A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait."

Átírás

1 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz, amelyben értelmezett egy V V V, (a,b) a+b összeadásnak, továbbá egy K V V, (k,a) ka skalárral való szorzásnak nevezett mővelet. A V halmazt e rajta értelmezett mőveletekkel K test feletti vektortérnek nevezzük, ha eleget tesz az alábbi axiómáknak: Az összeadás axiómái: (A.1) Az összeadás kommutatív: minden a,b V elempárra teljesül a+b=b+a. (A.2) Az összeadás asszociatív: minden a,b,c V elemhármasra fennáll (a+b)+c=a+(b+c). (A.3) Létezik olyan n V elem, amelyre minden a V esetén n+a=a+n=a. (A.4) Minden a V elemhez létezik olyan a' V elem, hogy érvényes a+a'=a'+a=n. A skalárral való szorzás axiómái: (M.1) Minden k,l K skalárpárra és minden a V elemre teljesül (k+l)a=ka+la. (M.2) Minden k K skalárra és minden a,b V elempárra érvényes k(a+b)=ka+kb. (M.3) Minden k,l K skalárpárra és minden a V elemre fennáll (kl)a=k(la). (M.4) Az 1 K egységelemre és minden a V elemre fennáll 1a=a. A csoport fogalmának felhasználásával az összeadás axiómái helyettesíthetık azzal a kijelentéssel, hogy a (V,+) struktúra egy Abel csoport. A V halmaz elemeit vektoroknak nevezzük, s ha ki akarjuk hangsúlyozni, hogy V a K test feletti vektortér, akkor a (K,V) jelölést alkalmazzuk. Megjegyezzük, hogy a vektortér helyett gyakran használják a lineáris tér elnevezést is. A matematika nagyon sok területén találkozhatunk vektorterekkel. Néhány ilyen példát mutatunk be a következıkben. 17

2 2.1. Példa: Az euklideszi sík (tér) geometriai vektorai a szokásos vektorösszeadás és a valós számmal való szorzással a valós számok R teste feletti vektorteret alkotnak, amelyet G 2 (G 3 ) jelöl a továbbiakban Példa: Legyen K egy test és K n a test rendezett elem n-eseinek halmaza. Ha (a 1,...,a n ), (b 1,...,b n ) K n, akkor az összeadást az (a 1,...,a n )+(b 1,...,b n ) (a 1 +b 1,...,a n +b n ), a k K skalárral való szorzást a k(a 1,...,a n ) (ka 1,...,ka n ) módon értelmezve egy K test feletti vektortérhez jutunk Példa: Legyen K egy test, s jelölje K[x] a K feletti 1-határozatlanú polinomok halmazát. A K[x] a szokásos polinomösszeadás és polinomnak K-beli elemmel való szorzásával egy K test feletti vektorteret alkot Példa: Ha F jelöli az [a,b] R intervallumon értelmezett valós értékő függvények halmazát, s az összeadást, illetve a valós számmal való szorzást az (f+g)(x) f(x)+g(x) és (cf)(x) c f(x) módon definiáljuk (c R, f,g F), akkor F az R test felett vektorteret alkot Példa: A komplex számok C halmaza a komplex számok közötti szokásos összeadás és komplex számnak valós számmal való szorzásával a valós számok R teste feletti vektorteret alkot. A fenti példák részletes kidolgozását az olvasóra bízzuk. További példákat a fejezet végén levı feladatok között találhatunk. Ezután a (K,V) vektorteret értelmezı axiómákból levezethetı egyszerő tulajdonságokkal foglalkozunk. Az (A.2), illetve az (A.1) axiómákból az általános asszociativitás tétele, illetve az általános kommutativitás tétele alapján könnyen adódik a 2.6. Tulajdonság: A V vektortérben tetszıleges véges számú vektoron végrehajtott összeadás eredménye független a zárójelek elhelyezésétıl és a vektorok sorrendjétıl is. 18

3 Most az (A.3) axiómában szereplı n V vektorral foglalkozunk Tulajdonság: Egyetlen olyan n V vektor létezik, amelyre minden a V mellett n+a=a+n=a teljesül. Ha n' V olyan vektor, amelyre minden a V esetén n'+a=a+n'=a teljesül, akkor az a=n helyettesítéssel n'+n=n+n'=n, az (A.3) axiómából pedig az a=n' helyettesítéssel n+n'=n'+n=n' adódik, ami az elızıvel összevetve éppen az n=n' eredményt szolgáltatja. Az (A.3) axiómának eleget tevı, s a 2.7. tulajdonság szerint egyértelmően meghatározott elemet zérusvektornak, vagy nullvektornak nevezzük és a 0 szimbólummal jelöljük Tulajdonság: Minden a V vektorhoz egyetlen olyan a' V vektor létezik, amelyre a+a'=a'+a=0 teljesül. Ha a'* V olyan vektor, hogy valamely a V vektorral a+a'*=a'*+a=0, akkor az (A.2) és az (A.4) axiómák alapján a'=0+a'=(a'*+a)+a'=a'*+(a+a')= =a'*+0=a'* adódik. Az (A.4) axiómában szereplı, továbbá a 2.8. tulajdonság szerint minden a V vektorhoz egyértelmően meghatározott vektort az a V ellentett vektorának nevezzük és a (-a) szimbólummal jelöljük. Most már értelmezhetjük a vektorok kivonását a következıképpen: ha a,b V, akkor az a vektorból a b vektor kivonását az a-b a+(-b) összefüggéssel definiáljuk Tulajdonság: Minden a V vektorra -(-a)=a, továbbá minden a,b V vektorpárra -(a+b)= =-a-b teljesül. Az (A.2) axióma, valamint a 2.7. és a 2.8. tulajdonságok szerint -(-a)=0+ +[-(-a)]=[a+(-a)]+[-(-a)]=a+[(-a)+(-(-a))]=a+0=a adódik. Az (A.1), (A.2) axiómák, illetve a 2.7. és 2.8. tulajdonságok felhasználásával (a+b)+ 19

4 +(-b-a)=a+[b+(-b)]+(-a)=a+0+(-a)=a+(-a)=0, s az ellentett vektor egyértelmősége miatt ebbıl azonnal következik állításunk helyessége. A vektorok összeadására is teljesül az egyszerősítési szabály Tulajdonság: Minden a,b,c V vektorhármasra a+b=a+c maga után vonja b=c teljesülését. Az (A.2) axióma és a 2.8. tulajdonság alapján b=0+b=[(-a)+a]+b= =(-a)+(a+b)=(-a)+(a+c)=[(-a)+a]+c=0+c=c adódik Tulajdonság: Legyen V egy K test feletti vektortér, ha k K és a V, akkor ka=0 akkor és csakis akkor áll fenn, ha k=0 vagy a=0. Ha k=0, akkor az (M.1) axióma felhasználásával 0a=(0+0)a=0a+0a, amibıl a tulajdonság szerint 0=0a, ha pedig a=0, akkor az (M.2) axióma miatt k0=k(0+0)=k0+k0, ahonnan a tulajdonság alapján 0=k0 következik. Megfordítva, legyen ka=0. Ha k=0, akkor készen vagyunk, ha pedig k 0, akkor az 1.4. tulajdonság szerint létezik és egyértelmően meghatározott a k -1 K, amelynek felhasználásával 0=k -1 0=k -1 (ka)=(k -1 k)a=1a=a következik az (M.3) és az (M.4) axiómák figyelembevételével Tulajdonság: Legyen V egy K test feletti vektortér, ekkor minden k K és a V esetén (-k)a=k(-a)=-(ka). Az (M.1) axióma, az 1.4. és a tulajdonságok szerint ka+(-k)a= =[k+(-k)]a=0a=0, amibıl az ellentett vektor egyértelmősége miatt (-k)a=-(ka) következik. Az (M.2) axióma, a 2.8. és a tulajdonságok felhasználásával ka+ +k(-a)=k[a+(-a)]=k0=0, ebbıl szintén az ellentett vektor egyértelmősége szerint k(-a)=-(ka) következik Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k,l K és a,b V esetén fennáll k(a-b)=ka-kb és (k-l)a=ka-la. 20

5 Az (M.2) axióma és a tulajdonság szerint k(a-b)=k[a+(-b)]=ka+ +k(-b)=ka+[-(kb)]=ka-kb, az (M.1) axióma és a tulajdonság alapján pedig (k-l)a=[k+(-l)]a=ka+(-l)a=ka+[-(la)]=ka-la következik Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k 1,k 2,...,k n K és minden a V esetén érvényes a (k 1 +k k n )a=k 1 a+k 2 a+...+k n a összefüggés. Az (M.1) axióma szerint n=2 esetén igaz az állítás. Tegyük most fel, hogy állításunk minden k n-1 esetén igaz. Ekkor az (M.1) axióma és az indukciós feltevés alapján (k 1 +k k n )a=[(k 1 +k k n-1 )+k n ]a=(k k n-1 )a+k n a= =(k 1 a+...+k n-1 a)+k n a=k 1 a+...+k n a adódik Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k K és minden a 1,a 2,...,a m V esetén igaz a k(a 1 +a a m )=ka 1 +ka ka m összefüggés. Az (M.2) axióma szerint m=2 esetén igaz az állítás. Tegyük fel, hogy állításunk minden l m-1 esetén igaz. Ekkor az (M.2) axióma, s az indukciós feltétel alapján k(a 1 +a a m )=k[(a a m-1 )+a m ]=k(a a m-1 )+ka m = =(ka ka m-1 )+ka m =ka ka m következik Tulajdonság: Ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k 1,k 2,...,k n K és minden a 1,a 2,...,a m V esetén érvényes a (k k n )(a a m )=k 1 a k 1 a m k n a k n a m. A és a tulajdonságok felhasználásával (k k n ) (a a m )= =k 1 (a a m )+...+k n (a a m )=(k 1 a k 1 a m )+...+(k n a k n a m )=k 1 a k n a m. Ez utóbbi tulajdonság úgy fogalmazható meg, hogy skalárok többtagú összegét vektorok többtagú összegével úgy szorozzuk meg, hogy minden skalárt minden vektorral megszorzunk, majd az így kapott vektorokat összegezzük. 21

6 A vektorok összeadása és az elsı fejezetben vizsgált skalárok összeadása azért rendelkezik azonos mőveleti tulajdonságokkal, mert a (V,+) és a (K,+) egyaránt Abel csoport, ahogyan azt a vektortér értelmezésével kapcsolatban már korábban is említettük. Feladatok: 1. Mutassuk meg, hogy minden K test egy önmaga, azaz K feletti vektorteret alkot, ha az összeadás azonos a K-beli összeadással, A k K skalárnak az a K vektorral való szorzata pedig a K-beli szorzással elıálló ka K vektorral egyenlı. 2. Bizonyítsuk be, hogy a valós számok R halmaza a racionális számok Q teste felett vektorteret alkot, amelyben az összeadást a valós számok közötti összeadás, a racionális számmal, mint skalárral való szorzást a valós számok közötti szokásos szorzás jelenti. 3. Igazoljuk, hogy a K test feletti legfeljebb n-ed fokú polinomok K n [x] halmaza a polinomok szokásos összeadásával és polinomnak K-beli skalárral való szorzásával a K test felett vektorteret alkot. 4. Legyen K egy tetszıleges test, H egy tetszıleges halmaz és H K {f f:h K} a H halmaznak a K halmazba való összes leképezései. Ha f,g H K és c K, akkor az f+g H K, és a c f H K leképezéseket minden x H esetén az (f+g)(x) f(x)+g(x) és a (c f)(x) c f(x) összefüggésekkel értelmezzük. Bizonyítsuk be, hogy H K egy K test feletti vektortér. 5. Legyen K egy test és {x} egy tetszıleges, egy elemő halmaz. Ha az összeadást az x+x x, a skalárral való szorzást pedig a kx x értelmezi minden k K esetén, akkor bizonyítsuk be, hogy {x} a fenti mőveletekkel egy K feletti vektortér. 6. Bizonyítsuk be, hogy ha V egy K test feletti vektortér, akkor minden k K és a V esetén érvényes a (-k)(-a)=ka összefüggés. 22

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

A + B = B + A, A + ( B + C ) = ( A + B ) + C.

A + B = B + A, A + ( B + C ) = ( A + B ) + C. 6. LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK Számítógépekben, műszerekben, vezérlő automatákban alapvető szerep jut az olyan áramköröknek, melyek valamilyen logikai összefüggést fejeznek ki. Ezeknek a logikai áramköröknek az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Melléklet a Matematika című részhez

Melléklet a Matematika című részhez Melléklet a Matematika című részhez Az arányosság bemutatása Az első könyvsorozatban 7. osztály, Tk-2 és Tk-3-ban 6. osztály, Tk-3b-ben 5. osztály(!), Tk-4-ben ismét 6. osztály, és végül Tk-4b-ben 5-6.

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát.

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát. 1. Vektorok 1.1. Alapfogalmak, alapműveletek 1.1.1. Elméleti összefoglaló Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Szakdolgozat. Focibajnokságok és véges geometriák. Készítette: Mahler Attila (Matematika BSc) Témavezetı: Kiss György (Egyetemi docens)

Szakdolgozat. Focibajnokságok és véges geometriák. Készítette: Mahler Attila (Matematika BSc) Témavezetı: Kiss György (Egyetemi docens) Szakdolgozat Focibajnokságok és véges geometriák Készítette: Mahler Attila (Matematika BSc) Témavezetı: Kiss György (Egyetemi docens) Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Ö Á Í Í ű ű ú ű ű ű ű ú ú ú ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ú ű ú ú ú ű ú Á ú ű ű Ó ú ű ű ű ú Ó ú ű ú É ú ú ú ű ű ú ű ú Ú Á ú É ú Ó ú ú ú ú ű ű ű ú É Á É É ű ű Í ú ú Ó Í ű Í ű ű ú ű ű ű É ű ú Á ű ű ú Í ű Á ű ú ú É

Részletesebben

Matematika (alsó tagozat)

Matematika (alsó tagozat) Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Programozási Módszertan definíciók, stb.

Programozási Módszertan definíciók, stb. Programozási Módszertan definíciók, stb. 1. Bevezetés Egy adat típusát az adat által felvehető lehetséges értékek halmaza (típusérték halmaz, TÉH), és az ezen értelmezett műveletek (típusműveletek) együttesen

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

I. Vektor fogalma, tulajdonságai

I. Vektor fogalma, tulajdonságai 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató I. Vektor fogalma, tulajdonságai Módszertani megjegyzés: Az 1. és. fejezet az eddig tanultak rendszerezett és kibővített átismétlése. Bevezetőként kereshetünk

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3.

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Rendezett halmaz R A x A rendezési reláció A-n, ha R Másképpen: (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Tranzitív arb for (a, b) R. 1. a A ara 2. a,b A (arb bra a = b 3. a,b,c A (arb brc arc

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5.

Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5. Analízis 11 12. évfolyam Szerkesztette: Surányi László 2015. július 5. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Vizsga Lineáris algebra tárgyból. 2012/13 akadémiai év, I. félév

Vizsga Lineáris algebra tárgyból. 2012/13 akadémiai év, I. félév 1 Vizsga Lineáris algebra tárgyból 2012/13 akadémiai év, I. félév TARTALOM: 1. Elméleti anyag (melyet a vizsgára meg kell tanulni)...2. old. 2. A vizsga lebonyolítása, osztályozás...3. old. 2.1 Vizsga

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése.

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése. Matematika 10. első kötet Témák Az óra témája (tankönyvi 1. Bevezető óra (101. Ismerkedés a tankönyvvel 2. Nyílt végű feladat: Szálloda tervezése (102. 3. Matematikai logika: Igaz vagy hamis (103. 4. Matematikai

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Operációkutatás. Glashütter Andrea

Operációkutatás. Glashütter Andrea Glashütter Andrea Mátriok I. Mátriok A mátriok olyan számtáblázatok, amelyek n db sorral és m db oszloppal rendelkeznek. Általános mátri: m n nm n n m m a a a a a a a a a A K M O M M K K Egy tetszleges

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat

1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat 1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Matematikai alapfogalmak Halmazok Relációk Függvények Homomorfizmusok Nyelvi alapfogalmak Ábécé, szavak, nyelvek Műveletek

Részletesebben

Molnár Györgynének, aki korrekt szigorúságával a középiskolában alapozta

Molnár Györgynének, aki korrekt szigorúságával a középiskolában alapozta Ajánlom ezt a könyvet illetve sorozatot mind közül is legkedvesebb tanáraimnak, Molnár Györgynének, aki korrekt szigorúságával a középiskolában alapozta meg szeretetemet a matematika iránt, és Pósa Lajosnak,

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

NP-teljesség röviden

NP-teljesség röviden NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel

Részletesebben

Matematika kerettantervek 2012. augusztus 31.

Matematika kerettantervek 2012. augusztus 31. Matematika kerettantervek 2012. augusztus 31. dr. Frigyesi Miklós bizottsági elnök Régi és új a NAT-ban Ami visszaszorul: Írásbeli műveletvégzés Magas szintű algebrai rutin Ötletes egyenletek, egyenlőtlenségek

Részletesebben

Átlag( ; ): a paraméterlistában megadott számok átlagát adja meg eredményül. Pl.: Átlag(a2:a8)

Átlag( ; ): a paraméterlistában megadott számok átlagát adja meg eredményül. Pl.: Átlag(a2:a8) Alap függvények Szum( ; ): a paraméterlistában megadott számokat összeadja. Pl.: Szum(a2:a8) Átlag( ; ): a paraméterlistában megadott számok átlagát adja meg eredményül. Pl.: Átlag(a2:a8) Max( ; ): a paraméterlistában

Részletesebben

Diszkrét Matematika 2 (C)

Diszkrét Matematika 2 (C) Diszkrét Matematika 2 (C) 2014-15 / őszi félév Jegyzet Az esetleges elírásokért, hibákért felelősséget nem vállalok! Javításokat, javaslatokat a következő címre küldhetsz: blackhawk1990@gmail.com Diszkrét

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Játékgeometria. * Hat lecke játékfejlesztőknek oktatási segédanyag, mely a

Játékgeometria. * Hat lecke játékfejlesztőknek oktatási segédanyag, mely a * Hat lecke játékfejlesztőknek oktatási segédanyag, mely a Társadalmi Megújulás Operatív Program Határon átnyúló együttműködés a szakképzés és a felnőttképzés területén c. pályázati felhívás keretében

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 2015 I. Időtartam: 45 perc Oktatáskutató

Részletesebben

Nagy Ilona 2013.06.01.

Nagy Ilona 2013.06.01. Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-

Részletesebben

5.A 5.A. 5.A Egyenáramú hálózatok alaptörvényei Nevezetes hálózatok

5.A 5.A. 5.A Egyenáramú hálózatok alaptörvényei Nevezetes hálózatok 5. 5. 5. Egyenáramú hálózatok alaptörvényei Nevezetes hálózatok Vezesse le az ellenállások soros párhuzamos és vegyes kapcsolásainál az eredı ellenállás kiszámítására vonatkozó összefüggéseket! Definiálja

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Kombinatorika jegyzet és feladatgyűjtemény

Kombinatorika jegyzet és feladatgyűjtemény Kombinatorika jegyzet és feladatgyűjtemény Király Balázs, Tóth László Pécsi Tudományegyetem 2011 2 Lektor: Kátai Imre egyetemi tanár, az MTA rendes tagja Tartalomjegyzék Előszó 5 I. Jegyzet 7 I.1. Permutációk,

Részletesebben

Operációs Rendszerek Gyakorlat Triviális segédfeladatok 2009. június 4. 1. PERL Tömbök és hashek Feladat: 2009. május 26-i beugró

Operációs Rendszerek Gyakorlat Triviális segédfeladatok 2009. június 4. 1. PERL Tömbök és hashek Feladat: 2009. május 26-i beugró Operációs Rendszerek Gyakorlat Triviális segédfeladatok 2009. június 4. Összeállította: Méreg Balázs (mbalazs@varfok.vein.hu) Külsı forrás: 2009. május 26-i beugró 1. PERL Tömbök és hashek Feladat: 2009.

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

MATEMATIKA. 9-10. évfolyam. Célok és feladatok

MATEMATIKA. 9-10. évfolyam. Célok és feladatok MATEMATIKA 9-10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerő, alkalmazásra képes matematikai mőveltségét, biztosítsa a többi tantárgy

Részletesebben

Könnyebb-a a középszintű érettségi a régi házi érettségi vizsgánál? II.

Könnyebb-a a középszintű érettségi a régi házi érettségi vizsgánál? II. Könnyebb-a a középszintű érettségi a régi házi érettségi vizsgánál? II. Írta: dr. Majoros Mária Ebben a tanulmányban a jelenlegi érettségin kitűzött feladatokat olyan szempontból fogom összehasonlítani,

Részletesebben