Egyváltozós függvények 1.

Átírás

1 Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5

2 Az el adás vázlata A függvény általános fogalma A függvény általános fogalma Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. / 5

3 A függvény általános fogalma Függvény Legyen A és B két tetsz leges halmaz. Ha A minden eleméhez egy meghatározott szabály szerint B egy konkrét elemét rendeljük, akkor ezt a hozzárendel szabályszer séget függvénynek nevezzük és az f, g, h, bet k valamelyikével jelöljük. Röviden mindezt az jelöléssel fejezzük ki f : A B Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 3 / 5

4 Az A halmazt az f függvény értelmezési tartományának nevezzük és D f -fel jelöljük. Egy a A elem f függvény általi képén azt a b B elemet értjük, amelyet f rendel a-hoz ezt a képet f (a)-val jelöljük. Az értelmezési tartomány minden elemének képe által alkotott halmazt nevezzük az f függvény értékkészletének és R f -fel Filip Ferdinánd jelöljük. 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 4 / 5 A függvény általános fogalma A függvény általános fogalma a a f b = f (a) b = f (a ) R f A B 1. ábra. Az általános f : A B függvényhez kapcsolódó alapvet fogalmak

5 A függvény általános fogalma Függvény grakonja Legyen f : A B egy valós függvény. A graph f = {(x, f (x)) : x A} halmazt a két dimenziós Descartes-féle síkban az f függvény grakonjának nevezzük. x x x 0 Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 5 / 5

6 Alapm veletek A függvény általános fogalma A függvények körében is értelmezhetjük az alapm veleteket: (f + g) (x) = f (x) + g(x) (f g) (x) = f (x) g(x) (f.g) (x) = f (x).g(x) ( ) f g (x) = f (x) g(x) D f g D f +g = D f D g D f g = D f D g D f.g = D f D g = (D f D g ) \ {x : g(x) = 0} Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 6 / 5

7 Összetett és inverz függvény Összetett függvény Az f és g függvényekb l képzett f g összetett függvényt az (f g) (x) = f (g(x)) képlettel értelmezzük. Az f g összetett függvény értelmezési tartománya a g értelmezési tartományából vett azon x elemek halmaza, melyekre a g(x) függvényérték az f értelmezési tartományának eleme, tehát D f g = {x D g : g(x) D f }. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 7 / 5

8 Példa: A függvény általános fogalma Legyen f (x) = x és g(x) = x + 3. Ekkor (f g) (x) = x + 3, viszont (g f ) (x) = x + 3, Továbbá (f f ) (x) = x = x 1 4 és (g g) (x) = x + 6. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 8 / 5

9 Összetett és inverz függvény Legyen adott két nem üres D, E R halmaz és egy f : D E függvény. Az f függvényt injektívnek nevezzük, ha két különböz x, y D-re az f (x), f (y) képelemek is különböznek. szürjektívnek, ha R f = E vagyis, ha E minden elemének van el képe. bijektívnek, bijekciónak, kölcsönösen egyértelm nek vagy invertálhatónak nevezzük, ha f injektív és szürjektív. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 9 / 5

10 Összetett és inverz függvény Inverz függvény Legyen adott két nem üres D, E R halmaz és egy f : D E függvény. Az f függvényt Ha az f : D E valós függvény bijektív, akkor a g : E D valós függvényt, amely minden e E -hez azt a g(e) = d D elemet rendeli melyre e = f (d) az f függvény inverz függvényének nevezzük és a g függvényt f 1 -nel jelöljük. Könnyen ellen rizhet a következ két általános összefüggés (f f 1 )(e) = e, e E, (f 1 f )(d) = d, d D. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

11 Korlátosság A függvény általános fogalma Legyen adott két nem üres D, E R halmaz és egy f : D E függvény. Az f függvényt alulról korlátosnak nevezzük az M D halmazon, ha létezik egy α R alsó korlátnak nevezett szám úgy, hogy minden x M-re f (x) α. A lehet legnagyobb ilyen alsó korlátot inf M f -el jelöljük és az f függvény M feletti alsó határának vagy inmumának nevezzük. Ha ez az alsó határ f értékkészletébe tartozik, akkor min M f -fel jelöljük és az f függvény M feletti minimumának nevezzük. Továbbá az f függvényt röviden alulról korlátosnak nevezzük, ha alulról korlátos a teljes D értelmezési tartományon. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

12 Korlátosság A függvény általános fogalma felülr l korlátosnak nevezzük az M D halmazon, ha létezik egy β R fels korlátnak nevezett szám úgy, hogy x M-re f (x) β. A lehet legkisebb alsó korlátot sup M f -el jelöljük és az f függvény M feletti fels határának vagy szuprémumának nevezzük. Ha ez a fels határ f értékkészletébe tartozik, akkor max M f -fel jelöljük és az f függvény M feletti maximumának nevezzük. Az el z khöz hasonlóan f -et felülr l korlátosnak nevezzük, ha felülr l korlátos a teljes D értelmezési tartományon. korlátosnak nevezzük az M D halmazon, ha alulról és felülr l is korlátos az M halmazon. Valamint f -et korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülr l is korlátos. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5

13 Monotonitás növekv nek nevezzük az M D halmazon, ha minden x, y M-re x < y magával vonja az f (x) f (y) összefüggést, ha ráadásul f (x) < f (y) akkor az f függvényt az M halmazon szigorúan növekv nek nevezzük. csökken nek nevezzük az M D halmazon, ha minden x, y M-re x < y -ból az f (x) f (y) összefüggés következik. Ha f (x) > f (y) akkor az f függvényt az M halmazon szigorúan csökken nek nevezzük. növekv nek, csökken nek, szigorúan növekv nek illetve szigorúan csökken nek nevezzük, ha az adott tulajdonság az egész értelmezési tartományon, azaz a D halmazon érvényes. monotonnak, illetve szigorúan monotonnak nevezzük az M D halmazon ha csökken vagy növekv az M halmazon, illetve ha szigorúan csökken vagy szigorúan növekv M-en. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

14 Konvexitás konvexnek nevezzük az I D intervallumon, ha minden x, y, z D-re az x < y < z rendezésb l f (y) f (x) + f (z) f (x) (y x) (1) z x következik. Ha az ((1))-ben a jelet a <,, > jelek valamelyikével helyettesítjük akkor a szigorúan konvex, konkáv illetve szigorúan konkáv tulajdonságok értelmezését kapjuk Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

15 f (y) f (x) + f (z) f (x) z x (y x) x y z f (x). ábra. Konkáv függvény Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

16 Paritás A függvény általános fogalma Legyen adott két nem üres D, E R halmaz és egy f : D E függvény. Az f függvényt párosnak nevezzük, ha minden x D-re x D és f (x) = f ( x). Az el z fejezet észrevételeire alapozva megjegyezhetjük, hogy a páros függvények grakonja szimmetrikus az y tengelyre. páratlannak nevezzük, ha minden x D-re x D és f (x) = f ( x). A páratlan függvények grakonja szimmetrikus az origóra. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

17 Paritás A függvény általános fogalma ábra. Páros és páratlan függvény Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

18 Periodikusság A függvény általános fogalma Legyen adott két nem üres D, E R halmaz és egy f : D E függvény. Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan T > 0 szám melyre x D esetén egyrészt x ± T D, másrészt pedig f (x) = f (x + T ). A T számot f periódusának, a lehet legkisebb ilyen T -t pedig amennyiben ilyen létezik f alapperiódusának nevezzük. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

19 Periodikusság A függvény általános fogalma Példák: cos x π π π 3π sin x π 4. ábra. Színusz és koszínusz függvények ábra. A törtrész függvény grakonja Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

20 Lineáris függvények A függvény általános fogalma Lineáris függvények Lineáris függvényeknek nevezzük a valós számok halmazán értelmezett, f (x) = ax + b (ahol a, b R) egyenlettel adott függvényeket. Ha a > 0, akkor a függvény szigorúan növekv. Ha a < 0, akkor a függvény szigorúan csökken. Ha a = 0, akkor f (x) = b, ami azt jelenti, hogy a függvény konstans, így a grakonja párhuzamos az x tengellyel. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 0 / 5

21 Lineáris függvények A függvény általános fogalma a > 0 a = 0 a < 0 6. ábra. Különböz lineáris függvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5

22 Hatványfüggvények. Az f (x) = x α el írással adott függvényeket a nem nulla α valós paraméter mellett hatványfüggvényeknek nevezzük. Az értelmezési tartomány és az értékkészletet az α paramétert l függ en változhat. Az α kitev példa D f R f α = p q, p, q N és p páros x 3 R [0, ) α = p q, p, q N és mindkett páratlan x 1 3 R R α > 0, de az el z két eset nem teljesül x [0, ) [0, ) α = p q, p, q N és p páros x 3 R \ {0} (0, ) α = p q, p, q N és mindkett páratlan x 1 3 R \ {0} R \ {0} α < 0, de az el z két eset nem teljesül x (0, ) (0, ) Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. / 5

23 Hatványfüggvények x 6 x 4 x x x 3 x 5 7. ábra. Páros és páratlan, pozitív kitev j hatványfüggvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 3 / 5

24 Hatványfüggvények. 1 x 6 x 4 x x 1 x 3 x 5 8. ábra. Páros és páratlan, negatív kitev j hatványfüggvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 4 / 5

25 Hatványfüggvények. x 7/9 1 x 1/ x /7 x 1/ ábra. Különböz hatványfüggvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 5 / 5

26 Hatványfüggvények. A hatványozásra vonatkozó néhány fontos azonosság: x α y α = (xy) α, x α x β = x α+β, (x α ) β = x αβ, x α = 1 x α, n x = x 1 n, n N. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 6 / 5

27 Exponenciális és logaritmus függvények. Exponenciális függvények Az f (x) = a x el írású függvényeket a R + \ {1} paraméter mellett exponenciális függvényeknek nevezzük. A megfelel halmazok: D f = R és R f = (0, ). Különösen fontos a természetes alapú exponenciális függvény, ahol az a alap a speciális e = Euler féle szám. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 7 / 5

28 Exponenciális és logaritmus függvények. Logaritmus függvény Adott a R + \ {1} paraméter mellett az x > 0 valós szám a alapú logaritmusának azt az y számot nevezzük, melyre a y = x. Az x szám a alapú logaritmusának jelölése log a x. Az f (x) = log a x el írású függvényeket logaritmus függvényeknek nevezzük. A megfelel fontos halmazok: D f = (0, ) és R f = R. Az a = e, illetve a = 10 esetben log a -t ln-nel, illetve log-gal jelöljük és természetes, illetve tízes alapú logaritmusnak nevezzük. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 8 / 5

29 Exponenciális és logaritmus függvények. a x, ha a > 1 1 a x, ha a < 1 log a x, ha a > 1 1 log a x, ha a < ábra. Exponenciális és logaritmus függvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 9 / 5

30 Exponenciális és logaritmus függvények A logaritmusfüggvény tulajdonságai a hatványozásra vonatkozókból vezethet ek le. Néhány fontosabb tulajdonság log a xy = log a x + log a y, log a x y = log a x log a y, log a x α = α log a x, log a x = log b x log b a, alog a x = x, log a a x = x. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

31 Trigonometrikus függvények. A jól ismert sin x, cos x, tg x és cotg x függvényeket gy jt néven (alapvet ) trigonometrikus függvényeknek nevezzük. cotg x tg x sin x x x cos x Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

32 Trigonometrikus függvények. A trigonometrikus függvényekre vonatkozó összefüggések geometriai meggondolásokból vezethet ek le. A legfontosabbak a következ k ( sin x + cos x = 1, sin x + π ) = cos x, tg x = sin x cos x, cos x cotg x = sin x, sin(x ± kπ) = sin x, cos(x ± kπ) = cos x, tg(x ± kπ) = tg x, cotg(x ± kπ) = cotg x, k Z. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 3 / 5

33 Trigonometrikus függvények. A szögek összegének szögfüggvényeire, illetve és a szögfüggvények összegére a megfelel összefüggések közül elég egyet-egyet tudni (a többi bel lük könnyen levezethet ) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, () ( ) ( ) x + y x y sin x + sin y = sin cos. (3) Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

34 Színusz és koszínusz függvények cos x π π π 3π π sin x 11. ábra. Színusz és koszínusz függvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

35 Tangens és kotangens függvények tg x cotg x π π π 3π π π π π 1. ábra. Tangens és kotangens függvények Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

36 Árkusz függvények A függvény általános fogalma A trigonometrikus függvények mindegyike periodikus, ezért biztosan nem invertálhatóak. Ha megfelel en lesz kítjük az értelmezési tartományukat, akkor invertálható függvényeket kapunk. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

37 Árkusz színusz függvény arcsin x. Árkusz színusz Az f : [ π, π ] [ 1, 1], f (x) = sin x függvény inverzét arcsin-szal jelöljük, tehát [ arcsin : [ 1, 1] π, π ] és x [ 1, 1], y [ π, π ] esetén arcsin x = y x = sin y. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

38 Árkusz színusz függvény arcsin x. π arcsin x y = x 1 sin x π 1 1 π 1 π 13. ábra. A sin x, arcsin x függvénypár ábrái Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

39 Árkusz koszínusz függvény arccos x. Árkusz koszínusz Az f : [0, π] [ 1, 1], f (x) = cos x függvény inverzét arccos-szal jelöljük, tehát arccos : [ 1, 1] [0, π] és x [ 1, 1], y [0, π] esetén arccos x = y x = cos y. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

40 Árkusz koszínusz függvény arccos x. arccos x π y = x π π π 1 cos x 14. ábra. A cos x, arccos x függvénypár ábrái Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

41 Árkusz tangens függvény arctg x. Árkusz tangens függvény Az f : ( π, π ) R, f (x) = tg x függvény inverzét arctg-sel jelöljük. Tehát ( arctg : R π, π ) és x R, y ( π, π ) esetén arctg x = y x = tg y. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

42 Árkusz tangens függvény arctg x. tg x y = x π arctg x π π π 15. ábra. A tg x, arctg x függvénypár ábrái Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 4 / 5

43 Árkusz kotangens függvény arccotg x. Árkusz kotangens függvény Az f : (0, π) R, f (x) = cotg x függvény inverzét arccotg-sel jelöljük. Tehát arccotg : R (0, π) és x R, y (0, π) esetén arccotg x = y x = cotg y. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

44 Árkusz kotangens függvény arccotg x. cotg x π y = x π arccotg x π 16. ábra. A cotg x, arccotg x függvénypár ábrái Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

45 Hiperbolikus függvények sh : R R, ch : R R, th : R ( 1, 1), cth : R R \ [ 1, 1], sh x = ex e x. ch x = ex +e x. th x = sh x ch x = ex e x e x +e x cth x = ch x sh x = ex +e x e x e x, Az hiperbolikus függvények inverz függvényeit area hiperbolikus függvények nevezzük. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

46 Hiperbolikus függvények y = x 17. ábra. A sh x és arsh x függvények grakonja Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

47 Hiperbolikus függvények ch x y = x arch x e x e x ln x ábra. A ch x és arch függvények grakonja Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

48 Hiperbolikus függvények arth x y = x 1 th x ábra. A th x és arth x függvények grakonja Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

49 Hiperbolikus függvények y = x cth x 1 arcth x ábra. A cth x és arcth x függvények grakonja Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

50 Hiperbolikus függvények Nevezetes azonosságok: ch x sh x = 1 sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y sh x = sh x ch x ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y ch x = ch x + sh x Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

51 Hiperbolikus függvények Egyszer számolással adódik az egyenl ség: ( ch x sh e x + e x ) ( e x e x x = ) = 1 (e x + + e x e x + e x) 4 = 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények / 5

52 Hiperbolikus függvények Egyszer számolással adódik az egyenl ség: ( e x e x ) ( e x + e x ) sh x ch x = = 1 (e x e x) = sh x. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 5 / 5