2018, Diszkre t matematika. 8. elo ada s

Átírás

1 Diszkre t matematika 8. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018, Diszkre t matematika

2 Miről volt szó az elmúlt előadáson? Kódolási technikák az ASCII, az Unicode kódok a base64 kódolási technika az index metódus az ord, chr függvények a random könyvtárcsomag műveletek bináris számrendszerben bitműveletek bináris, szöveg-állományok, feladatok Python stringek, az encode, decode függvények

3 Miről lesz szó? a base64 kódolási technika Számelmélet prímszámok, alapfogalmak prímtesztelő algoritmusok kongruenciák

4 A base64 kódolás base64 kódolás esetén a kimenetet 64 karakteren ábrázoljuk a karakter ( ): ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz /= az algoritmus a bementi bájtsorozat minden 3 bájtjából 4 bájtot hoz létre = karakternek speciális szerepe van, a kódolt adatsor végére kerül és azt jelzi, hogy a bemeneti bájtsorozat 3-al való osztási maradéka 1 vagy 2. Pythonban a base64 könyvtárcsomagot kell importálni: b64encode lesz a kódoló függvény, b64decode lesz a dekódoló függvény

5 A base64 kódolás Python példák: import base64 >>> base64.b64encode( Sapientia.encode()) b U2FwaWVudGlh >>> base64.b64encode( Sap.encode()) b U2Fw >>> base64.b64encode( Sapi.encode()) b U2FwaQ== >>> base64.b64encode( Sapie.encode()).decode() b U2FwaWU= >>> base64.b64decode( U2FwaWVudGlh ) b Sapientia

6 A Sapi szó base64 kódolása >>> ABC64= ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz /= >>> print (ord( S ), ord( a ), ord( p ), ord( i )) >>> print (ABC64[20], ABC64[54], ABC64[5], ABC64[48]) U 2 F w >>> print (ABC64[26], ABC64[16]) a Q

7 A Sapi szó base64 kódolása >>> format((83 & 0xFC) >> 2, b ) >>> format((83 & 0x03) << 4, b ) >>> format((97 & 0xF0) >> 4, b ) 110 >>> format((97 & 0x0F) << 2, b ) 100 >>> format((112 & 0xC0) >> 6, b ) 1 >>> format((112 & 0x3F), b )

8 A base64 kódolás 1. feladat Az alábbi Python függvény meghatározza a paraméterként megadott mstr karakterlánc base64-es alakját, a kimenet típusa szintén karakterlánc. def myb64encode(mstr): enstr = n = len(mstr) for i in range (0, n, 3): b = (mstr[i] & 0xFC) >> 2 enstr += ABC64[b] b = (mstr[i] & 0x03) << 4 if i + 1 < n: b = b ( (mstr[i + 1] & 0xF0) >> 4 ) enstr += ABC64[b] b = ( mstr[i + 1] & 0x0F) << 2 if i + 2 < n: b = b ( ( mstr[i+2] & 0xC0) >> 6 ) enstr += ABC64[b] b = mstr[i + 2] & 0x3F enstr += ABC64[b] else: enstr += ABC64[b] enstr += = else: enstr += ABC64[b] enstr += == return enstr

9 A base64 kódolás 2. feladat Az alábbi Python függvény meghatározza a base64-es formában megadott bemeneti paraméter eredeti alakját. def myb64decode(enstr): destr = [] n = len(enstr) for i in range(0, n, 4): b0 = ABC64.index(enStr[i]) b1 = ABC64.index(enStr[i + 1]) b2 = ABC64.index(enStr[i + 2]) b3 = ABC64.index(enStr[i + 3]) temp = ((b0 << 2) (b1 >> 4)) & 255 destr += [temp] if b2 < 64: temp = ((b1 << 4) (b2 >> 2)) & 255 destr += [temp] if b3 < 64: temp = ((b2 << 6) b3) & 255 destr += [temp] return bytes(destr) >>> myb64encode( műszaki egyetem.encode()) >>> myb64decode( bco7c3pha2kgzwd5zxrlbq== ).decode() műszaki egyetem

10 Számelmélet Témakörök: oszthatóság, legnagyobb közös osztó prímszámok, prímtesztelő algoritmusok moduláris aritmetika, maradékosztás generátor elem, diszkrét logaritmus prímfaktorizáció diofantikus egyenletek, kínai maradéktétel alkalmazások: Diffie-Hellman kulcscsere, RSA kulcscsere

11 Prímszámok 1. tétel Prímszámok: azok az 1-nél nagyobb egész számok, amelyek nem oszthatóak, csak 1-el és önmagukkal. Összetett számok: azok az 1-nél nagyobb egész számok, amelyek nem prímszámok. Minden 1-nél nagyobb pozitív egész számnak van egy prímosztója. A bizonyítás indirekt bizonyítási módszerrel történik: tegyük fel az ellenkezőjét, azaz létezik egy olyan szám amelyiknek nincs prímosztója; ezek a számok meghatároznak egy nem üres halmazt. A természetes számok jólrendzettség tulajdonsága alapján ebben a halmazban van egy legkisebb ilyen elem, legyen ez n. Mivel n-nek nincs primosztója, de n osztja n-t, következik, hogy n nem prímszám. Azaz feĺırható: n = a b, ahol 1 < a < n, 1 < b < n. Mivel a < n következik, hogy a-nak van primosztója. De a bármely osztója osztja n-t, ez pedig ellentmondás.

12 Prímszámok 2. tétel Végtelen sok prímszám létezik. Egyik bizonyítási módszer Eukleidész, Elemek című könyvében található: feltételezzük, hogy a prímszámok halmaza véges. Jelöljük ennek a halmaznak az elemeit p 1, p 2,..., p n-nel. Jelöljük Q = p 1 p 2... p n + 1. Bebizonyítható, hogy Q-nak viszont van egy olyan prímosztója amelyik nem szerepel a fenti halmazban. Feltételezzük az ellenkezőjét: azaz legyen q, Q egy osztója, és feltételezzük, hogy ez megegyezik valamelyik p j -vel. Ez azonban azt jelenti hogy q osztja Q p 1 p 2... p n = 1, azaz 1-t. Ez ellentmondás, mert egy prímszám nem oszthatja az 1-et. Pl. Ha összeszorozzuk az első 6 prímszámot, akkor kapunk egy olyan számot, amelynek biztosan lesz egy új prímszám osztója: = = pl. Hendrik Lenstra: Végtelen sok összetett szám létezik. Ahhoz, hogy egy új összetett számot kapjunk szorozzuk össze az első n összetett számot és ne adjunk hozzá 1-et.

13 Prímszámok 3. tétel Ha n egy összetett szám, akkor n-nek van egy olyan prímosztója, amelyik kisebb vagy egyenlő mint n. Bizonyítása a 1. tétel alapján történik. Ha n összetett, akkor n = a b, ahol 1 < a b < n. Fenn kell álljon, hogy a n, mert másképp n < a b n = n n < a b. Az 1. tétel alapján a-nak van egy prímosztója, amelyik n-nek is prímosztója, amelyik tehát n. A tétel alapján algoritmusok adhatóak meg a prímszámok vizsgálatára: osztási próba módszere (trial division): egy adott szám vizsgálata, Eratosztenész szitája: meghatározza egy adott n-ig az összes prímszámot, hatékonyabb algoritmusok: Miller-Rabin prímteszt, Solovay-Strassen prímteszt, AKS prímteszt, stb.

14 Prímtesztelő algoritmusok Rossz hatékonyságú algoritmus: meghatározzuk egy szám osztóinak számát, ha az egyenlő kettővel akkor prímszám, másképp nem prímszám. Osztási próba módszere (trial division): sorra próbáljuk a páratlan számokkal való oszthatóságot. Az első osztónál leáll az algoritmus, azzal a kimenettel, hogy a szám nem prímszám. Ha a tesztelő szám négyzetgyökéig nem találunk osztót, akkor a szám prímszám. Eratosztenész szitája: kizárásos módszerrel adott n-ig meghatározzuk a prímszámok listáját Miller-Rabin prímteszt: egy adott páratlan számról biztosan megtudja állapítani, hogy az összetett, az azonban csak nagyon nagy valószínűséggel fogadható el, hogy a szám prím. A gyakorlatban nagyon fontos feladat eldönteni egy nagy (több mint 300 számjegyű) számról hogy prímszám-e vagy sem.

15 Az osztási próba módszere Vizsgáljuk meg az osztási próba módszerével, hogy 101 prímszám-e: a cél: minél kevesebb osztást végezzünk az oszthatóság eldöntéséhez, a 11-el már nem kell megvizsgálni az oszthatóságot, mert = 121 > 101, vagy 101 < 11 milyen számokkal vizsgáljuk az oszthatóságot? csak a páratlan számokkal vizsgáljuk az oszthatóságot, mert a 2-nél nagyobb prímszámoknak nem lehet páros osztójuk, 101 nem osztható 3, 5, 7, prímszám.

16 Az osztási próba módszere 3. feladat Írjunk Python függvényt, amely megvizsgálja az osztási próba módszerével, hogy n prímszám-e. def triald1(n): if n == 2: return True if n % 2 == 0: return False i = 3 while i*i <= n: if n % i == 0: return False i += 2 return True def triald2(n): i = 3 while i*i <= n: if n % i == 0: return False i += 2 return True Ha bemenetnek csak páratlan számot adhatunk, akkor a triald2(n) függvénnyel dolgozunk.

17 Eratosztenész szitája Eratosztenész szitájával határozzuk meg 100-ig a prímszámokat:

18 Eratosztenész szitája Kivettük az 1-et és a 2-vel osztható számokat, a 2 marad:

19 Eratosztenész szitája Kivettük a 3-mal osztható számokat is, a 3 marad:

20 Eratosztenész szitája Kivettük az 5-tel osztható számokat is, az 5 marad:

21 Eratosztenész szitája Kivettük a 7-tel osztható számokat is, a 7 marad:

22 Eratosztenész szitája Összesen marad 25, 1-nél nagyobb szám, ezek a 100-nál kisebb prímszámok:

23 Eratosztenész szitája 4. feladat Eratosztenész szitájának módszerével kíıratjuk n-ig a prímszámokat. def erat(n): L = [True] * n L[0] = L[1] = False for i in range (2, n): if L[i] == True: print(i, end =, ), for j in range(i*i, n, i): L[j] = False

24 Eratosztenész szitája 5. feladat Eratosztenész szitájának módszerével létrehozzunk egy listát, amely tartalmazza n-ig a prímszámokat. def eratl(n): L = [True] * n L[0] = L[1] = False Lp = [] for i in range (2, n): if L[i] == True: Lp += [i] for j in range (i*i, n, i): L[j] = False return Lp

25 Eratosztenész szitája 6. feladat Eratosztenész szitájának módszerével létrehozzunk egy listát, amely tartalmazza n-ig a prímszámokat. Csak a páratlan számok felett végezzük a vizsgálódást. def eratl_(n): L = [True] * n L[0] = L[1] = False Lp = [2] for i in range (3, n, 2): if L[i] == True: Lp += [i] for j in range (i*i, n, i): L[j] = False return Lp

26 Kongruenciák a számelmélet alapjait képezik, amelyet Gauss dolgozott ki, a 19. században megjelenik a mindennapi életben: az órák (mod 12) vagy (mod 24) szerint, az év (mod 7) szerint működik, stb. legyen m egy pozitív egész szám; azt mondjuk, hogy a kongruens b-vel modulo m szerint, ha m (a b); ezt a b (mod m)-el jelöljük; ellenkező esetben azt mondjuk, hogy a inkongruens b-vel modulo m szerint átalakítva egyenletté: a b (mod m) akkor és csakis akkor, ha létezik egy k egész szám, úgy hogy: a = b + km a x b (mod m) típusú egyenletek megoldásából indulunk ki, ahol a (mod m), m-mel való osztási maradékot jelöl

27 Kongruenciák Példák: 21 3 (mod 9), mert 9 (21 3), hasonlóan: 4 5 (mod 9) és 79 7 (mod 9) 14 5 (mod 12), mert 12 (14 5) = (mod 9) 21 = alkalmazási terület: prímtesztelő algoritmusok, adatbiztonság, kódelmélet Feladat: határozzuk meg azt az x számot amelyre fennáll: 3 x 14 (mod 19), naiv megoldás: x helyébe rendre 1, 2, értékeket helyettesítve megvizsgálom mikor áll fenn az egyenlőség, tudunk-e jobbat?

28 Kongruenciák Alaptulajdonságok reflexív: ha a egy egész szám, akkor a a (mod m), szimmetrikus: ha a, b egész számok és a b (mod m), akkor b a (mod m), tranzitív: ha a, b, c egész számok és a b (mod m), b c (mod m), akkor a c (mod m), Aritmetikai műveletekkel kapcsolatos tulajdonságok: legyenek a, b, c, m egész számok, ahol m > 0 és a b (mod m). Ekkor fennállnak a következők: a + c b + c (mod m), a c b c (mod m), a c b c (mod m), Az osztás műveletére nem adhatunk analóg tulajdonságot.

29 Kongruenciák Az osztással kapcsolatos tulajdonság: Példák: Legyenek a, b, c, m egész számok, ahol m > 0, d = lnko(c, m) és a c b c (mod m). Ekkor fennáll: a b (mod m/d). Legyen 14 8 (mod 6) A kongruenciát nem tudjuk végigosztani 2-vel, mert nem igaz az, hogy 7 4 (mod 6). A kongruenciát végigtudjuk osztani úgy 2-vel, hogy osztjuk a modulust is 2-vel, mert igaz, hogy lnko(2, 6) = 2, azaz fennáll: 7 4 (mod 3) Legyen (mod 5) A kongruenciát végig tudjuk osztani 7-tel, úgy hogy osztjuk a modulust 1-el, mert igaz, hogy lnko(7, 5) = 1, azaz fennáll: 6 11 (mod 5)

30 Kongruenciák Az osztással kapcsolatos tulajdonság: Példák: Legyen (mod 15) A kongruenciát nem tudjuk végigosztani 10-zel, mert nem igaz az, hogy 5 2 (mod 15). A kongruenciát végig tudjuk osztani úgy 10-zel, hogy osztjuk a modulust is 5-tel, mert igaz, hogy lnko(10, 15) = 5, azaz fennáll: 5 2 (mod 3) A kongruenciát végig tudjuk osztani úgy 5-tel, hogy osztjuk a modulust is 5-tel, mert igaz, hogy lnko(5, 15) = 5, azaz fennáll: 10 4 (mod 3)

31 Kongruenciák További tulajdonságok: legyenek a, b, c, d, m egész számok, ahol m > 0, a b (mod m) és c d (mod m). Ekkor fennállnak a következők: a + c b + d (mod m), a c b d (mod m), a c b d (mod m), a n b n (mod m), ahol n pozitív egész szám.