f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "f(x) a (x x 0 )-t használjuk."

Átírás

1 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási pontja). Azt mondjuk, hogy f-nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f(x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ(ε) és x D Az a R számot az f függvény x 0 pontbeli határértékének nevezzük, és jelölésére az f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim f(x) = a, vagy Állítás. A határérték, ha létezik, akkor egyértelmű. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f-nek létezik véges határértéke x 0 -ban, de nem egyértelmű. Akkor van két olyan szám a, a R, a a hogy minden ε > 0-hoz vannak olyan δ(ε), δ (ε) > 0 számok, melyekre Ebből f(x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ (ε) és x D f(x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ (ε) és x D. 0 a a = a f(x) + f(x) a < 2ε ha 0 < x x 0 < min{δ(ε), δ (ε)} és x D. Mivel itt ε > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva állításunkat. Megjegyzés. Határérték létezhet az x 0 pontban akkor is, ha a függvény nincs értelmezve a pontban de torlódási pontja annak (egy halmaz torlódási pontja ui. nem feltétlenül pontja a halmaznak). Éppen emiatt lényeges a definícióban a 0 < x x 0 feltétel, ez biztosítja azt, hogy x x 0. Tétel. [átviteli elv] Legyen f : D R R és x 0 D. f(x) = a akkor és csakis akkor, ha bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozat esetén lim f(x n ) a (n ). Másképpen megfogalmazva: az f függvény értelmezési tartományának egy x 0 torlódási pontjában akkor és csakis akkor lesz f határértéke az a szám, ha az értelmezési tartományból bármely x 0 -hoz konvergáló (x n ) sorozatot véve, melynek elemei x 0 -tól különbözőek, a függvényértékek (f(x n )) sorozata a hoz konvergál. így Bizonyítás. Ha lim f(x) = a, és x 0 x n x 0 (n ), akkor δ(ε) > 0-hoz van olyan N (δ(ε)) > 0, hogy ami azt jelenti, hogy f(x n ) a (n. x n x 0 < δ(ε) ha n > N (δ(ε)), f(x n ) a < ε ha n > N (δ(ε)), Indirekt bizonyítást használunk. Tegyük fel, hogy bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozat esetén f(x n ) a (n ), de a lim f(x) = a nem Ez utóbbi azt jelenti, hogy Ennek tagadása azt jelenti, hogy (ε > 0) (δ(ε) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ε)) ( f(x) a < ε)]. (ε > 0) (δ(ε ) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ε )) ( f(x) a ε )]. 1

2 2 Innen δ(ε ) = 1 n -t véve [( (xn D) 0 < x n x 0 < 1 ) ] ( f(x n ) a ε ) n de akkor x 0 x n x 0 (n ) és f(x n ) a (n ), ami ellentmondás. Megjegyezzük, hogy a P Q implikáció ekvivalens ( P ) Q-val, így tagadása (P Q) = (( P ) Q) = P ( Q) lesz (itt a tagadás műveletének logikai jele). Példák. ld. előadás. Átfogalmazás. f(x) a < ε f(x) K(a, ε) 0 < x x 0 < δ(ε) x D x (K(x 0, δ) \ {x 0 }) D ahol K(a, ε) az a pont ε sugarú környezetét jelöli. Ennek segítségével a definíció átfogalmazható: lim f(x) = a, ha a pont bármely K(a, ε) környezetéhez van x 0 -nak olyan K(x 0, δ) környezete, hogy ha x (K(x 0, δ) \ {x 0 }) D, akkor f(x) K(a, ε). Ez az átfogalmazás lehetőséget ad a határérték definíciójának kiterjesztésére. Azt mondjuk, hogy + + torlódási pontja D R-nek, ha bármely környezetében van D-beli pont (ami nyilvánvalóan mindig különböző + -től). 1. A definíció kiterjeszthető arra az esetre, amikor x 0, a R b. Például, az x 0 =, a = esetben a határérték definíciója: legyen x 0 = torlódási pontja D-nek, akkor lim f(x) = azt jelenti, hogy hogy bármely környezetéhez van -nek olyan környezete, hogy ha x-et ezen utóbbi környezet és D közös részéből vesszük, akkor f(x) benne lesz előbbi környezetében. Vagy, ami ugyanaz, bármely K < 0 számhoz van olyan δ(k) > 0 szám, hogy x f(x) < K ha x > δ(k), és x D. 2. Jobb- és baloldali határérték (csak x 0 R-ben). Tegyük fel, x 0 a D [x 0, + [ D ], x 0 ] halmaz torlódási pontja. Ha a D [x 0, + [ halmazra leszűkített függvény D ], x 0 ] határértéke az x 0 pontban az a szám, akkor azt mondjuk, hogy f jobboldali határértéke a, és ezt baloldali lim f(x) = a +0 lim 0 f(x) = a-val jelöljük. Másképpen fogalmazva, legyen x 0 a D [x 0, + [ halmaz torlódási pontja. Akkor mondjuk, hogy az f : D D ], x 0 ] R R függvénynek az a szám a jobboldali határértéke az x 0 pontban, ha minden ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, baloldali hogy f(x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ(ε) δ(ε) < x x 0 < 0 és x D

3 Definíció. Legyenek f, g : D R R, akkor e függvények (pontonkénti) összegét, f c R-szeresét, szorzatukat, hányadosukat az (f + g)(x) : = f(x) + g(x) (x D) (cf)(x) : = cf(x) (x D) (fg)(x) : = f(x)g(x) (x D) (f/g)(x) : = f(x)/g(x) (x D, g(x) 0) képletekkel értelmezzük. Tétel. [határérték, monotonitás és műveletek] Legyenek f, g : D R R, x 0 D, és tegyük fel, hogy lim f(x) = a, lim g(x) = b. Akkor bármely c R mellett lim (f + g)(x) = a + b, lim (cf)(x) = ca, lim (fg)(x) = ab, lim (f/g)(x) = a/b, ha b 0. Ha f(x) g(x) (x D, x x 0 ), akkor a b. Ha f(x) h(x) g(x) (x D, x x 0 ), és a = b, akkor lim h(x) = a. Bizonyítás. Az átviteli elv alapján sorozatok határértékének tulajdonságaiból következik. A tétel akkor is igaz, ha a, b R b, x 0 R b, de ekkor meg kell követelnünk, hogy a jobboldali kifejezések (a + b, ca, ab, a/b) értelmezve legyenek. Definíció. A h(x) := g (f(x)) (x D) függvényt, ahol f : D R R, g : f(d) R, az f és g függvényekből összetett függvénynek nevezzük, f a belső, g a külső függvény. h jelölésére használjuk h = g f-t is (itt f(d) = { f(x) : x D } az f függvény értékkészlete). Tétel. [összetett függvény határértéke] Legyen f : D R R, g : f(d) R, és h(x) := g (f(x)) (x D). Ha x 0 D, lim f(x) = a, a / f (D \ {x 0 }), és lim g(x) = b y a akkor lim h(x) = b. Bizonyítás. Legyen x 0 x n x 0 (n ) akkor y n := f(x n ) a (n ) és y n f (D \ {x 0 }) ezért y n a, így h(x n ) = g(y n ) b (n.) 5.2 Függvény folytonossága 3 Definíció. Az f : D R R függvényt értelmezési tartományának x 0 D pontjában folytonosnak nevezzük, ha bármely ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < ε ha x x 0 < δ(ε) és x D Ha x 0 D D akkor f folytonos x 0 -ban akkor, és csakis akkor, ha lim f(x) = f(x 0 ). Ha x 0 D, de x 0 / D, akkor x 0 a D izolált pontja, izolált pontokban f a definíció alapján mindig folytonos. Tétel. [átviteli elv függvény folytonosságára] Az f : D R R függvény folytonos az x 0 D pontban akkor és csakis akkor, ha bármely (x n ) : N D, x n x 0 (n ) sorozat esetén f(x n ) f(x 0 ) (n ).

4 4 Környezetes átfogalmazás. Az f : D R R függvény folytonos az x 0 D pontban akkor és csakis akkor, ha f(x 0 ) bármely K(f(x 0 ), ε) környezetéhez van x 0 -nak olyan K(x 0, δ) környezete, hogy ha x K(x 0, δ), akkor f(x) K(f(x 0 ), ε). Tétel. [folytonosság es műveletek] Ha f, g : D R R folytonosak az x 0 D pontban, akkor f + g, cf, fg, f/g (ha g(x 0 ) 0) is folytonosak x 0 -ban. Továbbá, a h(x) = g (f(x)) (x D) összetett függvény (ahol f : D R R, g : f(d) R) folytonos x 0 -ban, ha f folytonos x 0 -ban és g folytonos az y 0 := f(x 0 ) pontban. 5.3 Folytonos függvények globális tulajdonságai Definíciók. Az f : D R R függvényt alulról alulról korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete felülről felülről korlátos. Az f : D R R függvényt monoton növekvőnek csökkenőnek nevezzük D n, ha bármely x 1 < x 2, x 1, x 2 D esetén f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) Az f : D R R függvényt szigorúan monoton növekvőnek csökkenőnek nevezzük D n, ha bármely x 1 < x 2, x 1, x 2 D esetén f(x 1 ) < f(x 2 ) f(x 1 ) > f(x 2 ) Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek lokális (helyi) maximuma minimuma az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f(x) teljesül minden x K(x 0, ε) D esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek szigorú lokális (helyi) maximuma minimuma az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy esetén. f(x 0 ) > f(x) f(x 0 ) < f(x) teljesül minden x K(x 0, ε) D, x x 0 Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek globális (abszolút) maximuma minimuma van az x 0 D pontban, ha f(x 0 ) f(x) teljesül minden x D esetén. f(x 0 ) f(x) Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek szigorú globális (abszolút) maximuma minimuma van az x 0 D pontban, ha f(x 0 ) > f(x) f(x 0 ) < f(x) teljesül minden x D, x x 0 esetén.

5 5 Állítás. Folytonos függvény jeltartó, azaz ha f : D R R folytonos az x 0 D pontban, és f(x 0 ) 0 akkor van olyan δ > 0 hogy sg f(x) = sg f(x 0 ) ha x K(x 0, δ) D, ahol sg a szignum (előjel) függvényt jelöli. Bizonyítás. A folytonosság miatt ε := f(x 0 ) /2-höz van olyan δ > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < f(x 0 ) /2 ha x x 0 < δ(ε) és x D. Legyen pl. f(x 0 ) > 0, akkor az előző egyenlőtlenséget részletesen kiírva kapjuk, hogy f(x 0 )/2 < f(x) f(x 0 ) < f(x 0 )/2, vagy f(x 0 )/2 < f(x) (< 3f(x 0 )/2), ha x G(x 0, δ) D, ami mutatja állításunk helyességét. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvény folytonos az A D halmazon, ha f az A halmaz minden pontjában folytonos. Tétel. [folytonos függvény korlátossága] Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény korlátos. Azaz ha f : [a, b] R folytonos [a, b]-n, akkor vannak olyan k, K R amelyekre k f(x) K minden x [a, b] mellett. Bizonyítás. Tegyük fel állításunkkal ellentétben, hogy pl. f nem korlátos felülről. Akkor minden n N-hez van olyan x n [a, b], hogy f(x n ) > n. Tekintsük az A := { x n : n N } halmazt. Ha A véges halmaz, akkor van olyan x k0 eleme A-nak, hogy x n = x k0 véges sok n index kivételével, azaz, x n = x k0 ha n > n 0. Ha A végtelen halmaz, akkor a Bolzano-Weierstrass tétel alapján A-nak van (legalább egy) x 0 torlódási pontja. x n [a, b] és [a, b] zártsága miatt x 0 [a, b]. Vegyünk az x 0 pont K(x 0, 1) környezetéből egy x 0 -tól különböző A-beli x n1 pontot. Ezután az x 0 pont K(x 0, d 1 ) környezetéből, ahol d 1 = x n1 x 0, válasszunk egy olyan x 0 -tól különböző x n2 A pontot melyre n 2 > n 1 legyen (ilyen biztosan van, mert az x 0 pont bármely környezete végtelen sok A-beli pontot tartalmaz, egyébként x 0 nem lehetne A torlódási pontja). Az x n3 pontot a K(x 0, d 2 ) környezetből választjuk, ahol d 2 = x n2 x 0, úgy, hogy x n3 x 0, és n 3 > n 2 legyen. Hasonlóan folytatva, egy olyan x nk A (k N) sorozatot kapunk mely x 0 -hoz konvergál. (Az x nk (k N) sorozatot az x n (n N) sorozat részsorozatának nevezzük). Mivel véges A esetén x nk := x k (k N), x 0 := x k0 -t véve ugyanez a helyzet, így mondhatjuk, hogy az x n (n N) sorozatból mind véges, mind végtelen A esetén kiválasztható egy x 0 [a, b]-hez konvergáló részsorozat. Mivel feltevésünk szerint f(x nk ) > n k (k N) így k -vel f x 0 -beli folytonossága miatt kapjuk, hogy f(x 0 ), ami ellentmondás, bizonyítva állításunkat. Tétel. [maximum, minimum létezése] Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény felveszi a függvényértékek szuprémumát és infimumát függvényértékként. Azaz ha f : [a, b] R folytonos [a, b]-n, és akkor vannak olyan x m, x M [a, b] amelyekre m := inf{ f(x) : x [a, b] }, M := sup{ f(x) : x [a, b] } f(x m ) = m, f(x M ) = M. Azt is mondhatjuk, hogy korlátos zárt intervallumon folytonos függvénynek van maximuma és minimuma ezen az intervallumon.

6 6 Bizonyítás. Azt mutatjuk meg, hogy van olyan x M [a, b] melyre f(x M ) = M, a másik állítás igazolása hasonló. Tetszőleges n N esetén M 1 n nem felső korlátja a függvényértékeknek, igy van olyan x n [a, b], hogy M 1 n < f(x n) M (n N). Az előző tétel bizonyításához hasonlóan, kiválasztható az x n (n N) sorozatból egy olyan x nk (k N) részsorozat, mely valamely x M [a, b] elemhez konvergál. De akkor M 1 n k < f(x nk ) M (k N), amiből k -vel a folytonosság miatt M f(x M ) M adódik, azaz f(x M ) = M. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvény egyenletesen folytonos a D 1 D halmazon, ha bármely ε > 0-hoz van olyan (csak ε-tól függő) δ(ε) > 0 amelyre f(x) f(y) < ε ha x y < δ(ε) és x, y D 1 Ha f csupán folytonos D 1 -en akkor a bármely ε > 0-hoz és bármely y D 1 -hez van olyan (y-tól is függő) δ(ε, y) > 0 amelyre f(x) f(y) < ε ha x y < δ(ε, y) és x D 1 Tétel. [Cantor tétele] Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény ott egyenletesen folytonos. Nem bizonyítjuk. Tétel. [közbenső értékek tétele] Egy intervallumon folytonos függvény felvesz bármely két függvényérték közötti értéket is függvényértékként. Azaz, ha f : I R folytonos az I intervallumon, és f(α) y 0 f(β) valamely α, β I-re, akkor van olyan x 0 az α, β között, amelyre f(x 0 ) = y 0. Ebből következik, hogy egy intervallumon folytonos függvény értékkészlete is egy intervallum. Bizonyítás. Feltehető, hogy f(α) < y 0 < f(β). A határozottság miatt tegyük fel, hogy α < β és legyen A = { x [α, β] : f(x) < y 0 }. A felülről korlátos, nemüres halmaz, így van pontos felső korlátja: sup A = x 0 [α, β]. Megmutatjuk, hogy f(x 0 ) = y 0. Ha f(x 0 ) > y 0 volna, akkor az x f(x) y 0 függvény x 0 -beli jeltartósága miatt x 0 egy [α, β]-ba eső környezetében is f(x) > y 0 volna, de akkor x 0 csak ugy lehetne felső korlátja A-nak, ha x 0 = α, amiből f(α) = f(x 0 ) > y 0 adódik, ami ellentmond feltételezésünknek. Ha f(x 0 ) < y 0 volna, akkor az x f(x) y 0 függvény x 0 -beli jeltartósága miatt x 0 egy [α, β]-ba eső környezetében is f(x) < y 0 volna, de akkor x 0 csak ugy lehetne felső korlátja A-nak, ha x 0 = β, amiből f(β) = f(x 0 ) < y 0 adódik, ami ismét ellentmond feltételezésünknek. Így csak f(x 0 ) = y 0 lehet, bizonyítva állításunkat. Tétel. [inverz függvény folytonossága] Egy intervallumon folytonos, szigorúan monoton függvény injektív, és inverze is folytonos, és szigorúan monoton (ugyanolyan értelemben mint az eredeti függvény).

7 7 Azaz ha f : I R folytonos, szigorúan monoton az I intervallumon akkor f injektív, és az f 1 : J I (létező) inverz függvény folytonos J-n, és ugyanolyan értelemben monoton, mint f (ahol J := f(i) = { f(x) : x I } az f függvény értékkészlete). Nem bizonyítjuk. Szigorú monotonitás helyett injektivitást feltéve is folytonos az inverz függvény. Tétel. [inverz függvény folytonossága] Egy intervallumon folytonos és injektív függvény inverze is folytonos. Azaz ha f : I R folytonos és injektív az I intervallumon és J := f(i) = { f(x) : x I } az f függvény értékkészlete, akkor az f 1 : J I inverz függvény folytonos J-n. Nem bizonyítjuk. 5.4 Az elemi függvények folytonossága Az exponenciális és trigonometrikus függvények középiskolában tanult definícióját elfogadva további fontos függvényeket definiálunk. Definíciók. ln x := az e x függvény inverze, ln :]0, [ R, a x := e x ln a (x R) ahol a > 0, log a x := az a x függvény inverze, ahol 0 < a 1, log a :]0, [ R. A trigonometrikus függvények inverzeit az alábbi módon definiáljuk. Definíciók. arcsin x := a sin [ π 2, π 2 ] x függvény inverze, arcsin : [ 1, 1] [ π 2, ] π 2, arccos x := a cos [0,π] x függvény inverze, arccos : [ 1, 1] [0, π], arctan x := a tan ] π 2, π 2 [ x függvény inverze, arctan : R ] π 2, π 2 [, arcctg x := a ctg ]0,π[ x függvény inverze, arcctg : R ]0, π[ Definíció. Az f(x) = c (x R), (ahol c R tetszőleges konstans), f(x) = x (x R), f(x) = e x (x R), f(x) = ln x (x > 0), f(x) = sin x (x R), f(x) = arcsin x (x [ 1, 1]) függvényeket, és ezekből a 4 alapművelet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás), összetett függvény képzése, leszűkítés egy intervallumra operációk véges sokszori alkalmazásával keletkező függvényeket elemi függvényeknek nevezzük. Tétel. A f(x) = x α := e α ln x (x > 0) általános hatványfüggvény, a trigonometrikus függvények és inverzeik, polinomok, racionális törtfüggvények (azaz polinomok hányadosai) elemi függvények. Bizonyítás. Ezen függvények ismert azonosságok felhasználásával kifejezhetők a definíció első részében felsorolt 6 elemi függvény segítségével a 4 alapművelet és összetett függvény képzése által. Tétel. Az elemi függvények folytonosak.

8 8 Bizonyítás. Elég az f(x) = c, x, e x, sin x függvények folytonosságát igazolni (ezekből az inverz függvény folytonoss ágára vonatkozó tétel miatt következik az f(x) = ln x, arcsin x folytnossága, majd a folytonosság és műveletek kapcsolata miatt a tétel. f(x) = c, f(x) = x folytonossága a definíció alapján nyilvánvaló. A sin függvény folytonossága sin x sin x 0 = 2 sin x x 0 2 cos x + x 0 2 x x 0 < ε ha x x 0 < δ(ε) = ε miatt következik. Az exponenciális függvény folytonosságat nehezebb igazolni, itt nem bizonyitjuk. 5.5 Nevezetes függvényhatárértékek Tétel. lim (1 + x) 1 e x 1 sin x x = e, lim = 1, lim x 0 x 0 x x 0 x = 1. Bizonyítás. Az első állítás a sorozatok határértékére vonatkozó lim (1 + x n) 1 xn = e ha 0 xn 0 (n ) n egyenlőségből következik. A másodikat úgy igazolhatjuk, hogy y = e x 1 transzformációval y 0 ha x 0, így e x 1 y lim = lim x 0 x y 0 ln(y + 1) = lim 1 = 1 y 0 ln(1 + y) 1 y ln e = 1. Az utolsó igazolásához felhasználjuk a geometriai meggondolásból adódó sin x < x < tg x ha 0 < x < π 2 egyenlőtlenséget. Ebből sin x-szel való osztással 1 < x sin x < 1 cos x, és x 0-val a rendőrtétel alapján adódik állításunk.

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

ANALÍZIS TANÁROKNAK I.

ANALÍZIS TANÁROKNAK I. Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar CSÖRGŐ ISTVÁN ANALÍZIS TANÁROKNAK I. az Informatika Minor Szak hallgatói számára nappali és levelező tagozat Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK

Részletesebben

Bevezető analízis I. jegyzet

Bevezető analízis I. jegyzet Bevezető analízis I. jegyzet Gémes Margit, Szentmiklóssy Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet 05. szeptember. Tartalomjegyzék Halmazok, logika, bizonyítási módszerek..

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére (2008). A differenciálhatóság és a derivált fogalma Emlékeztetünk az egyváltozós különbségi hányados fogalmára, melyet a konvex függvények tárgyalása

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük

Részletesebben

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6.

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6. Programkonstrukciók Definíció Legyen π feltétel és S program A-n. A DO A A relációt az S-ből a π feltétellel képezett ciklusnak nevezzük, és (π, S)-sel jelöljük, ha 1. a / [π] : DO (a) = { a }, 2. a [π]

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben