Diszkrét matematika I.

Átírás

1 Diszkrét matematika I. középszint ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 11. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék ősz

2 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 2. Gyors hatványozás Legyenek m, a, n pozitív egészek, m > 1. Szeretnénk kiszámolni a n mod m maradékot hatékonyan. Ábrázoljuk n-et 2-es számrendszerben: k n = ε i 2 i = (ε k ε k 1... ε 1 ε 0 ) (2), ahol ε 0, ε 1,..., ε k {0, 1}. i=0 Legyen n j (0 j k) az első j + 1 jegy által meghatározott szám: n j = n/2 k j = (ε k ε k 1... ε k j ) (2) Ekkor meghatározzuk minden j-re az x j a n j (modm) maradékot: n 0 = ε k = 1, x 0 = a. n j = 2 n j 1 + ε k j { x j = a ε k j x xj mod m = j 1 mod m, ha ε k j = 0 axj 1 2 mod m, ha ε k j = 1 x k = a n mod m. Az algoritmus helyessége az alábbi formulábol következik (Biz.: HF): a n = a k k i=0 ε i 2 i = (a ) ε i 2i i=0

3 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 3. Gyors hatványozás Mi lesz mod 10? (Euler-Fermat 7) 111 (10) = (2) itt k = 6, a = 3, m = 10. j n j x j =a ε k j x 2 j 1 x j mod x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 =

4 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 4. Gyors hatványozás Oldjuk meg a 23x 4 (mod 211) kongruenciát! Euler-Fermat x (mod 211). Mi lesz mod 211? 209 (10) = (2) itt k = 7, a = 23. j n j x j =a ε k j x 2 j 1 x j mod x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 6 = x (mod 211).

5 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 5. Generátor Tétel (NB) Legyen p prímszám. Ekkor Z p-ban van generátor (primitív gyök): van olyan 1 < g < p egész, mely hatványaiként előáll minden redukált maradékosztály: {g 0 = 1, g, g 2,..., g p 2 } = Z p, azaz {1 = g 0, g mod p, g 2 mod p,..., g p 2 mod p} = {1, 2,..., p 1}. 3 generátor modulo 7: 3 0 = 1 = = 1 1 (mod 7) 3 1 = 3 = = 3 3 (mod 7) 3 2 = 9 = = 9 2 (mod 7) 3 3 = 27 = = 6 6 (mod 7) 3 4 = 81 = = 18 4 (mod 7) 3 5 = 243 = = 12 5 (mod 7)

6 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 6. Generátor 2 generátor modulo 11: n n mod nem generátor modulo 7: n n mod

7 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 7. Diszkrét logaritmus Definíció Legyen p prímszám, g generátor modulo p. Ekkor az a Z (p a) g alapú diszkrét logaritmusa (indexe): log g a = n : a g n (modp), 0 n < p. 3 generátor modulo 7: n n azaz a log 3 a n n a log 3 a

8 Kongruenciák Diszkrét matematika I. középszint ősz 8. Diszkrét logaritmus 2 generátor modulo 11: n n mod Logaritmus-táblázat: a log 2 a Tétel (HF) Legyen p prímszám, g generátor modulo p, 1 a, b < p, n Z. Ekkor log g (a b) log g a + log g b (mod p 1) log g (a n ) n log g a (mod p 1)

9 Alkalmazások Diszkrét matematika I. középszint ősz 9. Alkalmazások Számelmélet alkalmazási területei: Kriptográfia üzenetek titkosítása; digitális aláírás; azonosítás,... Kódelmélet...

10 Alkalmazások Diszkrét matematika I. középszint ősz 10. Caesar kód Julius Caesar katonáival a következő módon kommunikált: Feleltessük meg az (angol) ábécé betűit a {0, 1,..., 25} halmaznak: a 0 b 1 c 2. z 25 Titkos kulcs: s {0, 1,..., 25}. Titkosítás: adott a {0, 1,..., 25} esetén a titkosítása a a + s mod 26. Üzenet titkosítása betűnként. Kititkosítás: adott b {0, 1,..., 25} esetén b kititkosítása b b s mod 26. Üzenet kititkosítása betűnként. hello titkosítása az s = 13 kulccsal: hello titkosítás uryyb uryyb kititkosítása az s = 13 kulccsal: uryyb kititkosítás hello

11 Alkalmazások Diszkrét matematika I. középszint ősz 11. Caesar kód Ha s = 13 kulcsot választjuk: Rot13. Titkosítás és kititkosítás ugyanazzal a kulccsal: (mod 26). A titkosítás nem biztonságos: betűgyakoriság vizsgálattal törhető (al-kindi i.sz. 9 sz.) Ha a különböző pozíciókban különböző kulcsokat választhatunk (véletlenszerűen) bizonyítottan biztonságos Gyakorlatban: One Time Pad OTP Üzenetek: bináris formában: m= Kulcs: bináris sorozat: s= Titkosítás: bitenkénti XOR (mod2 összeadás): m= XOR s= c= Kritikus pont: az s titkos kulcs átadása.

12 Alkalmazások Diszkrét matematika I. középszint ősz 12. RSA Ron Rivest, Adi Shamir és Leonard Adleman 1977-ben a következő eljárást javasolták: Kulcsgenerálás: Legyen p, q két (nagy, 1024 bites) prím, n = p q. Legyen e {1,..., ϕ(n)} olyan, hogy (e, ϕ(n)) = 1. Legyen d az ex 1 (mod ϕ(n)) kongruencia megoldása. Kulcsok: - nyilvános kulcs (n, e), Kulcsok: - titkos kulcs d. Titkosítás: Adott 0 m < n üzenet titkosítása: c = m e mod n. Kititkosítás Adott 0 c < n titkosított üzenet kititkosítása: m = c d mod n. Algoritmus helyessége: c d = (m e ) d = m e d k ϕ(n)+1 E-F = m m (modn)

13 Alkalmazások Diszkrét matematika I. középszint ősz 13. RSA Valóságban az m üzenet egy titkos kulcs további titkosításhoz. Az eljárás biztonsága azon múlik, hogy nem tudjuk hatékonyan faktorizálni az n = p q szorzatot. Feladat Találjuk meg a következő szám osztóit. RSA-100 = RSA-2048=

14 Alkalmazások Diszkrét matematika I. középszint ősz 14. RSA RSA-2048 faktorizálása: Próbaosztás (Eratoszthenész szitája): n szám esetén n osztást kell végezni: RSA-2048 n , n próbaosztás. Ha 1 másodperc alatt osztás /2 30 = másodperc kell a faktorizáláshoz másodperc év. Ugyanezt 2 db géppel: év. Ugyanezt a legjobb (ismert) algoritmussal: év (= 2, ) Univerzum életkora: 1, év.

15 Alkalmazások Diszkrét matematika I. középszint ősz 15. RSA Kulcsgenerálás: Legyen p = 61, q = 53 és n = = 3233, ϕ(3233) = Legyen e = 17. Bővített euklidészi algoritmussal: d = Nyilvános kulcs: (n = 3233, e = 17); Titkos kulcs: d = Titkosítás: Legyen m = 65. c = (mod 3233) Kititkosítás: Ha c = 2790: (mod 3233) Digitális aláírást is lehet generálni: e és d felcserélésével: (Ekkor külön n, e, d kell a titkosításhoz!) Aláírás Legyen s = m d mod n, ekkor az aláírt üzenet: (m, s). Ellenőrzés m? s e (modn).

16 Alkalmazások Diszkrét matematika I. középszint ősz 16. Diffie-Hellman kulcscsere protokoll Az első nyilvános kulcsú kriptográfiai rendszert Whitfield Diffie és Martin Hellman 1976-ban publikálta. Alice választ a R {0, 1,..., p 2} kiszámolja ( g b) a nem megbízható csatorna g a g b közös titkos kulcs: g ab Bob választ b R {0, 1,..., p 2} kiszámolja (g a ) b

17 Alkalmazások Diszkrét matematika I. középszint ősz 17. Diffie-Hellman kulcscsere protokoll Nyilvános paraméterek: p (nagy) prím, g generátor modp. Kulcsok: Alice titkos kulcsa a: 1 a < p 1, nyilvános kulcsa g a mod p, Kulcsok: Bob titkos kulcsa b: 1 a < p 1, nyilvános kulcsa g b mod p. Közös kulcs: g ab mod p. A protokoll biztonsága azon múlik, hogy a diszkrét logaritmus kiszámítás nehéz. Ha p (2048 bites), diszkrét logaritmus számolása év. Nyilvános paraméterek: Legyen p = 11, g = 2. Kulcsok: Alice titkos kulcsa a = 4, nyilvános kulcsa 2 4 mod p = 5. Kulcsok: Bob titkos kulcsa b = 8, nyilvános kulcsa 2 8 mod p = 3. Közös kulcs: ( g b) a = 3 4 mod p = 4, (g a ) b = 5 8 mod = 4.