Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy"

Egon Balázs
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék ősz

2 Gyűrűk Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 2. Részgyűrűk Definíció Legyen (R; +, ) gyűrű, továbbá S R. Ha (S; + S S, S S ) gyűrű, akkor az (S; + S S, S S ) részgyűrűje az (R; +, ) gyűrűnek. Jelölés: (S; + S S, S S ) (R; +, ). Megjegyzés Egy adott (R; +, ) gyűrű és S R esetén, ha azt mondjuk, hogy S részgyűrűje R-nek, vagy azt írjuk, hogy S R, akkor ez alatt azt értjük, hogy (S; + S S, S S ) részgyűrűje az (R; +, ) gyűrűnek. Példák (2Z; +, ) (Z; +, ) (Q; +, ) (R; +, ) (C; +, )

3 Gyűrűk Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 3. Részgyűrűk Álĺıtás (Emlékeztető) Legyen (G; ) csoport, továbbá H G. Ekkor H részcsoportja G-nek H és HH 1 H. Tétel Legyen (R; +, ) gyűrű, továbbá S R. S részgyűrűje R-nek, ha a következő feltételek teljesülnek: 1 S S S; 2 SS S. Bizonyítás 1 miatt (S; +) részcsoportja (R; +)-nak (Miért?), így Abel-csoport. 2 miatt (S; ) algebrai struktúra. Mivel a asszociatív R-en, így S-en is (Miért?), tehát (S; ) félcsoport. Mivel R-en teljesül a -nak az +-ra vonatkozó mindkét oldali disztributivitása, ezért S-en is (Miért?).

4 Gyűrűk Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 4. Részgyűrűk Feladat Bizonyítsuk be, hogy R = {a + b 5i a, b Z} C egységelemes integritási tartomány a szokásos műveletekkel! Megoldás Először belátjuk, hogy R C, tehát gyűrű: a 1 + b 1 5i (a2 + b 2 5i) = (a1 a 2 ) + (b 1 b 2 ) 5i R (a 1 + b 1 5i)(a2 + b 2 5i) = (a1 a 2 5b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 5i R Mivel a szorzás kommutatív C-n, ezért R-en is (Miért?). Mivel C nullosztómentes, ezért R is (Miért?). 1 = i R jó lesz egységelemnek.

5 Gyűrűk Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 5. Euklideszi gyűrűk Definíció Az (R; +, ) egységelemes integritási tartományt a ϕ : R N függvénnyel euklideszi gyűrűnek nevezzük, ha: 1 bármely a, b R, b 0 esetén létezik q, r R, amelyre a = qb + r úgy, hogy r = 0 vagy ϕ(r) < ϕ(b); 2 ϕ(ab) max{ϕ(a), ϕ(b)} minden a, b R esetén. Példa 1. (Z; +, ) a ϕ(z) = z függvénnyel euklideszi gyűrű. Az egész számok maradékos osztásának tétele miatt fennáll 1. z 1, z 2 Z esetén z 1, z 2 1, így ϕ(z 1 z 2 ) = z 1 z 2 = z 1 z 2 max{ z 1, z 2 } = max{ϕ(z 1 ), ϕ(z 2 )}, vagyis fennáll 2.

6 Gyűrűk Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 6. Euklideszi gyűrűk Példa 2. A Gauss-egészek (G = {a + bi a, b Z} C) gyűrűje a ϕ(a + bi) = a + bi 2 = a 2 + b 2 függvénnyel euklideszi gyűrű. Legyen g 1 G és 0 g 2 G. Ha a g 1 /g 2 C hányadosra teljesül, hogy G-nek is eleme, akkor q = g 1 /g 2 és r = 0 választással fennáll 1. g 1 /g 2 G esetén q G legyen a komplex síkon g 1 /g 2 -höz legkisebb távolságra lévő rácspont. Geometriai megfontolás alapján ez a távolság legfeljebb 2/2 (az egységnégyzet átlója hosszának fele), így g 1 /g 2 q 2 1/2 < 1, amiből ϕ(g 1 g 2 q) = g 1 g 2 q 2 < g 2 2 = ϕ(g 2 ), vagyis r = g 1 g 2 q választással fennáll 1. g 1, g 2 G esetén g 1 2, g 2 2 1, így ϕ(g 1 g 2 ) = g 1 g 2 2 = g 1 2 g 2 2 max{ g 1 2, g 2 2 } = max{ϕ(g 1 ), ϕ(g 2 )}, vagyis fennáll 2.

7 Gyűrűk Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 7. Bővített euklideszi algoritmus Algoritmus (Bővített euklideszi algoritmus) Legyen R euklideszi gyűrű az e egységelemmel, a 0 nullelemmel és a ϕ függvénnyel, továbbá a, b R. 1 (Inicializálás) x 0 := e, y 0 := 0, r 0 := a, x 1 := 0, y 1 := e, r 1 := b, n := 0. 2 (Vége?) Ha r n+1 = 0, akkor x := x n, y := y n, d := r n, és az eljárás véget ér. 3 (Ciklus) r n := q n+1 r n+1 + r n+2, ahol r n+2 = 0 vagy ϕ(r n+2 ) < ϕ(r n+1 ). x n+2 := x n q n+1 x n+1, y n+2 := y n q n+1 y n+1, n := n + 1, és menjünk 2 -re. Tétel (NB) Az R euklideszi gyűrűben, a bővített euklideszi algoritmus tetszőleges a, b R esetén meghatározza egy d = (a, b) kitüntetett közös osztójukat, továbbá olyan x, y R elemeket, amelyekre d = ax + by.

8 Gyűrűk Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 8. Felbonthatatlanok és prímek kapcsolata euklideszi gyűrűben Tétel Euklideszi gyűrűben egy elem pontosan akkor prím, ha felbonthatatlan. Bizonyítás = : volt általánosan e.i.t.-ban. =: Legyen p felbonthatatlan, és tegyük fel, hogy p ab. Ha p a, akkor p és a közös osztói csak az egységek (Miért?), így a bővített euklideszi algoritmussal a px + ay = ε egyenlethez jutunk, ahol ε egység. b-vel és ε multiplikatív inverzével szorozva azt kapjuk, hogy: pbxε 1 + abyε 1 = b. Mivel a bal oldal mindkét tagjának osztója p, ezért b-nek is.

9 Gyűrűk Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 9. Euklideszi gyűrű és Gauss-gyűrű kapcsolata Tétel (NB.) Minden euklideszi gyűrű Gauss-gyűrű.

10 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 10. Alapfogalmak Definíció Legyen (R; +, ) gyűrű. A gyűrű elemeiből képzett f = (f 0, f 1, f 2,... ) (f j R) végtelen sorozatot R fölötti polinomnak nevezzük, ha csak véges sok eleme nem-nulla. Az R fölötti polinomok halmazát R[x]-szel jelöljük. R[x] elemein definiáljuk az összeadást és a szorzást. f = (f 0, f 1, f 2,... ), g = (g 0, g 1, g 2,... ) és h = (h 0, h 1, h 2,... ) esetén f + g = (f 0 + g 0, f 1 + g 1, f 2 + g 2,... ) és f g = h, ahol h k = i+j=k f i g j = k f i g k i = i=0 k f k j g j. Két polinom pontosan akkor egyenlő, ha minden tagjuk egyenlő: f = g j N : f j = g j. Megjegyzés Könnyen látható, hogy polinomok összege és szorzata is polinom. j=0

11 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 11. Alapfogalmak Álĺıtás (NB) Ha (R; +, ) gyűrű, akkor (R[x]; +, ) is gyűrű, és R fölötti polinomgyűrűnek nevezzük. Megjegyzés Gyakran az (R; +, ) gyűrűre szimplán R-ként, az (R[x]; +, ) gyűrűre R[x]-ként hivatkozunk. Álĺıtás Ha az R gyűrű kommutatív, akkor R[x] is kommutatív. Bizonyítás Később.

12 Polinomok Diszkrét matematika 3. estis képzés ősz 12. Alapfogalmak Álĺıtás 1 R egységelem esetén e = (1, 0, 0...) egységeleme lesz R[x]-nek. Bizonyítás Később. Álĺıtás Ha az R gyűrű nullosztómentes, akkor R[x] is nullosztómentes. Bizonyítás Később. Jelölés Az f = (f 0, f 1, f 2,..., f n, 0, 0,... ), f n 0 polinomot f (x) = f 0 + f 1 x + f 2 x f n x n, f n 0 alakba írjuk.

Hasonló dokumentumok

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék