SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
|
|
- Botond Rácz
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel, míg a,,nevezetes sorozat-határértékek című jegyzetrészletben található k sorszámú sorozat-határértékek)re az SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. 1. Minden negatív α szám esetén az α kitevőjű hatványfüggvény id ) határértéke a + -ben nulla. Ha r olyan negatív racionális szám, amelyre id r a negatív számok halmazán is értelmezett, akkor e függvénynek a -beli határértéke is nulla. Bizonyítás. g := id α 0,+ ) monoton fogyó, emiatt van határértéke a + -ben és ez a határérték egyenlő a g értékkészletének alsó határával). Ezek után a határértékre vonatkozó átviteli elv szerint elég megadnunk egyetlen olyan + -hez tartó pozitív tagú) n sorozatot, amelyre g n )) = 0. E célból rögzítsünk egy olyan m pozitív egészt, amelynek reciproka 0 és α közé esik és legyen n := mn. Az e sorozathoz tartozó függvényérték-sorozat pozitív tagú és amint az a alapú eponenciális függvény monoton növő voltából következik felülről becsülhető a n sorozattal, tehát valóban 0-sorozat SH7). A második állítás páros vagy páratlan függvényről szól, tehát következik az elsőből.. Minden pozitív kitevőjű hatványfüggvény határértéke a + -ben + ; minden pozitív egész m és n esetén! 1 n m 1 = + és! 1 m 1 n 1 =. Bizonyítás. Egy u R pontnak valamely pontozott környezetében pozitív [negatív] értékeket felvevő, és az u helyen 0-hoz tartó függvény reciprokának határértéke + [ ], tehát az előző pontban bizonyított állítások következményeiről van szó. 3. Bármely negatív kitevőjű hatványfüggvény jobb oldali határértéke a 0 helyen + ; minden pozitív egész m és n esetén! n m 1 = + és 0! m 1 n 1 =. 0 Bizonyítás. A pozitív számok, illetve a negatív számok H halmazán értelmezett vagy oda leszűkített) p kitevőjű hatványfüggvény egyenlő azzal a kompozícióval, amelynek belső függvénye a H halmazon értelmezett 1/ függvény, külső függvénye pedig az ugyancsak a H halmazon értelmezett vagy oda leszűkített) p kitevőjű hatványfüggvény. Így az itteni állítások a KL tételből és az előző pontban szereplő állításokból következnek. 4. Minden pozitív kitevőjű hatványfüggvény határértéke a 0 helyen 0. Bizonyítás. Az előző bizonyításban követett módszerrel a jobb oldali határérték kérdését vissza lehet vezetni a negatív kitevőjű hatványfüggvények + -beli határértékének kérdésére, sőt, ha a kitevő olyan, hogy a függvény a negatív számok halmazán is értelmezett, akkor a bal oldali határérték vizsgálatát ugyanígy lehet visszavezetni a negatív kitevőjű hatványfüggvények -beli határértékének vizsgálatára KL, FH1). 1
2 5. Legyen r tetszőleges pozitív egész, b 0,..., b r 1 tetszőleges valós számok, b r tetszőleges nullától különböző valós szám, végül minden valós -re legyen Ekkor f) := b r r + b r 1 r b 1 + b 0. { +, ha!+1 f) = br > 0,, ha b r < 0, továbbá 1 f = +1 f illetve 1 f = 1) +1 f attól függően, hogy r páros, vagy páratlan. Bizonyítás. Mind a négy állítás következik a szorzat határértékéről szóló tételekből, FH- ből, valamint abból, hogy minden valós -re f) = r b r + b r b 1 + b ) 0. r 1 r 6. Legyenek k és m tetszőleges nemnegatív egészek, c 0,..., c k 1 és d 0,... d m 1 tetszőleges valós számok, c k és d m tetszőleges nullától különböző valós számok, végül minden olyan valós -re, amelyre az alábbi nevező nem nulla, legyen Ekkor f) := c k k + c k 1 k c 1 + c 0 d m m + d m 1 m d 1 + d 0.!+1 f) = 0, ha k < m, c k, ha k = m, d m +, ha k > m és c k d m > 0,, ha k > m és c k d m < 0. Ha k m vagy k m páros pozitív egész, akkor 1 f = +1 f, ha k m páratlan pozitív egész, akkor 1 f = 1) +1 f. Bizonyítás. Az f) definíciójában szereplő törtet mindegyik esetben egyszerűsíteni fogjuk m -nel. A k < m esetben célszerű bevezetni a c i := 0 jelölést minden k-nál nagyobb és m-nél nem nagyobb i-re, ennek köszönhetően ugyanis a k < m és a k = m eset egyszerre vizsgálható. Mindkét esetben azt kapjuk, hogy az említett egyszerűsítés után mind a számláló, mind a nevező egy konstans és m darab nullához tartó függvény összege: f) = c m + c m c 1 + c m 1 0 m d m + d m d 1 + d m 1 0 így az új számláló határértéke a + -ben és a -ben egyaránt c m, az új nevezőé d m lásd FH1-t). Tegyük fel most, hogy k > m, a már előre jelzett egyszerűsítés után emeljük ki a számlálóból az k m tényezőt: f) = c k + c k c 1 + c k 1 0 k k m. d m + d m d 1 + d m 1 0 m Itt az első tényező határértéke mind a -ben, mind a + -ben c k /d m FH1), a második tényezőé pedig FH alapján tisztázható, tehát az összes hiányzó eredményt megkapjuk a szorzat határértékéről szóló tételekből. m,
3 7. Az 1-nél nagyobb alapú eponenciális függvények határértéke a -ben 0, a + ben +, míg az 1-nél kisebb alapúaké a -ben + és a + -ben 0. Bizonyítás. Olyan monoton növő, illetve fogyó függvényekről van szó, amelyeknek az értékkészlete az összes pozitív számok halmazával egyenlő, így mind a négy állítás következik a monoton függvények egy oldali határértékéről szóló tételből.. 8. Az 1-nél nagyobb alapú logaritmusfüggvények határértéke a 0 helyen, a + helyen +, míg az 1-nél kisebb alapúaké a 0 helyen +, a + helyen pedig. Bizonyítás. Olyan monoton növő, illetve fogyó függvényekről van szó, amelyeknek az értékkészlete az összes valós számok halmazával egyenlő, így mind a négy állítás következik a monoton függvények egy oldali határértékéről szóló tételből. 9. Minden egyes u valós szám esetén u cos = cos u és u sin = sin u. Bizonyítás. Az addíciós képletekből levezethető) ismert trigonometriai azonosságok felhasználásával a cos cos u, sin sin u eltéréseket a sin u sin + u, illetve sin u cos + u alakra lehet hozni, s ha figyelembe vesszük a minden valós t számra érvényes sin t t, cos t 1, sin t 1 egyenlőtlenségeket is, akkor innen látható, hogy minden ε > 0 hibakorláthoz megfelel a δ := ε választás. 10.!0 sin )/ = 1. Bizonyítás. Legyen ε tetszőleges pozitív szám. Az előző pontban bizonyítottak szerint 0 cos = 1, ezért és cos 0 = 1 miatt) van olyan δ, melyre minden δ, δ) esetén 1 ε < cos. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ugyanerre a δ-ra minden 0, δ) esetén sin < < sin / cos, így minden 0, δ) esetén 1 ε < cos < sin < 1, és minthogy a sin /id függvény páros lévén két páratlan függvény hányadosa), az δ, 0) intervallumban felvett értékei szintén az 1 ε, 1) intervallumban vannak. 11. Minden egyes u valós szám esetén cos cos u!u u = sin u és!u sin sin u u = cos u. Bizonyítás. Az FH9 bizonyítása közben egyszer már alkalmazott trigonometriai formulákat ismét felhasználva, a bizonyítandó állítások így fogalmazhatók át: u sin u u sin + u ) = sin u, és u sin u u cos + u = cos u. Az FH10 állítás és a KL tétel szerint a közös első tényező határértéke 1, míg az első tényező elhagyásával adódó állítások az FH9-ben bizonyítottakból és a KL1 tételből következnek. 3
4 1.!+1 1= = 1. Bizonyítás. Legyen ε tetszőleges pozitív szám; bizonyítjuk egy olyan K pozitív szám létezését, melyre minden K, + ) esetén 1/ 1 ε, 1 + ε). Lévén 1 esetén 1/ 1, ehhez elég a következő két állítást igazolni: a) n n + 1) = 1, s így van olyan K pozitív egész, amelytől kezdve minden n-re n n + 1 < 1 + ε, b) ha > K, akkor 1/ [] + 1) 1/[] ekkor ugyanis a vizsgált függvényünknek a K-nál nagyobb helyeken felvett értékei felülről becsülhetők az n n + 1) sorozat olyan tagjával, amely kisebb, mint 1 + ε). Az a) állítás bizonyítása céljából induljunk ki abból, hogy n ) = 1, ezért az azonosan 1 sorozat és az n ) n ) sorozat által közrefogott sorozat határértéke is 1, tehát ha ez utóbbi sorozatot megszorozzuk a szintén 1-hez tartó n n) sorozattal, akkor ismét 1-hez tartó sorozatot kell kapnunk. b) bizonyítása céljából előbb az 1-nél nagyobb alapú eponenciális függvények monoton növő voltát, majd a pozitív kitevőjű hatványfüggvények monoton növő voltát használhatjuk: 13. Ha p > 0 és 1 c > 0, akkor 1/ 1/[] []+1) 1/[]. log c s s!+1 s p = 0. n+1 n Bizonyítás. A log c függvény folytonos az 1 helyen, így a KL1 tétel és az imént bizonyított 1. állítás szerint + log c 1/ = + 1/) log c = log c 1 = 0. Ebből, a KL tételből, és abból a tényből, hogy + id p = +, következik, hogy log c + id idp = 0, ezért ez utóbbi függvény 1/p-szeresének a határértéke a + helyen szintén nulla márpedig a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság szerint éppen ezt a függvényt kellett vizsgálnunk). 14. Ha q > 0 és a > 1, akkor t!+1 tq a t = 0. Bizonyítás. Alkalmazzuk az előző állítást a p := 1/q, c := a szereposztással, majd újra a KL tételt, ezúttal arra a kompozícióra, amelyet az s log a s)/s 1/q ) külső, és az ep a belső függvényből képezünk, ekkor azt kapjuk, hogy t + t = 0, a t 1/q ) ha most ez utóbbi függvényből mint belső függvényből, és az q külső függvényből képezünk újabb kompozíciót, akkor 0 q = 0 és FH4 miatt alkalmazhatjuk a KL1 tételt, s ebből éppen a kívánt eredményt kapjuk. 15. Ha p pozitív szám, akkor!0 1 p ep 1 ) = 0. 4
5 Bizonyítás. A vizsgált függvény olyan kompozíció, amelynek külső függvénye a pozitív számok halmazán értelmezett t t p/ e t, belső függvénye pedig a 0-tól különböző valós számok halmazán értelmezett 1/ ) függvény. Az utóbbi határértéke a 0 helyen + FH3), az előbbié a + helyen 0 FH14), így a kompozícióé a 0 helyen a KL tétel szerint Ha p > 0 és 1 c > 0, akkor t!0+ t p log c t = 0. Bizonyítás. Elég a vizsgált függvény 1)-szereséről bizonyítani, hogy a határértéke a 0 helyen jobbról) 0-val egyenlő; de ez a függvény a FH13 állításban szerepelt függvénynek, mint külső függvénynek, és a pozitív számok halmazán értelmezett t 1/t függvénynek, mint belső függvénynek a kompozíciója, az utóbbi határértéke a 0 helyen +, ezért ismét a KL tételre támaszkodhatunk. 17. t!0+ t t = 1. Bizonyítás. A pozitív számok halmazán értelmezett t 1/t függvénynek, mint belső függvénynek ezúttal az 1/ külső függvénnyel képezve a kompozícióját, ismét a KL tételből és FH1-ből) kapjuk, hogy t 0+ ) t 1 1 = t t 0+ t = 1, t tehát ez utóbbi függvény reciprokának határértéke is ! /) = e. Bizonyítás. Minden 1-nél nagyobb szám teljesíti az ) [] A) ) [] B) ) C) ) []+1 D) ) []+1 [] + 1 [] feltételeket: a B) és C) egyenlőtlenségeket az 1 + 1/ alapú eponenciális függvény monoton növő volta miatt, A)-t az [] kitevőjű, D)-t pedig az [] + 1 kitevőjű hatványfüggvény monoton növő volta miatt. Legyen ε tetszőleges pozitív szám; nyilván elég olyan M pozitív egész létezését igazolni, amelytől kezdve minden n-re e ε < ) n < n+1 < e + ε, n + 1 n) ami következik abból, hogy n 1 + 1/n + 1)) n = n 1 + 1/n) n+1 = e, hiszen ekkor > M esetén az [] szám M-nél nem kisebb pozitív egész. Az közismert SH13), hogy n 1 + 1/n) n+1 = e, ebből kapjuk, hogy n 1 + 1/n + 1)) n+ = e, ez utóbbi sorozatot beszorozva az 1-hez tartó n n + 1)/n + )) sorozattal SH3), kapjuk az n 1 + 1/n + 1)) n sorozatot, tehát ennek a határértéke is e. 19.! /) = e. Bizonyítás. Az imént bizonyított FH18 állításból következik, hogy az ) +1 ) )) R + = ; 5
6 függvény + -ben vett határértéke e-vel egyenlő, ezért ugyanez mondható az ) t ) t t t 1 1, + ) t = = t, t 1 t t) függvényről is, így az utóbbiból, mint külső függvényből, és a, 1) belső függvényből képezett kompozíció határértéke a helyen szintén e KL). 0. t!0 1 + t) 1=t = e. Bizonyítás. Elég a 1, 0) intervallumon, illetve a pozitív számok halmazán értelmezett t 1 + t) 1/t függvényekről külön-külön bizonyítani, hogy határértékük a 0 helyen e-vel egyenlő. Ez a két állítás az FH19, illetve az FH18 határérték felhasználásával a KL tételből következik: az előbbi esetben az FH19-ben szereplő függvénynek mint külső függvénynek a 1, 0) t 1/t belső függvénnyel, az utóbbi esetben pedig az FH18-ben szereplő függvénynek mint külső függvénynek az R + t 1/t belső függvénnyel kell képezni a kompozícióját. 1. Ha 1 c > 0, akkor t!0 1/t) log c 1 + t) = log c e = 1/ ln c. Bizonyítás. A vizsgált függvény az e helyen folytonos) log c külső függvényből és az FH0 állításban szerepelt függvényből mint belső függvényből képezett kompozíció, ezért KL1 szerint) határértéke a 0 helyen valóban log c e.. Ha 1 c > 0 és a > 0, akkor!a logc logc a a = 1 a ln c. Bizonyítás. Ez az állítás a KL tételből következik: képezzük az FH1 állításban szereplő külső) függvénynek a kompozícióját az injektív) /a 1 belső függvénnyel, majd szorozzuk meg ezt a kompozíciót 1/a-val! 3. Ha c > 0, akkor!0 c 1 = ln c. Bizonyítás. c = 1 esetén az állítás nyilvánvaló. Ha c 1, akkor FH1-ből következik, hogy t 0 t/ log c t+1)) = ln c, ha ebből a külső) függvényből és az c 1 belső függvényből képezünk kompozíciót, akkor éppen a vizsgált függvényt kapjuk, a belső függvény injektív, és határértéke a 0 helyen 0, így ismét alkalmazható a KL tétel. 4. Ha c pozitív és u valós szám, akkor!u c c u u = cu ln c. Bizonyítás. Ismét a KL tételt alkalmazzuk: ezúttal az előző állításban szereplő függvény legyen a külső függvény és az u függvény a belső függvény, végül szorozzuk meg a kompozíciót a c u számmal. 5. u c u c )/ u) = c u c 1, ha A) c = 0, vagy B) u > 0, vagy C) u = 0 és c 1, vagy D) u < 0 és c előáll egy egész és egy páratlan pozitív egész hányadosaként. Bizonyítás. A) Az azonosan nulla függvény határértéke nulla. B) Most már feltehető, hogy c 0, ekkor minden u-tól különböző pozitív esetén c u c u = c ec ln e c ln u ln ln u c ln c ln u u. A második tört határértéke FH szerint 1/u, az elsőé pedig FH4 és KL szerint e c ln u = u c. C) c = 1: konstans függvény, c > 1: lásd FH4-t. D) A c és a c 1 kitevőjű hatványfüggvények közül az egyik páros, a másik páratlan, ez alapján az állítás visszavezethető az u > 0 esetre. 6
7 6. Legyen H R, u H 0, f : H R +, g : H R, és tegyük fel, hogy létezik a u f =: A és a u g =: K határérték. Ekkor a H halmazon értelmezett f)) g) függvény határértéke az u helyen egyenlő A K -val, ha A, K) R + R, egyenlő 0-val, ha az A, K) pár a [0, 1) {+ }) {0} R + ) 1, + ] { }) {+ }, 0)) halmazban van, és egyenlő + -nel, ha az A, K) pár az 1, + ] {+ }) {+ } R + ) [0, 1) { }) {0}, 0)) halmazban van. Bizonyítás. Minden H esetén f)) g) = e g) lnf)). Ha A pozitív szám és K valós szám, akkor a KL1 tételt alkalmazhatjuk, éspedig kétszer: először az ln f kompozícióra, másodszor az ep külső és a g ln f) belső függvény kompozíciójára. A további állítások olyan esetekre vonatkoznak, amikor a kitevő határértéke, illetve +, ekkor a KL tétel alkalmazható. A részletek végiggondolását a Kedves Olvasóra bízzuk. 7. Legyen H R, u H 0, f : H R +, g : H R, u f = 1, végül tegyük fel, hogy létezik a!u f) 1)g) =: β határérték. Ekkor 0, ha β =,!u f))g) = ep = e, ha β R, +, ha β = +. Bizonyítás. Az FH1 állítással egyenértékű az, hogy t 1 ln t)/t 1) = 1, az utóbbival pedig az, hogy lásd a határérték és folytonosság kapcsolatairól szóló egyik tételt) az ln t F t) := t 1, ha t R+ \ {1}, 1, ha t = 1 utasítással értelmezett F : R + R függvény folytonos az 1 helyen. F definíciójából következik, hogy minden H esetén ln f) = f) 1) F f)), ezért f)) g) = e [g)f) 1)] F f)). A tétel egyik feltétele szerint a szögletes zárójelek között lévő első tényező határértéke β, a KL1 tétel szerint a második tényező határértéke 1, így a kitevő határértéke β. Innen β R esetén a KL1, β / R esetén KL tétel alapján állíthatjuk, hogy a vizsgált függvény határértéke megegyezik az eponenciális függvénynek a β helyen vett határértékével. 8. Legyenek a 1, a,...,a m pozitív számok m > 1 egész), ekkor!0 1 m m k=1 a k ) 1 = m a 1 a... a m. Bizonyítás. Az előző állítás alkalmazható lásd az FH3 határértéket). 7
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenElemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenHatárérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.
Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
Részletesebbenkonvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika Aa Analízis BMETE90AX00 Az exp és ln függvények H607, EIC 209-04-24 Wettl
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenDIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére (2008). A differenciálhatóság és a derivált fogalma Emlékeztetünk az egyváltozós különbségi hányados fogalmára, melyet a konvex függvények tárgyalása
Részletesebben8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 07/8 ősz 8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás). Számoljuk ki a következő határértékeket: y + 3 a) y
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!
Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4
Részletesebben5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK
Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz
Részletesebben11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenNagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenMásodik zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenInverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus
Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenKonvexitás, elaszticitás
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenAnalízis ZH konzultáció
Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenHatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenBiomatematika 4. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 4. Függvények II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: September
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
Részletesebben2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)
Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
RészletesebbenTanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg
RészletesebbenFeladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy
RészletesebbenSzámsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben