Diszkrét matematika alapfogalmak

Átírás

1 2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható Incidenciamátrix Egy élnek végpontja-e egy pont b i,j = { 1, van él v i és v j között 0, nincs él v 1 v 2 v j v 1 b 1,1 b 2,1 b j,1 v 2 b 1,2 b 2,2 b j,2 [ v i b 1,i b 2,i b j,i ] a i,j = { 1, ha, v i végpontja e j nek 0, egyébként e 1 e 2 e j v 1 a 1,1 a 2,1 a j,1 v 2 a 1,2 a 2,2 a j,2 [ v i a 1,i a 2,i a j,i ] Éllista felsorolása Élekhez tartozó csúcsok felírása e 1 v 1 v 2 e 2 v 3 v 1 e 3 v 5 v 3 e 4 v 4 v 5 e 5 v 6 v 5 e 6 v 7 v Illeszkedési reláció φ: illeszkedési reláció V: csúcsok E: élek φ(e 1 ) = {v 1, v 2 }

2 Írja fele egy 4 csúcsú teljes gráf adjacenciamátrixát. v 1 v 2 v 3 v 4 v v v [ v ] 1.2 HUROKÉL, PÁRHUZAMOS ÉL, EGYSZERŰ GRÁF Hurokél Olyan él melynek két végpontja megegyezik φ(e 1 ) = 1 (mivel a hurokél csak egy csúcsra illeszkedik) Párhuzamos él Két él párhuzamos, ha végpontjaik megegyeznek e 5 és e 6 párhuzamos φ(e 5 ) = φ(e 6 ) Definiálja az egyszerű gráf fogalmát. Olyan gráf, amely nem tartalmaz párhuzamos és hurok éleket. 1.3 NYÍLT ILLETVE ZÁRT SÉTA, VONAL, ÚT, KÖR Sétha Nyílt: az n hosszú séta egy v 0, e 1, v 1, e 2, v 2 v n 1, e n, v n sorozat, ahol ψ(e i ) = (v i 1, v i ) Például: v 2, e 1, v 1, e 1, v 2, e 2, v 3 Zárt: Ha a kiindulópont egyezik a végponttal v 0 = v n Például v 2, e 1, v 1, e 1, v Vonal Olyan séta, ahol minden él csak 1x szerepel. v 3, e 3, v 1, e 1, v 2, e 2, v 3, e 4, v 4 2

3 1.3.3 Út Olyan séta, ahol minden csúcs csak 1x szerepel v 2, e 2, v 3, e 4, v Kör Olyan vonal, ahol a kezdőcsúcs és végcsúcs egyezik. Egy konkrét gráfban adjon meg két sétát adott két csúcs között, melyek közül az egyik út. 1. séta: v 2, e 1, v 1, e 3, v 3, e 2, v 2, e 2, v 3, e 4, v 4 2. séta: v 2, e 2, v 3, e 4, v FOKSZÁM, FOKSZÁMOK ÖSSZEGÉRE VONATKOZÓ ÁLLÍTÁS Fokszám A csúcsra illeszkedő élek száma Fokszámok összege d(v 1 ) = 2 d(v 1 ) = 3 d(v 1 ) = 5 d(v) = 2 E Egy gráfban a fokszámok összege megegyezik az élek számának kétszeresével. v V Van-e olyan gráf, melyben a fokszámok összege 15? Miért? Nincs, mert a fokszámok összege mindig páros 3

4 1.5 RÉSZGRÁF Definiálja a részgráf fogalmát. G 1 = (V 1, E 1, φ) G 2 = (V 1, E 1, ψ) V 1 V 2 E 1 E 2 φ ψ e E 1 : φ(e) = ψ(e) K 2,2 részgráfja K 4 -nek. 1.6 KONKRÉT GRÁFOK ÉS GRÁF TÍPUSOK ISMERETE Teljes gráf Minden csúcs szomszédja az összes többi csúcsnak. K 5: Jele: K n Csúcsok fokszáma: n-1 Élszámok: ( n 2 ) Páros gráf V = V 1 V 2 és V 1 V 2 = Él csak V 1 és V 2 között van Teljes páros gráf K n,m -t teljes páros gráfnak nevezzük, ha V = V 1 V 2 : V 1 V 2 = V 1 = n V 2 = m V 1 és V 2 közt minden él be van húzva 4

5 1.6.4 Petersen-gráf Rajzolja fel a Petersen-gráfot és egy teljes páros gráfot 5, illetve 4 elemű csúcsosztályokkal. 1.7 FA, ILLETVE FESZÍTŐFA FOGALMA Fa Összefüggő körmentes gráf Feszítőfa Gráf feszítőfája alatt azt a fát értjük, amely tartalmazza az összes csúcsot. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy addig hagyunk el éleket a gráfból, amíg körmentes, de még összefüggő marad. Egy gráfnak több feszítőfája is lehet. Adja meg egy adott gráf két különböző feszítőfáját. 5

6 1.8 FÁK JELLEMZÉSE EKVIVALENS TULAJDONSÁGGAL 1. G fa 2. G összefüggő, bármely él elvételével nem lesz összefüggő. 3. G-ben u v csúcsok esetén pontosan egy út van v és u között. 4. G-nincs köre, de él hozzátételével kör keletkezik. Igaz-e, hogy minden véges körmentes gráf fa? Miért? Nem igaz! Létezik véges körmentes gráf, amihez él hozzátételével továbbra is körmentes lesz. (4-es szabály) 1.9 EULER-VONAL ÉS LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELE Euler-vonal Olyan vonal, ahol minden élt érintünk egy gráfban Létezésének feltétele Akkor, és csak akkor van Euler-vonal egy gráfban, ha a páratlan fokszámú csúcsok száma 0 vagy 2. Van-e Euler-vonal a Petersen-gráfban? Miért? Nincs, mert mind a 10 csúcsának foka páratlan HAMILTON-KÖR, HAMILTON-ÚT Hamilton-kör Olyan kör, ami minden csúcsot pontosan egyszer érint egy gráfban Hamilton-út Olyan út, ami minden csúcsot pontosan egyszer érint egy gráfban 6

7 Adjon meg egy-egy gráfot, melyben nincs, illetve van Hamilton-kör IRÁNYÍTOTT SÉTA, VONAL, ÚT, KÖR Minden esetben G = (V, E, ψ) egy irányított gráf Irányított séta n hosszú irányított séta egy v 0, e 1, v 1, e 2, v 2 v n 1, e n, v n sorozat, ahol ψ(e i ) = (v i 1, v i ) Irányított vonal Olyan irányított séta, ahol minden él csak 1x szerepel Irányított út Olyan irányított séta, ahol minden csúcs csak 1x szerepel Irányított kör Olyan irányított vonal, ahol a kezdőcsúcs és végcsúcs egyezik. Adjon meg egy olyan irányított gráfot, mely tartalmaz kört, de irányított kört nem ÖSSZEFÜGGŐSÉG, ERŐS ÖSSZEFÜGGŐSÉG, KOMPONENS, ERŐS KOMPONENS Összefüggő Egy gráf összefüggő, ha minden u, v esetén van séta u ból v be Erősen összefüggő Erősen összefüggő egy gráf, ha minden u, v esetén van irányított séta u -ból v -be Komponens Egy v csúcs komponense egy gráfnak, ha minden u ra fenn áll v~u: v -ból van séta u -ba Erős komponens Egy v csúcs erős komponense egy gráfnak, ha minden u ra fenn áll v~u: v -ból van irányított séta u ba és vissza. Adjon meg két olyan gráfot, melyek összefüggőek, de nem erősen összefüggőek. 7

8 2 POLINOMOK 2.1 POLINOM, FOK, FOKSZÁMTÉTEL Polinom Legyen R egy kommutatív gyűrű, akkor (a 0, a 1, a 2 ) azon végtelen sorozatok halmazát, ahol csak véges sok nem 0 elem van, polinomnak hívjuk. Legyen R egy kommutatív gyűrű, akkor az a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 ahol a n a 0 R formális kifejezések a polinomok, ezek halmaza R[x]. A két definíció ekvivalens, kinek melyikhez van gusztusa Fok a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = f(x) Ha a n 0 a n a fő együttható és f(x) foka deg f(x) = n Fokszámtétel Ha deg f(x) = n, deg g(x) = m, akkor deg(f(x) g(x)) n + m. Ha R nullosztó-mentes, akkor deg(f(x) g(x)) = n + m Mekkora lehet két polinom szorzatának foka? Mondjon példát, amikor éles, illetve amikor nem éles a korlát! Éles: Z 7 : (2x + 1)(4x + 1) Ha elvégezzük a szorzást: (2x + 1)(4x + 1) = 8x 2 + 6x + 1 = x 2 + 6x + 1 Mivel a főegyüttható 8 volt vettük a 7-ttel vett osztási maradékát, így x 2 maradt. Nem éles: Z 8 : (2x + 1)(4x + 1) Megint elvégezzük a szorzást: (2x + 1)(4x + 1) = 8x 2 + 6x + 1 = 6x + 1 Most mivel Z 8 felett vagyunk, 8-cal kell osztani, így a főegyüttható 0 lesz és az x 2 kiesik. deg(f(x) g(x)) = 1 n + m = 2 8

9 2.1.4 Polinomfüggvény Ha f(x) R[x], akkor az f-hez tartozó polinomfüggvény: x R: x f(x) Mondjon példát két különböző polinomra, melyek ugyanazt a polinomfüggvényt határozzák meg! Z 2 felett f(x) = x és g(x) = x 2 -hez ugyan az a polinomfüggvény tartozik Polinomok maradékos osztása Legyen R egységelemes integritási tartomány, továbbá f(x), g(x) R[x]: g 0, g(x) fő együtthatója olyan elem, amivel lehet osztani. Ekkor! q(x), r(x) R[x] úgy, hogy deg (r(x)) < deg (g(x)). f(x) = g(x) q(x) + r(x) Ossza el maradékosan az 5x 4 + 8x x 2 + 6x + 7 Z 13 [x] polinomot a 12x 2 + 7x + 1 Z 13 [x] polinommal! Polinomok legnagyobb közös osztója Legyen f(x), g(x) R[x] (ahol R egységelemes integritási tartomány). Akkor d(x) R[x] egy legnagyobb közös osztójuk, ha d(x) f(x), d(x) g(x), továbbá, ha h(x) f(x), h(x) g(x) h(x) d(x). 9

10 Számolja ki az x 4 + x 2 + x + 1, x 2 + x Z 2 [x] polinomok legnagyobb közös osztóját! Horner-elrendezés Általános képlet: a n a n 1 a n 2 a 0 c c n 1 = a n c n 2 = c c n 1 + a n 1 c n 3 = c c n 2 + a n 2 f(c) Ossza el maradékosan az (i + 1)x 3 ix 2 + x + 1 C[x] polinomot x + i C[x] polinommal a Horner elrendezés segítségével! i i + 1 i + 1 i 1 1 ( i) (i + 1) + ( i) = (1 i) + ( i) i 1 = 1 2i f(x) = (x + i)((i + 1)x 2 + (1 2i)x i 1) + i A hányados ((i + 1)x 2 + (1 2i)x i 1), a maradék i. 1 + i + 1 = i Algebrai derivált Legyen R gyűrű. Egy f = f 0 + f 1 x + f 2 x f n x n R[x] polinom algebrai deriváltja, vagy röviden deriváltja a f = f 1 + 2f 2 x + 3f 3 x nf n x n 1 R[x] polinom. Tulajdonságait leíró tétel 1) konstans polinom deriváltja a nulla polinom 2) az x polinom deriváltja az egységelem 3) (f + g) = f + g, ha f, g R[x] (additív) 4) (f g) = f g + fg, ha f, g R[x] (szorzat differenciálási szabálya) Van-e olyan hatodfokú polinom, melynek a 0 polinom a deriváltja? Van, Z 6 -ban a hatodfokú tag (f 6 x 6 ) egy 0 f 6 x 5 taggá alakul, így kiesik, ezért x 6 deriváltja 0. 10

11 2.1.9 Többszörös gyökök Ha (x c) n f, de (x c) n+1 f akkor azt mondjuk, hogy c n-szeres gyöke f polinomnak. c R, f R[x] Mutasson példát Z 3 fölött olyan polinomra, melynek van többszörös gyöke! Gondolkozzunk visszafele: az f polinom, aminek van többszörös gyöke, felírható így is: (x c) n g = f Tehát annyi a dolgunk, hogy választunk egy c-t (az egyszerűség kedvéért legyen 2, aminek ellentettje 1), választunk egy n-t, (most 2-t) ami azt jelzi hányszoros gyök legyen és hasraütésre írunk egy szimpatikus g polinomot is (ne bonyolítsuk nagyon, legyen a 2x + 1). Nincs más dolgunk, mint felírni és kiszámolni az f-t. (x + 1) 2 (2x + 1) = (x + 1) (2x 2 + x + 2x + 1) = (x + 1) (2x 2 + 1) = (2x 3 + x + 2x 2 + 1) Tehát végül a megfejtés a (2x 3 + x + 2x 2 + 1) polinom, aminek 2-szeres gyöke a (x + 1). Lépések: 1) (2x + 1)-t beszoroztam (x + 1)-tel 2) x + 2x = 3x, de mivel Z 3 felett vagyunk ezért ez a tag kiesik. 3) (2x 2 + 1)-t megszoroztam (x + 1) polinommal Irreducibilis polinomok K test, f(x) K[x] irreducibilis, ha f(x) = g(x) h(x) esetén vagy g(x) vagy h(x) konstans polinom. Mutasson példát olyan polinomra, mely irreducibilis Q fölött, de nem irreducibilis R fölött! Megint gondolkozzunk visszafele: kell egy olyan szám, ami benne van R-ben, de nincs benne Q-ban. Legyen ez mondjuk a 2, de lehetne e, vagy akár π is. Ezek után fel kell írni azt a két polinomot, amire felbontjuk az eredeti polinomunkat, ami majd a megoldás lesz. (x 2)(x + 2) = (x 2 2) Tehát a (2x 1) mint láttuk, felbontható R-ben, viszont mivel a 2 nincs benne Q-ban ezért ott felbonthatatlan, azaz irreducibilis. 11

12 3 TESTEK, TESTBŐVÍTÉSEK 3.1 KONGRUENCIA POLINOMOK KÖRÉBEN Legyen K test, f(x), g(x), h(x) K[x] g(x) h(x)mod f(x) ha f(x) g(x) h(x) Igaz-e Z 5 felett az alábbi kongruencia x 3 + 2x x mod x 2 + x + 2? Nem, mivel ha elvégezzük a két maradékos osztást (g(x): f(x) és h(x): f(x)) akkor látjuk, hogy két különböző maradékot kapunk, így nem kongruens a két polinom f(x)-re Véges testek alaptétele 1. Ha K egy véges test, akkor K elemszáma prímhatvány. 2. Minden p prímhatványhoz egyértelműen tartozik q elemű test: F q Van-e 6, 7, illetve 8 elemű test? Megjegyzésben leírtak alapján, csak olyan véges test van ahol az elemszám prím, vagy prímhatvány. Mivel a 6 nem prímhatvány, ilyen elemű test nem létezik, 7 és 8 viszont igen Véges testek struktúra tétele Legyenq = p n prímhatvány F q + = (F q, +) Z p Z p Z p Z p azaz F q + Z p feletti n dimenziós vektortér F q = (F q /{0}, ) Z p 1 azaz van olyan g F q F q = {g n : 0 n < q} Legyen F 25 Z 5 [x]/(x 2 + x + 2)! Mennyi lesz 25 x, illetve x 25? 25x: Z 5 miatt maradékosan osztom 5-tel, ezért 25x = 0x = 0 12

13 4 ÜZENETKÓDOLÁS 4.1 BETŰNKÉNTI KÓDOLÁS Legyen A halmaz kódolandó ABC, B halmaz a kódabc. A betűnkénti kódolás a φ: A B leképezés. ψ(a 1, a 2 a n ) = φ(a 1 ), φ(a 2 ) φ(a n ) ha a 1, a 2 a n A Példa: A = {a, b, c, d} B = {0,1} φ(a) = 01 φ(b) = 0010 φ(c) = 10 φ(d) = 111 Betűnkénti kódolások-e az alábbi φ 1, φ 2 : {a, b, c, d} {0, 1} + leképezés: φ 1 (a) = 0, φ 1 (b) = 01, φ 1 (c) = 10, φ 1 (d) = 00 φ 2 (a) = 1, φ 2 (b) = 01, φ 2 (c) = 001, φ 2 (d) = 0001 Mindkettő betűnkénti kódolás 4.2 KÓDTULAJDONSÁGOK Felbontható φ A B + injektív leképezés által meghatározott ψ A + B + kódolás a) ψ felbontható, ha φ injektív (egyértelműen dekódolható) b) prefix, ha rng ψ prefixmentes, azaz nem létezik α, β B +, α rng ψ, αβ rngψ c) egyenletes, ha rng ψ minden eleme ugyan olyan hosszú d) vesszős, ha van olyan θ B + ami minden kódsornak szufixe, de nem infixe vagy prefixe Az alábbi kódok milyen tulajdonságokkal rendelkeznek: φ 1 (a) = 0, φ 1 (b) = 10, φ 1 (c) = 10, φ 1 (d) = 110 φ 2 (a) = 1, φ 2 (b) = 01, φ 2 (c) = 001, φ 2 (d) = 0001 φ 1 : nem felbontható, mert nem injektív ugyanis b -t és c -t nem tudjuk dekódolni. φ 2 : vesszős, prefix, tehát felbontható (1 a vessző) 13

14 4.3 KÓDFA Egy adott φ A B + betűnkénti kódoláshoz egy irányított címkézett fát rendelünk hozzá: csúcsok, összes kódszó (rng φ) illetve ezek összes prefixe, speciálisan az üres szó is. Mi lesz az alábbi kódok fája? φ 1 (a) = 0, φ 1 (b) = 10, φ 1 (c) = 10, φ 1 (d) = 110 φ 2 (a) = 1, φ 2 (b) = 01, φ 2 (c) = 001, φ 2 (d) =

15 5 HIBAJAVÍTÓ KÓDOLÁS 5.1 T-HIBAJELZŐ KÓDOK Mikor mondjuk, hogy egy kód t-hibajelző? Egy kód t-hibajelző, ha t darab hibát képes jelezni, de t+1-et már nem. Hány hibajelző az alábbi négyszeres ismétléses kód: adott a {0, 1, 2} esetén a (a, a, a, a)? 3, mert egy kód d 1 hibajelző, ahol d a kód távolságát jelenti. Kód távolsága: a kódszavak közötti minimális távolság (itt 4), ami nem Hamming távolság Definiálja a Hamming távolságot, és mondja ki annak tulajdonságait! A kódábécé két egyforma hosszú sorának, u-nak és v-nek a Hamming távolsága d(u, v), azon poziciók száma, ahol eltérnek. Mennyi lesz a (0, 1, 2, 3), (3, 2, 1, 0) {0, 1, 2, 3, 4} 4 szavak távolsága? 4, mert 4 helyen térnek el a kódszavak Kódtávolság Definiálja a kódtávolság fogalmát! A kódszópárok távolságainak minimuma. Jele: d(c) Mennyi lesz az alábbi négyszeres ismétléses kód kódtávolsága: adott a {0, 1, 2} esetén a (a, a, a, a)? 4, mert az összes kódszó 4 helyen különbözik t-hiba javító kódok Mikor mondjuk, hogy egy kód t-hibajavító? Egy kód t-hibajavító, ha t hibát javítani tud, de t+1-t már nem. 15

16 Hány hibajavító az alábbi négyszeres ismétléses kód: adott a {0, 1, 2} esetén a (a, a, a, a)? 1, mert t < d/2 hibát tud javítani egy kód. A d = Lineáris kódok Mikor mondjuk, hogy egy kód lineáris? Egy C kódot lineáris kódot nevezünk, ha a C halmaz lineáris tér. (Összeadásra, konstanssal szorzásra zárt) Lineáris-e az alábbi bináris kódolás: Nem lineáris, mert összegre nem zárt Generátormátrix Definiálja a generátormátrix fogalmát! (c 1, c 2 ) (c 1, c 2, c 1, c 1 c 2 ) Legyen G F q k F q n lineáris transzformáció, G teljes rangú (azaz G injektív). Ekkor G: F q n k egy kód generátormátrixa. Adja meg az alábbi lineáris bináris kód generátormátrixát: Ellenőrző mátrix Definiálja az ellenőrző mátrix fogalmát! (c 1, c 2 ) (c 1, c 2, c 1 + c 2, c 1, c 2 ) ( 0 1) Egy H F q (n k) n mátrixot egy K[n, k, d] q kód ellenőrző mátrixának nevezzük, ha c K Hc = 0. 16

17 Adja meg az alábbi lineáris bináris kód generátormátrixát: (szerintem itt ellenőrző mátrixra gondol) (c 1, c 2 ) (c 1, c 2, c 1 + c 2, c 1, c 2 ) ( ) Ciklikus kódok Definiálja a ciklikus kódokat! Egy K F g n kód ciklikus, ha (c 0, c 1, c 2 c n 1 ) T K (c n 1, c 0, c 1, c 2,... c n 2 ) T K Ciklikus-e a {000,010,100,111} kód? Nem, mivel szerepelnie kellene benne a 001 kódszónak Polinom kódok Legyen K [n, k, d] q lineáris kód, most K F q [x]. Legyen K ciklikus kód, és legyen g(x) K olyan kódpolinom ami 1-főegyütthatós (normált, g(x) minimum fokú polinom K-ban). Most K polinom kód g(x) a kód generátorpolinomja ellenőrző polinomja(?) CRC kódok A bináris, ciklikus, lineáris kódokat (bináris polinom kódok) CRC kódoknak hívjuk (Cyclic Redundancy Check). Mondjon példát CRC kódra (n, k paraméterek és a generátor polinom megadásával)! n = 7 (CRC kód hossza) k = 4 (u hossza) generátor polinom: g(x) = x 3 + x u = 0001 u(x) = x + 0 x x 3 = x 3 r(x) = x n k u(x) mod g(x) r(x) = x 7 4 x 3 mod x 3 + x r(x) = (x 2 + 1) (x 2 + 1) = ( x 2 + 1) 2 = x x x ( x 2 + 1) + 1 = = x 3 + x + 1 x x + 1 x 2 + x Mert:(x 3 + x 2 + 1) 0 mod (x 3 + x 2 + 1) x 3 x 2 1 x v(x) = x n k u(x) + r(x) = x 3 x 3 + x 2 + x = x 6 + x 2 + x v =

18 Reed-Solomon-kód Legyen F q q elemű test. Legyen α F q x α rendje n α n = 1, α r 1, 0 < r < n, ekkor n q 1 (tipikus választás α-ra : n = q 1). Most α i hatványok (0 i < n) gyökei az x n 1 H q [x] polinomok. Speciálisan: x n 1 = (x α i ) Legyen 0 < m < n, legyen k = n m. Legyen g(x)= (x α i ) m i=1, most g(x) x n 1 A Reed-Solomon-kód g(x)-el generált [n, k] q polinom kód. n 1 i=0 18

19 6 GAZDASÁGOS KÓDOLÁS McMillian egyenlőtlenség n Ha K kód felbontható és B = r, akkor i=1 r li 1 Ha az egyenlőtlenség teljesül, akkor van olyan prefix kód, ahol a kódszavak hosszai l 1, l 2 l n Létezik-e olyan bináris felbontható kód, ahol a kódszavak hossza 2, 2, 2, 3, 3, 4? ? Átlagos kódhossz Legyen az A = {a 1 a n } a kódolandó szavak halmaza. Legyen p 1, p 2 p n az adott karakterek előfordulásának n n valószínűsége (0 < p i 1 i=1 p i = 1). Ekkor a kódolás átlagos kódhossza: l = i=1 p i l i. Mennyi lesz annak a kódnak az átlagos kódhossza, ahol a kódhosszak rendre 2, 2, 2, 3, 3, a betűk valószínűségei rendre 0; 34, 0; 3, 0; 22, 0; 07, 0; 07 19