KÉSZÍTSÜNK ÁBRÁT évfolyam

Átírás

1 Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u : /fax: WEB: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/ feladatsor évfolyam KÉSZÍTSÜNK ÁBRÁT A feladatmegoldások során az ábrák használata sokszor nélkülözhetetlen a matematika nagyon sok területén. Ilyen módon gyakran használhatók különböző ábrázolási formák a szöveges feladatok megoldásakor a különböző aritmetikai módszerek alkalmazása során, fontos segédeszközt jelentve a feladatmegoldó számára. Kezdetben az ábra lehetőséget teremt a feladat szövegének jobb megértésére, az adatok közötti összefüggések feltárására. Belőle kiindulva sokkal könnyebben megalkothatjuk a feladatmegoldási algoritmust, jobban átlátjuk a feladat megoldásának lépéseit. Az aritmetikai feladatok esetében az ábra egy olyan rajz, amely sematikusan ábrázolja a feladat minél több adatát: az ismeretlen mennyiségeket, illetve az adatok közötti kapcsolatot. Az aritmetikában gyakran használjuk a szakaszos ábrázolás módszere kifejezést is. A továbbiakban néhány ilyen jellegű példát mutatunk be. Mintapéldák 1.) Négy szám összege Az első szám 2-vel nagyobb a másodiknál, a harmadik szám pedig a második harmadrésze. A negyedik 3-mal nagyobb, mint az első. Melyek ezek a számok? A négy számot sorrendben a következő szakaszokkal ábrázoljuk: Amint a fentiekből kitűnik, a harmadik számot egy szakasszal jelöltük, így a feladatban szereplő összefüggéseket figyelembe véve felvehettük a többi számnak megfelelő szakaszokat is. Felvetődik a kérdés, hogy milyen számot írjunk a kérdőjel helyébe ahhoz, hogy a négy szám összege 2007 legyen? Látható, hogy tíz kérdőjellel ellátott szakasz összesen = 2400 at jelent. Ezért egy kérdőjel helyébe 2400: 10 = 240 kerül. Tehát a harmadik szám 240, a második szám = 720, az első szám = 722, a negyedik szám pedig = 725.

2 2.) Egy farmon tehenek, lovak és disznók vannak, összesen 1000 állat. Ha még hoznánk 80 lovat és eladnánk 30 disznót, akkor a tehenek száma 250-nel lenne több a lovak számánál és kétszer annyi ló lenne, mint disznó. Hány tehén, ló, illetve disznó van a farmon különkülön? Kezdetben hozzunk még 80 lovat és adjunk el 30 disznót, így a farmon összesen = 1050 állat lesz. Ezáltal a tehenek száma 250-nel több a lovak számánál és kétszer annyi ló van, mint disznó. Tehát elkészíthetjük a következő ábrát: Az ábra alapján egy ismeretlen szakaszra ( ) 5 = 160 kerül. Tehát az ábra szerint a disznók száma 160, a lovak száma = 320, míg a tehenek száma = 570. Viszont az ábra készítése előtt gondolatban még hoztunk 80 lovat és eladtunk 30 disznót. Tehát valójában a lovak száma = 240, míg a disznóké = ) Három szám összege 225. Ha az első számból 3-at kivonunk, a másodikhoz 3-at adunk és a harmadik számot 3-mal elosztjuk, ugyanazt a számot kapjuk. Melyik ez a három szám? A következő ábrán a kérdőjellel ellátott szakaszok jelképezik a műveletek elvégzése után kapott egyenlő számot. Eredetileg az első szám 3-mal több, a második 3-mal kevesebb, míg a harmadik 3-szor több volt, amint az alábbiakban láthatjuk: Amennyiben a második számnál szaggatott vonallal jelzett hiányt az első számnál lévő 3-as többlettel pótoljuk, akkor öt darab egyforma (kérdőjellel ellátott) szakaszt kapunk. Ezek összesen a három szám összegét, vagyis 225-öt jelentenek. Így egy szakasz 225: 5 = 45 öt jelent. Tehát az első szám = 48, a második szám 45 3 = 42, míg a harmadik szám 45 3 = 135.

3 4.) Egy dobozban fehér és piros golyók vannak. A fehér golyók száma a pirosaknak az hatszorosa. Ha betennénk még 43 piros golyót és kivennénk 86 fehéret, akkor a fehér golyók száma a piros golyók számának a kétszerese lenne. Mennyi piros, illetve fehér golyó van a dobozban külön-külön? A fehér, illetve piros golyók számát az alábbi ábra szemlélteti: Belátható, hogy kétszer annyi fehér golyót vettünk el, mint amennyi piros golyót még betettünk a dobozba. Továbbá azt is láthatjuk, hogy az ábrán a fehér golyóktól két szakaszt elvéve és a pirosakhoz egy szakaszt hozzátéve a következőket kapjuk: Tehát a szakaszok közötti viszony alapján látható, hogy a fehér golyók száma a pirosaknak a kétszerese lett. Vagyis a dobozból kivett 86 fehér golyó az ábrán két szakasznak, míg a dobozba betett 43 piros golyó egy szakasznak felel meg. Tehát az ábrán minden szakaszra a 43-as szám kerül. Így a dobozban kezdetben 43 piros és 6 43 = 258 fehér golyó van. Gyakorló feladatok 1.) Katiék egy almafáról összesen 3 láda almát szedtek le. Az első ládában 12 kg-mal több alma van, mint a másodikban. A harmadikban 18 kg-mal több van, mint a másodikban. Összesen 129 kg almát szedtek. Hány kg alma van az egyes ládákban külön-külön? 2.) Két szám különbsége 76. Ha az elsőt elosztjuk a másodikkal, akkor a hányados 8 és a maradék 6. Melyik ez a két szám? 3.) Bontsuk fel a 756-ot négy szám összegére úgy, hogy ha az első számhoz hozzáadunk 5-öt, a második számból elveszünk 5-öt, a harmadik számot megszorozzuk 5-tel, a negyedik számot pedig 5-tel osztjuk, akkor ugyanazt a számot kapjuk! 4.) Egy anya kilencszer idősebb a lányánál. 5 év múlva már csak négyszer olyan idős lesz, mint a lánya. Hány évesek most?

4 Kitűzött feladatok 1.) Egy kertből 550 kg zöldséget gyűjtöttek be: háromszor több krumplit, mint répát, és 50 kgmal több káposztát, mint répát. Hány kg-ot gyűjtöttek be az egyes zöldségekből? 2.) Három szám összege A második szám az elsőnek a háromszorosa. A harmadik szám a második kétszeresénél 106-tal nagyobb. Melyik ez a három szám? 3.) Három lakótelepen összesen 1750 lakos élt. Az első lakótelepről elköltözött 70 lakos, a második lakótelepre pedig költözött még 70 lakos. A harmadik lakótelepen a lakosok száma megháromszorozódott, így most mindhárom lakótelepen ugyanannyi lakos él. Hány lakos élt kezdetben az egyes lakótelepeken külön-külön? 4.) Egy gyárban hétszer annyi férfi dolgozott, mint nő. Érkezett még 60 férfi és 180 nő, így most a férfiak száma kétszerese a nők számának. Kezdetben hány férfi, illetve hány nő dolgozott a gyárban külön-külön? (A feladatok megoldásait kérjük, hogy kidolgozva, A/4 méretű papíron küldjék be. A versenyzők azonosítása miatt kérjük, hogy minden dolgozaton szerepeljen a következő 2 adat: NÉV, ÉVFOLYAM.) Beküldési határidő: Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.

5 Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u : /fax: WEB: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/ feladatsor évfolyam PRÍMSZÁMOK A számelmélet a természetes számok tulajdonságait tanulmányozza. Központi fogalma az oszthatóság. Prímszámnak nevezünk minden olyan természetes számot, melynek pontosan két különböző osztója van: 1 és önmaga. A legkisebb prímszám a 2 és ez az egyetlen páros prímszám. Gyakran használt trükk, hogy egy szám négyzete sohasem adhat 3-mal osztva 2 maradékot. Már Eukleidész bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám van, azaz a prímek 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, sorozatának sosincs vége. Prímszámokkal foglalkozunk az idei levelező verseny első fordulójában. Jó munkát az érdeklődőknek! Mintapéldák 1.) Lehet-e az első kilenc prímszámból 3x3-as bűvös négyzetet készíteni? (A bűvös négyzet olyan négyzet alakú számtáblázat, amelyben az egyes sorok, oszlopok és a két átló mentén álló számok összege egyenlő.) Nem lehet, mert abban a sorban amelyikben a 2-es áll, a számok összege páros, a többi sorban páratlan. 2.) Mutasd meg, hogy ha p és p² + 8 prímszámok, akkor p² + p + 1 is prímszám! Ha p > 3, akkor p² + 8 osztható 3-mal, ezért p² + 8 csak akkor lehet prím, ha p = 3. (Lásd a bevezetőben említett trükk -öt.) Ekkor p² + 8 = 11, ami prím és valóban p² + p + 1 = 13 is prím. 3.) Mely p és q prímszámokra lesz p + q és p² + q² - q is prímszám? Ha q páros, akkor négyzete is az, így q² - q is páros. Ha q páratlan, akkor négyzete is az, így q² - q páros lesz. Így tehát q² - q mindig páros, ezért p páratlan kell, hogy legyen, mert p² + q² - q csak így lehet prím. Ha p + q prím, akkor p vagy q páros. Mivel p a páratlan, ezért q a páros, ezért q = 2. Így p² + q² - q = p² + 2. Ha p > 3, akkor p² + 2 osztható 3-mal. Csak az lehet, hogy p = 3, q = 2, és akkor p + q = 5, p² + q² - q = 11 valóban prímek. 4.) Milyen p prímszámra lesz 2p + 1, 3p + 2, 4p + 3 és 6p + 1 mindegyike prím? Megfigyelhetjük, hogy tetszőleges p egészre a p, 2p + 1, 3p + 2, 4p + 3, 6p + 1 számok egyike osztható 5-tel. ( Ha p 5-tel osztva 0, 1, 2, 3, illetve 4 maradékot ad, akkor rendre 5-tel osztható p, 3p + 2, 2p + 1, 4p + 3, ill. 6p + 1.) Tehát, ha mind az öt szám prím, akkor az 5-tel oszthatónak 5-tel kell egyenlőnek lennie. Ha p = 5, akkor a többi szám 11, 17, 23, 31, ezek mindegyike prím. A többi esetben mindig lesz a számok között összetett, ezért csak p = 5 esetén lesz mind az öt szám prím.

6 Gyakorló feladatok 1.) Miért nem lehet két prímszám összege 2017? 2.) Igazold, hogy minden 3-nál nagyobb prímszámnak van 6-tal osztható szomszédja! 3.) Egy háromjegyű szám jegyeinek összege egy prím négyzete, a jegyek szorzata egy prímszám köbe. Melyik ez a szám? 4.) Az 1000-nél kisebb pozitív egész számok közül húzzuk ki azokat, amelyeknek valamelyik számjegye prímszám. Hány szám marad meg? Kitűzött feladatok 1.) Egy apa és két különböző korú kisgyerekének életkora ugyanannak a prímszámnak pozitív egész kitevős hatványai. Egy évvel ezelőtt mindhármuk életkora prímszám volt. Hány évesek most? 2.) Mely p és q prímszámokra lesz pq 1 és pq + 1 is prímszám? 3.) Oldd meg a prímszámok körében a 2x + 3y + 6z = 78 egyenletet! 4.) Számítsd ki azon háromjegyű számok összegét, melyek négy különböző prímszám szorzataként írhatók fel! (A feladatok megoldásait kérjük, hogy kidolgozva, A/4 méretű papíron küldjék be. A versenyzők azonosítása miatt kérjük, hogy minden dolgozaton szerepeljen a következő 2 adat: NÉV, ÉVFOLYAM.) Beküldési határidő: Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.