Egyváltozós függvények 1.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Egyváltozós függvények 1."

Átírás

1 Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5

2 Az el adás vázlata A függvény általános fogalma A függvény általános fogalma Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. / 5

3 A függvény általános fogalma Függvény Legyen A és B két tetsz leges halmaz. Ha A minden eleméhez egy meghatározott szabály szerint B egy konkrét elemét rendeljük, akkor ezt a hozzárendel szabályszer séget függvénynek nevezzük és az f, g, h, bet k valamelyikével jelöljük. Röviden mindezt az jelöléssel fejezzük ki f : A B Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 3 / 5

4 Az A halmazt az f függvény értelmezési tartományának nevezzük és D f -fel jelöljük. Egy a A elem f függvény általi képén azt a b B elemet értjük, amelyet f rendel a-hoz ezt a képet f (a)-val jelöljük. Az értelmezési tartomány minden elemének képe által alkotott halmazt nevezzük az f függvény értékkészletének és R f -fel Filip Ferdinánd jelöljük. 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 4 / 5 A függvény általános fogalma A függvény általános fogalma a a f b = f (a) b = f (a ) R f A B 1. ábra. Az általános f : A B függvényhez kapcsolódó alapvet fogalmak

5 A függvény általános fogalma Függvény grakonja Legyen f : A B egy valós függvény. A graph f = {(x, f (x)) : x A} halmazt a két dimenziós Descartes-féle síkban az f függvény grakonjának nevezzük. x x x 0 Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 5 / 5

6 Alapm veletek A függvény általános fogalma A függvények körében is értelmezhetjük az alapm veleteket: (f + g) (x) = f (x) + g(x) (f g) (x) = f (x) g(x) (f.g) (x) = f (x).g(x) ( ) f g (x) = f (x) g(x) D f g D f +g = D f D g D f g = D f D g D f.g = D f D g = (D f D g ) \ {x : g(x) = 0} Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 6 / 5

7 Összetett és inverz függvény Összetett függvény Az f és g függvényekb l képzett f g összetett függvényt az (f g) (x) = f (g(x)) képlettel értelmezzük. Az f g összetett függvény értelmezési tartománya a g értelmezési tartományából vett azon x elemek halmaza, melyekre a g(x) függvényérték az f értelmezési tartományának eleme, tehát D f g = {x D g : g(x) D f }. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 7 / 5

8 Példa: A függvény általános fogalma Legyen f (x) = x és g(x) = x + 3. Ekkor (f g) (x) = x + 3, viszont (g f ) (x) = x + 3, Továbbá (f f ) (x) = x = x 1 4 és (g g) (x) = x + 6. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 8 / 5

9 Összetett és inverz függvény Legyen adott két nem üres D, E R halmaz és egy f : D E függvény. Az f függvényt injektívnek nevezzük, ha két különböz x, y D-re az f (x), f (y) képelemek is különböznek. szürjektívnek, ha R f = E vagyis, ha E minden elemének van el képe. bijektívnek, bijekciónak, kölcsönösen egyértelm nek vagy invertálhatónak nevezzük, ha f injektív és szürjektív. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 9 / 5

10 Összetett és inverz függvény Inverz függvény Legyen adott két nem üres D, E R halmaz és egy f : D E függvény. Az f függvényt Ha az f : D E valós függvény bijektív, akkor a g : E D valós függvényt, amely minden e E -hez azt a g(e) = d D elemet rendeli melyre e = f (d) az f függvény inverz függvényének nevezzük és a g függvényt f 1 -nel jelöljük. Könnyen ellen rizhet a következ két általános összefüggés (f f 1 )(e) = e, e E, (f 1 f )(d) = d, d D. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

11 Korlátosság A függvény általános fogalma Legyen adott két nem üres D, E R halmaz és egy f : D E függvény. Az f függvényt alulról korlátosnak nevezzük az M D halmazon, ha létezik egy α R alsó korlátnak nevezett szám úgy, hogy minden x M-re f (x) α. A lehet legnagyobb ilyen alsó korlátot inf M f -el jelöljük és az f függvény M feletti alsó határának vagy inmumának nevezzük. Ha ez az alsó határ f értékkészletébe tartozik, akkor min M f -fel jelöljük és az f függvény M feletti minimumának nevezzük. Továbbá az f függvényt röviden alulról korlátosnak nevezzük, ha alulról korlátos a teljes D értelmezési tartományon. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

12 Korlátosság A függvény általános fogalma felülr l korlátosnak nevezzük az M D halmazon, ha létezik egy β R fels korlátnak nevezett szám úgy, hogy x M-re f (x) β. A lehet legkisebb alsó korlátot sup M f -el jelöljük és az f függvény M feletti fels határának vagy szuprémumának nevezzük. Ha ez a fels határ f értékkészletébe tartozik, akkor max M f -fel jelöljük és az f függvény M feletti maximumának nevezzük. Az el z khöz hasonlóan f -et felülr l korlátosnak nevezzük, ha felülr l korlátos a teljes D értelmezési tartományon. korlátosnak nevezzük az M D halmazon, ha alulról és felülr l is korlátos az M halmazon. Valamint f -et korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülr l is korlátos. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5

13 Monotonitás növekv nek nevezzük az M D halmazon, ha minden x, y M-re x < y magával vonja az f (x) f (y) összefüggést, ha ráadásul f (x) < f (y) akkor az f függvényt az M halmazon szigorúan növekv nek nevezzük. csökken nek nevezzük az M D halmazon, ha minden x, y M-re x < y -ból az f (x) f (y) összefüggés következik. Ha f (x) > f (y) akkor az f függvényt az M halmazon szigorúan csökken nek nevezzük. növekv nek, csökken nek, szigorúan növekv nek illetve szigorúan csökken nek nevezzük, ha az adott tulajdonság az egész értelmezési tartományon, azaz a D halmazon érvényes. monotonnak, illetve szigorúan monotonnak nevezzük az M D halmazon ha csökken vagy növekv az M halmazon, illetve ha szigorúan csökken vagy szigorúan növekv M-en. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

14 Konvexitás konvexnek nevezzük az I D intervallumon, ha minden x, y, z D-re az x < y < z rendezésb l f (y) f (x) + f (z) f (x) (y x) (1) z x következik. Ha az ((1))-ben a jelet a <,, > jelek valamelyikével helyettesítjük akkor a szigorúan konvex, konkáv illetve szigorúan konkáv tulajdonságok értelmezését kapjuk Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

15 f (y) f (x) + f (z) f (x) z x (y x) x y z f (x). ábra. Konkáv függvény Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

16 Paritás A függvény általános fogalma Legyen adott két nem üres D, E R halmaz és egy f : D E függvény. Az f függvényt párosnak nevezzük, ha minden x D-re x D és f (x) = f ( x). Az el z fejezet észrevételeire alapozva megjegyezhetjük, hogy a páros függvények grakonja szimmetrikus az y tengelyre. páratlannak nevezzük, ha minden x D-re x D és f (x) = f ( x). A páratlan függvények grakonja szimmetrikus az origóra. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

17 Paritás A függvény általános fogalma ábra. Páros és páratlan függvény Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

18 Periodikusság A függvény általános fogalma Legyen adott két nem üres D, E R halmaz és egy f : D E függvény. Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan T > 0 szám melyre x D esetén egyrészt x ± T D, másrészt pedig f (x) = f (x + T ). A T számot f periódusának, a lehet legkisebb ilyen T -t pedig amennyiben ilyen létezik f alapperiódusának nevezzük. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

19 Periodikusság A függvény általános fogalma Példák: cos x π π π 3π sin x π 4. ábra. Színusz és koszínusz függvények ábra. A törtrész függvény grakonja Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

20 Lineáris függvények A függvény általános fogalma Lineáris függvények Lineáris függvényeknek nevezzük a valós számok halmazán értelmezett, f (x) = ax + b (ahol a, b R) egyenlettel adott függvényeket. Ha a > 0, akkor a függvény szigorúan növekv. Ha a < 0, akkor a függvény szigorúan csökken. Ha a = 0, akkor f (x) = b, ami azt jelenti, hogy a függvény konstans, így a grakonja párhuzamos az x tengellyel. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 0 / 5

21 Lineáris függvények A függvény általános fogalma a > 0 a = 0 a < 0 6. ábra. Különböz lineáris függvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5

22 Hatványfüggvények. Az f (x) = x α el írással adott függvényeket a nem nulla α valós paraméter mellett hatványfüggvényeknek nevezzük. Az értelmezési tartomány és az értékkészletet az α paramétert l függ en változhat. Az α kitev példa D f R f α = p q, p, q N és p páros x 3 R [0, ) α = p q, p, q N és mindkett páratlan x 1 3 R R α > 0, de az el z két eset nem teljesül x [0, ) [0, ) α = p q, p, q N és p páros x 3 R \ {0} (0, ) α = p q, p, q N és mindkett páratlan x 1 3 R \ {0} R \ {0} α < 0, de az el z két eset nem teljesül x (0, ) (0, ) Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. / 5

23 Hatványfüggvények x 6 x 4 x x x 3 x 5 7. ábra. Páros és páratlan, pozitív kitev j hatványfüggvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 3 / 5

24 Hatványfüggvények. 1 x 6 x 4 x x 1 x 3 x 5 8. ábra. Páros és páratlan, negatív kitev j hatványfüggvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 4 / 5

25 Hatványfüggvények. x 7/9 1 x 1/ x /7 x 1/ ábra. Különböz hatványfüggvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 5 / 5

26 Hatványfüggvények. A hatványozásra vonatkozó néhány fontos azonosság: x α y α = (xy) α, x α x β = x α+β, (x α ) β = x αβ, x α = 1 x α, n x = x 1 n, n N. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 6 / 5

27 Exponenciális és logaritmus függvények. Exponenciális függvények Az f (x) = a x el írású függvényeket a R + \ {1} paraméter mellett exponenciális függvényeknek nevezzük. A megfelel halmazok: D f = R és R f = (0, ). Különösen fontos a természetes alapú exponenciális függvény, ahol az a alap a speciális e = Euler féle szám. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 7 / 5

28 Exponenciális és logaritmus függvények. Logaritmus függvény Adott a R + \ {1} paraméter mellett az x > 0 valós szám a alapú logaritmusának azt az y számot nevezzük, melyre a y = x. Az x szám a alapú logaritmusának jelölése log a x. Az f (x) = log a x el írású függvényeket logaritmus függvényeknek nevezzük. A megfelel fontos halmazok: D f = (0, ) és R f = R. Az a = e, illetve a = 10 esetben log a -t ln-nel, illetve log-gal jelöljük és természetes, illetve tízes alapú logaritmusnak nevezzük. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 8 / 5

29 Exponenciális és logaritmus függvények. a x, ha a > 1 1 a x, ha a < 1 log a x, ha a > 1 1 log a x, ha a < ábra. Exponenciális és logaritmus függvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 9 / 5

30 Exponenciális és logaritmus függvények A logaritmusfüggvény tulajdonságai a hatványozásra vonatkozókból vezethet ek le. Néhány fontosabb tulajdonság log a xy = log a x + log a y, log a x y = log a x log a y, log a x α = α log a x, log a x = log b x log b a, alog a x = x, log a a x = x. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

31 Trigonometrikus függvények. A jól ismert sin x, cos x, tg x és cotg x függvényeket gy jt néven (alapvet ) trigonometrikus függvényeknek nevezzük. cotg x tg x sin x x x cos x Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

32 Trigonometrikus függvények. A trigonometrikus függvényekre vonatkozó összefüggések geometriai meggondolásokból vezethet ek le. A legfontosabbak a következ k ( sin x + cos x = 1, sin x + π ) = cos x, tg x = sin x cos x, cos x cotg x = sin x, sin(x ± kπ) = sin x, cos(x ± kπ) = cos x, tg(x ± kπ) = tg x, cotg(x ± kπ) = cotg x, k Z. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 3 / 5

33 Trigonometrikus függvények. A szögek összegének szögfüggvényeire, illetve és a szögfüggvények összegére a megfelel összefüggések közül elég egyet-egyet tudni (a többi bel lük könnyen levezethet ) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, () ( ) ( ) x + y x y sin x + sin y = sin cos. (3) Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

34 Színusz és koszínusz függvények cos x π π π 3π π sin x 11. ábra. Színusz és koszínusz függvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

35 Tangens és kotangens függvények tg x cotg x π π π 3π π π π π 1. ábra. Tangens és kotangens függvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

36 Árkusz függvények A függvény általános fogalma A trigonometrikus függvények mindegyike periodikus, ezért biztosan nem invertálhatóak. Ha megfelel en lesz kítjük az értelmezési tartományukat, akkor invertálható függvényeket kapunk. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

37 Árkusz színusz függvény arcsin x. Árkusz színusz Az f : [ π, π ] [ 1, 1], f (x) = sin x függvény inverzét arcsin-szal jelöljük, tehát [ arcsin : [ 1, 1] π, π ] és x [ 1, 1], y [ π, π ] esetén arcsin x = y x = sin y. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

38 Árkusz színusz függvény arcsin x. π arcsin x y = x 1 sin x π 1 1 π 1 π 13. ábra. A sin x, arcsin x függvénypár ábrái Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

39 Árkusz koszínusz függvény arccos x. Árkusz koszínusz Az f : [0, π] [ 1, 1], f (x) = cos x függvény inverzét arccos-szal jelöljük, tehát arccos : [ 1, 1] [0, π] és x [ 1, 1], y [0, π] esetén arccos x = y x = cos y. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

40 Árkusz koszínusz függvény arccos x. arccos x π y = x π π π 1 cos x 14. ábra. A cos x, arccos x függvénypár ábrái Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

41 Árkusz tangens függvény arctg x. Árkusz tangens függvény Az f : ( π, π ) R, f (x) = tg x függvény inverzét arctg-sel jelöljük. Tehát ( arctg : R π, π ) és x R, y ( π, π ) esetén arctg x = y x = tg y. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

42 Árkusz tangens függvény arctg x. tg x y = x π arctg x π π π 15. ábra. A tg x, arctg x függvénypár ábrái Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 4 / 5

43 Árkusz kotangens függvény arccotg x. Árkusz kotangens függvény Az f : (0, π) R, f (x) = cotg x függvény inverzét arccotg-sel jelöljük. Tehát arccotg : R (0, π) és x R, y (0, π) esetén arccotg x = y x = cotg y. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

44 Árkusz kotangens függvény arccotg x. cotg x π y = x π arccotg x π 16. ábra. A cotg x, arccotg x függvénypár ábrái Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

45 Hiperbolikus függvények sh : R R, ch : R R, th : R ( 1, 1), cth : R R \ [ 1, 1], sh x = ex e x. ch x = ex +e x. th x = sh x ch x = ex e x e x +e x cth x = ch x sh x = ex +e x e x e x, Az hiperbolikus függvények inverz függvényeit area hiperbolikus függvények nevezzük. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

46 Hiperbolikus függvények y = x 17. ábra. A sh x és arsh x függvények grakonja Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

47 Hiperbolikus függvények ch x y = x arch x e x e x ln x ábra. A ch x és arch függvények grakonja Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

48 Hiperbolikus függvények arth x y = x 1 th x ábra. A th x és arth x függvények grakonja Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

49 Hiperbolikus függvények y = x cth x 1 arcth x ábra. A cth x és arcth x függvények grakonja Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

50 Hiperbolikus függvények Nevezetes azonosságok: ch x sh x = 1 sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y sh x = sh x ch x ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y ch x = ch x + sh x Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

51 Hiperbolikus függvények Egyszer számolással adódik az egyenl ség: ( ch x sh e x + e x ) ( e x e x x = ) = 1 (e x + + e x e x + e x) 4 = 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

52 Hiperbolikus függvények Egyszer számolással adódik az egyenl ség: ( e x e x ) ( e x + e x ) sh x ch x = = 1 (e x e x) = sh x. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 5 / 5

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Beregszászi István Programozási példatár

Beregszászi István Programozási példatár Beregszászi István Programozási példatár 2 1. fejezet 1. laboratóriumi munka 1.1. Matematikai kifejezések Írja fel algoritmikus nyelven a megadott kifejezést megfelelő típusú változók segítségével! Figyeljen

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE földtudomány szakos hallgatók számára Mezei István, Faragó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék ii Tartalomjegyzék

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA) Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0 Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Néhány fontosabb folytonosidejű jel

Néhány fontosabb folytonosidejű jel Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1

Részletesebben

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 17 XVII A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 1 PRImITÍV FÜGGVÉNY, ALApINTEGRÁLOk A (nagy) F függvényt a (kis) f függvény primitív függvényének nevezzük valamely nyílt intervallumon, ha itt

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11.E OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben