Komputeralgebra Rendszerek
|
|
|
- Gábor Farkas
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Komputeralgebra Rendszerek Polinomok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 80
2 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Egyváltozós polinomok Alapfogalmak Egyváltozós polinomok a MAPLE -ben Műveletek Egyéb műveletek Faktorizáció és GCD Egyváltozós polinomok a SAGE -ben Alapok I Alapok II Polinomok Z fölött 3 Többváltozós polinomok... a MAPLE -ben... a SAGE -ben 4 Racionális törtfüggvények TARTALOMJEGYZÉK 2 of 80
3 ALAPFOGALMAK A polinom fogalma: egy gyűrű elemeiből alkotott csak véges sok nem zérus elemet tartalmazó sorozat. Egyváltozós polinomok 3 of 80
4 ALAPFOGALMAK A polinom fogalma: egy gyűrű elemeiből alkotott csak véges sok nem zérus elemet tartalmazó sorozat. Jelöléstechnika: n i=1 a ix i ahol a i a gyűrű eleme, az x szimbólum a változó. Egyváltozós polinomok 4 of 80
5 ALAPFOGALMAK A polinom fogalma: egy gyűrű elemeiből alkotott csak véges sok nem zérus elemet tartalmazó sorozat. Jelöléstechnika: n i=1 a ix i ahol a i a gyűrű eleme, az x szimbólum a változó. Jellemzők: fokszám, főegyüttható, főtag. Egyváltozós polinomok 5 of 80
6 ALAPFOGALMAK A polinom fogalma: egy gyűrű elemeiből alkotott csak véges sok nem zérus elemet tartalmazó sorozat. Jelöléstechnika: n i=1 a ix i ahol a i a gyűrű eleme, az x szimbólum a változó. Jellemzők: fokszám, főegyüttható, főtag. Számítógépes ábrázolás: kanonikus forma (extended canonical form), összevont forma (collected form) Egyváltozós polinomok 6 of 80
7 MŰVELETEK Információk és alapműveletek A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 7 of 80
8 MŰVELETEK Információk és alapműveletek A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 8 of 80
9 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 9 of 80
10 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 10 of 80
11 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 11 of 80
12 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 12 of 80
13 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 13 of 80
14 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 14 of 80
15 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk Műveletek type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 15 of 80
16 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 16 of 80
17 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás szorzás A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 17 of 80
18 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás szorzás osztás: q:=quo(p2,p1,x, r ), r:=rem(p2,p1,x, q ), divide (p2,p1, q ) (Ez utóbbi csak Q) fölött. A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 18 of 80
19 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás szorzás osztás: q:=quo(p2,p1,x, r ), r:=rem(p2,p1,x, q ), divide (p2,p1, q ) (Ez utóbbi csak Q) fölött. expand A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 19 of 80
20 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás szorzás osztás: q:=quo(p2,p1,x, r ), r:=rem(p2,p1,x, q ), divide (p2,p1, q ) (Ez utóbbi csak Q) fölött. expand collect A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 20 of 80
21 MŰVELETEK Információk és alapműveletek Információk type(p,polynomial) lcoeff, tcoeff, coeff coeffs, powers degree testeq Műveletek összeadás szorzás osztás: q:=quo(p2,p1,x, r ), r:=rem(p2,p1,x, q ), divide (p2,p1, q ) (Ez utóbbi csak Q) fölött. expand collect sort() A MAPLE az együtthatók alapján eldönti, hogy Z, Q, R fölötti-e a polinom. Egyváltozós polinomok 21 of 80
22 A POLYNOMIALTOOLS CSOMAG Csak az egyszerűbbek: CoefficientList(... ) az együtthatók listája, futtatható nem kanonikus polinomra Egyváltozós polinomok 22 of 80
23 A POLYNOMIALTOOLS CSOMAG Csak az egyszerűbbek: CoefficientList(... ) az együtthatók listája, futtatható nem kanonikus polinomra CoefficientVector Egyváltozós polinomok 23 of 80
24 A POLYNOMIALTOOLS CSOMAG Csak az egyszerűbbek: CoefficientList(... ) az együtthatók listája, futtatható nem kanonikus polinomra CoefficientVector Translate(p,x, c) az x változó helyett x+c -be "tolja" a polinomot (Létezik olyan változata, amely csak az expand-ot használja) Egyváltozós polinomok 24 of 80
25 A POLYNOMIALTOOLS CSOMAG Csak az egyszerűbbek: CoefficientList(... ) az együtthatók listája, futtatható nem kanonikus polinomra CoefficientVector Translate(p,x, c) az x változó helyett x+c -be "tolja" a polinomot (Létezik olyan változata, amely csak az expand-ot használja) GcdFreeBasis(p 1, p 2,..., p n ) - a polinomok által generált ideál egy gcd-mentes bázisa (Mi is az ideál?) Egyváltozós polinomok 25 of 80
26 FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Egyváltozós polinomok 26 of 80
27 FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) Egyváltozós polinomok 27 of 80
28 FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Egyváltozós polinomok 28 of 80
29 FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Egyváltozós polinomok 29 of 80
30 FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Egyváltozós polinomok 30 of 80
31 FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Egyváltozós polinomok 31 of 80
32 FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Bővítményben: factor(p, K), ahol a "K" a bővítés, pl. A Gauss egészek fölött: factor(p,i) Egyváltozós polinomok 32 of 80
33 FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Bővítményben: factor(p, K), ahol a "K" a bővítés, pl. A Gauss egészek fölött: factor(p,i) Maradékosztályokban: Factor(p) mod m, a függvény inert formájával Egyváltozós polinomok 33 of 80
34 FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Bővítményben: factor(p, K), ahol a "K" a bővítés, pl. A Gauss egészek fölött: factor(p,i) Maradékosztályokban: Factor(p) mod m, a függvény inert formájával Véges testekben a bővítő polinommal adhatjuk meg.(pl Z 4 -ben x 2 + x + 1) Egyváltozós polinomok 34 of 80
35 FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Bővítményben: factor(p, K), ahol a "K" a bővítés, pl. A Gauss egészek fölött: factor(p,i) Maradékosztályokban: Factor(p) mod m, a függvény inert formájával Véges testekben a bővítő polinommal adhatjuk meg.(pl Z 4 -ben x 2 + x + 1) A két forma keverhető Egyváltozós polinomok 35 of 80
36 FAKTORIZÁCIÓ ÉS GCD A Z-beli számítás esetén a név egy i szuffixet kap, alapértelmezett Q. A gcd és lcm Az lnko [i]gcd(p 1, p 2 ) A bővített euklidesz algoritmusra: [i]gcdex Létezik lkkt is: [i]lcm Faktorizáció Az alapfüggvény:[i]factor(p), ez Z, Q-ban Bővítményben: factor(p, K), ahol a "K" a bővítés, pl. A Gauss egészek fölött: factor(p,i) Maradékosztályokban: Factor(p) mod m, a függvény inert formájával Véges testekben a bővítő polinommal adhatjuk meg.(pl Z 4 -ben x 2 + x + 1) A két forma keverhető Az inert forma használható a sort, expand függvényekre is Egyváltozós polinomok 36 of 80
37 A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Egyváltozós polinomok 37 of 80
38 A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. Egyváltozós polinomok 38 of 80
39 A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. A gyűrű (is) önálló matematikai objektumként használható programozáshoz is Egyváltozós polinomok 39 of 80
40 A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. A gyűrű (is) önálló matematikai objektumként használható programozáshoz is Az objektumok két fontos adata: Egyváltozós polinomok 40 of 80
41 A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. A gyűrű (is) önálló matematikai objektumként használható programozáshoz is Az objektumok két fontos adata: Hova tartozunk :.parent() Egyváltozós polinomok 41 of 80
42 A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. A gyűrű (is) önálló matematikai objektumként használható programozáshoz is Az objektumok két fontos adata: Hova tartozunk :.parent() Honnan jöttünk :.base_ring() Egyváltozós polinomok 42 of 80
43 A SAGE ALGEBRAI ÉRTELMEZÉSE A MAPLE -el ellentétben a SAGE a "csak úgy" beírt polinomokat nem tekinti számstruktúra felettinek, ez automatikusan a "szimbolikus gyűrű" eleme lesz Ha számstruktúra fölött polinomokkal akarunk dolgozni, előre kötelező a gyűrűt definiálni. A gyűrű (is) önálló matematikai objektumként használható programozáshoz is Az objektumok két fontos adata: Hova tartozunk :.parent() Honnan jöttünk :.base_ring() Egy gyűrű általában több módon definiálható. Egyváltozós polinomok 43 of 80
44 A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű Egyváltozós polinomok 44 of 80
45 A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring Egyváltozós polinomok 45 of 80
46 A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Egyváltozós polinomok 46 of 80
47 A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Az azonos fokú tagok összegyűjtése és a rendezés automatikus Egyváltozós polinomok 47 of 80
48 A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Az azonos fokú tagok összegyűjtése és a rendezés automatikus A megfelelő függyvényenvek hasonlóak:.leading_coeff(),.trailing_coeff().degree() Egyváltozós polinomok 48 of 80
49 A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Az azonos fokú tagok összegyűjtése és a rendezés automatikus A megfelelő függyvényenvek hasonlóak:.leading_coeff(),.trailing_coeff().degree() Itt nincs osztás! Egyváltozós polinomok 49 of 80
50 A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Az azonos fokú tagok összegyűjtése és a rendezés automatikus A megfelelő függyvényenvek hasonlóak:.leading_coeff(),.trailing_coeff().degree() Itt nincs osztás! Összeadás, szorzás, faktorizáció, gcd működik, bővített gcd nincs! Egyváltozós polinomok 50 of 80
51 A SZIMBOLIKUS POLINOMGYŰRŰ A szimbolikus gyűrű A.parent() függvény eredménye: Symbolic Ring A beszorzás itt sem automatikus, kell az.expand() Az azonos fokú tagok összegyűjtése és a rendezés automatikus A megfelelő függyvényenvek hasonlóak:.leading_coeff(),.trailing_coeff().degree() Itt nincs osztás! Összeadás, szorzás, faktorizáció, gcd működik, bővített gcd nincs! A függvényekben általában kötelező a változót feltüntetni (hiszen szimbolikus!) Egyváltozós polinomok 51 of 80
52 SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek Egyváltozós polinomok 52 of 80
53 SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) Egyváltozós polinomok 53 of 80
54 SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) Egyváltozós polinomok 54 of 80
55 SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Egyváltozós polinomok 55 of 80
56 SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Nincs utolsó tag lekérdezés, csak konstans-tag Egyváltozós polinomok 56 of 80
57 SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Nincs utolsó tag lekérdezés, csak konstans-tag Az együtthatók lekérdezhetők:.coefficients(), ez egy lista, nem tartalmazza a 0-kat. Egyváltozós polinomok 57 of 80
58 SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Nincs utolsó tag lekérdezés, csak konstans-tag Az együtthatók lekérdezhetők:.coefficients(), ez egy lista, nem tartalmazza a 0-kat. Listává alakítható:.list() vagy.coeffs() - tartalmazz a 0-kat Egyváltozós polinomok 58 of 80
59 SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Nincs utolsó tag lekérdezés, csak konstans-tag Az együtthatók lekérdezhetők:.coefficients(), ez egy lista, nem tartalmazza a 0-kat. Listává alakítható:.list() vagy.coeffs() - tartalmazz a 0-kat Van bővített euklideszi is:.xgcd() Egyváltozós polinomok 59 of 80
60 SZÁMSTRUKTÚRA FÖLÖTTI POLINOMOK Z[x] és a többiek A gyűrű létrehozása: pl. R.<x> = PolynomialRing(ZZ) vagy R = ZZ[x] (avagy QQ, stb) A beszorzás is automatikus (néha sajnos) A függvénynevek nem konzisztensek: pl..leading_coefficient() (rövidítés nélkül) Nincs utolsó tag lekérdezés, csak konstans-tag Az együtthatók lekérdezhetők:.coefficients(), ez egy lista, nem tartalmazza a 0-kat. Listává alakítható:.list() vagy.coeffs() - tartalmazz a 0-kat Van bővített euklideszi is:.xgcd() Van maradékos osztás.quo_rem, vagy külön // és % Egyváltozós polinomok 60 of 80
61 SPECIALITÁSOK Műveletek Ugyanazok, mint az egyváltozósoknál Többváltozós polinomok 61 of 80
62 SPECIALITÁSOK Műveletek Ugyanazok, mint az egyváltozósoknál Rendezés sort(expr, method) Többváltozós polinomok 62 of 80
63 SPECIALITÁSOK Műveletek Ugyanazok, mint az egyváltozósoknál Rendezés sort(expr, method) Teljes fokszám alapján (default) Többváltozós polinomok 63 of 80
64 SPECIALITÁSOK Műveletek Ugyanazok, mint az egyváltozósoknál Rendezés sort(expr, method) Teljes fokszám alapján (default) Tiszta lexikografikus x i y j < x i y j <=> i < i vagy(i = i, j < j ) Többváltozós polinomok 64 of 80
65 SPECIALITÁSOK Műveletek Ugyanazok, mint az egyváltozósoknál Rendezés sort(expr, method) Teljes fokszám alapján (default) Tiszta lexikografikus x i y j < x i y j <=> i < i vagy(i = i, j < j ) A disztributív és rekurzív alak között a collect() függvény paramétereivel váltunk (recursive, distributed, ezen belül a változósorrend is állítható) Többváltozós polinomok 65 of 80
66 SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk Többváltozós polinomok 66 of 80
67 SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) Többváltozós polinomok 67 of 80
68 SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) lex = lexikografikus Többváltozós polinomok 68 of 80
69 SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) lex = lexikografikus degrevlex = teljes fokszám szerinti, egy kifejezésen belül fordított lexikografikus Többváltozós polinomok 69 of 80
70 SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) lex = lexikografikus degrevlex = teljes fokszám szerinti, egy kifejezésen belül fordított lexikografikus deglex, invlex,... Többváltozós polinomok 70 of 80
71 SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) lex = lexikografikus degrevlex = teljes fokszám szerinti, egy kifejezésen belül fordított lexikografikus deglex, invlex,... Az x kivételével kötelező a változókat a var kulcszóval definiálni. (Kivéve, ha a munkalapot egy automatic_names utasítással kezdjük) Többváltozós polinomok 71 of 80
72 SPECIALITÁSOK Az egyváltozóshoz hasonlóan ha nem definiálunk alapgyűrűt, akkor a szimbolikus gyűrűben dolgozunk A gyűrű definiálása hasonló az egyváltozóshoz, opcionálisan megadható a kitevő-rendezettség (order) lex = lexikografikus degrevlex = teljes fokszám szerinti, egy kifejezésen belül fordított lexikografikus deglex, invlex,... Az x kivételével kötelező a változókat a var kulcszóval definiálni. (Kivéve, ha a munkalapot egy automatic_names utasítással kezdjük) A fokszám szerinti rendezés automatikus Többváltozós polinomok 72 of 80
73 ... A MAPLE -BAN Racionális törtfüggvény, numer, denom Racionális törtfüggvények 73 of 80
74 ... A MAPLE -BAN Racionális törtfüggvény, numer, denom Az egyszerűsítés nem automatikus, kivéve ha azonnal felismerhető a közös faktor Racionális törtfüggvények 74 of 80
75 ... A MAPLE -BAN Racionális törtfüggvény, numer, denom Az egyszerűsítés nem automatikus, kivéve ha azonnal felismerhető a közös faktor Egyszerűsítés: normal Racionális törtfüggvények 75 of 80
76 ... A SAGE -BEN Itt is különbséget kell tennünk a szimbolikus gyűrű és a számstruktúrák fölöti objektumok között. Racionális törtfüggvények 76 of 80
77 ... A SAGE -BEN Itt is különbséget kell tennünk a szimbolikus gyűrű és a számstruktúrák fölöti objektumok között. Két szimbolikus polinom hányadosa a szimbolikus gyűrűben van (ugyanis test) Racionális törtfüggvények 77 of 80
78 ... A SAGE -BEN Itt is különbséget kell tennünk a szimbolikus gyűrű és a számstruktúrák fölöti objektumok között. Két szimbolikus polinom hányadosa a szimbolikus gyűrűben van (ugyanis test) Z[x] esetén automatikusan létrehozza a hányadostestet. Racionális törtfüggvények 78 of 80
79 ... A SAGE -BEN Itt is különbséget kell tennünk a szimbolikus gyűrű és a számstruktúrák fölöti objektumok között. Két szimbolikus polinom hányadosa a szimbolikus gyűrűben van (ugyanis test) Z[x] esetén automatikusan létrehozza a hányadostestet. A számláló, nevező:.numerator() és.denominator() Racionális törtfüggvények 79 of 80
80 ... A SAGE -BEN Itt is különbséget kell tennünk a szimbolikus gyűrű és a számstruktúrák fölöti objektumok között. Két szimbolikus polinom hányadosa a szimbolikus gyűrűben van (ugyanis test) Z[x] esetén automatikusan létrehozza a hányadostestet. A számláló, nevező:.numerator() és.denominator() Z[x] esetén automatikusan az egyszerűsítés Racionális törtfüggvények 80 of 80
Komputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Normálformák, algebrai reprezentáció Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. április 8. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 113 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az absztrakció
Komputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Számkezelés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 53 TARTALOMJEGYZÉK 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az egzakt aritmetika Bignum aritmetika
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Komputeralgebrai Algoritmusok
Komputeralgebrai Algoritmusok Adatábrázolás Czirbusz Sándor, Komputeralgebra Tanszék 2015-2016 Ősz Többszörös pontosságú egészek Helyiértékes tárolás: l 1 s d i B i i=0 ahol B a számrendszer alapszáma,
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Komputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek A szimbolikus megoldó a MAPLE -ben Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. március 4. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 41 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Funkció és
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
Komputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Programozás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. február 23. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 28 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Értékadás MAPLE -ben SAGE -ben 3
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
Alapvető polinomalgoritmusok
Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
Hatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
Kongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007
Maple Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 A Maple egy matematikai formula-manipulációs (vagy számítógép-algebrai) rendszer, amelyben nem csak numerikusan, hanem formális változókkal
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
Komputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Bevezető és történeti áttekintés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 17. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 73 TARTALOMJEGYZÉK 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Mi a komputeralgebra
DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ
DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ B szakirány 2014 június Tartalom 1. Fák definíciója ekvivalens jellemzései... 3 2. Hamilton-kör Euler-vonal... 4 3. Feszítőfa és vágás... 6 4. Címkézett
1. A Horner-elrendezés
1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =
Intergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Algebrai egész kifejezések (polinomok)
Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Komputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Bevezető és történeti áttekintés Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2017. február 12. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 82 TARTALOMJEGYZÉK 1 Mi a komputeralgebra 2 Történet
1. Gráfok alapfogalmai
1. Gráfok alapfogalmai Definiáld az irányítatlan gráf fogalmát! Definiáld az illeszkedik és a végpontja fogalmakat! Definiáld az illeszkedési relációt! Definiáld a véges/végtelen gráf fogalmát! Definiáld
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra
Komputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek I. Bevezetés Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar D2.711A 2009-2010 tavasz Tartalomjegyzék 1 Előzetes 2 Komputeralgebra 3 Történeti
2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 3. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtartományok: természetes
1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
![1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).](/thumbs/92/110111081.jpg "1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).")
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 2. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Követelmények,
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
Gy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és negyedfokú egyenlet
1. Bevezetés A félév anyaga Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint
Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz
Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz 2011. tavasz A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők! A tételek esetleges neve, vagy száma a fóliákkal van szinkronban,
Komputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Konstansok, változók, típusok Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 24. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 110 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Nevek kezelése
Számítógépes Hálózatok 2012
Számítógépes Hálózatok 22 4. Adatkapcsolati réteg CRC, utólagos hibajavítás Hálózatok, 22 Hibafelismerés: CRC Hatékony hibafelismerés: Cyclic Redundancy Check (CRC) A gyakorlatban gyakran használt kód
Testek március 29.
Testek 2014. március 29. 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések [Sz] V/3, XIII/1,2; [F] III/1-7 (+ előismeretek!) Definíció Ha egy nemüres halmazon
Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN
SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon
Diszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
Bevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro
Kriptográfia és Információbiztonság 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Miről volt szó az elmúlt előadáson? blokk-titkosító
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben
Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.
Komputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek A MAPLE és a SAGE felépítése Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. február 17. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 1 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 2 of 1 A MAPLE 3 of 1 ÖSSZETEVŐK
1. Hatvány és többszörös gyűrűben
1. Hatvány és többszörös gyűrűben Hatvány és többszörös Definíció (K2.2.19) Legyen asszociatív művelet és n pozitív egész. Ekkor a n jelentse az n tényezős a a... a szorzatot. Ez az a elem n-edik hatványa.
FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest
FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A 2. és a 4. fejezet feladatai megoldva megtalálhatók a Testb vítés, véges testek;
Komputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Komputeralgebra rendszerek
Komputeralgebra rendszerek III. Változók Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2009-2010 ősz Index I 1 Szimbolikus konstansok kezelés A konstansok Nevek levédése
Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott
1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
5. osztály. Matematika
5. osztály A természetes számok értelmezése 100 000-ig. A tízes számrendszer helyértékes írásmódja. A A természetes számok írásbeli összeadása, kivonása. A műveleti eredmények becslése. Ellenőrzés 3. A
Waldhauser Tamás szeptember 8.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. szeptember 8. Tematika Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak. Moivre-képlet, gyökvonás, egységgyökök, egységgyök rendje, primitív egységgyökök.
Polinomok, Lagrange interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok
TANMENET. Matematika
Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
2. Algebrai átalakítások
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)
1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok
Kiegészítő előadás. Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor. Széchenyi István Egyetem
Kiegészítő előadás Matlab 7. (Szimbolikus számítások) Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Symbolic Math Toolbox áttekintés Szimbolikus változók és konstansok, szimbolikus kifejezések,
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
Komputeralgebra Rendszerek
Komputeralgebra Rendszerek Összetett adatszerkezetek a MAPLE -ben Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2014. március 11. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 66 TARTALOMJEGYZÉK I 1 TARTALOMJEGYZÉK 2 Kifejezéssorozatok
Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.
Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év 2006. május 10. Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1
ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom
Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
Polinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
Data Security: Public key
Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra
Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
A parciális törtekre bontás?
Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus