Matematika 7. osztály

Átírás

1 ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály III. rész: Számelmélet Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018

2 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész: Számelmélet Osztó, többszörös Oszthatóság tulajdonságai Oszthatósági szabályok Feladatok Feladatok Prímtényezős felbontás Prímtényezős felbontás alkalmazásai Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Feladatok Feladatok Műveletek maradékokkal Műveletek maradékokkal Számrendszerek Feladatok Feladatok Vegyes gyakorlati feladatok Feladatok Feladatok Dolgozatírás

3 20. óra. Osztó, többszörös óra Osztó, többszörös Megjegyzés. Mostantól csak az egész számok halmazával foglalkozunk. Def. Legyen a, b Z. Az a szám osztója b számnak, ha létezik olyan c egész szám, hogy a c = b. Jele: a b Megjegyzés. a b c Z, hogy a c = b. 1. Feladat. Igaz, vagy hamis? a. ) 1 42 b. ) 2 6 c. ) 3 12 d. ) 2 5 e. ) 3 10 f. ) 4 2 g. ) h. ) 2 6 i. ) 3 7 Def. Egy szám többszöröseit egy c Z számmal történő szorzással kapjuk. 2. Feladat. Határozzuk meg 3 többszöröseit. Állítás. A b többszöröse a-nak, az pont ugyanazt jelenti, mint hogy a osztója b-nek. 3. Feladat. Írjuk fel 10 hatványainak többszörösei segítségével az alábbi számokat: 400, 2424, 56413, Def. Azokat a pozitív egész számokat, melyeknek pontosan két pozitív osztója van, prímszámoknak nevezzük. P = {2; 3; 5; 7...} Def. Azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek több, mint két pozitív osztójuk van, összetett számoknak nevezzük. Megjegyzés. Az 1 nem prímszám és nem is összetett szám. Def. Ikerprímnek két olyan prímszám együttesét nevezzük, amelyek 2-vel térnek el egymástól: például 5 és Feladat. Határozzuk meg azokat a különböző p, q, r prímszámokat, amelyekre teljesül, hogy p + r + q = Házi feladat. Határozzuk meg 3n + 2 értékét attól függően, hogy n melyik számhalmazból való! 20. Szorgalmi. Van-e olyan prím, amire p+2; p+15 vagy p+19 is prím?

4 óra. Oszthatóság tulajdonságai 21. óra Oszthatóság tulajdonságai Állítás. Az oszthatóság tulajdonságai minden a, b, c egész szám esetén: 1. a a 2. 1 a 3. a 0 4. a b = a bc 5. a b és b c = a c 6. a b és a c = a b + c 7. a b + c és a b = a c 8. a b és a c = a b + c Állítás. Az oszthatóság tulajdonságai minden a, b pozitív egész szám esetén: 1. a b és b a = a = b 2. a b = a b 5. Feladat. Tudjuk, hogy a b és a bc. Igaz-e, hogy a c? 21. Házi feladat. 4 különböző egész szám összege osztható 4-gyel. Lehet-e, hogy a. ) egyik sem osztható 4-gyel. b. ) egyik osztható 4-gyel, a többi nem. c. ) kettő osztható 4-gyel, a többi nem. d. ) három osztható 4-gyel, a többi nem. e. ) mind a négy osztható 4-gyel. 21. Szorgalmi. Döntsük el azt, hogy az alábbi számok közül melyik melyiknek osztója. Találjunk ki egy hatékony jelölést is! 0; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 24; 32; 128; 256; 342; 4032; 5472

5 22. óra. Oszthatósági szabályok óra Oszthatósági szabályok Állítás. Az oszthatósági szabályok 0-tól 20-ig. A nulla egyedül a nullának osztója. Az 1 minden számnak osztója. 2-vel azok a számok oszthatók, amelyeknek utolsó számjegye 0; 2; 4; 8 vagy 8. A 3-mal számok osztható számok számjegyeinek összege osztható 3-mal. Egy szám osztható 4-gyel, ha utolsó 2 jegyéből képzett szám is osztható 4-gyel. Azok a számok oszthatók 5-tel, amelyeknek utolsó számjegye 0 vagy 5. Azok a számok oszthatók 6-tal, amelyek 2-vel és 3-mal is oszthatóak. A 7-tel való oszthatóság megállapításához a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonjuk az utolsó jegy dupláját és ezt ismételjük. Azok a számok oszthatók 8-cal, amelyeknek az utolsó 3 számjegyéből képzett háromjegyű szám is osztható 8-cal. Azok a számok oszthatók 9-cel, amelyeknek jegyeinek összege is osztható 9-cel. Azok a számok oszthatók 10-zel, amelyek 0-ra végződnek. 11-gyel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonom az utolsó számjegyet. Azok a számok oszthatók 12-vel, amelyek 4-gyel és 3-mal is oszthatóak. 13-mal úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadjuk az utolsó jegy 4-szeresét. Azok a számok oszthatók 14-gyel, amelyek 2-vel és 7-tel is oszthatóak. Azok a számok oszthatók 15-tel, amelyek 3-mal és 5-tel is oszthatóak. Azok a számok oszthatók 16-tal, amelyeknek utolsó négy számjegyéből képzett négyjegyű szám is osztható 16-tal 17-tel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonjuk az utolsó számjegy ötszörösét. Azok a számok oszthatók 18-cal amelyek 2-vel és 9-cel is oszthatóak.

6 óra. Oszthatósági szabályok 19-cel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadjuk az utolsó jegy kétszeresét. Azok a számok oszthatók 20-szal, amelyeknek az utolsó két számjegyükből képzett két jegyű szám is osztható 20-szal. 6. Feladat. Melyek oszthatók 2-vel, 3-mal, 5-tel, 6-tal vagy 11-gyel? a. ) 352 b. ) c. ) d. ) e. ) f. ) Feladat. Melyek oszthatók 4-gyel, 8-cal, 9-cel, 12-vel illetve 25-tel? a. ) b. ) c. ) d. ) e. ) f. ) Házi feladat. Írjuk fel logikusan rendezve a 8-cal osztható 3jegyű számokat! 22. Szorgalmi. Írjuk fel logikusan rendezve a 16-tal osztható négyjegyű számokat! Fogalmazzuk meg minél egyszerűbben a kapott számok tulajdonságait!

7 23. óra. Feladatok óra Feladatok 8. Feladat. Mi kerülhet az ismeretlenek helyére? a. ) 9 2a3 b. ) 3 5b31 c. ) 6 6b42 d. ) 5 4x3y e. ) 12 5x3y4 f. ) 45 6x53y g. ) 30 52x3y h. ) 15 3x4y i. ) 36 3c72d 23. Házi feladat. Határozzuk meg a következő számok esetén a 3-mal, 4-gyel, 5-tel és 9-cel vett osztási maradékokat! a. ) 7 b. ) b c. ) 14 d. ) 216 e. ) 1848 f. ) 2009 g. ) h. ) i. ) Szorgalmi. 45 A = 3a72b és 36 B = 3c72d, lehet-e, hogy A = B?

8 óra. Feladatok 24. óra Feladatok 9. Feladat. Írjunk fel általános alakban öt egymást követő a. ) természetes számot; b. ) páros számot; c. ) páratlan számot. 10. Feladat. Az 100! végén hány 0 áll? 11. Feladat. Milyen számjegyet írhatunk x helyére, hogy a 137 és a 34x számok összege osztható legyen 9-cel? 12. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő pozitív egész szám szorzata osztható 6-tal. 13. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy négy egymást követő pozitív egész szám szorzata osztható 24-gyel. 14. Feladat. Mutasd meg, hogy és Feladat. Hány olyan háaromjegyű száam van, melyben a számjegyek összege 15, és a szám osztható 15-tel? 24. Házi feladat. Mennyi nulla van az 1000! végén? 24. Szorgalmi. Milyen számjegyeket kell írni a X helyérére, hogy teljesüljön az alábbi: 72 32X35717X

9 25. óra. Prímtényezős felbontás óra Prímtényezős felbontás Def (Prímfaktorizáció). Egy módszer, melynek segítségével a számokat prímszámok szorzatára bontjuk. Lépései a következő: Ha a szám prímszám, akkor készen vagyunk. Összetett számnál: megnézzük osztható-e p 1 -gyel. Ha igen, akkor felvesszük p 1 - et a listára és megnézzük hányszorosa p 1 -nek a szám. Ez lesz az új számunk és kezdjük előről. Ha nem osztható lépünk p 2 -re míg 1-et nem kapunk. 16. Feladat. Bontsuk prímtényezők szorzatára 504-et, 1430-at és at! Def (Kanonikus alak). A számokat prímtényezők szorzatára bontjuk és a prímszámok felső indexébe beírjuk, hogy hányszor volt osztható a szám az adott prímmel. N = p α 1 1 p α 2 2 p α Tétel (A számelmélet alaptétele:). Minden természetes számnak egyértelműen létezik kanonikus alakja. Tehát minden 1-nél nagyobb természetes szám felbontható - a szorzótényezők sorrendjétől eltekintve - egyféleképpen prímszámok szorzatára. 17. Feladat. Készítsük el az alábbi számok kanonikus alakját! a. ) 90 b. ) 85 c. ) d. ) 875 e. ) 2625 f. ) 187 g. ) 323 h. ) 391 i. ) 1840 j. ) Házi feladat. Befejezni és egy 6 jegyű szám kanonikus alakját felírni. 25. Szorgalmi. Elgondolkodni azon, hogy negatív számok esetén a kanonikus alak hogy nézhet ki. Milyen problémákkal szembesülünk?

10 óra. Prímtényezős felbontás alkalmazásai 26. óra Prímtényezős felbontás alkalmazásai 18. Feladat. Határozzuk meg a 17. feladatban szereplő számok összes osztóját. Állítás. Legyen adott az N szám kanonikus alakban: N = p α 1 1 p α 2 2 p α Ekkor az N szám összes pozitív osztóinak száma: Φ(N) = (α 1 + 1) (α 2 + 1) (α 3 + 1) Feladat. Határozzuk meg az alábbi számok pozitív osztóinak számát! 26. Házi feladat. 26. Szorgalmi.

11 27. óra. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös óra Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös 20. Feladat. Egyszerűsítsük az alábbi törteket! a. ) = b. ) = c. ) = Def (LNKO). Az a és b pozitív szám közös osztói közül a legnagyobbat az a és b legnagyobb közös osztójának nevezzük. Jele: (a; b) Állítás. A legnagyobb közös osztó meghatározásakor a számok kanonikus alakjából a prímtényezőket a kisebbik kitevőn véve összeszorozzuk. Def (Relatív prím). Azokat a számokat, melyeknek legnagyobb közös osztójuk 1, relatív prímeknek nevezzük. Jele: (a; b) = Feladat. A busz 15 percenként, a vonat 20 percenként indul. Reggel 6-kor egy busz és egy vonat elindult egyszerre. Hány perc múlva indulnak ismét egyszerre? Def (LKKT). Az a és b pozitív szám közös többszörösei közül a legkisebbet az a és b legkisebb közös többszörösének nevezzük. Jele: [a; b] Állítás. A legkisebb közös többszörös meghatározásakor a számok kanonikus alakjából a prímtényezőket a nagyobbik kitevőn véve összeszorozzuk. Állítás. Legyenek a és b pozitív egész számok. Igazoljuk az alábbi összefüggést: (a, b) [a, b] = a b 22. Feladat. Számítsuk ki a 20. feladatban szereplő számok legkisebb közös többszörösét és ellenőrizzük az összefüggés segítségével! 23. Feladat. Írjuk fel az alábbi számok LNKO-ját és LKKT-jét és ellenőrizzük! a. ) 16; 28 b. ) 45; 150 c. ) 105; 180 d. ) 12; 24 e. ) 30; 75; 630 f. ) 187; 323; Házi feladat. Befejezni a maradék feladatokat! 27. Szorgalmi. Keress olyan a és b számokat, amelyre [a; b] = a + b

12 óra. Feladatok 28. óra Feladatok 24. Feladat. Egy kikötőben január 3-án együtt van 4 hajó. Az első négyhetente, a második nyolchetente, a harmadik 12 hetente és a negyedik 16 hetente tér vissza a kikötőbe. Találkoznak-e még 2018-ban mind a négyen? 25. Feladat. Egy kerékpár nagyobb fogaskerekén 35 fog, a kisebbiken 15 fog van. Hányszor kell a pedált körbeforgatni, hogy mindkét fogaskerék a kiindulási helyzetbe kerüljön vissza? 26. Feladat. Három futó egyszerre indul a versenypályán. Az első 62 s alatt, a második 63 s, a harmadik 66 s alatt tesz meg egy kört. Voltak-e az indulás helyén egyszerre, ha tudjuk, hogy a győztes 44 perc 6 másodperces idővel nyert? 27. Feladat. Az országút egyik oldalát fasor szegélyezi, a fák 12 méterenként állnak. A másik oldalon villanypóznák állnak 75 méterenként. Egy bizonyos helyen az út két oldalán egymással szemben áll egy oszlop és egy fa. Milyen távolságonként ismétlődik meg ez a találkozás? 28. Feladat. Tudjuk, hogy (a, b) = 1. Mi lehetett a és b, ha tudjuk, hogy: a. ) [a; b] = b. ) [a; b] = c. ) [a; b] = Házi feladat. Milyen a, b N-re teljesül, hogy (a; b) = 26 és [a; b] = 4784? 28. Szorgalmi. Határozzuk meg az a, b, c > 0 számokat, melyekre teljesül, hogy: (a; b; c) = 4 és [a; b; c] = 240

13 29. óra. Feladatok óra Feladatok 29. Feladat. Számítsuk ki az alábbiakat! a. ) [123; 126] = b. ) (899; 1147) = c. ) (945; 1386; 1701) = d. ) [1188; 1368] = 30. Feladat. Határozzuk meg az x értékét! a. ) (x; 80) = 80 b. ) (x; 60) = 15 c. ) [x; 16] = 48 d. ) (x; 20) = Feladat. Egyszerűsítsük az alábbi törteket! a. ) = b. ) = c. ) = d. ) = 29. Házi feladat. Végezzük el az alábbi műveleteket számológép használata nélkül! a. ) = b. ) = c. ) = 29. Szorgalmi. Határozzuk meg azokat az a és b természetes számokat, és azt a p prímszámot, melyre teljesül a következő egyenlőség: [a; b] + (a; b) = a + b + p

14 óra. Műveletek maradékokkal 30. óra Műveletek maradékokkal 32. Feladat. Hányan járhatnak az iskolába, ha tudjuk, hogy diákok hatosával, hetesével, nyolcasával vagy tízesével állnak sorba, mindig 3 tanuló marad ki? 33. Feladat. Legyen a = , b = 5032 és c = Határozzuk meg a következő számok 2-es, 3-as, 5-ös és 11-es maradékait, a műveletek elvégzése nélkül! a. ) a + b b. ) a + b + c c. ) c b d. ) 3 b e. ) a b f. ) b c 34. Feladat. Az n N szám 7-tel osztva 5 maradékot ad. A k N szám 7-tel osztva 3 maradékot ad. Mennyi maradékot adnak 7-tel osztva a következő algebrai kifejezések: a. ) n + k b. ) n k c. ) 2 n + 3 k d. ) 5 n 4 k e. ) n k f. ) n (k + 3) 35. Feladat. Mennyi maradékot kapunk, ha az alábbi számokat elosztjuk 3-mal, ha a kifejezésben szereplő betűk természetes számok? a. ) 3 a + 12 b. ) 6 a + 20 c. ) 9 a + 3 b + 2 d. ) 6 a + 3 b 1 e. ) (3 a + b) 2 b(b + 12) f. ) (2 a+3 b) 2 +a(2 a 3) 36. Feladat. Mi az utolsó számjegye az alábbi számoknak? a. ) b. ) c. ) d. ) e. ) f. ) g. ) h. ) i. ) Házi feladat. Befejezni a kimaradt feladatokat! 30. Szorgalmi. Mutassuk meg, hogy a, b Z legkisebb közös többszöröse kifejezhető az a és b lineáris kombinációjaként, vagyis ax + by alakban, ahol x, y Z.

15 31. óra. Műveletek maradékokkal óra Műveletek maradékokkal 37. Feladat. Mi az utolsó számjegye az alábbi számoknak? a. ) b. ) c. ) d. ) e. ) f. ) g. ) h. ) Feladat. Igazak, vagy hamisak az alábbi állítások? a. ) b. ) c. ) d. ) e. ) f. ) g. ) h. ) i. ) Házi feladat. Vajon a következő számok prímszámok, vagy összetett számok? a. ) b. ) c. ) Szorgalmi. Igaz-e, hogy 8 (2k + 1) 2 1, ahol k N?

16 óra. Számrendszerek 32. óra Számrendszerek 39. Feladat. Váltsuk át az alábbi számokat tízes számrendszerbe! a. ) f. ) k. ) p. ) b. ) g. ) l. ) q. ) c. ) h. ) m. ) r. ) B41 16 d. ) i. ) n. ) s. ) e. ) j. ) o. ) t. ) F F F F Házi feladat. Írj fel egy tetszőleges ötjegyű számot egy tetszőleges számrendszerben, mely nem a tízes és váltsd át tízes számrendszerbe! 32. Szorgalmi. Igaz-e, hogy = ?

17 33. óra. Feladatok óra Feladatok 40. Feladat. Írjuk át a számokat kettes, hármas, négyes és hetes számrendszerbe! a. ) 12 b. ) 64 c. ) 100 d. ) 321 e. ) 213 f. ) Házi feladat. Írjuk fel a számokat négyes, nyolcas, tizenhatos számrendszerben! a. ) d. ) A02 16 b. ) e. ) c. ) f. ) Szorgalmi. Melyik szám a nagyobb: vagy ?

18 óra. Feladatok 34. óra Feladatok 41. Feladat. Az szám milyen alapú számrendszerben írható 304 x alakban? 42. Feladat. Egy számrendszerben 4 2 = 20. Mennyi ebben a számrendszerben 5 2? 43. Feladat. Adjuk össze! Házi feladat. Milyen alapú számrendszerekben igazak az következő egyenlőségek? a. ) 12 x + 12 x = 30 x b. ) 17 x + 38 x = 54 x c. ) 89 x + 69 x = 103 x d. ) 100x 1 x = 11 x e. ) 12 x 7 x = 80 x f. ) 55 x : 13 x = 4 x 34. Szorgalmi. Hányszorosára nő egy hetes számrendszerbeli szám, ha a végére egy nullát írtunk? Hányszorosára nő kettő vagy több nulla esetén?

19 35. óra. Vegyes gyakorlati feladatok óra Vegyes gyakorlati feladatok 44. Feladat. Írjunk fel három olyan számot, melyek relatív prímek, de páronként nem. 45. Feladat. Hány olyan négyjegyű szám van, ami osztható a négy legkisebb prímszámmal és a négy legkisebb összetett számmal is? 46. Feladat. Melyik számrendszerben írható fel az szám 304 x alakban? 47. Feladat. Egy háromjegyű számnak tízes számrendszerben felírva minden számjegye megegyezik. Bizonyítsuk be, hogy osztható 37-tel! 48. Feladat. Van-e olyan g alapú számrendszer, amiben 46 g és 50 g egymást követő egész számok? 49. Feladat. Növekvő sorrendbe raktuk az 5-ös számrendszerbeli háromjegyű számokat. Melyik szám a hetedik? 50. Feladat. Józsi az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek egyszeri felhasználásval hatjegyű számokat alkotott, de nem talált közöttük egyetlen prímszámot sem. Miért? 35. Házi feladat. Melyik számrendszerben írható fel a 41 8 szám 201 x alakban? 35. Szorgalmi. Milyen alapú számrendszerben igaz az az alábbi művelet? 13 x 22 x = 1012 x

20 óra. Feladatok 36. óra Feladatok 51. Feladat. Adott a, b Z, amelyekre 13 2a + b és 13 5a 4b. Igaz-e, hogy 13 a 6b? 52. Feladat. Milyen számjegyre végződik a összeg? 53. Feladat. Igazoljuk, hogy minden n N esetén teljesülnek az alábbi azonosságok! a. ) n 1 b. ) n 1 c. ) n + 5 n 4, ahol n 1 d. ) 5 2 4n 1 e. ) 2 n 2 n f. ) 2 2n 4 n 3 + n 2 g. ) 57 7 x x x h. ) n + 18n Feladat. 11 darab egyenként 1; 2; 3; 4;...; 11 tömegű csomagot lehet-e egyenlő tömegű részekre bontani? 36. Házi feladat. Melyik szám a nagyobb: vagy ?

21 37. óra Feladatok 37. óra. Feladatok 21.

22 óra. Dolgozatírás 38. óra Dolgozatírás

23 Irodalomjegyzék 23. Irodalomjegyzék [1] Bartha Gábor - Bogdán Zoltán - Duró Lajosné dr. - Dr. Gyapjas Ferencné - Hack Frigyes - Dr. Kántor Sándorné, Dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjtemény I. [2] Nagy András: Számelméleti feladatgyűjtemény [3] Fazekas oktatási portál

24 24. Irodalomjegyzék Algebrai kifejezések Alapfogalmak Műveletek betűs kifejezésekkel Feladatok Helyettesítési érték Műveletek algebrai kifejezésekkel Műveletek algebrai kifejezésekkel Feladatok Feladatok Nevezetes azonosságok Nevezetes azonosságok Feladatok Feladatok Geometriai példák Feladatok Dolgozatírás Egyenletek Alapfogalmak Zárójel-felbontás Feladatok Ekvivalens átalakítások, mérleg-elv Feladatok Elsőfokú egyenletek Elsőfokú egyenletek Feladatok Feladatok Szöveges feladatok Szöveges feladatok Szöveges feladatok Vegyes feladatok Vegyes feladatok Összefoglalás Dolgozatírás Elemi geometria Geometriai alapfogalmak Szögek Szögpárok Feladatok Feladatok Távolság Feladatok Háromszögek Alapvető összefüggések Feladatok Feladatok Dolgozatírás Nevezetes vonalak, körök Nevezetes vonalak, körök Feladatok Thalesz-tétel Feladatok Négyszögek Négyszögek Feladatok Speciális négyszögek Feladatok Sokszögek Feladatok Feladatok Dolgozatírás Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk Feladatok Geometriai szerkesztések (alapfogalmak, alapszerkesztések) Háromszögek szerkesztése Vegyes szerkesztési feladatok Négyszögek szerkesztése Feladatok Dolgozatírás A terület fogalma Négyzet, téglalap területe Háromszög területe Feladatok Egyéb alakzatok területe Feladatok Dolgozatírás Kombinatorika Alapfogalmak Sorbarendezés, kiválasztás Vegyes feladatok Összeszámlálási módszerek Feladatok Vegyes feladatok Vegyes feladatok Összetett feladatok Feladatok Dolgozatírás Statisztika, valószínűség Adatok rendszerezése Feladatok Grafikonok, diagramok Feladatok Adatsokaságok jellemzői Feladatok Relatív gyakoriság A valószínűség Feladatok Dolgozatírás Függvények Alapfogalmak Sorozatok Feladatok Valós függvények, grafikon Lineáris függvény Feladatok Egyenes arányosság Feladatok Feladatok Dolgozatírás Év végi rendszerezés Vegyes gyakorló illetve versenyfeladatok Vegyes gyakorló illetve versenyfeladatok Vegyes gyakorló illetve versenyfeladatok Vegyes gyakorló illetve versenyfeladatok