Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet)."

Barnabás Fazekas
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és amelyre nézve kommutatív csoportot alkot. T legyen tetszőleges kommutatív test. A V (nemüres) halmazt vektortérnek nevezzük a T test felett, ha definiálható olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya T x V, értékkészlete V, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik: - Bármely λ, µ T és v V esetén: (λ+µ)v=λv+µv - Bármely λ T és v, u V esetén: λ(u+v)=λu+λv - Bármely λ, µ T és v V esetén: (λµ)v=λ(µv) - Bármely v V esetén: 1v=v, ahol 1 a T test (szorzásra vonatkozó) egységeleme (azaz amellyel minden λ T-re 1λ=λ1=λ). A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet). Megjegyzés: Ebben a fejezetben aláhúzással jelöljük a vektorokat. Példák valós számok fölötti vektorterekre: - sík vektorai: geometriai és rendezett pár értelemben is, a szokásos összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós - tér vektorai: geometriai és rendezett hármas értelemben is, a szokásos összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós - n m-es mátrixok, speciálisan: 1 x n es sorvektorok, n x 1-es oszlopvektorok a szokásos mátrix összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós Bércesné Novák Ágnes 1

A V (nemüres) halmazt vektortérnek nevezzük a T test felett, ha definiálható olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya T x V, értékkészlete V, és a következő tulajdonságokkal rendelkezik: -

2 - az alakú 2 x 2-es mátrixok, ahol a R, a szokásos mátrix összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a valós a a - az egyetlen elemet, a 0 vektort tartalmazó halmaz a szokásos mátrix összeadásra és számmal való szorzásra nézve vektorteret alkot a valós - Minden test tekinthető önmaga feletti vektortérnek. - legfeljebb n-edfokú polinomok R felett A definíció következményei: 1. Bármely λ T re λ0=0, ahol 0 a V halmazbeli összeadás inverze Biz.: Freud tétel (99. old.) v+0=v /λ λ(v+0)= λv, baloldal felbontva: λv+λ0=λv Mindkét oldalhoz (λv) inverz elemét, (λv) -1 -et hozzáadva: λv+(λv) -1 +λ0=λv+(λv) λ0=0 λ0=0 2. Bármely v V-re 0v=0, ahol 0 a T testbeli összeadás egységeleme. Biz.: λ v=(λ+0)v=λv+0v Először a testbeli + egységelem definícióját, aztán a vektortér definíciójában megkövetelt vegyes disztributív szabályt alkalmaztuk. Mindkét oldalhoz (λv) inverz elemét, (λv) -1 -et hozzáadva: λv+(λv) -1 = λv+(λv) -1 +0v 0 = 0 + 0v=0v Bércesné Novák Ágnes 2

- legfeljebb n-edfokú polinomok R felett A definíció következményei: 1. Bármely λ T re λ0=0, ahol 0 a V halmazbeli összeadás inverze Biz.: Freud 4.1.2 tétel (99. old.

3 3. Bármely v V-re, (-1)v=v -1, ahol (-1) a T testbeli szorzás egységelemének az összeadásra vonatkozó inverze, v -1 pedig a vektortérben a v vektor összeadásra vonatkozó inverze. Biz.: 0=((-1)+1)v a 2. állítás miatt 0= (-1)v+1v=(-1)v+v a vektortér vegyes disztributivitási szabálya miatt, valamint az 1v=v kikötése miatt. Másrészt 0=v -1 +v a 0 definíciója miatt. Mindkét oldalhoz v inverz elemét, v -1 -et hozzáadva: v -1 =(-1)v+v +v -1 v -1 =(-1)v+0 v -1 =(-1)v 4. Ha λ v=0,, λ T, v V akkor vagy λ =0, vagy v=0 Biz.: Ha λ 0, akkor λ-nak létezik a szorzásra vonatkozó inverze a T testben, legyen ez λ -1. λ v=0 mindkét beszorozva λ -1 -gyel, λ -1 λv=λ -1 0 Baloldal=1v=v, ahol 1 a tesbeli szorzás egységeleme Jobboldal=0 az 1. következmény miatt. Def.: A T test feletti V vektortér egy nemüres W V részhalmazát altérnek nevezzük a V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon T test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre (pontosabban ezeknek a műveleteknek a W-re történő megszorításaira) nézve. Példák altérre: 1. síkvektorok halmaza térvektorok halmaza 2. Előbbi példában, ha a síkvektorokat (x, y, 0) számhármasokkal (x, y R), a térvektorokat (x, y, z) számhármasokkal (x, y, z R) pedig reprezentáljuk, akkor a 0 harmadik elemmel rendelkező rendezett számhármasok vektortere altere az általános alakú számhármasoknak. 3. λ(a, b, c), ahol λ, a, b, c R, alakú számhármasok a valós számtest felett, ha az összeadást megfelelő elemenként definiáljuk, a számmal való szorzást pedig elemenkénti szorzással (biz. később). Bércesné Novák Ágnes 3

Mindkét oldalhoz v inverz elemét, v -1 -et hozzáadva: v -1 =(-1)v+v +v -1 v -1 =(-1)v+0 v -1 =(-1)v 4. Ha λ v=0,, λ T, v V akkor vagy λ =0, vagy v=0 Biz.

4 4. Az a a az c alakú valós elemű mátrixok alteret alkotnak az alakú valós elemű mátrixok vektorterében, amelyek alteret alkotnak b c b d alakú valós elemű mátrixok vektorterében a valós 5. Minden vektortérben a {0} altér. Jelölés: R x R x.x R=R n, spec.: R x R=R 2, R x R x R=R 3 Megjegyzés: R 2 és R 3 lényegében azonos (pontosabban izomorf, ld. később) a sík illetve a tér vektoraival. Feladatok: 1. Általánosítsa a 2. példát rendezett szám n-esekre! 2. Milyen általánosítás tehető a 3. példával kapcsolatban? Bércesné Novák Ágnes 4

: R x R=R 2, R x R x R=R 3 Megjegyzés: R 2 és R 3 lényegében azonos (pontosabban izomorf, ld. később) a sík illetve a tér vektoraival.

5 Tétel: Egy T test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha: (i) u, v W u+v W (ii) v W, λ T λv W teljesül. Megjegyzés: Ha a vektortér egy részhalmazáról be akarjuk látni, hogy egyben altér is, elegendő azt bizonyítani, hogy a vektorok összeadása és a skalárral való szorzás nem vezet ki a részhalmazból. Biz.: A kommutativitás, asszociativitás, disztributív szabályok általános érvényűek, így azokat nem kell bizonyítani. Kérdéses lehet az egység (vektor) és az inverz(vektor) létezése. Ezeket a tétel feltételei biztosítják, hiszen 0 T esetén bármely v W-re 0v=0, ami (ii) miatt W-beli. Hasonlóan, -1 T-re a (ii) feltétel miatt, és a fent bizonyított 3. következmény miatt ( 1)v=v -1, vagyis minden W-beli elem +-ra vonatkozó inverze is W-beli. Igazoljuk a fenti, altérre vonatkozó példák helyességét! Bércesné Novák Ágnes 5

Biz.: A kommutativitás, asszociativitás, disztributív szabályok általános érvényűek, így azokat nem kell bizonyítani. Kérdéses lehet az egység (vektor) és az inverz(vektor) létezése.

Hasonló dokumentumok

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos