Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro"

Átírás

1 Kriptográfia és Információbiztonság 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia 2015

2 Miről volt szó az elmúlt előadáson? blokk-titkosító rendszerek, DES (Data Encryption Standard), tervezési szempontok, biztonság, támadási módszerek, 3DES, 2DES, XDES, blokk-titkosítási módok (ECB, CBC, CFB, OFB, CTR).

3 Miről lesz szó? Számelméleti alapfogalmak: az euklideszi algoritmus és változatai Véges testek aritmetikája AES (Advanced Encryption Standard) kör-kulcs generálás, titkosítás, visszafejtés, implementáció.

4 Számelméleti alapfogalmak Az euklideszi algoritmus egyike a legrégebbi, napjainkban is alkalmazott eljárásoknak: két egész szám legnagyobb közös osztóját határozza meg. Az a és b egész számok legnagyobb közös osztója, az a legnagyobb szám amely osztja az a-t és b-t is. Jelölése: lnko(a, b), (a, b), vagy gcd(a, b). Az a és b egész számok legnagyobb közös osztója az a d legkisebb egész szám, amely egyenlő az a és b lineáris kombinációjával: d = x a + y b, ahol x, y egész számok. Az a és b egész számok relatív prímek, ha lnko(a, b) = 1. Például: lnko(101, 64) = 1 64 és 101 relatív prímek. Feĺırható: 101 ( 19) = 1. Például: lnko(64, 52) = 4 64 és 52 nem relatív prímek. Feĺırható: 64 ( 4) = 4.

5 Az euklidészi algoritmus és változatai Euklidész algoritmusa: legyenek r 0 = a és r 1 = b egész számok, úgy hogy a b > 0. Ha az osztási algoritmust egymás után többször alkalmazzuk, akkor a következő számsorozatot kapjuk: r 0, r 1,..., r n, r n+1, ahol r j = r j+1 q j+1 + r j+2, 0 < r j+2 < r j+1, j {0, 1,..., n 2} és r n+1 = 0. Ekkor lnko(a, b) = r n. Euklidész kiterjesztett algoritmusa: legyenek a, b pozitív egész számok, akkor feĺırható a következő összefüggés: lnko(a, b) = x n a + y n b, n {0, 1, 2,... }, ahol x n és y n a következő rekurzív számítási sorozat n-ik tagjai: x 0 = 1, y 0 = 0 x 1 = 0, y 1 = 1 x j = x j 2 q j 1 x j 1 y j = y j 1 q j 1 y j 1, ahol q j a megfelelő hányados, amelyet az euklidészi algoritmus során számolunk ki.

6 A kiterjesztett euklidészi algoritmus, példa Határozzuk meg 84 és 35 legnagyobb közös osztóját, majd azokat az x és y egész számokat, melyekre fennáll a következő összefüggés: 84 x + 35 y = d, ahol d = lnko(84, 35). a b r q x 0 x 1 y 0 y Tehát a megoldás: d = 7, x = 2, y = 5, és fennáll a következő összefüggés: 84 ( 2) = 7.

7 A kiterjesztett euklidészi algoritmus, példa Határozzuk meg 45 és 31 legnagyobb közös osztóját, majd azokat az x és y egész számokat, melyekre fennáll a következő összefüggés: 45 x + 31 y = d, ahol d = lnko(45, 31). v a b r q x 0 x 1 y 0 y Tehát a megoldás: d = 1, x = 11, y = 29, és fennáll a következő összefüggés: 45 ( 11) = 1.

8 A kiterjesztett euklidészi algoritmus Az algoritmus bemenete az a és b egész számok, kimenete pedig a d, x, y számok amelyekre fennáll: d = a x + b y. exteuclid (a, b): x0, x1, y0, y1 = 1, 0, 0, 1 while True: r = a % b if r == 0: d, x, y = b, x1, y1 return (d, x, y) q = a / b a = b b = r x = x0 - q * x1 y = y0 - q * y1 x0, x1, y0, y1 = x1, x, y1, y

9 Moduláris inverz meghatározása Az a x 1 (mod m) kongruenciának a megoldását, ahol lnko(a, m) = 1 az a inverzének hívjuk (mod m) szerint és a 1 -el, vagy 1 -val jelöljük. a A kongruencia megoldhatósági feltétele az, hogy lnko(a, m) = 1. Példa: 17 inverze mod 27 szerint 8, mert fennáll: 17 8 = 1 (mod 27). A moduláris inverz meghatározásához a kiterjesztett euklideszi algoritmust használjuk, mert a kongruencia átírható 1 = a x + m y alakba. Ebben az esetben az x az a inverze lesz invmod (a, m): (d, x, y ) = exteuclid (a, b) if (d!= 1) error "inverse undefined" if (x < 0) return x + m else return x (mod m) szerint.

10 Véges-testek aritmetikája Az AES esetében olyan halmazt jelent, amelyben benne vannak a bináris együtthatójú, n 1 fokszámnál kisebb polinomok: f (x) = a n 1x n 1 + a n 2x n a 1x + a 0. egy GF (2 n ) feletti polinom egyedi módon, az együtthatók segítségével leírható, n biten: (a n 1a n 2... a 0). Példa x 6 + x 3 + x -nek megfelelő bináris alak: n-ed fokú irreducibilis polinom: olyan polinom, amely nem bontható fel két n-nél kisebb fokú polinom szorzatára. A műveleteket a szabályos polinomok feletti műveleti szabályok szerint kell végezni, ahol az együtthatók esetében (mod 2) kell számolni. Ha egy művelet elvégzése után nagyobb kitevőt kapunk mint x n 1, akkor meg kell határozni az eredmény m(x) szerinti osztási maradékát, ahol m(x) egy n-ed fokú irreducibilis polinom.

11 Véges-testek aritmetikája Ha n = 3, akkor összesen 2 3 különböző polinom szerkeszthető: 0, 1, x, x + 1, x 2, x 2 + 1, x 2 + x, x 2 + x + 1. GF (2 3 )-ban két irreducibilis polinom van: x 3 + x 2 + 1, x 3 + x + 1. Az alkalmazott műveleteket könnyű implementálni: Az összeadás megfelel a műveletnek. A szorzás visszavezethető az x és hatványaival való szorzásra, ami egy balra shift és egy feltételhez kötött konstanssal való művelet elvégzését jelenti. Az alkalmazott technika a következőn alapszik: x n (mod m(x)) = m(x) x n. A kivonás ekvivalens az összeadással, mert = 1 1 = 0, 1 0 = = 1, = 0 1 = 1, = 0 0 = 0. Az osztáshoz multiplikatív inverzre van szükség, amelyet egy adott irreducibilis polinom szerint kell meghatározni, ez kiterjesztett Euklideszi algoritmussal határozható meg.

12 Véges-testek aritmetikája Példa, összeadás: (x + 1) + x = 2 x + 1 = 1, (011) (010) = 001 Példa, szorzás, m(x) = x 3 + x szerint: (x 2 + x) (x + 1) = x 2 + x + 1, mert (x 2 + x) (x + 1) = x 3 + x 2 + x 2 + x = x 3 + x, ahol az m(x) = x 3 + x szerinti osztási maradék x 2 + x + 1. Példa, szorzásra, 8 biten (mod m(x)) szerint: legyen f (x) = a 7 x 7 + a 6 x 6 + a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0. meghatározzuk: x f (x) = (a 7 x 8 + a 6 x 7 + a 5 x 6 + a 4 x 5 + a 3 x 4 + a 2 x 3 + a 1 x 2 + a 0 x) (mod m(x)). megállapítható: x f (x) = { (a6a 5a 4a 3a 2a 1a 00), ha a 7 = 0 (a 6a 5a 4a 3a 2a 1a 00) (m(x) x 8 ), ha a 7 = 1

13 Véges-testek aritmetikája Határozzuk meg (x 6 + x 3 + x 2 + 1) (x 7 + x 2 + 1) szorzatot m(x) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 szerint. Binárisan ez azt jelenti, hogy mennyi: ( ) ( )? tehát: ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) [( ) ( ) ( )] = ( ) ( ) ( ) = ( ) ami megfelel: x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x nek.

14 A kiterjesztett euklidészi algoritmus Az euklidészi algoritmus, a kiterjesztett euklideszi algoritmus alkalmazható a polinomok körében is a legnagyobb közös osztó, illetve a multiplikatív inverz meghatározására. Azt mondjuk, hogy a d(x) polinom az a(x) és b(x) polinomok legnagyobb közös osztója, ha fennáll, hogy d(x) a legnagyobb olyan fokszámú polinom amelyik osztja a(x)-t és b(x)-et is. az euklideszi algoritmus szerint feĺırható: lnko[a(x), b(x)] = lnko[b(x), a(x) (mod b(x))]. Pl: lnko(x 6 + x 5 + x 4 + x 2 + x + 1, x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) = x x 6 + x 3 + x multiplikatív inverze, (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1) szerint: x 7 + x 5 + x 3 + x + 1, mert (x 6 + x 3 + x) (x 7 + x 5 + x 3 + x + 1) = 1 (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1).

15 A kiterjesztett euklidészi algoritmus, példa Határozzuk meg a(x) = x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 és b(x) = x 6 + x 3 + x legnagyobb közös osztóját, majd azokat az v(x) és u(x) polinomokat, amelyekre fennáll a következő összefüggés: a(x) v(x) + b(x) u(x) = 1. a b q r x 0 x 1 y 0 y x 8 + x 4 + x 6 + x 2 x 5 + x x 2 x 3 + x + 1 x 3 + x x + 1 x 6 + x 3 + x x 5 + x 4 + x + 1 x 4 + x x + 1 x 2 x 3 + x + 1 x 2 + x + 1 x x 5 + x 4 + x 4 + x 3 + x x 3 + x x + 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 3 + x + 1 x 2 + x + 1 x x + 1 x x 2 + x x 4 + x 3 + x 3 + x x x 2 + x + 1 x 3 + x 4 + x 3 + x 5 + x x 2 + x + 1 x x x 2 + x x 3 + x x x + 1 x x 3 + x x 4 x 5 + x x 6 + x 3 + x x x x 1 x 4 + x + 1 x 5 + x 3 + x 6 + x 3 + x 7 + x 5 + x x x 3 + x + 1 Tehát: (x 8 + x 4 + x 3 + x + 1) (x 5 + x 3 + x 2 + 1) + (x 6 + x 3 + x) (x 7 + x 5 + x 3 + x + 1) = 1.

16 AES (Advanced Encryption Standard) Daemen és Rijmen, belga kriptográfusok tervezték 1997-ben, 2001-ben fogadta el a NIST standardként, kulcs-mérete: 128, 192, 256 bit, blokk-mérete: 128 bit, hatékonysága: 109 Mb/sec, az AES-128 esetében: a kétdimenziós tömb, a state oszlop-száma = 4, a körkulcsok és körök száma = 10, nem használja a Feistel-sémát.

17 AES (Advanced Encryption Standard) Helyettesítést és permutációt alkalmaz, véges testek felett alkalmaz aritmetikai és műveletet, motiváció: kriptográfiában egész számokkal dolgozunk, 0 és 2 n 1 közötti értékekkel, és az összes n-bit hosszúságú számra szükség van. Olyan halmazt kell választani, ahol az összeadás, kivonás, szorzás, osztás után is halmazbeli elemet kapunk véges testek, pontosabban GF (2 n ) feletti véges testek.

18 AES az AES minden műveletet 8 biten végez, az összeadás, kivonás, szorzás, osztás a GF (2 8 ) feletti véges testben történik, összesen 30 irreducibilis polinom van, ahol az AES a következővel dolgozik: x 8 + x 4 + x 3 + x + 1 három algoritmust kell definiálni: kulcsgenerálás, titkosítás, visszafejtés.

19 AES-128, Kulcsgenerálás a kulcsot egy 4 4-es, kétdimenziós tömbbe rendezzük, oszloponként RK 0. minden i = 0,... 9-re: RK i 1 -t felosztjuk oszloponként : w 0, w 1, w 2, w 3, meghat. nw 0, nw 1, nw 2, nw 3 szavakat: nw 0 = temp w 0, ahol temp: rw = RotWord(w 3),, sw = SubWord(rw), rcw = Rcon(i), temp = sw rcw, nw 1 = nw 0 w 1, nw 2 = nw 1 w 2, nw 3 = nw 2 w 3, nw 0 nw 1 nw 2 nw bites értékből álló sor, 4 4-es kétdimenziós tömbbe rendezzük, oszloponként RK i.

20 AES-128, Kulcsgenerálás, példa legyen a kulcs: 2b7e aed2a6 abf cf 4f 3c, 2 dimenziós tömbbe rendezve: w 0 w 1 w 2 w 3 2b 28 ab 09 7e ae f 7 cf 15 d2 15 4f 16 a6 88 3c rw sw rcw temp cf 4f 3c09 8a84eb b84eb01 Az RK 1 szavai: kétdimenziós tömbbe rendezve: nw 0 nw 1 nw 2 nw 3 a0fafe cb1 23a a6c7605 w 0 w 1 w 2 w 3 a a fa 54 a3 6c fe 2c b

21 AES-128, RotWord, SubWord, Rcon RotWord, balra történő ciklikus eltolást hajt végre: RotWord(a 0 a 1 a 2 a 3) = (a 1 a 2 a 3 a 0) SubWord, alkalmazza byte-onként az S-boxot. Ha az átalakítandó byte például a 4a, akkor az S-box táblázat 4-ik sora és a-ik oszlopának kereszteződésénél található byte lesz az új érték: d6. Rcon az első byte-ra az x i 1 (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1) hatványértéket számolja ki, a GF (2 8 ) véges testben, a további három byte értéke, azaz a 3 legbaloldalibb byte 0x00 lesz. i Rcon(i) 0x01 0x02 0x04 0x08 0x10 0x20 0x40 0x80 0x1b 0x36

22 AES-128, titkosítás a bemenetet egy 4 4-es, kétdimenziós tömbbe rendezzük, oszloponként S. meghatározzuk SS =AddRoundKey(S, RK 0) minden i = 1,... 9-re: S1 = SubBytes(SS), S2 = ShiftRows(S1), S3 = MixColumns(S2), SS = AddRoundKey(S3, RK i ), az 10.körben: S1 = SubBytes(SS), S2 = ShiftRows(S1), a titkosító függvény kimenete: AddRoundKey(S2, RK 10).

23 AES-128, AddRoundKey, SubBytes, ShiftRows AddRoundKey a bemeneti paraméterekre byte-onként alkalmazza a műveletet. SubBytes a 4 4-es tömb byte-jaira alkalmazza az S-boxot, ShiftRows a 4 4-es tömböt byte-jaira alkalmazza a következő ciklikus eltolásokat: s 11 s 12 s 13 s 14 >> s 11 s 12 s 13 s 14 s 21 s 22 s 23 s 24 s 22 s 23 s 24 s 21 s 31 s 32 s 33 s 34 s 33 s 34 s 31 s 32 s 41 s 42 s 43 s 44 s 44 s 41 s 42 s 43

24 AES-128, MixColumns MixColumns a 4 4-es tömb byte-jaira alkalmazza a következő átalakításokat: ahol s 11 s 12 s 13 s 14 >> ns 11 ns 12 ns 13 ns 14 s 21 s 22 s 23 s 24 ns 21 ns 22 ns 23 ns 24 s 31 s 32 s 33 s 34 ns 31 ns 32 ns 33 ns 34 s 41 s 42 s 43 s 44 ns 41 ns 42 ns 43 ns 44 ns 1i = (0x02 s 1i ) (0x03 s 2i ) s 3i s 4i ns 2i = s 1i (0x02 s 2i ) (0x03 s 3i ) s 4i ns 3i = s 1i s 2i (0x02 s 3i ) (0x03 s 4i ) ns 4i = (0x03 s 1i ) s 2i s 3i (0x02 s 4i ). a művelet szorzást jelent (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1) szerint a GF (2 8 ) véges testben.

25 AES-128, S-box Az S-box bemenetének bitjeit egy polinom együtthatóinak tekintjük, és meghatározzuk a polinom multiplikatív inverzét (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1) szerint a GF (2 8 ) véges testben, jelöljük ezt: b = (b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0)-vel. Ezután egy affin transzformációt alkalmazunk, megkapva az S-box kimeneti bitjeit: nb = (nb 7 nb 6 nb 5 nb 4 nb 3 nb 2 nb 1 nb 0) nb i = b i b i+4 (mod 8) b i+5 (mod 8) b i+6 (mod 8) b i+7 (mod 8) c i, ahol i = 0,..., 7 és c = (c 7 c 6 c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 c 0) = ( ) = 0x63.

26 Példa Határozzuk meg az S-box {4a} = ( ) = x 6 + x 3 + x-ra alkalmazott értékét. {4a} multiplikatív inverze: b = x 7 + x 5 + x 3 + x + 1 = ( ) lesz, mert (x 6 + x 3 + x) (x 7 + x 5 + x 3 + x + 1) = 1 (mod x 8 + x 4 + x 3 + x + 1), a keresett érték nb = ( ) = {d6}, mert: nb 0 = b 0 b 4 b 5 b 6 b 7 c 0 = = 0 nb 1 = b 1 b 5 b 6 b 7 b 0 c 1 = = 1 nb 2 = b 2 b 6 b 7 b 0 b 1 c 2 = = 1 nb 3 = b 3 b 7 b 0 b 1 b 2 c 3 = = 0 nb 4 = b 4 b 0 b 1 b 2 b 3 c 4 = = 1 nb 5 = b 5 b 1 b 2 b 3 b 4 c 5 = = 0 nb 6 = b 6 b 2 b 3 b 4 b 5 c 6 = = 1 nb 7 = b 7 b 3 b 4 b 5 b 6 c 7 = = 1

27 AES-128, S-box a b c d e f c 77 7b f 2 6b 6f c b fe d7 ab 76 1 ca 82 c9 7d fa f 0 ad d4 a2 af 9c a4 72 c0 2 b7 fd f f 7 cc 34 a5 e5 f 1 71 d c7 23 c a e2 eb 27 b c 1a 1b 6e 5a a0 52 3b d6 b3 29 e3 2f d1 00 ed 20 fc b1 5b 6a cb be 39 4a 4c 58 cf 6 d0 ef aa fb 43 4d f f 50 3c 9f a a3 40 8f 92 9d 38 f 5 bc b6 da ff f 3 d2 8 cd 0c 13 ec 5f c4 a7 7e 3d 64 5d f dc 22 2a ee b8 14 de 5e 0b db a e0 32 3a 0a c c2 d3 ac e4 79 b e7 c8 37 6d 8d d5 4e a9 6c 56 f 4 ea 65 7a ae 08 c ba e 1c a6 b4 c6 e8 dd 74 1f 4b bd 8b 8a d 70 3e b f 6 0e b9 86 c1 1d 9e e e1 f d9 8e 94 9b 1e 87 e9 ce df f 8c a1 89 0d bf e d 0f b0 54 bb 16

28 AES-128, visszafejtés a blokk titkosítókra jellemzően a kör-kulcsokat fordított sorrendbe alkalmazza, az alkalmazott függvényeket fordított sorrendben veszi a titkosításnál alkalmazott sorrendhez képest, a SubBytes, ShiftRows, MixColumns, S-box függvények inverzeit használja a titkosítás nem ugyanaz, mint a visszafejtés, titkosítási sorrend: SubBytes, ShiftRows, MixColumns, AddRoundkey, visszafejtési sorrend: InvShiftRows, InvSubBytes, AddRoundkey, InvMixColumns, meg kell külön írni a titkosító és visszafejtő függvényt hátrány, de lehet ezt optimalizálni.

29 AES-128, S-box Az inverz S-box bemenetének bitjeit szintén egy polinom együtthatóinak tekintjük, ezen alkalmazzuk a következő affin transzformációt, ami után meghatározzuk a multiplikatív inverzet: nb i = b i+2 (mod 8) b i+5 (mod 8) b i+7 (mod 8) d i, ahol i = 0,..., 7 és d = (d 7 d 6 d 5 d 4 d 3 d 2 d 1 d 0) = ( ) = 0x05.

AES kriptográfiai algoritmus

AES kriptográfiai algoritmus AES kriptográfiai algoritmus Smidla József Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem 2012. 2. 28. Smidla József (RSZT) AES 2012. 2. 28. 1 / 65 Tartalom 1 Bevezetés 2 Alapműveletek Összeadás,

Részletesebben

Kriptográfia I. Kriptorendszerek

Kriptográfia I. Kriptorendszerek Kriptográfia I Szimmetrikus kulcsú titkosítás Kriptorendszerek Nyíltszöveg üzenettér: M Titkosított üzenettér: C Kulcs tér: K, K Kulcsgeneráló algoritmus: Titkosító algoritmus: Visszafejt algoritmus: Titkosítás

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro Kriptográfia és Információbiztonság 10. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Vizsgatematika 1 Klasszikus kriptográfiai rendszerek

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. Kriptográfia és Információbiztonság 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017 Miről volt szó az elmúlt előadáson? A Crypto++

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 11. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? legnagyobb közös

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. Kriptográfia és Információbiztonság 2 előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@mssapientiaro 2016 Miről volt szó az elmúlt előadáson? Félévi áttekintő

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 2. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Követelmények,

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

2015, Diszkrét matematika

2015, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Számtartományok:

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro Kriptográfia és Információbiztonság 5. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Miről volt szó az elmúlt előadáson? AES (Advanced

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Best of Criptography Slides

Best of Criptography Slides Best of Criptography Slides Adatbiztonság és Kriptográfia PPKE-ITK 2008. Top szlájdok egy helyen 1 Szimmetrikus kulcsú rejtjelezés Általában a rejtjelező kulcs és a dekódoló kulcs megegyezik, de nem feltétlenül.

Részletesebben

Alapvető polinomalgoritmusok

Alapvető polinomalgoritmusok Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

a védelmi feladatokban részt vevő elektronikus hírközlési szolgáltatók kijelöléséről és felkészülési feladataik meghatározásáról

a védelmi feladatokban részt vevő elektronikus hírközlési szolgáltatók kijelöléséről és felkészülési feladataik meghatározásáról 1./2009. (.) MeHVM rendelet a védelmi feladatokban részt vevő elektronikus hírközlési szolgáltatók kijelöléséről és felkészülési feladataik meghatározásáról Az elektronikus hírközlésről szóló 2003. évi

Részletesebben

Számítógépes Hálózatok 2012

Számítógépes Hálózatok 2012 Számítógépes Hálózatok 22 4. Adatkapcsolati réteg CRC, utólagos hibajavítás Hálózatok, 22 Hibafelismerés: CRC Hatékony hibafelismerés: Cyclic Redundancy Check (CRC) A gyakorlatban gyakran használt kód

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

A Magyar Nemzeti Bank elnökének 19/2012. (X. 4.) MNB rendelete

A Magyar Nemzeti Bank elnökének 19/2012. (X. 4.) MNB rendelete A Magyar Nemzeti Bank elnökének 19/2012. (X. 4.) MNB rendelete a jegybanki információs rendszerhez szolgáltatandó információk és az információt szolgáltatók köréről, a szolgáltatás módjáról és határidejéről

Részletesebben

Felvételi tematika INFORMATIKA

Felvételi tematika INFORMATIKA Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 7. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? az ord, chr függvények

Részletesebben

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden

Részletesebben

Hibadetektáló és javító kódolások

Hibadetektáló és javító kódolások Hibadetektáló és javító kódolások Számítógépes adatbiztonság Hibadetektálás és javítás Zajos csatornák ARQ adatblokk meghibásodási valószínségének csökkentése blokk bvítése redundáns információval Hálózati

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

Ennek két lépéssel balra történõ ciklikus eltolása az alábbi.

Ennek két lépéssel balra történõ ciklikus eltolása az alábbi. CIKLIKUS KÓDOK (Az alábbiak feltételezik a "Hiradástechnika" c. könyv "7. Hibakorlátozó kódolás" fejezetének és a modulo-2 algebra alapjainak ismeretét.) 1. Alapfogalmak Definíció: egy lineáris kód ciklikus,

Részletesebben

Célterület adatlap. Szolgáltatáscsomag: azonos tevékenység, téma köré szerveződő szolgáltatások összekapcsolt halmaza.

Célterület adatlap. Szolgáltatáscsomag: azonos tevékenység, téma köré szerveződő szolgáltatások összekapcsolt halmaza. Célterület adatlap Célterület azonosító: 1 015 786 Helyi Akciócsoport: Abaúj Leader Egyesület Jogcím: Vállalkozási alapú fejlesztés Célterület megnevezése: Térségi szolgáltatásszervező központ létrehozása

Részletesebben

0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1)

0 ; a k ; :::) = ( 0: x = (0; 1; 0; 0; :::; 0; :::) = (0; 1) 3. EGYVÁLTOZÓS POLINOMOK 3.A.De níció. Komplex számok egy f = (a 0 ; a 1 ; :::; a k ; :::) végtelen sorozatáról azt mondjuk, hogy polinom, ha létezik olyan m 0 egész, hogy minden k m indexre a k = 0. Az

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció

Részletesebben

The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003

The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 . Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons Wilson Wong, Bentley College Linda Senne,

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye: Az RSA módszer Az RSA módszer titkossága a prímtényezős felbontás nehézségén, a prímtényezők megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek. a Pick-Up Kft.

Általános Szerződési Feltételek. a Pick-Up Kft. Általános Szerződési Feltételek a Pick-Up Kft. Internet hozzáférés szolgáltatásának igénybevételéhez. Az ügyfélszolgálat elérhetősége: 2900 Komárom, Táncsics M. u. 3/b Tel./Fax.: 34/222-222, 34/342-888,

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Célterület adatlap. I. Fogalom magyarázat. II. Támogatás vehető igénybe. III. Támogatás mértéke. növelése

Célterület adatlap. I. Fogalom magyarázat. II. Támogatás vehető igénybe. III. Támogatás mértéke. növelése Célterület adatlap Célterület azonosító: 1 017 320 Helyi Akciócsoport: Vértes-Gerecse Vidékfejlesztési Közösség UMVP intézkedés: Versenyképesség Jogcím: Vállalkozás alapú fejlesztés Célterület megnevezése:

Részletesebben

KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18.

KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18. KÓDOLÁSTECHNIKA PZH 2006. december 18. 1. Hibajavító kódolást tekintünk. Egy lineáris bináris blokk kód generátormátrixa G 10110 01101 a.) Adja meg a kód kódszavait és paramétereit (n, k,d). (3 p) b.)

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.

Részletesebben

Algoritmusok pszeudókód... 1

Algoritmusok pszeudókód... 1 Tartalomjegyzék Algoritmusok pszeudókód... 1 Abszolút érték... 1 Hányados ismételt kivonással... 1 Legnagyobb közös osztó... 2 Páros számok szűrése... 2 Palindrom számok... 2 Orosz szorzás... 3 Minimum

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

5.441 eft bg) térségi fejlesztési tanácstól az államháztartás központi alrendszerén belülről kapott EU-s forrásból származó pénzeszközből,

5.441 eft bg) térségi fejlesztési tanácstól az államháztartás központi alrendszerén belülről kapott EU-s forrásból származó pénzeszközből, Kozármisleny Város Önkormányzata Képviselő-testületének 5/2013. (V.15.) önkormányzati rendelete az önkormányzat és intézményei 2012. évi költségvetéséről 6/2012 (II.13.) Önkormányzati rendelet módosításáról

Részletesebben

Kiképzési Szabályzat

Kiképzési Szabályzat Szám: Belügyminisztérium Országos Katasztrófavédelmi Főigazgatóság Humán Szolgálat H-1149 Budapest, Mogyoródi út 43. : 1903 Budapest, 1) Pf.: 314 Tel.: (06-1)469-4150 Fax: (06-1)469-4151 - BM Tel.: 20-197

Részletesebben

6647. Csanytelek, Volentér János tér 2.sz. 63/578-510; fax: 63/578-517; E-mail: csanytelek@csanytelek.hu, honlap: www.csanytelek.

6647. Csanytelek, Volentér János tér 2.sz. 63/578-510; fax: 63/578-517; E-mail: csanytelek@csanytelek.hu, honlap: www.csanytelek. Csanytelek Község Önkormányzata Polgármesterétől Csanytelek Község Önkormányzata J e g y z ő j é t ő l 6647. Csanytelek, Volentér János tér 2.sz. 63/578-510; fax: 63/578-517; E-mail: csanytelek@csanytelek.hu,

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Data Security: Protocols Integrity

Data Security: Protocols Integrity Integrity Az üzenethitelesítés (integritásvédelem) feladata az, hogy a vételi oldalon detektálhatóvá tegyük azon eseményeket, amelyek során az átviteli úton az üzenet valamilyen módosulást szenvedett el.

Részletesebben

hatályos: 2016.02.04 -

hatályos: 2016.02.04 - 49/2015. (XI. 6.) EMMI rendelet a Legionella által okozott fertőzési kockázatot jelentő közegekre, illetve létesítményekre vonatkozó közegészségügyi előírásokról hatályos: 2016.02.04 - Az egészségügyről

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

RSA algoritmus. Smidla József. Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem

RSA algoritmus. Smidla József. Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem RSA algoritmus Smidla József Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Pannon Egyetem 2012. 3. 27. Smidla József (RSZT) RSA algoritmus 2012. 3. 27. 1 / 29 Tartalom 1 Aszimmetrikus kódolók 2 Matematikai alapok

Részletesebben

Prezentációk készítése

Prezentációk készítése Prezentációk készítése 2009 1 / 14 Prezentációk készítése Beamer gyorstalpaló Írta: Kiss Emil ewkiss@cs.elte.hu 2009 Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

SZÉP-COMP KERESKEDELMI ÉS SZOLGÁLTATÓ BETÉTI TÁRSASÁG

SZÉP-COMP KERESKEDELMI ÉS SZOLGÁLTATÓ BETÉTI TÁRSASÁG ÁSZF 20160101 SZÉP-COMP KERESKEDELMI ÉS SZOLGÁLTATÓ BETÉTI TÁRSASÁG ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEK MÓDOSÍTVA : 20160101 ÉRVÉNYES : 20160101 20060218 1 ÁSZF 20160101 Tartalomjegyzék 1 Általános adatok,

Részletesebben

SZOLGÁLTATÁSOK MEGFELELİSÉG VIZSGÁLATÁBAN TECHNIKAI LEÍRÁS KÖZREMŐKÖDİ SZERVEZETEKRE VONATKOZÓ ELVÁRÁSOK

SZOLGÁLTATÁSOK MEGFELELİSÉG VIZSGÁLATÁBAN TECHNIKAI LEÍRÁS KÖZREMŐKÖDİ SZERVEZETEKRE VONATKOZÓ ELVÁRÁSOK SZOLGÁLTATÁSOK MEGFELELİSÉG VIZSGÁLATÁBAN KÖZREMŐKÖDİ SZERVEZETEKRE VONATKOZÓ ELVÁRÁSOK TECHNIKAI LEÍRÁS A dokumentum az Új Magyarország Fejlesztési Terv keretében, az Államreform Operatív Program támogatásával,

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK. Felhívás!

TARTALOMJEGYZÉK. Felhívás! Budapest, 2012. március 26. Ára: 4935 Ft 3. szám Felhívás! Felhívjuk tisztelt Olvasóink figyelmét, hogy a közlöny szerkesztõségének elérhetõsége megváltozott: telefon: 795-2721, fax: 795-0295 cím: 1051

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

8/2014. (X.10.) KLIK elnöki utasítás

8/2014. (X.10.) KLIK elnöki utasítás 8/2014. (X.10.) KLIK elnöki utasítás III. Fejezet A térítési díj és a tandíj 1. A térítési díj és a tandíj alapja 3. (1) Az intézményben a tanévre fizetendő térítési díj és a tandíj meghatározásának alapja

Részletesebben

Megoldás Digitális technika I. (vimia102) 3. gyakorlat: Kombinációs hálózatok minimalizálása, hazárdok, a realizálás kérdései

Megoldás Digitális technika I. (vimia102) 3. gyakorlat: Kombinációs hálózatok minimalizálása, hazárdok, a realizálás kérdései Megoldás Digitális technika I. (vimia102) 3. gyakorlat: Kombinációs hálózatok minimalizálása, hazárdok, a realizálás kérdései Elméleti anyag: Lényegtelen kombináció (don t care) fogalma Kombinációs hálózatok

Részletesebben

INTERNET SZOLGÁLTATÁS ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI

INTERNET SZOLGÁLTATÁS ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI INTERNET SZOLGÁLTATÁS ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI Módosításokkal egybekötött egységes szerkezetbe foglalva: 2012. 10. 16. Hatályos: 2012. 10. 16.-tól Tartalomjegyzék 1. Általános adatok, elérhetőség...

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek. Internet elérési szolgáltatás nyújtásához. Utolsó módosítás: 2012.03.15. Hatályos: 2012.04.15.

Általános Szerződési Feltételek. Internet elérési szolgáltatás nyújtásához. Utolsó módosítás: 2012.03.15. Hatályos: 2012.04.15. Általános Szerződési Feltételek Internet elérési szolgáltatás nyújtásához Utolsó módosítás: 2012.03.15. Hatályos: 2012.04.15.-től Tartalomjegyzék 1. Általános adatok, elérhetőség... Hiba! A könyvjelző

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Diszkrét matematika alapfogalmak

Diszkrét matematika alapfogalmak 2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK 1.1.1 Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható 1.1.2 Incidenciamátrix

Részletesebben

ELŐTERJESZTÉS A Képviselő-testület 2013. május 16-i ülésére

ELŐTERJESZTÉS A Képviselő-testület 2013. május 16-i ülésére Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata Iktató szám: 84/2/2013. ELŐTERJESZTÉS A Képviselő-testület 2013. május 16-i ülésére Tárgy: Előterjesztő: Készítette: Előzetesen tárgyalja: Módosító

Részletesebben

Tartalomjegyzék Algoritmusok - pszeudókód... 1 42

Tartalomjegyzék Algoritmusok - pszeudókód... 1 42 Tartalomjegyzék Algoritmusok - pszeudókód... 1 42 Abszolút érték...1 Hányados ismételt kivonással...1 Legnagyobb közös osztó... 1 2 Páros számok szűrése...2 Palindrom számok... 2 3 Orosz szorzás...3 Minimum

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Adatszerkezetek Adatszerkezet fogalma. Az értékhalmaz struktúrája

Adatszerkezetek Adatszerkezet fogalma. Az értékhalmaz struktúrája Adatszerkezetek Összetett adattípus Meghatározói: A felvehető értékek halmaza Az értékhalmaz struktúrája Az ábrázolás módja Műveletei Adatszerkezet fogalma Direkt szorzat Minden eleme a T i halmazokból

Részletesebben

DENINET Üzleti Kommunikációs Kft. Általános Szerződési Feltételek. Internet elérési szolgáltatás nyújtásához

DENINET Üzleti Kommunikációs Kft. Általános Szerződési Feltételek. Internet elérési szolgáltatás nyújtásához DENINET Üzleti Kommunikációs Kft. Általános Szerződési Feltételek Internet elérési szolgáltatás nyújtásához utolsó módosítás: 2014.08.1 Hatályos: 2015.09.01.-től Tartalomjegyzék 1. Általános adatok, elérhetőség...

Részletesebben

Algoritmusok pszeudókód... 1

Algoritmusok pszeudókód... 1 Tartalomjegyzék Algoritmusok pszeudókód... 1 Abszolút érték... 1 Hányados ismételt kivonással... 1 Legnagyobb közös osztó... 1 Páros számok szűrése... 2 Palindrom számok... 2 Orosz szorzás... 2 Minimum

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

.../2007. (...) Korm. rendelete. az építésüggyel kapcsolatos egyes kormányrendeletek módosításáról

.../2007. (...) Korm. rendelete. az építésüggyel kapcsolatos egyes kormányrendeletek módosításáról .../2007. (...) Korm. rendelete az építésüggyel kapcsolatos egyes kormányrendeletek módosításáról A Kormány az épített környezet alakításáról és védelméről szóló 1997. évi LXXVIII. törvény (a továbbiakban:

Részletesebben

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások Gonda János POLINOMOK Példák és megoldások ELTE Budapest 007-11-30 IK Digitális Könyvtár 4. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Bui Minh Phong Láng Csabáné Szerkesztette: Láng Csabáné c

Részletesebben

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek

Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Diagnosztika - 3. p. 1/2 Modell Alapú Diagnosztika Diszkrét Módszerekkel Dinamikus modellek szerkezete, SDG modellek Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Diagnosztika - 3.

Részletesebben

ZNET-Mikronet Kereskedelmi és Szolgáltató Kft. Általános Szerződési Feltételek

ZNET-Mikronet Kereskedelmi és Szolgáltató Kft. Általános Szerződési Feltételek ZNET-Mikronet Kereskedelmi és Szolgáltató Kft. Általános Szerződési Feltételek Műholdas műsorelosztási szolgáltatáshoz Előző módosítás: 2012.04.15 Előző módosítás: 2012.07.01, 2013.01.15.,2013.03.15, 2013.11.15.,

Részletesebben

1. Általános rendelkezések

1. Általános rendelkezések Mór Városi Önkormányzat Képviselő-testületének 21/2015. (VI.3.) önkormányzati rendelete a civil szervezetek pályázati és eseti önkormányzati támogatásáról Mór Városi Önkormányzat Képviselő-testülete az

Részletesebben

A MISKOLCI EGYETEM SZERVEZETI ÉS MŰKÖDÉSI SZABÁLYZATA

A MISKOLCI EGYETEM SZERVEZETI ÉS MŰKÖDÉSI SZABÁLYZATA A MISKOLCI EGYETEM SZERVEZETI ÉS MŰKÖDÉSI SZABÁLYZATA I. KÖTET SZERVEZETI ÉS MŰKÖDÉSI REND II. KÖTET FOGLALKOZTATÁSI KÖVETELMÉNYRENDSZER III. KÖTET HALLGATÓI KÖVETELMÉNYRENDSZER Miskolc, 2011 1.3. számú

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Hortobágy Községi Önkormányzat Képviselő-testületének

Hortobágy Községi Önkormányzat Képviselő-testületének Hortobágy Községi Önkormányzat Képviselő-testületének 16/2014 (IX. 29.) Önkormányzati Rendelete a településképi véleményezési és településképi bejelentési eljárásról Hortobágy Község Önkormányzatának Képviselő-testülete

Részletesebben

Tárgyév adata 2013. december 31. Tárgyév adata 2014. december 31. A tétel megnevezése

Tárgyév adata 2013. december 31. Tárgyév adata 2014. december 31. A tétel megnevezése A tétel megnevezése Tárgyév adata 2013. december 31. Tárgyév adata 2014. december 31. 1. Pénzeszközök 19 798 163 488 2. Állampapírok 411 306 73 476 a) forgatási célú 411 325 73 408 b) befektetési célú

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

I. FEJEZET ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK. 1. A rendelet hatálya és értelmezése

I. FEJEZET ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK. 1. A rendelet hatálya és értelmezése Szigliget Község Önkormányzata Képviselő-testületének 5/2010. (IX.1) önkormányzati rendelete Szigliget Község Helyi Építési Szabályzatáról és Szabályozási Tervéről 1 (Módosítással egybefoglalva és lezárva:

Részletesebben

Tartalomjegyzék Algoritmusok - pszeudókód... 1 42

Tartalomjegyzék Algoritmusok - pszeudókód... 1 42 Tartalomjegyzék Algoritmusok - pszeudókód... 1 42 Abszolút érték...1 Hányados ismételt kivonással...1 Legnagyobb közös osztó... 1 2 Páros számok szűrése...2 Palindrom számok...2 Orosz szorzás...3 Minimum

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Vektorok. Octave: alapok. A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Vektorok. Octave: alapok. A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Vektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Octave: alapok Az octave mint számológép: octave:##> 2+2 ans = 4 Válasz elrejtése octave:##> 2+2; octave:##> + - / * () Hatványozás:

Részletesebben