Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat"

Átírás

1 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport, és III. teljesül mindkét oldalról a disztributivitás, vagyis a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca minden a, b, c R esetén. Kommutatív a gyűrű, ha a szorzás kommutatív. A (legalább két elemű), kommutatív, nullosztómentes gyűrűt integritási tartománynak nevezzük. Az R gyűrű test, ha 1. R kommutatív, 2. (R*, ) csoport. nullelem, egységelem Az additív csoport egységelemét a gyűrű nullelemének nevezzük és 0-val jelöljük. Egységelemes a gyűrű, ha a szorzásra vonatkozóan van egységelem (amit e-vel jelölünk). nullgyűrű, zérógyűrű Nullgyűrű: egyetlen elemből áll (nullelem). Zérógyűrű: ha tetszőleges két elem szorzata a nullelem. nullosztó Az R gyűrűben a bal oldali, b jobb oldali nullosztó, ha a 0, b 0 és ab = 0. karakterisztika Ha az R gyűrű legalább két elemű, nullosztómentes, akkor (R, +)-ban a 0-tól különböző elemek rendje megegyezik. Ez a közös rend vagy végtelen, vagy egy p prímszám. Jelölés: Előző esetben a gyűrű nulla-karakterisztikájú, azaz char(r) = 0, az utóbbiban p- karakterisztikájú, azaz char(r) = p. Bool-gyűrű A H -ra A A = A 2 = A is teljesül (Boole-gyűrű) gyűrűhomomorfizmus asszociáltak Legyen R egységelemes integritási tartomány, és a, b R. Azt mondjuk, hogy a és b

2 asszociáltak, ha létezik olyan c egység, amelyikkel a = bc. Ezt a tényt a ~b-vel jelöljük. legnagyobb közös osztó, felbonthatatlan, prím Legyen R egységelemes integritási tartomány és a, b R. Azt mondjuk, hogy d R az a és b legnagyobb közös osztója, 1. közös osztó, vagyis d a és d b, valamint 2. c a és c b esetén c d. Legyen R egységelemes integritási tartomány, ekkor 1. a R*\U(R) felbonthatatlan, ha a = b c (b, c R) esetén b U(R) vagy c U(R). 2. a R*\ U(R) prím, ha a b c (b, c R) a b vagy a c. részgyűrű, (triviális, valódi, fő) ideál, egyszerű gyűrű R gyűrűben S R részgyűrű, ha az R-beli műveletek S-re történő leszűkítésére nézve S maga is gyűrűt alkot. faktorgyűrű Legyen R gyűrű, I ideál R-ben. R-nek I szerinti maradékosztály gyűrűje (faktorgyűrűje) R/I = {I + r r R} a következő műveletekkel: 1.(I+ r ) + (I+ s ) = I+ (r + s ) 2.(I+ r ) (I+ s ) = I + r s 2-ben nem a normál értelemben vett komplexus szorzásról van szó! prímideál, maximális ideál Legyen R gyűrű, I R, I. I az R balideálja, ha I I I és R I I, jobbideálja, ha I I I és I R I, ideálja, ha jobb és baloldali is egyszerre. Triviális ideál: {0}, R Valódi ideál: R-től különböző ideál. Egyszerű gyűrű: csak triviális ideálja van. Legyen R egységelemes, kommutatív gyűrű. Egy R-beli I ideált prímideálnak nevezünk, ha a b I-ből a I vagy b I következik. euklideszi gyűrű Az R egységelemes integritási tartományt euklideszi gyűrűnek nevezzük, ha olyan φ függvény, amelyre ϕ : R* N, és I. α, β R, β 0 esetén létezik olyan γ, δ R, hogy α = βγ + δ, ahol δ = 0 vagy δ 0 és ϕ (δ) < ϕ (β), II. valamint ϕ (αβ) max(ϕ (α), ϕ (β)), α, β R* -ra. oszthatóság, egységek Legyen R integritási tartomány és a, b R. a osztója b-nek ha létezik c R, amelyre b = ac, jelben a b. x R egység, ha x r r R-re. Gauss-egészek Gauss-egészek G = { a+bi a, b Z }

3 φ: a+bi G esetén legyen ϕ(a+bi) = (a+bi)(a bi) = a+bi 2 = a 2 + b 2. triviális euklideszi gyűrű Gauss-gyűrű ((egyértelmű) faktorizációs tartomány, UFD) Legyen R egységelemes integritási tartomány és U(R) az egységeinek halmaza. R Gauss-gyűrű ((Egyértelmű) faktorizációs tartomány, UFD), ha minden r R* \ U(R) felírható r = p 1 p 2 p n alakban, ahol n pozitív egész és a tényezők nem feltétlenül különböző felbonthatatlan elemek, és ha létezik egy r = q 1 q 2 q k előállítás is k felbonthatatlannal, akkor n= k és minden 1 i, j n esetén p i asszociáltja egy q j -nek. Másképp: Gauss-gyűrűben fennáll a számelmélet alaptétele. főideál Legyen R gyűrű és A R. Az A által generált ideálon R összes, A-t tartalmazó ideáljának metszetét értjük. Jelben (A). Ha A = {a} valamely a R elemre, akkor az a által generált főideálról beszélünk. Jelben (a). Bal és jobboldali def. hasonlóan. főideálgyűrű Egy egységelemes integritási tartomány főideálgyűrű, ha benne minden ideál főideál. hányadostest (Hányadostest) Legalább 2 elemű R integritási tartomány T testbe ágyazható. Legyen T = { (a, b) a, b R, b 0 } és ~ ekvivalenciareláció R R* halmazon: (a, b) ~ (c, d) a d = b c A ~ által meghatározott osztályok testet alkotnak a köv. műveletekre: (a,b ) +(c,d ) =(a d+ b c,b d ), (a, b) (c, d )= (a c, b d ). gyűrűhierarchia felrajzolása.

4 Tételek(+): Észrevételek (előjelszabály, véges integritási tartomány, nullosztó testben, szorzás a nullelemmel) 1. (szorzás nullelemmel): Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor a0 = 0a = 0 minden a R esetén. 2. (előjelszabály): Legyen R gyűrű, és a, b R. Az a elem additív inverzét jelöljük a-val. Ekkor (ab) = ( a)b = a( b), továbbá ( a)( b) = ab. 3. Véges integritási tartomány test. 4. Testben nincs nullosztó. (1. 3. és 4. gyakorlaton) 2. ab additív inverze létezik, mert (R, +) csoport. ab + ( (ab)) = 0, valamint ab + ( a)b = (a + ( a))b = 0b = 0, (ab) = ( a)b. Továbbá: ( a)( b) + ( a)b = ( a)(( b) + b) = 0 = ab + ( a)b, + egyszerűsíthető ( a)( b) = ab. nullosztó és regularitás R gyűrűben a multiplikatív művelet akkor és csak akkor reguláris, ha R zérusosztómentes. 1. Tfh a 0, a nem bal oldali nullosztó és ab = ac / (ac) mindkét oldalhoz, ab + ( (ac)) = 0. Előjel szabály + disztri. ab + (a( c)) = a(b + ( c)) = 0. feltétel b + ( c) = 0 b = c. 2. Tfh a bal oldali nullosztó, tehát a 0 és létezik b 0: ab = 0. tetszőleges c R-re ac = ac. Adjuk a jobb oldalhoz az ab = 0-t. ac = ac + ab, disztributivitás ac = a(c+b). mert b 0 c c + b. gyűrű karakterisztikája Ha az R gyűrű legalább két elemű, nullosztómentes, akkor (R, +)-ban a 0-tól különböző elemek rendje megegyezik. Ez a közös rend vagy végtelen, vagy egy p prímszám. Jelölés: Előző esetben a gyűrű nulla-karakterisztikájú, azaz char(r) = 0, az utóbbiban p- karakterisztikájú, azaz char(r) = p. 1. Tfh a R*: a = n a N n a a = 0

5 Továbbá tetszőleges b R* -re: n a (ab) = ab+ +ab = (a+ +a)b = (n a a)b = 0b = 0 másrészt n a (ab) = a(b+ +b) = a(n a b) nullosztó mentesség n a b = 0 b a = n a b a hasonlóan látható be b = a = n a 2. Tfh nem létezik véges rendű elem. Minden elem rendje végtelen. 3. Tfh a közös rend n = 1 véges szám. 0 = 1a = a a = Tfh a közös rend n összetett véges szám: n = kl és 1 < k < n, 1 < l < n, na = (kl)a = a a a a = l(ka) = 0. k db a k db a l-szer 1. eset: ka 0. ka = n és ka l < n. 2. eset: ka = 0. a k< n és a = n. gyűrű homomorf képe (8.2.8) Gyűrű homomorf képe gyűrű. (Csak a disztributivitást kell belátni!) a (b +c ) = a (b+c) = (a(b+c)) = (ab+ac) = (ab) +(ac) = a b + a c ideál szerinti mellékosztályok (8.2.15) + következmény Egy R gyűrű egy I ideál szerinti mellékosztályai a gyűrűnek mindkét művelettel kompatibilis osztályozását alkotják. Minden, mindkét művelettel kompatibilis osztályozás esetén a nulla osztálya ideál, és az osztályozás ezen ideál szerinti mellékosztályokból áll. (I; +) Abel csoport, tehát normálosztó R-ben Tétel (1) pont az osztályozás kompatibilis az összeadással továbbá az osztályok összeadása a komplexusszorzás. A multiplikatív művelet is kompatibilis az osztályozással: (I + a)(i + b) = II + ai + Ib + ab I + ab. Most tfh egy, mindkét művelettel kompatibilis osztályozás és legyen I a 0 additív egységelem osztálya, ekkor Tétel (2) pont I normálosztó R-ben továbbá az osztályozás pont az I szerinti mellékosztályokból áll I ideál? X osztályra : 0 I 0 X I X I I RI I. IR I hasonlóan. Következmény: Egy R gyűrűnek egy I ideál szerinti mellékosztályai a összeadásra és a szorzásra nézve gyűrűt alkotnak.

6 Ha ~ a megfelelő ekvivalenciareláció, akkor x x ~ mindkét műveletre nézve művelettartó. felbonthatatlan és prím integritási tartományban R tetszőleges egységelemes integritási tartomány és a R*\ U(R). Ha a prím R ben a felbonthatatlan R ben. tfh a prím és a = bc 1 a = bc a bc a prím a b vagy a c így 1 = b/a c vagy 1 = b c/a b vagy c egység. felbonthatatlan és prím Gauss-gyűrűben) R tetszőleges Gauss gyűrű és a R*\ U(R). a prím R ben a felbonthatatlan R -ben. : Előző tétel : tfh a irreducibilis és a p q p q = a r egyértelmő felbontás p = p 1... p k, q = q 1... q l, r = r 1... r t p 1... p k q 1... q l = a r 1... r t a asszociált p i -vel, vagy q j -vel, különben nem lenne egyértelmű a felbontás a p vagy a q. egység és egységelem integritási tartományban (8.2.26) R integritási tartományban akkor és csak akkor létezik egységelem, ha létezik egység. Az R egységelemes integritási tartományban a R akkor és csak akkor egység, ha a e. Ha van e egységelem, akkor er = r minden r R esetén. Ha a R egység, akkor tetszőleges r R esetén a a e R : ae = a. Ekkor e egységelem, mert a r s R : as = r, tehát e r= e a s= (e a) s= (a e) s= a s= r. a többi trivi. egységek euklideszi gyűrűben (8.2.30) Euklideszi gyűrűben pontosan azok az elemek az egységek, amelyekre φ minimális értéket vesz fel. Az a, b nem nulla elemekre a b esetén φ(a) φ(b) és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a és b asszociáltak. Legyen E = { r r R*, φ(r) minimális } 1. Kérdés: E elemei egységek? Legyen a E, és b R tetszőleges. b-t oszthatjuk a-val maradékosan c, d R : b = ac+d, ahol a. d = 0, vagy b. d 0 és ϕ (d) < ϕ (a). A b. eset nem fordulhat elő ϕ(a) minimalitása miatt d = 0 a b. 2. Kérdés: Minden egység E-ben van? Legyen a R egység, b E adott a b b = ac.

7 b E, b 0 a, c R*. Az euklideszi gyűrűk II. tulajdonsága ϕ(b) = ϕ(a c) max (ϕ(a), ϕ(c)), ϕ(b) ϕ (a). φ(b) minimális φ(a) is minimális. Euklideszi gyűrű II. tulajdonsága miatt ϕ(a) ϕ(b). Tfh a b és ϕ(a)=ϕ(b). Az I. tulajdonság miatt létezik r, s R: a = b r+s, ahol a. s = 0, vagy b. s 0 és ϕ(s)<ϕ(b)=ϕ(a). (*) s = a+( ( b r ) ) = a + b ( r ) a b t R : b = a t továbbá a = a e s = a (e + t ( r ) ) (e+ t ( r ) ) R a s. Ha s 0 ϕ ( s ) max(ϕ ( a ),ϕ ( e + t ( r )) ) ϕ (a ) (*) miatt ez nem fordulhat elő s = 0, b a azaz a b. számelmélet alaptétele euklideszi gyűrűben (8.2.34) Euklideszi gyűrűben minden nem nulla és nem egység elem, sorrendtől és asszociáltságtól eltekintve egyértelműen felírható prímelemek szorzataként. Először megmutatjuk, hogy R euklideszi gyűrűben minden nullától és az egységektől különböző elemnek van felbonthatatlan osztója. Tfh a R*\U(R), és legyen D = {r r R*\U(R), r a és, ha s R*\U(R)és s a ϕ(r) ϕ(s)}. Tehát D az a elem azon nem nulla, nem egység osztóit tartalmazza, amikre a ϕ érték minimális. D f D Indirekte tfh f nem felbonthatatlan f = b c és b, c U(R) b a. b f és nem asszociáltak Tétel ϕ(b) ϕ(f) ϕ(b)<ϕ(f), mert ekkor b lenne D-ben f helyett. tehát van a-nak felbonthatatlan osztója Tfh ϕ(a) minimális az R*\U(R) -beli elemekre nézve Tétel a felbonthatatlan. Most legyen a R*\U(R), ϕ(a) = n, és tegyük fel, hogy n-nél kisebb ϕ értékkel rendelkező elemek esetén az állítás igaz. f felbonthatatlan : f a a = fh. Lehet ϕ(h) = ϕ(a)? Ekkor h a a ~ h lenne, de f nem egység, tehát ϕ(h) ϕ(a). h a ϕ(h) < ϕ(a). 1. eset: Tfh h egység a felbonthatatlan. 2. eset: Tfh h nem egység indukciós feltétel h-nak megfelelő felbontása: h = f 1 f 2 f r a = f f 1 f 2 f r. Unicitás: tfh indirekte, hogy van olyan elem, amelynek két különböző felbontása létezik. Legyen ezek közül a olyan, hogy φ(a) minimális.

8 a = p 1... p k = q 1... q r p 1 a p 1 q 1... q r p 1 q i asszociáltak, mert irreducibilisek egyszerűsítve kapjuk a -t, amelyre φ(a ) < φ(a) euklideszi gyűrű főideálgyűrű (2.8.35) Euklideszi gyűrűben minden ideál főideál. Ha I = { 0 } I = 0. Tfh I { 0 }, ekkor legyen S = { ϕ(x) x I és x 0 } S legkisebb eleme ϕ(a) : a 0 I. Maradékosan osztjuk b I -t a-val: b= aq + r és 0 ϕ(r) < ϕ(a) I ideál r = b aq I ϕ(a) minimális r =0. b = aq I = a irreducibilitás és főideál kapcsolata euklideszi gyűrűben Legyen R tetszőleges euklideszi gyűrű és a R*\ U(R). a valódi ideál maximális R ben a felbonthatatlan R ben. Legyen R tetszőleges egységelemes integritási tartomány, a R*\ U(R) Feltétel : a felbontható b, c R*\ U(R): a = bc. a b R Tehát a nem maximális ideál. : Indirekt feltétel : a felbonthatatlan, de a nem maximális. I R beli ideál : a I R R főideálgyűrű 0 b nemegység : I = b R a b R azaz a minden többszöröse b többszöröse a = bc c nem egység, mert akkor a = b lenne a nem felbonthatatlan. Szükséges és elégséges feltétel, hogy R/I test, illetve integritási tartomány legyen + következmény Legyen R kommutatív, egységelemes győrő és I az R-nek ideálja. I. R/I akkor és csak akkor integritási tartomány, ha I R és I prímideál. II. R/I akkor és csak akkor test, ha I maximális ideál. I. R/I int. tart. nincs nullosztó. (I+a) (I+b) = I I+a = I vagy I+b = I. II/1. Tfh hogy I maximális ideál R-ben, és (I ) I+a R/I.

9 S = {i+a x i I, x R} ideál, hiszen: S S S : i 1 + ax 1 i 2 ax 2 = (i 1 i 2 ) + a( x 1 x 2 ) S. I R RS S : ri +rax =ri +arx S. I R Valamint I S, mert a I. I maximális S = R alkalmas i I, x R-rel e = i+a x I + e = I+ i + a x = I+ a x= (I+ a) (I+ x) R/I kommutatív egységelemes gyűrű invertálható test. II/2. Tfh R/I test, és legyen M egy olyan ideál, amely valódi módon tartalmazza I-t, azaz a R elem, amelyre a M és a I. R/I test ( I + a ) ( I+ x ) = ( I+ b) egyenlet bármely b R-re megoldható I+ a x = I + b. I M és a M I + a x M b M M = R. Következmény. Kommutatív, egységelemes gyűrűben maximális ideál prímideál. Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű. Ha I maximális ideál R-ben R/I test R/I integritási tartomány tétel I prímideál valódi ideálokról szóló tétel. Tételek(-): homomorfizmus-tétel Egy R gyűrű egy φ homomorfizmusánál a homomorfizmus magja ideál. Ha R képe R, akkor az R/ker(φ ) maradékosztály-gyűrű izomorf R vel. Az R bármely I ideálja magja valamely homomorfizmusnak, például R kanonikus leképezése R/I re homomorfizmus, amelynek magja I. főideálokról szóló állítások (8.2.25, ) Egy R kommutatív egységelemes gyűrűben az a R által generált főideálra (a) = ar. Speciálisan a nulla által generált főideál {0}, az egységelem által generált főideál pedig R. Egy R egységelemes integritási tartomány a,b elemeire (1) (a) (b) akkor és csak akkor, ha b a; (2) (a) = (b) akkor és csak akkor, ha a és b asszociáltak; (3) (a) = R akkor és csak akkor, ha a egység. bővített euklideszi algoritmus A következő eljárás egy R euklideszi gyűrűben meghatározza az a, b R elemek egy d legnagyobb közös osztóját, valamint x, y R elemeket úgy, hogy d=ax + by teljesüljön. (Az eljárás során végig ax n + by n = r n, n=0, 1, )

10 (1) [Inicializálás] Legyen x 0 e a gyűrű egységeleme, y 0 0, r 0 a, x 1 0, y 1 e, r 1 b, n 0. (2) [Vége?] Ha r n+1 =0, akkor x x n, y y n, d r n, és az eljárás véget ér. (3) [Ciklus] Legyen r n = q n+1 r n+1 + r n+2, ahol r n+2 =0 vagy φ(r n+2 ) < φ(r n+1 ), legyen x n+2 x n - q n+1 x n+1, y n+2 y n - q n+1 y n+1, n n+1, és menjünk (2)-re. főideálgyűrű Gauss-gyűrű.

Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz

Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz 2011. tavasz A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők! A tételek esetleges neve, vagy száma a fóliákkal van szinkronban,

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

Alapvető polinomalgoritmusok

Alapvető polinomalgoritmusok Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.

Részletesebben

Láng Csabáné Testbıvítés, véges testek

Láng Csabáné Testbıvítés, véges testek Láng Csabáné Testbıvítés, véges testek Készült a programtervezı matematikus szak esti tagozat III. év II. félév, valamint az esti informatikus Bsc szak II. év II. félév számára Lektorálta Burcsi Péter

Részletesebben

1. Hatvány és többszörös gyűrűben

1. Hatvány és többszörös gyűrűben 1. Hatvány és többszörös gyűrűben Hatvány és többszörös Definíció (K2.2.19) Legyen asszociatív művelet és n pozitív egész. Ekkor a n jelentse az n tényezős a a... a szorzatot. Ez az a elem n-edik hatványa.

Részletesebben

Gonda János VÉGES TESTEK

Gonda János VÉGES TESTEK Gonda János VÉGES TESTEK Budapest, 2011 Lektorálta Bui Minh Phong Utolsó módosítás dátuma: 2012. február 1. Elıszó Ez a jegyzet az ELTE-n tartott Véges testek illetve Véges testek alkalmazásokhoz címő

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Absztrakt algebra II. (2005) 1 ABSZTRAKT ALGEBRA II. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2005

Absztrakt algebra II. (2005) 1 ABSZTRAKT ALGEBRA II. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2005 Absztrakt algebra II. (2005) 1 ABSZTRAKT ALGEBRA II. GYŰRŰ- ÉS TESTELMÉLET Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem

Pécsi Tudományegyetem Számelmélet Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza a Számelmélet című VI. féléves tárgy kötelező elméleti anyagának a nagy részét. Tartalmaz továbbá olyan kiegészítő

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK

DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK Szerkesztette: Bókay Csongor 2011 őszi félév Az esetleges hibákat kérlek a csongor@csongorbokay.com címen jelezd! Utolsó módosítás: 2012. január 16. Ez a Mű a Creative Commons

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

DEFINICIÓK. Például a síkgeometriában predikátumok: ( egyenes ), ( pont ), ( illeszkedik - ra ).

DEFINICIÓK. Például a síkgeometriában predikátumok: ( egyenes ), ( pont ), ( illeszkedik - ra ). DEFINICIÓK 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. Például a síkgeometriában predikátumok: ( egyenes ), ( pont ), ( illeszkedik - ra ). 2. Sorolja fel a logikai jeleket. A logikai formulák alkotóelemei:

Részletesebben

Az általános (univerzális) algebra kialakulása,

Az általános (univerzális) algebra kialakulása, Néhány hasonló tétel. Az általános (univerzális) algebra kialakulása, néhány eredménye. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2013. május 8. A csoportelméleti homorfiatétel. Legyen G, H két csoport, ϕ: G

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Diszkrét matematika II. gyakorlat

Diszkrét matematika II. gyakorlat Diszkrét matematika II. gyakorlat Absztrakt algebra Bogya Norbert Bolyai Intézet 2014. április 23. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2014. április 23. 1 / 23 Tartalom 1 1.

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

Készítettel: Szegedi Gábor (SZGRACI.ELTE)

Készítettel: Szegedi Gábor (SZGRACI.ELTE) Készítettel: Szegedi Gábor (SZGRACI.ELTE) http://people.inf.elte.hu/szgraci/egyetem Burcsi Péter tanár úr előadása alapján készült 2010-2011. őszi félév Logikai alapok Halmazelméleti alapfogalmak 1. Mondjon

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON)

FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON) FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON) ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-02-04 A 2. fejezet feladatai megoldva

Részletesebben

Diszkrét matematika I. bizonyítások

Diszkrét matematika I. bizonyítások Diszkrét matematika I. bizonyítások Készítette: Szegedi Gábor SZGRACI.ELTE DYDHMF (http://szegedigabor.web.elte.hu) Burcsi Péter tanár úr előadása alapján készült 2010-2011. őszi félév 1. Fogalmazza meg

Részletesebben

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné

Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné Felhasznált irodalom: Járai Antal & al: Láng Csabáné: Láng Csabáné: Gonda János: Láng Csabáné: Bevezetés a matematikába ELTE

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

2.. A P tulajdonságú gyűrűk leírása

2.. A P tulajdonságú gyűrűk leírása K É T G Y Ü R Ű E L M É L E T I P R O B L É M Á R Ó L SZÁSZ FERENC 1.. Bevezetés A modern algebrában gyakoriak az olyan törekvések, amelyek bizonyos előre kiszabott tulajdonsággal rendelkező algebrai struktúrák

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Fried Katalin Korándi József Török Judit. A modern algebra alapjai

Fried Katalin Korándi József Török Judit. A modern algebra alapjai Fried Katalin Korándi József Török Judit A modern algebra alapjai Tartalomjegyzék 1. Bevezető 5 2. Algebrai műveletek 7 3. Félcsoportok 20 4. Csoportok 31 5. Mellékosztályok, normálosztó 50 6. Csoport

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Ha G egy csoport, akkor g G : gg = Gg = G (mert gg G evidens és y G : y = g(g 1 y) gg, tehát G gg, ahonnan G = gg, hasonlóan a másik).

Ha G egy csoport, akkor g G : gg = Gg = G (mert gg G evidens és y G : y = g(g 1 y) gg, tehát G gg, ahonnan G = gg, hasonlóan a másik). 4. Részcsoportok 4.A. Csoport részhalmazainak félcsoportja Legyen (G, ) egy csoport és tekintsük G részhalmazait. Ha H, K G (H, K P(G)) definiáljuk ezek szorzatát így: HK = {hk : h H, k K}. Ha H = {h}

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

DHARMA Initiative Diszkrét Matematika 1. DHARMA INITIATIVE

DHARMA Initiative Diszkrét Matematika 1. DHARMA INITIATIVE DHARMA INITIATIVE Diszkrét Matematika 1. Definíciók (középszint) E dokumentum az ELTE IK Diszkrét Matematika 1. 2010/2011-es vizsgájára készült. Az elkészítéshez a korábbi évek kidolgozott listáit használtuk.

Részletesebben

Diszkrét matematika alapfogalmak

Diszkrét matematika alapfogalmak 2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK 1.1.1 Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható 1.1.2 Incidenciamátrix

Részletesebben

I. NÉHÁNY FONTOS FOGALOM

I. NÉHÁNY FONTOS FOGALOM I. NÉHÁNY FONTOS FOGALOM 1. Halmazok, relációk, függvények A matematika alapfogalma a halmaz, amely szemléletesen dolgok összességét jelenti. Az alábbiakban az úgynevezett naív halmazelméletet ismertetjük,

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

Egy euklidészi gyűrű

Egy euklidészi gyűrű Acta Academiae Paedagogicae Agriensis, Sectio Mathematicae, 25. (1998) pp. 71 76 Egy euklidészi gyűrű KIRÁLY BERTALAN, OROSZ GYULÁNÉ Abstract. We showe in this paper that the polynomial ring over a field

Részletesebben

Negatív alapú számrendszerek

Negatív alapú számrendszerek 2015. március 4. Negatív számok Legyen b > 1 egy adott egész szám. Ekkor bármely N 0 egész szám egyértelműen felírható N = m a k b k k=1 alakban, ahol 0 a k < b egész szám. Negatív számok Legyen b > 1

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

I. POLINOMELMÉLET. 1. Polinomok gyökei

I. POLINOMELMÉLET. 1. Polinomok gyökei I. POLINOMELMÉLET 1. Polinomok gyökei Ebben a paragrafusban legyen A integritástartomány, amely valamely K test részgyűrűje. Definíció. Azt mondjuk, hogy a c K elem az f(x) A[x] polinom gyöke, illetve

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Prezentációk készítése

Prezentációk készítése Prezentációk készítése 2009 1 / 14 Prezentációk készítése Beamer gyorstalpaló Írta: Kiss Emil ewkiss@cs.elte.hu 2009 Áttekintés Prezentációk készítése 2009 2 / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások Gonda János POLINOMOK Példák és megoldások ELTE Budapest 007-11-30 IK Digitális Könyvtár 4. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Bui Minh Phong Láng Csabáné Szerkesztette: Láng Csabáné c

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

1. A Horner-elrendezés

1. A Horner-elrendezés 1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések 1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések Alapfogalmak (nem definiáljuk) Halmaz x eleme az A halmaznak x nem eleme A halmaznak Jelölések A,B,C, x A x A SiUDWODQ V]iRN Halmaz megadása: Elemeinek felsorolásával:

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben