SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni."

Átírás

1 Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel, míg a,,nevezetes sorozat-határértékek című jegyzetrészletben található k sorszámú sorozat-határértékek)re az SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. 1. Minden negatív α szám esetén az α kitevőjű hatványfüggvény id ) határértéke a + -ben nulla. Ha r olyan negatív racionális szám, amelyre id r a negatív számok halmazán is értelmezett, akkor e függvénynek a -beli határértéke is nulla. Bizonyítás. g := id α 0,+ ) monoton fogyó, emiatt van határértéke a + -ben és ez a határérték egyenlő a g értékkészletének alsó határával). Ezek után a határértékre vonatkozó átviteli elv szerint elég megadnunk egyetlen olyan + -hez tartó pozitív tagú) n sorozatot, amelyre g n )) = 0. E célból rögzítsünk egy olyan m pozitív egészt, amelynek reciproka 0 és α közé esik és legyen n := mn. Az e sorozathoz tartozó függvényérték-sorozat pozitív tagú és amint az a alapú eponenciális függvény monoton növő voltából következik felülről becsülhető a n sorozattal, tehát valóban 0-sorozat SH7). A második állítás páros vagy páratlan függvényről szól, tehát következik az elsőből.. Minden pozitív kitevőjű hatványfüggvény határértéke a + -ben + ; minden pozitív egész m és n esetén! 1 n m 1 = + és! 1 m 1 n 1 =. Bizonyítás. Egy u R pontnak valamely pontozott környezetében pozitív [negatív] értékeket felvevő, és az u helyen 0-hoz tartó függvény reciprokának határértéke + [ ], tehát az előző pontban bizonyított állítások következményeiről van szó. 3. Bármely negatív kitevőjű hatványfüggvény jobb oldali határértéke a 0 helyen + ; minden pozitív egész m és n esetén! n m 1 = + és 0! m 1 n 1 =. 0 Bizonyítás. A pozitív számok, illetve a negatív számok H halmazán értelmezett vagy oda leszűkített) p kitevőjű hatványfüggvény egyenlő azzal a kompozícióval, amelynek belső függvénye a H halmazon értelmezett 1/ függvény, külső függvénye pedig az ugyancsak a H halmazon értelmezett vagy oda leszűkített) p kitevőjű hatványfüggvény. Így az itteni állítások a KL tételből és az előző pontban szereplő állításokból következnek. 4. Minden pozitív kitevőjű hatványfüggvény határértéke a 0 helyen 0. Bizonyítás. Az előző bizonyításban követett módszerrel a jobb oldali határérték kérdését vissza lehet vezetni a negatív kitevőjű hatványfüggvények + -beli határértékének kérdésére, sőt, ha a kitevő olyan, hogy a függvény a negatív számok halmazán is értelmezett, akkor a bal oldali határérték vizsgálatát ugyanígy lehet visszavezetni a negatív kitevőjű hatványfüggvények -beli határértékének vizsgálatára KL, FH1). 1

2 5. Legyen r tetszőleges pozitív egész, b 0,..., b r 1 tetszőleges valós számok, b r tetszőleges nullától különböző valós szám, végül minden valós -re legyen Ekkor f) := b r r + b r 1 r b 1 + b 0. { +, ha!+1 f) = br > 0,, ha b r < 0, továbbá 1 f = +1 f illetve 1 f = 1) +1 f attól függően, hogy r páros, vagy páratlan. Bizonyítás. Mind a négy állítás következik a szorzat határértékéről szóló tételekből, FH- ből, valamint abból, hogy minden valós -re f) = r b r + b r b 1 + b ) 0. r 1 r 6. Legyenek k és m tetszőleges nemnegatív egészek, c 0,..., c k 1 és d 0,... d m 1 tetszőleges valós számok, c k és d m tetszőleges nullától különböző valós számok, végül minden olyan valós -re, amelyre az alábbi nevező nem nulla, legyen Ekkor f) := c k k + c k 1 k c 1 + c 0 d m m + d m 1 m d 1 + d 0.!+1 f) = 0, ha k < m, c k, ha k = m, d m +, ha k > m és c k d m > 0,, ha k > m és c k d m < 0. Ha k m vagy k m páros pozitív egész, akkor 1 f = +1 f, ha k m páratlan pozitív egész, akkor 1 f = 1) +1 f. Bizonyítás. Az f) definíciójában szereplő törtet mindegyik esetben egyszerűsíteni fogjuk m -nel. A k < m esetben célszerű bevezetni a c i := 0 jelölést minden k-nál nagyobb és m-nél nem nagyobb i-re, ennek köszönhetően ugyanis a k < m és a k = m eset egyszerre vizsgálható. Mindkét esetben azt kapjuk, hogy az említett egyszerűsítés után mind a számláló, mind a nevező egy konstans és m darab nullához tartó függvény összege: f) = c m + c m c 1 + c m 1 0 m d m + d m d 1 + d m 1 0 így az új számláló határértéke a + -ben és a -ben egyaránt c m, az új nevezőé d m lásd FH1-t). Tegyük fel most, hogy k > m, a már előre jelzett egyszerűsítés után emeljük ki a számlálóból az k m tényezőt: f) = c k + c k c 1 + c k 1 0 k k m. d m + d m d 1 + d m 1 0 m Itt az első tényező határértéke mind a -ben, mind a + -ben c k /d m FH1), a második tényezőé pedig FH alapján tisztázható, tehát az összes hiányzó eredményt megkapjuk a szorzat határértékéről szóló tételekből. m,

3 7. Az 1-nél nagyobb alapú eponenciális függvények határértéke a -ben 0, a + ben +, míg az 1-nél kisebb alapúaké a -ben + és a + -ben 0. Bizonyítás. Olyan monoton növő, illetve fogyó függvényekről van szó, amelyeknek az értékkészlete az összes pozitív számok halmazával egyenlő, így mind a négy állítás következik a monoton függvények egy oldali határértékéről szóló tételből.. 8. Az 1-nél nagyobb alapú logaritmusfüggvények határértéke a 0 helyen, a + helyen +, míg az 1-nél kisebb alapúaké a 0 helyen +, a + helyen pedig. Bizonyítás. Olyan monoton növő, illetve fogyó függvényekről van szó, amelyeknek az értékkészlete az összes valós számok halmazával egyenlő, így mind a négy állítás következik a monoton függvények egy oldali határértékéről szóló tételből. 9. Minden egyes u valós szám esetén u cos = cos u és u sin = sin u. Bizonyítás. Az addíciós képletekből levezethető) ismert trigonometriai azonosságok felhasználásával a cos cos u, sin sin u eltéréseket a sin u sin + u, illetve sin u cos + u alakra lehet hozni, s ha figyelembe vesszük a minden valós t számra érvényes sin t t, cos t 1, sin t 1 egyenlőtlenségeket is, akkor innen látható, hogy minden ε > 0 hibakorláthoz megfelel a δ := ε választás. 10.!0 sin )/ = 1. Bizonyítás. Legyen ε tetszőleges pozitív szám. Az előző pontban bizonyítottak szerint 0 cos = 1, ezért és cos 0 = 1 miatt) van olyan δ, melyre minden δ, δ) esetén 1 ε < cos. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ugyanerre a δ-ra minden 0, δ) esetén sin < < sin / cos, így minden 0, δ) esetén 1 ε < cos < sin < 1, és minthogy a sin /id függvény páros lévén két páratlan függvény hányadosa), az δ, 0) intervallumban felvett értékei szintén az 1 ε, 1) intervallumban vannak. 11. Minden egyes u valós szám esetén cos cos u!u u = sin u és!u sin sin u u = cos u. Bizonyítás. Az FH9 bizonyítása közben egyszer már alkalmazott trigonometriai formulákat ismét felhasználva, a bizonyítandó állítások így fogalmazhatók át: u sin u u sin + u ) = sin u, és u sin u u cos + u = cos u. Az FH10 állítás és a KL tétel szerint a közös első tényező határértéke 1, míg az első tényező elhagyásával adódó állítások az FH9-ben bizonyítottakból és a KL1 tételből következnek. 3

4 1.!+1 1= = 1. Bizonyítás. Legyen ε tetszőleges pozitív szám; bizonyítjuk egy olyan K pozitív szám létezését, melyre minden K, + ) esetén 1/ 1 ε, 1 + ε). Lévén 1 esetén 1/ 1, ehhez elég a következő két állítást igazolni: a) n n + 1) = 1, s így van olyan K pozitív egész, amelytől kezdve minden n-re n n + 1 < 1 + ε, b) ha > K, akkor 1/ [] + 1) 1/[] ekkor ugyanis a vizsgált függvényünknek a K-nál nagyobb helyeken felvett értékei felülről becsülhetők az n n + 1) sorozat olyan tagjával, amely kisebb, mint 1 + ε). Az a) állítás bizonyítása céljából induljunk ki abból, hogy n ) = 1, ezért az azonosan 1 sorozat és az n ) n ) sorozat által közrefogott sorozat határértéke is 1, tehát ha ez utóbbi sorozatot megszorozzuk a szintén 1-hez tartó n n) sorozattal, akkor ismét 1-hez tartó sorozatot kell kapnunk. b) bizonyítása céljából előbb az 1-nél nagyobb alapú eponenciális függvények monoton növő voltát, majd a pozitív kitevőjű hatványfüggvények monoton növő voltát használhatjuk: 13. Ha p > 0 és 1 c > 0, akkor 1/ 1/[] []+1) 1/[]. log c s s!+1 s p = 0. n+1 n Bizonyítás. A log c függvény folytonos az 1 helyen, így a KL1 tétel és az imént bizonyított 1. állítás szerint + log c 1/ = + 1/) log c = log c 1 = 0. Ebből, a KL tételből, és abból a tényből, hogy + id p = +, következik, hogy log c + id idp = 0, ezért ez utóbbi függvény 1/p-szeresének a határértéke a + helyen szintén nulla márpedig a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság szerint éppen ezt a függvényt kellett vizsgálnunk). 14. Ha q > 0 és a > 1, akkor t!+1 tq a t = 0. Bizonyítás. Alkalmazzuk az előző állítást a p := 1/q, c := a szereposztással, majd újra a KL tételt, ezúttal arra a kompozícióra, amelyet az s log a s)/s 1/q ) külső, és az ep a belső függvényből képezünk, ekkor azt kapjuk, hogy t + t = 0, a t 1/q ) ha most ez utóbbi függvényből mint belső függvényből, és az q külső függvényből képezünk újabb kompozíciót, akkor 0 q = 0 és FH4 miatt alkalmazhatjuk a KL1 tételt, s ebből éppen a kívánt eredményt kapjuk. 15. Ha p pozitív szám, akkor!0 1 p ep 1 ) = 0. 4

5 Bizonyítás. A vizsgált függvény olyan kompozíció, amelynek külső függvénye a pozitív számok halmazán értelmezett t t p/ e t, belső függvénye pedig a 0-tól különböző valós számok halmazán értelmezett 1/ ) függvény. Az utóbbi határértéke a 0 helyen + FH3), az előbbié a + helyen 0 FH14), így a kompozícióé a 0 helyen a KL tétel szerint Ha p > 0 és 1 c > 0, akkor t!0+ t p log c t = 0. Bizonyítás. Elég a vizsgált függvény 1)-szereséről bizonyítani, hogy a határértéke a 0 helyen jobbról) 0-val egyenlő; de ez a függvény a FH13 állításban szerepelt függvénynek, mint külső függvénynek, és a pozitív számok halmazán értelmezett t 1/t függvénynek, mint belső függvénynek a kompozíciója, az utóbbi határértéke a 0 helyen +, ezért ismét a KL tételre támaszkodhatunk. 17. t!0+ t t = 1. Bizonyítás. A pozitív számok halmazán értelmezett t 1/t függvénynek, mint belső függvénynek ezúttal az 1/ külső függvénnyel képezve a kompozícióját, ismét a KL tételből és FH1-ből) kapjuk, hogy t 0+ ) t 1 1 = t t 0+ t = 1, t tehát ez utóbbi függvény reciprokának határértéke is ! /) = e. Bizonyítás. Minden 1-nél nagyobb szám teljesíti az ) [] A) ) [] B) ) C) ) []+1 D) ) []+1 [] + 1 [] feltételeket: a B) és C) egyenlőtlenségeket az 1 + 1/ alapú eponenciális függvény monoton növő volta miatt, A)-t az [] kitevőjű, D)-t pedig az [] + 1 kitevőjű hatványfüggvény monoton növő volta miatt. Legyen ε tetszőleges pozitív szám; nyilván elég olyan M pozitív egész létezését igazolni, amelytől kezdve minden n-re e ε < ) n < n+1 < e + ε, n + 1 n) ami következik abból, hogy n 1 + 1/n + 1)) n = n 1 + 1/n) n+1 = e, hiszen ekkor > M esetén az [] szám M-nél nem kisebb pozitív egész. Az közismert SH13), hogy n 1 + 1/n) n+1 = e, ebből kapjuk, hogy n 1 + 1/n + 1)) n+ = e, ez utóbbi sorozatot beszorozva az 1-hez tartó n n + 1)/n + )) sorozattal SH3), kapjuk az n 1 + 1/n + 1)) n sorozatot, tehát ennek a határértéke is e. 19.! /) = e. Bizonyítás. Az imént bizonyított FH18 állításból következik, hogy az ) +1 ) )) R + = ; 5

6 függvény + -ben vett határértéke e-vel egyenlő, ezért ugyanez mondható az ) t ) t t t 1 1, + ) t = = t, t 1 t t) függvényről is, így az utóbbiból, mint külső függvényből, és a, 1) belső függvényből képezett kompozíció határértéke a helyen szintén e KL). 0. t!0 1 + t) 1=t = e. Bizonyítás. Elég a 1, 0) intervallumon, illetve a pozitív számok halmazán értelmezett t 1 + t) 1/t függvényekről külön-külön bizonyítani, hogy határértékük a 0 helyen e-vel egyenlő. Ez a két állítás az FH19, illetve az FH18 határérték felhasználásával a KL tételből következik: az előbbi esetben az FH19-ben szereplő függvénynek mint külső függvénynek a 1, 0) t 1/t belső függvénnyel, az utóbbi esetben pedig az FH18-ben szereplő függvénynek mint külső függvénynek az R + t 1/t belső függvénnyel kell képezni a kompozícióját. 1. Ha 1 c > 0, akkor t!0 1/t) log c 1 + t) = log c e = 1/ ln c. Bizonyítás. A vizsgált függvény az e helyen folytonos) log c külső függvényből és az FH0 állításban szerepelt függvényből mint belső függvényből képezett kompozíció, ezért KL1 szerint) határértéke a 0 helyen valóban log c e.. Ha 1 c > 0 és a > 0, akkor!a logc logc a a = 1 a ln c. Bizonyítás. Ez az állítás a KL tételből következik: képezzük az FH1 állításban szereplő külső) függvénynek a kompozícióját az injektív) /a 1 belső függvénnyel, majd szorozzuk meg ezt a kompozíciót 1/a-val! 3. Ha c > 0, akkor!0 c 1 = ln c. Bizonyítás. c = 1 esetén az állítás nyilvánvaló. Ha c 1, akkor FH1-ből következik, hogy t 0 t/ log c t+1)) = ln c, ha ebből a külső) függvényből és az c 1 belső függvényből képezünk kompozíciót, akkor éppen a vizsgált függvényt kapjuk, a belső függvény injektív, és határértéke a 0 helyen 0, így ismét alkalmazható a KL tétel. 4. Ha c pozitív és u valós szám, akkor!u c c u u = cu ln c. Bizonyítás. Ismét a KL tételt alkalmazzuk: ezúttal az előző állításban szereplő függvény legyen a külső függvény és az u függvény a belső függvény, végül szorozzuk meg a kompozíciót a c u számmal. 5. u c u c )/ u) = c u c 1, ha A) c = 0, vagy B) u > 0, vagy C) u = 0 és c 1, vagy D) u < 0 és c előáll egy egész és egy páratlan pozitív egész hányadosaként. Bizonyítás. A) Az azonosan nulla függvény határértéke nulla. B) Most már feltehető, hogy c 0, ekkor minden u-tól különböző pozitív esetén c u c u = c ec ln e c ln u ln ln u c ln c ln u u. A második tört határértéke FH szerint 1/u, az elsőé pedig FH4 és KL szerint e c ln u = u c. C) c = 1: konstans függvény, c > 1: lásd FH4-t. D) A c és a c 1 kitevőjű hatványfüggvények közül az egyik páros, a másik páratlan, ez alapján az állítás visszavezethető az u > 0 esetre. 6

7 6. Legyen H R, u H 0, f : H R +, g : H R, és tegyük fel, hogy létezik a u f =: A és a u g =: K határérték. Ekkor a H halmazon értelmezett f)) g) függvény határértéke az u helyen egyenlő A K -val, ha A, K) R + R, egyenlő 0-val, ha az A, K) pár a [0, 1) {+ }) {0} R + ) 1, + ] { }) {+ }, 0)) halmazban van, és egyenlő + -nel, ha az A, K) pár az 1, + ] {+ }) {+ } R + ) [0, 1) { }) {0}, 0)) halmazban van. Bizonyítás. Minden H esetén f)) g) = e g) lnf)). Ha A pozitív szám és K valós szám, akkor a KL1 tételt alkalmazhatjuk, éspedig kétszer: először az ln f kompozícióra, másodszor az ep külső és a g ln f) belső függvény kompozíciójára. A további állítások olyan esetekre vonatkoznak, amikor a kitevő határértéke, illetve +, ekkor a KL tétel alkalmazható. A részletek végiggondolását a Kedves Olvasóra bízzuk. 7. Legyen H R, u H 0, f : H R +, g : H R, u f = 1, végül tegyük fel, hogy létezik a!u f) 1)g) =: β határérték. Ekkor 0, ha β =,!u f))g) = ep = e, ha β R, +, ha β = +. Bizonyítás. Az FH1 állítással egyenértékű az, hogy t 1 ln t)/t 1) = 1, az utóbbival pedig az, hogy lásd a határérték és folytonosság kapcsolatairól szóló egyik tételt) az ln t F t) := t 1, ha t R+ \ {1}, 1, ha t = 1 utasítással értelmezett F : R + R függvény folytonos az 1 helyen. F definíciójából következik, hogy minden H esetén ln f) = f) 1) F f)), ezért f)) g) = e [g)f) 1)] F f)). A tétel egyik feltétele szerint a szögletes zárójelek között lévő első tényező határértéke β, a KL1 tétel szerint a második tényező határértéke 1, így a kitevő határértéke β. Innen β R esetén a KL1, β / R esetén KL tétel alapján állíthatjuk, hogy a vizsgált függvény határértéke megegyezik az eponenciális függvénynek a β helyen vett határértékével. 8. Legyenek a 1, a,...,a m pozitív számok m > 1 egész), ekkor!0 1 m m k=1 a k ) 1 = m a 1 a... a m. Bizonyítás. Az előző állítás alkalmazható lásd az FH3 határértéket). 7

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére (2008). A differenciálhatóság és a derivált fogalma Emlékeztetünk az egyváltozós különbségi hányados fogalmára, melyet a konvex függvények tárgyalása

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Bizonyítás: legyenek az ABC háromszög belső szögei α, β, γ. Húzzunk a C csúcson át párhuzamost AB-vel. A C csúcsnál keletkezett egyenesszöget a háromszög

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Bevezető analízis I. jegyzet

Bevezető analízis I. jegyzet Bevezető analízis I. jegyzet Gémes Margit, Szentmiklóssy Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet 05. szeptember. Tartalomjegyzék Halmazok, logika, bizonyítási módszerek..

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: -

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: - Tantárgy neve Halmazok és függvények Tantárgy kódja MTB00 Meghrdetés féléve Kredtpont Összóraszám (elm+gyak + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgy kód - Tantárgyfelelős neve Rozgony Tbor Tantárgyfelelős

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben