Diszkrét matematika I.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Diszkrét matematika I."

Átírás

1 Diszkrét matematika I. középszint ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék ősz

2 Felhívás Diszkrét matematika I. középszint ősz 2. Szakirányválasztó fórum december 4-én. Jelentkezés november 26-ig: Bővebb információ: nagy

3 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 3. Lineáris diofantikus egyenletek Diofantikus egyenletek: egyenletek egész megoldásait keressük. Lineáris diofantikus egyenletek: ax + by = c, ahol a, b, c egészek. Ez ekvivalens az ax c (modb), by c (moda) kongruenciákkal. Az ax + by = c pontosan akkor oldható meg, ha (a, b) c, és ekkor a megoldások megkaphatók a bővített euklideszi algoritmussal. További diofantikus egyenletek: x 2 + y 2 = 4: nincs valós megoldás. x 2 4y 2 = 3: nincs megoldás, u.i. 4-gyel való osztási maradékok: x 2 3 (mod 4). De ez nem lehet, a négyzetszám maradéka 0 vagy 1: x x 2 mod 4 4k 0 4k k k + 3 1

4 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 4. Szimultán kongruenciák Szeretnénk olyan x egészet, mely egyszerre elégíti ki a következő kongruenciákat: } 2x 1 (mod 3) 4x 3 (mod 5) A kongruenciákat külön megoldva: Látszik, hogy x = 2 megoldás lesz! Vannak-e más megoldások? x 2 (mod 3) x 2 (mod 5) 2, 17, 32,...,2 + 15l; további megoldások? hogyan oldjuk meg az általános esetben: x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) } }

5 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 5. Szimultán kongruenciák Feladat: Oldjuk meg a következő kongruenciarendszert: a 1x b 1 (modm 1) a 2x b 2 (modm 2). a nx b n (modm n) Az egyes a i x b i (modm i ) lineáris kongruenciák külön megoldhatóak: x c 1 (modm 1) x c 2 (modm 2). x c n (modm n)

6 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 6. Szimultán kongruenciák Feladat: Oldjuk meg a következő kongruenciarendszert: x c 1 (modm 1) x c 2 (modm 2). x c n (modm n) Feltehető, hogy az m 1, m 2,..., m n modulusok relatív prímek: ha pl. m 1 = m 1 d, m 2 = m 2 d, akkor az első két sor helyettesíthető (biz.: később) x c 1 (modm 1) x c 1 (modd) x c 2 (modm 2) x c 2 (modd) Ha itt c 1 c 2 (modd), akkor nincs megoldás, különben az egyik sor törölhető.

7 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 7. Kínai maradéktétel Tétel Legyenek 1 < m 1, m 2,..., m n relatív prím számok, c 1, c 2,..., c n egészek. Ekkor az x c 1 (modm 1) x c 2 (modm 2). x c n (modm n) kongruenciarendszer megoldható, és bármely két megoldás kongruens egymással modulo m 1 m 2 m n.

8 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 8. Kínai maradéktétel x c 1 (modm 1 ), x c 2 (modm 2 ),..., x c n (modm n ). x =? Bizonyítás A bizonyítás konstruktív! Legyen m = m 1 m 2. A bővített euklideszi algoritmussal oldjuk meg az m 1 x 1 + m 2 x 2 = 1 egyenletet. Legyen c 1,2 = m 1 x 1 c 2 + m 2 x 2 c 1. Ekkor c 1,2 c j (modm j ) (j = 1, 2). Ha x c 1,2 (modm), akkor x megoldása az első két kongruenciának. Megfordítva: ha x megoldása az első két kongruenciának, akkor x c 1,2 osztható m 1 -gyel, m 2 -vel, így a szorzatukkal is: x c 1,2 (modm). Az eredeti kongruenciarendszer ekvivalens az x c 1,2 (modm 1m 2) x c 3 (modm 3). x c n (modm n) kongruenciarendszerrel. n szerinti indukcióval adódik az álĺıtás.

9 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 9. Szimultán kongruenciák x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) } Oldjuk meg az 3x 1 + 5x 2 = 1 egyenletet! Megoldások: x 1 = 3, x 2 = 2. c 1,2 = 3 ( 3) = = 7. Összes megoldás: { l : l Z}={8 + 15l : l Z}. x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 4 (mod 7) c 1,2=8 = x 8 (mod 15) x 4 (mod 7) } Oldjuk meg a 15x 1,2 + 7x 3 = 1 egyenletet! Megoldások: x 1,2 = 1, x 3 = 2. c 1,2,3 = ( 2) 8 = = 52. Összes megoldás: { l : l Z}={ l : l Z}.

10 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 10. Maradékosztályok Sokszor egy adott probléma megoldása nem egy konkrét szám (számok családja), hanem egy egész halmaz (halmazok családja): 2x 5 (mod 7), megoldások: {6 + 7l : l Z} 10x 8 (mod 22), megoldások: { l : l Z}, 10x 8 mod 22, megoldások: {3 + 22l : l Z}. Definíció Egy rögzített m modulus és a egész esetén, az a-val kongruens elemek halmazát az a által reprezentált maradékosztálynak nevezzük: a = {x Z : x a (modm)}={a + lm : l Z}. A 2x 5 (mod 7) megoldása: 6 A 10x 8 (mod 22), megoldásai: 14, 3. m = 7 modulussal 2 = 23 = {..., 5, 2, 9, 16, 23, 30,... } Általában: a = b a b (modm).

11 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 11. Maradékosztályok Definíció Egy rögzített m modulus esetén, ha minden maradékosztályból pontosan egy elemet kiveszünk, akkor az így kapott számok teljes maradékrendszert alkotnak modulo m. {33, 5, 11, 11, 8} teljes maradékrendszer modulo 5. Gyakori választás teljes maradékrendszerekre Legkisebb nemnegatív maradékok: {0, 1,..., m 1}; Legkisebb { abszolút} értékű maradékok: 0, ±1,..., ± m 1 { 2, ha 2 m; 0, ±1,..., ± m 2 2, } m 2, ha 2 m.

12 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 12. Maradékosztályok Megjegyzés: ha egy maradékosztály valamely eleme relatív prím a modulushoz, akkor az összes eleme az: (a + lm, m) = (a, m) = 1. Ezeket a maradékosztályokat redukált maradékosztályoknak nevezzük. Definíció Egy rögzített m modulus esetén, ha mindazon maradékosztályból, melyek elemei relatív prímek a modulushoz kiveszünk pontosan egy elemet, akkor az így kapott számok redukált maradékrendszert alkotnak modulo m. {1, 2, 3, 4} redukált maradékrendszer modulo 5. {1, 1} redukált maradékrendszer modulo 3. {1, 19, 29, 7} redukált maradékrendszer modulo 8. {0, 1, 2, 3, 4} nem redukált maradékrendszer modulo 5.

13 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 13. Maradékosztályok A maradékosztályok között természetes módon műveleteket definiálhatunk: Definíció Rögzített m modulus, és a, b egészek esetén legyen: a + b def = a + b; a b def = a b. Álĺıtás Ez értelmes definíció, azaz,ha a = a, b = b, akkor a + b = a + b, illetve a b = a b. Bizonyítás Mivel a = a, b = b a a (modm), b b (modm) a + b a + b (modm) a + b = a + b a + b = a + b. Szorzás hasonlóan.

14 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 14. Maradékosztályok A maradékosztályok között természetes módon műveleteket definiálhatunk: a + b = a + b; a b = a b. Definíció Rögzített m modulus esetén legyen Z m a maradékosztályok halmaza. Ekkor a halmaz elemei között definiálhatunk összeadást, illetve szorzást. Z 3 = {0, 1, 2} Z 4 = {0, 1, 2, 3}

15 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 15. Maradékosztályok Tétel Legyen m > 1 egész. Ha 1 < (a, m) < m, akkor a nullosztó Z m -ben: a-hoz van olyan b, hogy a b = 0 Ha (a, m) = 1, akkor a-nak van reciproka (multiplikatív inverze) Z m -ben: a-hoz van olyan x, hogy a x = 1. Speciálisan, ha m prím, minden nem-nulla maradékosztállyal lehet osztani. Legyen m = = 18 = 0. Legyen m = 8. (2, 9) = 1, így 2 5 = 10 = 1. Bizonyítás Legyen d = (a, m). Ekkor a m d = a d m 0 (modm), ahonnan b = m/d jelöléssel a b = 0. Ha (a, m) = 1, akkor a bővített euklideszi algoritmussal megadhatóak x, y egészek, hogy ax + my = 1. Ekkor ax 1 (modm) azaz a x = 1.

16 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 16. Euler-féle ϕ függvény Definíció Egy m > 0 egész szám esetén legyen ϕ(m) az m-nél kisebb, hozzá relatív prím pozitív egészek száma: ϕ(m) = {i : 0 < i < m, (m, i) = 1}. ϕ(5) = 4: 5-höz relatív prím pozitív egészek 1, 2, 3, 4; ϕ(6) = 2: 6-hoz relatív prím pozitív egészek 1, 5; ϕ(12) = 4: 12-höz relatív prím pozitív egészek 1, 5, 7, 11; ϕ(15) = 8: 15-höz relatív prím pozitív egészek 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. Megjegyzés: ϕ(m) a redukált maradékosztályok száma modulo m.

17 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 17. Euler-féle ϕ függvény ϕ(m) = {i : 0 < i < m, (m, i) = 1} Tétel (NB) Legyen m kanonikus alakja m = p α1 1 pα2 2 pα l l. Ekkor ϕ(m) = m l ) i=1 (1 1pi = l i=1 (pα i i p α i 1 i ). ϕ(5) = 5 ( 1 5) 1 = = 4; ϕ(6) = 6 ( ( 1 2) ) = ( )( ) = 2; ϕ(12) = 12 ( ( 1 2) ) = ( )( ) = 4; ϕ(15) = 15 ( ( 1 3) ) = ( )( ) = 8.

18 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 18. Euler-Fermat tétel Tétel Legyen m > 1 egész szám, a olyan egész, melyre (a, m) = 1. Ekkor a ϕ(m) 1 (modm). Következmény (Fermat tétel) Legyen p prímszám, p a. Ekkor a p 1 1 (modp), illetve tetszőleges a esetén a p a (modp). ϕ(6) = = 25 1 (mod 6); ϕ(12) = = (mod 12); 7 4 = (mod 12). Figyelem! 2 4 = (mod 12), mert (2, 12) = 2 1.

19 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 19. Euler-Fermat tétel bizonyítása Lemma Legyen m > 1 egész, a 1, a 2,..., a m teljes maradékrendszer modulo m. Ekkor minden a, b egészre, melyre (a, m) = 1, a a 1 + b, a a 2 + b,..., a a m + b szintén teljes maradékrendszer. Továbbá, ha a 1, a 2,..., a ϕ(m) redukált maradékrendszer modulo m, akkor a a 1, a a 2,..., a a ϕ(m) szintén redukált maradékrendszer. Bizonyítás Tudjuk, hogy aa i + b aa j + b (modm) aa i aa j (modm). Mivel (a, m) = 1, egyszerűsíthetünk a-val: a i a j (modm). Tehát a a 1 + b, a a 2 + b,..., a a m + b páronként inkongruensek. Mivel számuk m, így teljes maradékrendszert alkotnak. (a i, m) = 1 (a, m) = 1 (a a i, m) = 1. Továbbá a a 1, a a 2,..., a a ϕ(m) páronként inkongruensek, számuk ϕ(m) redukált maradékrendszert alkotnak.

20 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 20. Euler-Fermat tétel bizonyítása Tétel (Euler-Fermat) (a, m) = 1 a ϕ(m) 1 (modm). Bizonyítás Legyen a 1, a 2,..., a ϕ(m) egy redukált maradékrendszer modulo m. Mivel (a, m) = 1 a a 1, a a 2,..., a a ϕ(m) szintén redukált maradékrendszer. Innen ϕ(m) a ϕ(m) a j = Mivel j=1 ϕ(m) j=1 ϕ(m) j=1 a ϕ(m) 1 (modm). a a j ϕ(m) j=1 a j (modm). a j relatív prím m-hez, így egyszerűsíthetünk vele:

21 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 21. Euler-Fermat tétel Tétel (Euler-Fermat) (a, m) = 1 a ϕ(m) 1 (modm) Mi lesz a utolsó számjegye tizes számrendszerben? Mi lesz mod 10? ϕ(10) = = = ( 3 4) = 3 3 = 27 7 (mod 10) Oldjuk meg a 2x 5 (mod 7) kongruenciát! ϕ(7) = 6. Szorozzuk be mindkét oldalt 2 5 -nel. Ekkor x x (mod 7). És itt 5 25 = = 20 6 (mod 7). Oldjuk meg a 23x 4 (mod 211) kongruenciát! ϕ(211) = 210. Szorozzuk be mindkét oldalt nel. Ekkor x x (mod211). És itt (mod 211).

22 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 22. Gyors hatványozás Legyenek m, a, n pozitív egészek, m > 1. Szeretnénk kiszámolni a n mod m maradékot hatékonyan. Ábrázoljuk n-et 2-es számrendszerben: k n = ε i 2 i = (ε k ε k 1... ε 1 ε 0 ) (2), ahol ε 0, ε 1,..., ε k {0, 1}. i=0 Legyen n j (0 j k) az első j + 1 jegy által meghatározott szám: n j = n/2 k j = (ε k ε k 1... ε k j ) (2) Ekkor meghatározzuk minden j-re az x j a n j (modm) maradékot: n 0 = ε k = 1, x 0 = a. n j = 2 n j 1 + ε k j { x j = a ε k j x xj mod m = j 1 mod m, ha ε k j = 0 axj 1 2 mod m, ha ε k j = 1 x k = a n mod m. Az algoritmus helyessége az alábbi formulábol következik (Biz.: HF): a n = a k k i=0 ε i 2 i = (a ) ε i 2i i=0

23 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 23. Gyors hatványozás Mi lesz mod 10? (Euler-Fermat 7) 111 (10) = (2) itt k = 6, a = 3, m = 10. j n j x j =a ε k j x 2 j 1 x j mod x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 =

24 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 24. Gyors hatványozás Oldjuk meg a 23x 4 (mod 211) kongruenciát! Euler-Fermat x (mod 211). Mi lesz mod 211? 209 (10) = (2) itt k = 7, a = 23. j n j x j =a ε k j x 2 j 1 x j mod x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 6 = x (mod 211).

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 11. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Kongruenciák. Waldhauser Tamás Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok 2

Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

illetve a n 3 illetve a 2n 5

illetve a n 3 illetve a 2n 5 BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok 2 H406 2016-09-13,15,18 Wettl Ferenc

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Waldhauser Tamás december 1.

Waldhauser Tamás december 1. Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.

2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója. Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s

2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

Waldhauser Tamás. Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.

Waldhauser Tamás. Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb. BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2014 őszi félév) Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alapvető tulajdonságai

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Diszkrét matematika I. Vizsgaanyag Készítette: Nyilas Árpád Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 2 Bizonyítások 1)

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

SZÁMELMÉLETI FELADATOK

SZÁMELMÉLETI FELADATOK SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL

NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL SZAKDOLGOZAT Készítette: Farkas Mariann Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Pappné Dr. Kovács Katalin, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra. 1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom? Definíciók, tételkimondások Mondjon legalább három példát predikátumra. Sorolja fel a logikai jeleket. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? Hogyan kapjuk a logikai formulákat? Mikor van egy változó egy

Részletesebben

2017, Diszkrét matematika

2017, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 10. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a prímszámtétel prímszámok,

Részletesebben

1. Egészítsük ki az alábbi Python függvényt úgy, hogy a függvény meghatározza, egy listába, az első n szám faktoriális értékét:

1. Egészítsük ki az alábbi Python függvényt úgy, hogy a függvény meghatározza, egy listába, az első n szám faktoriális értékét: Az írásbeli vizsgán, az alábbiakhoz hasonló, 8 kérdésre kell választ adni. Hasonló kérdésekre lehet számítani (azaz mi a hiba, egészítsük ki, mi a függvény kimeneti értéke, adjuk meg a függvényhívást,

Részletesebben

Data Security: Public key

Data Security: Public key Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Megjegyzés: az üres kérdések az eredetileg tervezett tematika szerint lettek. akartam felborítani, hogy egységesen lehessen hivatkozni a kérdésekre.

Megjegyzés: az üres kérdések az eredetileg tervezett tematika szerint lettek. akartam felborítani, hogy egységesen lehessen hivatkozni a kérdésekre. Definíciók, tételkimondások Megjegyzés: az üres kérdések az eredetileg tervezett tematika szerint lettek volna, de nem volt róluk szó órán, ezért kikerültek. A számozást már nem akartam felborítani, hogy

Részletesebben

KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK

KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK KLASSZIKUS ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET FELADATOK (a rutinfeladatokat O jelzi) Leképezések, relációk 1. feladat O Adja meg az A = {2, 3, 8, 9, 14, 15, 19, 26} alaphalmazon értelmezett ekvivalenciarelációhoz

Részletesebben

Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb.

Jelölés. Az egyszerűség kedvéért (a, b) ρ helyett gyakran azt írjuk, hogy aρb. BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE vázlat az előadáshoz (2013 őszi félév Waldhauser Tamás 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, rímfaktorizáció az egész számok körében Az oszthatósági reláció alavető tulajdonságai

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

2018, Diszkre t matematika. 8. elo ada s

2018, Diszkre t matematika. 8. elo ada s Diszkre t matematika 8. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 11. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? legnagyobb közös

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Diszkrét matematika I. bizonyítások

Diszkrét matematika I. bizonyítások Diszkrét matematika I. bizonyítások Készítette: Szegedi Gábor SZGRACI.ELTE DYDHMF (http://szegedigabor.web.elte.hu) Burcsi Péter tanár úr előadása alapján készült 2010-2011. őszi félév 1. Fogalmazza meg

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék.

Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék. Kriptográfia és Információbiztonság 8. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2018 Miről volt szó az elmúlt előadáson? az RSA titkosító

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész

Részletesebben

A permutáció fogalma. Ciklusfelbontás. 1. feladat. Számítsuk ki S 6 -ban a πρ, ρπ, π 1 és π 2014 permutációkat, ahol

A permutáció fogalma. Ciklusfelbontás. 1. feladat. Számítsuk ki S 6 -ban a πρ, ρπ, π 1 és π 2014 permutációkat, ahol A permutáció fogalma 11 Definíció Permutációnak nevezzük egy nemüres véges halmaz önmagára való bijektív leképezését 12 Definíció Az {1, 2,, n} halmaz összes permutációi csoportot alkotnak a leképezésszorzás

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok

Bevezetés az algebrába az egész számok Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók

Részletesebben

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Matematika 7. osztály

Matematika 7. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály III. rész: Számelmélet Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III.

Részletesebben

RSA algoritmus. Smidla József. Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem

RSA algoritmus. Smidla József. Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem RSA algoritmus Smidla József Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem 2012. 3. 27. Smidla József (RSZT) RSA algoritmus 2012. 3. 27. 1 / 29 Tartalom 1 Aszimmetrikus kódolók 2 Matematikai alapok

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Waldhauser Tamás szeptember 8.

Waldhauser Tamás szeptember 8. Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. szeptember 8. Tematika Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak. Moivre-képlet, gyökvonás, egységgyökök, egységgyök rendje, primitív egységgyökök.

Részletesebben

4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények

4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények 4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények Igazolásában, Út az Algebrai Számelmélet felé 4.1. Maradékosztálygyűrűk egységcsoportjai szerkezete. Jelölés. Tetszőleges n > 1 egészre jelölje U n a Z n maradékosztálygyűrű

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 9. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Halmazok Diszkrét

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok

Részletesebben

Más szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy. Más szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy.

Más szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy. Más szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy. Bevezetés 1. Definíció. Az alsó egészrész függvény minden valós számhoz egy egész számot rendel hozzá, éppen azt, amely a tőle nem nagyobb egészek közül a legnagyobb. Az alsó egészrész függvény jele:,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet. 1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA 2

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KÉRDÉSEK Készítette: Molnár Krisztián (MOKOABI.ELTE) Aktualizálva: 2011. június 28. (1.) Mely tétel alapján számolhatjuk ki véges sok egész szám legnagyobb közös osztóját prímfelbontás

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

VIZSGATEMATIKA Diszkrét Matematika BSC A szakirány, I. évfolyam 2016/2017 őszi szemeszter

VIZSGATEMATIKA Diszkrét Matematika BSC A szakirány, I. évfolyam 2016/2017 őszi szemeszter VIZSGATEMATIKA Diszkrét Matematika BSC A szakirány, I. évfolyam 2016/2017 őszi szemeszter Jelölés: D: definíció, T: tétel, TB: tétel bizonyítással. A betűméret a téma prioritását jelzi, a legnagyobb betűvel

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet Számelmélet DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. DEFINÍCIÓ: (Reciprok) Egy 0

Részletesebben

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet! 1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +

Részletesebben