három radír és négy ceruza 400 forinttal olcsóbb, mint két golyóstoll. Mennyibe kerül egy ceruza, egy radír, illetve egy golyóstoll külön-külön? Mérleg készítésével próbálkozunk. Jelölje R, C, illetve G a radír, a ceruza, illetve a golyóstoll egységárát. A következő mérlegeket készítjük el: R C 4G 900 (1) 2R C 2G 2100 (2) R 4C 400 2G () Az (1) és (2) mérlegek tartalmát összeadva adódik, hogy: R 4C G 000 (4) Ezt összehasonlítva a () mérleg tartalmával adódik, hogy: 8 G 400 () Tehát a golyóstoll egységára 400 :8 800 forint. Így az (1) és (2) mérlegek tartalma a következőképpen alakul: R C 700 () 2 R C 00 (7) Megkétszerezve a () mérleg tartalmát kapjuk, hogy: 2 R C 1400 (8) Összehasonlítva a (7) és (8) mérleg tartalmát, kapjuk, hogy: C 900 (9) Tehát a ceruza egységára 900 : 180 forint. Így a () mérlegből kiindulva adódik, hogy a radír egységára forint. 2.) Zsugori Úr a havi jövedelmének egy heted részét és még 000 forintot élelemre költi. A fennmaradó pénzösszeg két ötöd részénél 1200 forinttal kevesebbet költ a rezsiköltségek kifizetésére. A maradék kétheted részét és még 00 forintot egyéb kiadásokra fordítja. Így hónap végén boldogan állapítja meg, hogy megmaradt 00 forintja. Mennyi a Zsugori Úr havi jövedelme? A visszafelé következtetés módszerével dolgozunk.

7 A rezsiköltségek kifizetése után megmaradt pénz ötheted részét képezi az forint. Tehát a rezsiköltségek kifizetése után Zsugori Úrnak 0000 : forintja maradt. 7 Az élelemre szánt pénzösszeg elkülönítése után maradt pénz háromötöd részét képezi a forint. Tehát az élelemre szánt pénz elkülönítése után : forintja maradt. A havi jövedelem részét képezi a forint. Tehát a Zsugori Úr havi 7 jövedelme : 1400 forint. 7.) Csaba pénztárcájában 0 forintos és 100 forintos érmék voltak, összesen 212 érme. Elköltötte az 0 forintos érméknek a felét, valamint megduplázta a 100 forintos érmék számát. Ezen kívül még szerzett 28 darab 100 forintost. Így a mostani pénze az eredetinek a másfélszeresét éri. Mennyi 0 forintos, illetve 100 forintos érméje volt kezdetben külön-külön? Csabának kezdetben x darab 0 forintos és 212 x darab 100 forintos érméje volt, ezeknek az értéke összesen 0 x x x forint. Mivel elköltötte az 0 forintos érméknek a felét, valamint megduplázta a 100 forintos érmék számát, és ezen kívül még szerzett 28 darab 100 forintost, így most az 0 forintosok száma 2 x, míg a 100 forintosoké x x 28. Ezeknek az értéke összesen x x 2 forint. Mivel a mostani pénze az eredetinek a másfélszerese, ezért felírhatjuk a következő egyenletet: 1, x x Az egyenlet megoldása x 14, tehát Csabának eredetileg 14 darab 0 forintos és darab 100 forintos érméje volt. 4.) Hány olyan ötjegyű természetes szám van, amelyben a számjegyek szorzata megegyezik a számjegyek összegével? Válasszuk szét az eseteket! Az 1, 1, 1,, számjegyekkel 10 természetes szám írható fel (a nevezőben lévő szorzatok azért szerepelnek, mert a három darab 1-es 2 1 -szor, és a két darab -as szer szerepel ugyanazon a helyen más sorrendben, vagyis a szám ugyanaz). Az 1, 1, 2, 2, 2 számjegyekkel az előzőekhez hasonlóan szintén 10 természetes szám írható fel. Az 1, 1, 1, 2, számjegyekkel = 20 természetes szám írható fel. 2 1 Tehát összesen 40 olyan ötjegyű természetes szám van, amelyben a számjegyek szorzata megegyezik a számjegyek összegével.