Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz"

Átírás

1 Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők! A tételek esetleges neve, vagy száma a fóliákkal van szinkronban, bár a nyomtatott jegyzetben is megtalálhatóak. 6. Számelmélet 6.1 Osztahtóság Osztó, egység, asszociáltak, triviális osztó, felbonthatatlan és prím elem egységelemes integritási tartományban, összetett szám Z-ben, legnagyobb közös osztó, relatív prímek, páronként relatív prímek, legkisebb közös többszörös egységelemes integritási tartományban, páros számok, páratlan számok, prímek száma, prímek közti szakadék, (módosított) kanonikus alak, lnko és lkkt-re vonatkozó észrevételek, Erathosztenész szitája, kongruencia, Kongruencia tulajdonságai Prím és felbonthatatlan elem kapcsolata az egész számok gyűrűjében, a számelmélet alaptétele egész számokra, Euklidész tétele 6.2 Kongruenciák Kongruencia, m szerinti maradékosztály, m szerinti redukált maradékosztály, teljes maradékrendszer modulo m, redukált maradékrendszer modulo m, Euler-féle függvény, lineáris kongruencia megoldása Kínai maradéktétel Nullosztók Z m -ben (Z m mikor test), omnibusz tétel, Euler-Fermat tétel, (kis) Fermat-tétel

2 6.3 Számelméleti függvények Additív és multiplikatív számelméleti függvények, totalitás (teljesség), Additív és multiplikatív számelméleti függvények kiszámítása multiplikatív, φ kiszámolása 7. Gráfelmélet 7.1. Alapfogalmak, összefüggőség Gráf (egyszerű, véges, reguláris, teljes, összefüggő) / él (hurok, párhuzamos, szomszédos, szeparáló) / csúcs (izolált, szomszédos, fokszám, illeszkedés, szeparáló) / gráfok izomorfiája / részgráf (telített) / komplementer gráf / (zárt, nyílt) élsorozat(séta) / út, vonal / kör / fa / feszítőfa / alapkörrendszer / vágás / (feszítő)erdő / nullitás / rang Gráf súlya / Kruskalalgoritmus / Euler-gráf / Euler-kör / Hamilton-gráf / Hamilton-kör. Fokszám-élszám / út létezése / zárt vonal gráfban / 4 ekvivalens feltétel egyszerű gráfra(7.1.11) / elsőfokú pont fában / fa éleinek száma(7.1.13) / feszítőfa létezése. / nullitás(7.1.16) / rang(7.1.19) / Kruskal algoritmusa / Euler-formula / Euler-gráfok(7.1.22) Irányított gráfok, síkbarajzolhatóság Kifok, befok, forrás nyelő / (szigorúan) párhuzamoos élek / irányított élsorozat (zárt, nyílt) / út / kör / fa / irányított gráfok izomorfiája / erős összefüggőség / összefüggő és erősen összefüggő komponensek / irányított fa, gyökér, levél, szint magasság, szülő, gyerek, testvér / síkbarajzolhatóság, tartomány / Kuratowski-gráfok / topologikus izomorfia / csúcsmátrix (szomszédsági mátrix) / illeszkedési mátrix (élmátrix).

3 Síkgráf éleinek száma / síkgráf fokszámai / Kuratowski gráfok. Irányítot gráf fokszámai / irányított gráf erős összefüggősége / síkba-gömbre rajzolás / külsőbelső tartomány / Kuratowski-tétel. 8. Algebra 8.1. Csoportok Algebrai struktúrák, izomorfiájuk / n-ér művelet / additív és multiplikatív írásmód / morfizmusok / hommorf kép / műveleti tulajdonságok: asszociativitás, regularitás, kommutativitás, invertálhatóság, típusok / grupoid, félcsoport, csoport Abel-csoport / n- tényezős szorzat / egységelemmel és inverzzel kapcsolatos fogalmak / komplexus / komplexus szorzás / részcsoport / generátum / véges, végtelen ciklikus csoport / elem, csoport rendje / jobb és bal oldali mellékosztály / reprezentánsrendszer / részcsoport indexe / triviális (rész)csoport / invariáns részcsoport (normálosztó) / belső automorfizmus / faktor csoport / természetes homomorfizmus és tulajdonságai / homomorfizmus magja / direkt szorzat / szimmetrikus csoport. Egységelem unicitása / inverz unicitása / csoportdefiníciók ekvivalenciája / regularitás / komplexusok félcsoportja / ekvivalens állítások részcsoportokra / részcsoportok metszete és uniója / generátum elemei / ciklikus csoport részcsoportja ciklikus / ciklikus csoportok izomorfiája(8.1.20) / véges ciklikus csoport részcsoportjai(8.1.23) / Lagrange-tétel és következményei / prímszámrendű csoport / homomorfizmus-tétel / Cayley tétele. Asszociativitási törvény / ciklikus csoport homomorf képe / véges Abel-csoportok alaptétele / homomorf invariánsok félcsoportban / invariáns részcsoportokra vonatkozó ekvivalens állítások.

4 8.2. Gyűrűk Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test / nullelem, egységelem / nullgyűrű, zérógyűrű / nullosztó / karakterisztika / Bool-gyűrű / gyűrűhomomorfizmus / asszociáltak / legnagyobb közös osztó, / részgyűrű, (triviális, valódi, fő) ideál / egyszerű gyűrű / főideálgyűrű / ideál szerinti mellékosztályok / faktorgyűrű / homomorfizmus magja / oszthatóság, egységek / asszociált / felbonthatatlan, prím / részgyűrű, (triviális, valódi, fő) ideál, egyszerű gyűrű / faktorgyűrű / prímideál, maximális ideál / euklidészi gyűrű / oszthatóság, egységek / Gauss-egészek / triviális euklidészi gyűrű / Gauss-gyűrű ((egyértelmű) faktorizációs tartomány, UFD) / főideál / főideálgyűrű / hányadostest / gyűrűhierarchia felrajzolása. Észrevételek(előjelszabály, véges integritási tartomány, nullosztó testben, szorzás a nullelemmel) / nullosztó és regularitás / gyűrű karakterisztikája / gyűrű homomorf képe / felbonthatatlan és prím integritási tartományban / felbonthatatlan és prím Gauss-gyűrűben) / egység és egységelem integritási tartományban / egységek euklidészi gyűrűben(8.2.30) / euklidészi gyűrű fõideálgyűrű (2.8.35) / irreducibilitás és főideál kapcsolata euklidészi gyűrűben / Szükséges és elégséges feltétel, hogy R/I test, illetve integritási tartomány legyen + következmény / triviális ideálok és testek kapcsolata. homomorfizmus-tétel / főideálokról szóló állítások(8.2.25, ) / bővített euklidészi algoritmus / számelmélet alaptétele eukl. gyűrűben(8.2.34) / fõideálgyűrű Gauss-gyűrű Poinomok Polinom és kapcsolódó fogalmak / polinom műveletek / változó / polinom foka, konstans polinom, monom, főpolinom, primitív polinom / helyettesítési érték, gyök / polinomfüggvény / Horner-elrendezés / gyökök száma / polinom algebrai deriváltja / többszörös gyök / irreducibilis polinomok különböző számhalmazok felett / hányadostest / racionális függvénytest / polinomgyűrűk hierarchiája.

5 Polinomok maradékos osztása / test feletti polinomgyűrű / gyöktényező leválasztása / többszörös gyök és derivált polinom kapcsolata / parciális törtekre bontás.. Polinom gyökeinek száma + következmények(8.3.7, 8.3.8) / Schönemann- Eisenstein-tétel / Gauss-tétel.

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden

Részletesebben

FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON)

FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON) FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON) ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-02-04 A 2. fejezet feladatai megoldva

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

1. Hatvány és többszörös gyűrűben

1. Hatvány és többszörös gyűrűben 1. Hatvány és többszörös gyűrűben Hatvány és többszörös Definíció (K2.2.19) Legyen asszociatív művelet és n pozitív egész. Ekkor a n jelentse az n tényezős a a... a szorzatot. Ez az a elem n-edik hatványa.

Részletesebben

Diszkrét matematika alapfogalmak

Diszkrét matematika alapfogalmak 2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK 1.1.1 Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható 1.1.2 Incidenciamátrix

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Diszkrét Matematika 2 (C)

Diszkrét Matematika 2 (C) Diszkrét Matematika 2 (C) 2014-15 / őszi félév Jegyzet Az esetleges elírásokért, hibákért felelősséget nem vállalok! Javításokat, javaslatokat a következő címre küldhetsz: blackhawk1990@gmail.com Diszkrét

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK

DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK Szerkesztette: Bókay Csongor 2011 őszi félév Az esetleges hibákat kérlek a csongor@csongorbokay.com címen jelezd! Utolsó módosítás: 2012. január 16. Ez a Mű a Creative Commons

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

Alapvető polinomalgoritmusok

Alapvető polinomalgoritmusok Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem

Pécsi Tudományegyetem Számelmélet Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza a Számelmélet című VI. féléves tárgy kötelező elméleti anyagának a nagy részét. Tartalmaz továbbá olyan kiegészítő

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

Gonda János VÉGES TESTEK

Gonda János VÉGES TESTEK Gonda János VÉGES TESTEK Budapest, 2011 Lektorálta Bui Minh Phong Utolsó módosítás dátuma: 2012. február 1. Elıszó Ez a jegyzet az ELTE-n tartott Véges testek illetve Véges testek alkalmazásokhoz címő

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

Absztrakt algebra II. (2005) 1 ABSZTRAKT ALGEBRA II. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2005

Absztrakt algebra II. (2005) 1 ABSZTRAKT ALGEBRA II. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2005 Absztrakt algebra II. (2005) 1 ABSZTRAKT ALGEBRA II. GYŰRŰ- ÉS TESTELMÉLET Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy

Részletesebben

Diszkrét matematika II. gyakorlat

Diszkrét matematika II. gyakorlat Diszkrét matematika II. gyakorlat Absztrakt algebra Bogya Norbert Bolyai Intézet 2014. április 23. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2014. április 23. 1 / 23 Tartalom 1 1.

Részletesebben

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

13.1.Állítás. Legyen  2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre  =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste 13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a

Részletesebben

Készítettel: Szegedi Gábor (SZGRACI.ELTE)

Készítettel: Szegedi Gábor (SZGRACI.ELTE) Készítettel: Szegedi Gábor (SZGRACI.ELTE) http://people.inf.elte.hu/szgraci/egyetem Burcsi Péter tanár úr előadása alapján készült 2010-2011. őszi félév Logikai alapok Halmazelméleti alapfogalmak 1. Mondjon

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti alapfogalmak 1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

I. POLINOMELMÉLET. 1. Polinomok gyökei

I. POLINOMELMÉLET. 1. Polinomok gyökei I. POLINOMELMÉLET 1. Polinomok gyökei Ebben a paragrafusban legyen A integritástartomány, amely valamely K test részgyűrűje. Definíció. Azt mondjuk, hogy a c K elem az f(x) A[x] polinom gyöke, illetve

Részletesebben

DEFINICIÓK. Például a síkgeometriában predikátumok: ( egyenes ), ( pont ), ( illeszkedik - ra ).

DEFINICIÓK. Például a síkgeometriában predikátumok: ( egyenes ), ( pont ), ( illeszkedik - ra ). DEFINICIÓK 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. Például a síkgeometriában predikátumok: ( egyenes ), ( pont ), ( illeszkedik - ra ). 2. Sorolja fel a logikai jeleket. A logikai formulák alkotóelemei:

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Az általános (univerzális) algebra kialakulása,

Az általános (univerzális) algebra kialakulása, Néhány hasonló tétel. Az általános (univerzális) algebra kialakulása, néhány eredménye. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2013. május 8. A csoportelméleti homorfiatétel. Legyen G, H két csoport, ϕ: G

Részletesebben

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások Gonda János POLINOMOK Példák és megoldások ELTE Budapest 007-11-30 IK Digitális Könyvtár 4. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Bui Minh Phong Láng Csabáné Szerkesztette: Láng Csabáné c

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Ha G egy csoport, akkor g G : gg = Gg = G (mert gg G evidens és y G : y = g(g 1 y) gg, tehát G gg, ahonnan G = gg, hasonlóan a másik).

Ha G egy csoport, akkor g G : gg = Gg = G (mert gg G evidens és y G : y = g(g 1 y) gg, tehát G gg, ahonnan G = gg, hasonlóan a másik). 4. Részcsoportok 4.A. Csoport részhalmazainak félcsoportja Legyen (G, ) egy csoport és tekintsük G részhalmazait. Ha H, K G (H, K P(G)) definiáljuk ezek szorzatát így: HK = {hk : h H, k K}. Ha H = {h}

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI Példák és megoldások Lektorálta Ócsai Katalin c Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-11-08. javított kiadás Tartalomjegyzék 1. El szó..................................

Részletesebben

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3 Síkgráfok Kuratowski-tétel: egy gráf akkor és csak akkor síkba rajzolható gráf, ha nincs olyan részgráfja, ami a K 5 -el, vagy a K 3,3 -altopologikusan izomorf (homeomorf). Euler síkgráfokra vonatkozó

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

Láng Csabáné Testbıvítés, véges testek

Láng Csabáné Testbıvítés, véges testek Láng Csabáné Testbıvítés, véges testek Készült a programtervezı matematikus szak esti tagozat III. év II. félév, valamint az esti informatikus Bsc szak II. év II. félév számára Lektorálta Burcsi Péter

Részletesebben

Diszkrét matematika I. bizonyítások

Diszkrét matematika I. bizonyítások Diszkrét matematika I. bizonyítások Készítette: Szegedi Gábor SZGRACI.ELTE DYDHMF (http://szegedigabor.web.elte.hu) Burcsi Péter tanár úr előadása alapján készült 2010-2011. őszi félév 1. Fogalmazza meg

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. Fülöp Ágnes ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 2016. december 2. 2015-16 őszi félév Előadás: 1. előadás: 1-37 (szeptember 12.) 2. előadás: 38-65 (szeptember 19.) 3. előadás: 66-103

Részletesebben

Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007

Maple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 Maple Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 A Maple egy matematikai formula-manipulációs (vagy számítógép-algebrai) rendszer, amelyben nem csak numerikusan, hanem formális változókkal

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza 1) Euler körök és utak, ezek létezésének szükséges és elégséges feltétele. Hamilton körök és utak. Szükséges feltétel Hamilton kör/út létezésére. Elégséges feltételek: Dirac, és Ore tétele. Euler kör/út:

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Fried Katalin Korándi József Török Judit. A modern algebra alapjai

Fried Katalin Korándi József Török Judit. A modern algebra alapjai Fried Katalin Korándi József Török Judit A modern algebra alapjai Tartalomjegyzék 1. Bevezető 5 2. Algebrai műveletek 7 3. Félcsoportok 20 4. Csoportok 31 5. Mellékosztályok, normálosztó 50 6. Csoport

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné

Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné Felhasznált irodalom: Járai Antal & al: Láng Csabáné: Láng Csabáné: Gonda János: Láng Csabáné: Bevezetés a matematikába ELTE

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2010. június 18. A segédletek egy része az http://elearning.bmf.hu oldal Számítástudomány kurzusában található, de esetleg a

Részletesebben

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok halmaz halmaz megadása, jelölésmód üres halmaz véges halmaz végtelen halmaz halmazok egyenlısége részhalmaz, valódi részhalmaz halmazok uniója

Részletesebben

5.8. Irracionális egyenletek... 66 5.9. Az exponenciális függvény... 68 5.10. Exponenciális egyenletek... 69 5.11. A logaritmus függvény... 72 5.12.

5.8. Irracionális egyenletek... 66 5.9. Az exponenciális függvény... 68 5.10. Exponenciális egyenletek... 69 5.11. A logaritmus függvény... 72 5.12. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 4 13 Halmazok 5 14 A matematikai indukció elve 7 2 Valós számok 9 21 Valós számhalmazok 9 22

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

TANMENET. Matematika

TANMENET. Matematika Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

DHARMA Initiative Diszkrét Matematika 1. DHARMA INITIATIVE

DHARMA Initiative Diszkrét Matematika 1. DHARMA INITIATIVE DHARMA INITIATIVE Diszkrét Matematika 1. Definíciók (középszint) E dokumentum az ELTE IK Diszkrét Matematika 1. 2010/2011-es vizsgájára készült. Az elkészítéshez a korábbi évek kidolgozott listáit használtuk.

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

2.. A P tulajdonságú gyűrűk leírása

2.. A P tulajdonságú gyűrűk leírása K É T G Y Ü R Ű E L M É L E T I P R O B L É M Á R Ó L SZÁSZ FERENC 1.. Bevezetés A modern algebrában gyakoriak az olyan törekvések, amelyek bizonyos előre kiszabott tulajdonsággal rendelkező algebrai struktúrák

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro Kriptográfia és Információbiztonság 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Miről volt szó az elmúlt előadáson? blokk-titkosító

Részletesebben

SzA II. gyakorlat, szeptember 18.

SzA II. gyakorlat, szeptember 18. SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz

Részletesebben

1. Gráfmodellek. 1.1 Königsbergi hidak (Euler, 1736)

1. Gráfmodellek. 1.1 Königsbergi hidak (Euler, 1736) 1. Gráfmodellek 1.1 Königsbergi hidak (Euler, 1736) Probléma: Königsberg mellett volt egy Pregel nevû folyó, két szigettel. A folyó két partját és a szigeteket hét híd kötötte össze. Bejárhatjuk-e volt

Részletesebben

1. A Horner-elrendezés

1. A Horner-elrendezés 1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Matematikai nyelven van írva az, jelei háromszögek, körök és más geometriai formák... G. Galilei, Il Saggiatore

Matematikai nyelven van írva az, jelei háromszögek, körök és más geometriai formák... G. Galilei, Il Saggiatore A Természet nagy könyve mindig nyitva áll szemünk elött, és az igaz bölcselet van megírva benne... De nem olvashatjuk azt másképp, csak ha elébb megtanuljuk a nyelvet s jeleket, mellyel íratott... Matematikai

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

Debreceni Egyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet. Diplomamunka/Szakdolgozat. Diszkrét logaritmus. készítette: Vasenszki Zoltán

Debreceni Egyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet. Diplomamunka/Szakdolgozat. Diszkrét logaritmus. készítette: Vasenszki Zoltán Debreceni Egyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet Diplomamunka/Szakdolgozat Diszkrét logaritmus készítette: Vasenszki Zoltán témavezet : Dr. Tengely Szabolcs Debrecen, 2010.10.23. Tartalomjegyzék

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03

Jelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03 Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Síkba rajzolható gráfok

Síkba rajzolható gráfok Síkba rajzolható gráfok Elmélet Definíció: egy G gráfot síkba rajzolható gráfnak nevezünk, ha az felrajzolható a síkra anélkül, hogy az élei metsszék egymást. Egy ilyen felrajzolását a G gráf síkbeli reprezentációjának

Részletesebben

Algebra gyakorlat, 2. feladatsor, megoldásvázlatok

Algebra gyakorlat, 2. feladatsor, megoldásvázlatok Algebra gyakorlat, 2. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) (1 2)(2 3)(3 4)(4 5) = (1 2 3 4 5). b) Az állítás például k szerinti indukcióval könnyen belátható, az igazságtartalma közvetlenül is ellen rizhet

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

2. csoport, 8. tétel: Gráfok

2. csoport, 8. tétel: Gráfok Utolsó javítás: 2009. február 16. Áttekintés A gráfelmélet születése 1 A gráfelmélet születése 2 Csúcsok és élek Fokszámok Komplementer Izomorfia 3 Séták, utak, körök, összefüggőség Gráfbejárások Fagráfok

Részletesebben