5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK"

Átírás

1 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz leges pontossággal közelíthet az f függvénynek az u-hoz eléggé közeli helyeken felvett értékeivel. Az pedig, hogy az f függvény határértéke az u helyen v-vel egyenl ismét csak els közelítésben azt jelenti, hogy v közelíthet tetsz leges pontossággal az f függvénynek az u-hoz eléggé közeli és u-tól különböz helyeken felvett értékeivel. Ahhoz, hogy a tetsz leges pontossággal és az eléggé közeli kifejezéseket pontosabbá tudjuk tenni, szükségünk lesz a környezetek és a pontozott környezetek fogalmára. S t, annak érdekében, hogy bal és jobb oldali folytonosságról, továbbá bal és jobb oldali határértékr l is tudjunk beszélni, bevezetjük még a bal és jobb oldali könyezetek, illetve pontozott környezetek fogalmát is. Annak pontos körülírása céljából, hogy egyáltalán mely pontokban vethet fel a függvényhatárérték létezésének kérdése, szükségünk lesz valós számhalmazok torlódási pontjainak fogalmára. Ilyen pont (ahol egy függvénynek létezhet határértéke, vagyis a fenti u), lehet a, vagy a + is, miként a függvény határértéke, a fenti v is, ez magyarázza azt, hogy miért lesz szó a fejezet bevezet szakaszában a és a + környezeteir l is. 5.. Környezetek, torlódási pontok 5.. Deníció. Ha u valós szám és r pozitív szám, akkor az u szám r sugarú bal oldali környezetén, r sugarú jobb oldali környezetén, r sugarú bal oldali pontozott környezetén, r sugarú jobb oldali pontozott környezetén, illetve r sugarú pontozott környezetén rendre a B (u, r) := (u r, u], B + (u, r) := [u, u + r), Ḃ (u, r) := (u r, u), Ḃ + (u, r) := (u, u + r), intervallumot, illetve a Ḃ(u, r) := (u r, u + r) \ {u} halmazt értjük Deníció. Tetsz leges r pozitív szám esetén a r sugarú környezetén, r sugarú pontozott környezetén és r sugarú jobb oldali pontozott környezetén egyaránt a (, /r) intervallumot, a + r sugarú környezetén, r sugarú pontozott környezetén és r sugarú bal oldali pontozott környezetén egyaránt az (/r, + ) intervallumot értjük, legyen továbbá Ḃ (, r) := Ḃ + (+, r) := Deníció. u R pontozott környezetén olyan valós számhalmazt értünk, amely megegyezik az u valamekkora sugarú pontozott környezetével. Hasonló értelemben beszélünk tetsz leges u R { } jobb oldali, és tetsz leges u R {+ } bal oldali pontozott környezeteir l is Megjegyzés. Vegyük észre, hogy tetsz leges u R és 0 < r R esetén Ḃ(u, r) Ḃ(u, R), és hasonlót állíthatunk a bal és a jobb oldali pontozott környezetekr l is. Érdemes megjegyezni továbbá azt is, hogy bármely w és v (w < v) R-beli elemekhez található olyan r pozitív szám, melyre minden (x, y) B(w, r) B(v, r) esetén x < y. Például w v /2, ha w R és v R;, ha w / R és v / R; r := /( w + ), ha w R és v / R; /( v + ), ha v R és w / R Deníció. Legyen H R; az R halmaznak azokat az elemeit nevezzük a H számhalmaz torlódási pontjainak, amelyeknek minden egyes pontozott környezete tartalmaz H-beli számot. Hasonlóan, az R halmaznak azokat az elemeit nevezzük a H halmaz bal (jobb) oldali torlódási pontjainak,

2 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 64 amelyeknek minden egyes bal (jobb) oldali pontozott környezete tartalmaz H-beli számot. A H halmaz torlódási pontjainak halmazát H -vel, bal (jobb) oldali torlódási pontjainak halmazát H -vel (H +-vel) jelöljük Példa. Tetsz leges pozitív egész M esetén (Z (M, + )) = (Z (M, + )) = {+ }; Q = (R \ Q) = R; ha a nem-elfajuló I intervallum bal végpontja a, jobb végpontja b, akkor I = [a, b]. A következ tétel a torlódási pontok különféle jellemzéseit sorolja fel Tétel. Tetsz leges H R és u R esetén a következ állítások egymással egyenérték ek:. u H, 2. minden egyes r pozitív szám esetén H Ḃ(u, r) végtelen halmaz, 3. vagy minden r pozitív szám esetén H Ḃ (u, r) végtelen halmaz, vagy minden r pozitív szám esetén H Ḃ+(u, r) végtelen halmaz, 4. u H H +, 5. van olyan u-hoz tartó szigorúan monoton számsorozat, melynek minden tagja H-ban van, 6. van olyan u-hoz tartó számsorozat, melynek minden tagja H-nak u-tól különböz eleme. Bizonyítás.. 2. Tegyük fel, hogy van olyan R pozitív szám, melyre X := H Ḃ(u, R) véges nemüres halmaz, és bizonyítsuk be, hogy ekkor u-nak van olyan pontozott környezete, amely egyetlen H-beli elemet sem tartalmaz. Ez u R esetén az r := min{ x u } x X sugarú pontozott környezetére, u = esetén a (, min X), u = + esetén a (max X, + ) intervallumra biztosan teljesül. Mindhárom állítás abból következik, hogy ha u R és 0 < r R, akkor Ḃ(u, r) Ḃ(u, R), a második állításban r := / min X, a harmadikban r := / max X Indirekt úton okoskodunk: tegyük fel, hogy van olyan r és r + pozitív szám, hogy H-nak mind a Ḃ (u, r ), mind a Ḃ+(u, r + ) pontozott egyoldali környezetben csak véges számú eleme van. Ekkor viszont bevezetve az r := min{r, r + } jelölést a H Ḃ(u, r) = (H Ḃ (u, r)) (H Ḃ+(u, r)) halmaz is véges, ami ellentmond a 2. állításnak Evidens, hogy ha a 3. állítás els része teljesül, akkor u H, ha a második teljesül, akkor u H Tegyük fel, hogy u H, ekkor u vagy valós szám, vagy +. Deniáljuk az (y n ) sorozatot az el bbi esetben az y n := u /n, az utóbbi esetben az y n := n utasítással. Most olyan szigorúan monoton növ (x n ) sorozatot értelmezünk (éspedig rekurzióval), melyre minden n esetén x n H (y n, u). Legyen x a H (y, u) halmaz tetsz leges eleme, és ha valamely pozitív egész n mellett az x,..., x n számokat már értelmeztük, éspedig úgy, hogy egyrészt szigorúan növeked sorozatot alkossanak, másrészt minden k, n esetén x k H (y k, u) legyen, akkor x n+ legyen a H- nak tetsz leges olyan eleme, amely benne van a (max{x n, y n }, u) nyílt intervallumban (ilyen elem tényleg van, hiszen ez az intervallum bal oldali pontozott környezete u-nak és u bal oldali torlódási pontja H-nak). A közrefogási elvb l, illetve a + -hez tartó sorozatokra vonatkozó összehasonlító kritériumból következik, hogy lim(x n ) = u. A másik esetben, vagyis ha u jobb oldali torlódási pontja H-nak, hasonlóan konstruálható olyan u-hoz tartó szigorúan fogyó számsorozat, melynek minden tagja H-ban van: ezúttal u R vagy u = és y n := u + /n, illetve y n := n Ha egy (x n ) számsorozat szigorúan monoton és az m-edik tagja egyenl u-val, akkor u R, és u nem lehet a határértéke ennek a sorozatnak, hiszen n > m esetén x n u ε := x m+ x m. Tehát ha egy sorozat szigorúan monoton és határértéke u, akkor minden tagja u-tól különböz. 6.. Legyen r tetsz leges pozitív szám és (x n ) olyan u-hoz tartó sorozat, melynek a tagjai H-nak u-tól különböz elemei. A határérték deníciójából következik (u = és u = + esetén is!), hogy valamely pozitív egész M küszöbindext l kezdve minden n-re x n B(u, r), tehát x n H Ḃ(u, r).

3 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték Állítás. Egy H számhalmaznak akkor és csakis akkor van torlódási pontja, ha H végtelen halmaz. Bizonyítás. Ha H-nak van torlódási pontja, akkor az el z tétel. 2. része szerint H-nak van végtelen részhalmaza, így maga a H halmaz is végtelen. Ha H végtelen és alulról (felülr l) nem korlátos, akkor biztosan torlódási pontja a (a + ). Ha H korlátos végtelen számhalmaz, akkor egyszer rekurzióval megadható olyan injektív sorozat, melynek értékkészlete részhalmaza a H-nak: Legyen x a H halmaz tetsz leges eleme (H nem üres, hiszen végtelen halmaz); ha valamely pozitív egész n esetén már értelmezettek a H halmaz páronként különböz x,, x n elemei, akkor az X := H \ {x,, x n } halmaz nem lehet az üres halmaz, hiszen akkor H nem végtelen halmaz volna, hanem n elem ; ennek az X halmaznak tetsz leges elemét x n+ -nek nevezve az x,, x n+ elemek továbbra is páronként különböz H-beli elemek. Az ilyen rekurzióval értelmezett (x n ) sorozat szükségképpen injektív, hiszen ha egy pozitív egész n és egy nála nagyobb m egész esetén x n = x m volna, akkor az x,, x m elemek nem volnának páronként különböz k. Továbbá egy ilyen (x n ) sorozat szükségképpen korlátos: H bármely alsó, illetve fels korlátja egyúttal a sorozatnak is alsó, illetve fels korlátja. A Bolzano Weierstrass-tétel szerint egy ilyen sorozatnak van konvergens részsorozata. Ha u a határértéke egy konvergens részsorozatnak, akkor u H, hiszen a határérték deníciója szerint az u szám bármely környezetében van a (rész)sorozatnak egynél több (végtelen sok) tagja, ezek elemei a H halmaznak, de az injektivitás miatt közülük legfeljebb egy lehet egyenl az u-val. Az alábbi, bizonyítás nélkül közölt állítások bizonyítása nem okozhat gondot az Olvasó számára Állítás. Legyen H R és u az R-nak -nél nagyobb (+ -nél kisebb) eleme. Ekkor a következ két-két állítás egymással egyenérték :. u bal oldali (jobb oldali) torlódási pontja a H- nak, 2. u torlódási pontja a H (, u) (H (u, + )) halmaznak Állítás. Ha H K R, akkor H K, H K és H + K Állítás. Ha A R és B R, akkor (A B) = A B Állítás. Bármely H R és bármely véges V R esetén (H V ) = (H \ V ) = H A folytonosság fogalma 5.3. Deníció. Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). Az a kijelentés, hogy f folytonos az u helyen (vagy u folytonossági helye az f függvénynek), azt jelenti, hogy minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, hogy minden x D(f) B(u, δ) esetén f(x) f(u) < ε. Az a kijelentés pedig, hogy f-nek szakadása van az u helyen (vagy u szakadási helye az f függvénynek), azt jelenti, hogy f nem folytonos az u helyen. Roppant egyszer en belátható a fenti deníciónak néhány további állítással való egyenérték sége: 5.4. Állítás. Tetsz leges egyváltozós f függvény és u D(f) esetén a következ kijelentések egymással egyenérték ek:. f folytonos az u helyen, 2. minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, hogy minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) f(u) < ε, 3. minden pozitív ε számhoz található az u számnak olyan U környezete, melyre minden x D(f) U esetén f(x) B(f(u), ε) Deníció. Egy egyváltozós valós függvényt akkor nevezünk folytonosnak, ha az értelmezési tartományának minden egyes pontjában folytonos.

4 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 66 Közvetlenül a deníció alapján evidens, hogy a konstans függvények tetsz leges értelmezési tartomány mellett folytonosak (0 < ε miatt ε választásától függetlenül akármelyik pozitív szám alkalmas a δ szerepére). Újabb példák folytonos függvényre a pozitív egész kitev j, valamint az /q kitev j (q pozitív egész) hatványfüggvények: 5.6. Állítás. Tetsz leges pozitív egész m szám mellett az id m függvény (vagyis az egész R-en értelmezett x x m függvény) folytonos. Bizonyítás. Legyen u R és ε R +. Minthogy minden x B(u, ) esetén x u +, s így m x m u m m = x u x k u m k x u x k u m k x u m ( u + ) m, k=0 az és az ε/(m ( u + ) m ) számok közül a kisebbik játszhatja a δ szerepét Állítás. Minden pozitív egész q esetén az id /q függvény (vagyis páratlan q esetén az egész R- en értelmezett, páros q esetén pedig a nemnegatív számok halmazán értelmezett x q x függvény) folytonos. Bizonyítás. I. El ször a 0 helyen való folytonosságot bizonyítjuk. Legyen ε tetsz leges pozitív szám; az id /q függvény szigorúan monoton növ, ezért páratlan q esetén a ( ε q, ε q ) intervallumot a ( ε, +ε) intervallumba, páros q esetén a [0, ε q ) intervallumot a [0, ε) intervallumba vagyis mindkét esetben az értelmezési tartomány és a B(0, ε q ) környezet közös részét a B(0, ε) környezetbe képezi. II. Ha u pozitív szám és x B(u, u), akkor k=0 q x q u = x u x u q k=0 ( q x) k ( q q k u) ( q q < ε, u) ha x u < min{u, ε ( q u) q } =: δ. III. Ha q páratlan, u negatív és ε pozitív, akkor a függvényünknek a u helyen való és a II. részben már bizonyított folytonossága alapján választva a δ pozitív számot, a függvényünk páratlan voltából következik, hogy minden x B(u, δ) esetén amit bizonyítani kellett. q x q u = q x q u < ε, 5.8. Állítás. Az alábbi formulával értelmezett f : R R függvény folytonos a 0 helyen: f(x) := { x sin(/x), ha x 0 0, ha x = 0 Bizonyítás. Legyen ε R + és δ := ε. Minthogy a szinusz függvény értékkészlete része a [, ] intervallumnak, minden x Ḃ(0, δ) esetén f(x) f(0) = x sin(/x) x < ε, és persze a 0 = f(0) f(0) szám is kisebb, mint ε Állítás. A 0 pont szakadási pontja a szignum függvénynek.

5 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 67 Bizonyítás. Ha ε (0, ], akkor nincs olyan δ pozitív szám, melyre minden x B(0, δ) esetén sgn(x) 0 < ε volna, hiszen mindegyik ilyen környezetben van 0-tól különböz szám, de a 0 az egyetlen olyan szám, amely kielégíti az egyenl tlenséget Állítás. A Dirichlet-függvény egyetlen pontban sem folytonos. Bizonyítás. Minden számnak minden egyes környezetében van racionális szám is és irracionális szám is, tehát minden u R és δ R + esetén van olyan x B(u, δ), ahol a Dirichlet-függvény helyettesítési értéke pontosan -gyel tér el az u-beli helyettesítési értékt l. Ebb l következik, hogy az (0, ]-beli ε hibakorlátokhoz nem található olyan δ, amilyennek az u-beli folytonosság deníciója szerint kellene léteznie Deníció (egy oldali folytonosság). Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). Az f függvényr l akkor mondjuk, hogy balról (jobbról) folytonos az u helyen, ha minden egyes ε pozitív számhoz található olyan δ pozitív szám, hogy minden x D(f) (u δ, u] esetén (minden x D(f) [u, u + δ) esetén) f(x) f(u) < ε. A következ állítások (igen egyszer ) bizonyítását a Kedves Olvasóra bízzuk Állítás (a folytonosság megfogalmazása az egy oldali folytonosság segítségével). Egy egyváltozós valós függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartományának egy pontjában, ha ott balról is és jobbról is folytonos Állítás (az egy oldali folytonosság megfogalmazása a folytonosság segítségével). Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). f pontosan akkor balról (jobbról) folytonos az u helyen, ha az f D(f) (,u] függvény (az f D(f) [u,+ ) függvény) folytonos az u helyen Állítás (folytonosság és egy oldali folytonosság). Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). f pontosan akkor folytonos az u helyen, ha mind az f D(f) (,u], mind az f D(f) [u,+ ) függvény folytonos az u helyen, másszóval u pontosan akkor szakadási pontja az f függvénynek, ha az f D(f) (,u] és f D(f) [u,+ ) függvények közül legalább az egyiknek szakadási pontja Függvény határértéke, folytonosság és határérték kapcsolata Deníció (függvényhatárérték). Legyen f egyváltozós valós függvény, u torlódási pontja D(f)-nek és v R. Az a kijelentés, hogy f határértéke az u helyen v-vel egyenl, a következ t jelenti: minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, amelyre minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) B(v, ε) Megjegyzés. Egy f-nek egy u D(f) helyen legfeljebb egy határértéke lehet. Ha ugyanis w is, és a nála nagyobb v is határértéke volna f-nek az u helyen, akkor véve egy olyan r pozitív számot, amelyre B(w, r) B(v, r) = (lásd a + és a környezeteinek bevezetése után tett Megjegyzést), akkor ehhez az ε := r számhoz is található volna olyan δ w, illetve δ v pozitív szám, hogy minden x D(f) Ḃ(u, δ w) esetén f(x) B(w, r) és minden x D(f) Ḃ(u, δ v) esetén f(x) B(v, r) volna, ezért a δ := min{δ w, δ v } jelöléssel minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) B(w, r) B(v, r) = volna.

6 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 68 Annak a ténynek a jelölésére, hogy az f függvény határértéke az u helyen v, a lim x u f(x) = v és a lim u f = v, illetve kiemelt formulákban a lim f(x) = v, lim f = v x u u jelsorozatok egyikét használjuk de természetesen az x helyett más bet is használható. Hasonlóan értelmezhet a bal és a jobb oldali határérték fogalma is: Deníció (egy oldali határértékek). Legyen f egyváltozós valós függvény, u bal (jobb) oldali torlódási pontja D(f)-nek és v R. Az a kijelentés, hogy az f függvény bal (jobb) oldali határértéke az u helyen v-vel egyenl, a következ t jelenti: minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, amelyre minden x D(f) Ḃ (u, δ) (x D(f) Ḃ+(u, δ)) esetén f(x) B(v, ε). Annak jelölésére, hogy f bal oldali határértéke az u helyen v-vel egyenl, a lim x u f(x) = v, lim u f = v, lim x u 0 f(x) = v, vagy lim u 0 f = v, illetve kiemelt formulákban a lim f(x) = v, lim x u u f = v; lim f(x) = v, lim x u 0 f = v u 0 jelsorozatokat szokás használni (mi az els kett t-kett t fogjuk); jobb oldali határérték esetén a mínusz jel helyére a plusz jel kerül. A határérték és az egy oldali határértékek fogalma közötti kapcsolatokat illet en a következ ket állíthatjuk (ezek bizonyítását az Olvasóra bízzuk): Állítás (az egy oldali határérték lesz kített függvény határértéke). Legyen u bal (jobb) oldali torlódási pontja az f függvény értelmezési tartományának és v R; ekkor a következ két kijelentés egymással egyenérték :. lim x u f(x) = v, (lim x u+ f(x) = v), 2. az f (,u) D(f) (f (u,+ ) D(f) ) függvény határértéke az u helyen v-vel egyenl Állítás (kapcsolatok az egy oldali limesz(ek) és a limesz között). I. Ha u D(f) D(f) + és lim x u f(x) = lim x u+ f(x) = v, akkor lim x u f(x) = v, II. ha lim x u f(x) = v és u D(f) (u D(f) +), akkor lim x u f(x) = v (lim x u+ f(x) = v), III. ha u D(f) \ D(f) + (u D(f) + \ D(f) ) és v R, akkor az a kijelentés, hogy f határértéke az u helyen egyenl v-vel, egyenérték azzal, hogy f bal (jobb) oldali határértéke az u helyen egyenl v-vel. Minthogy a sorozatok is egyváltozós valós függvények, és sorozatokkal kapcsolatban is beszéltünk határértékr l, kellemetlen lenne, ha a kétféle határérték-fogalom között nem lenne meg az összhang. A következ tétel eloszlatja az ezzel kapcsolatos esetleges aggodalmakat (vegyük gyelembe azt is, hogy az 5.6. Példa szerint egy sorozat értelmezési tartományának egyetlen torlódási pontja a +, s emiatt a határérték létezésének kérdése csak a + helyen vethet fel) Tétel (sorozat határértéke mint függvényhatárérték). Legyen (a n ) valós számsorozat és v R; ekkor a következ két kijelentés egymással egyenérték :. lim(a n ) = v, 2. az (a n ) függvény határértéke (az imént bevezetett értelemben) a + helyen v-vel egyenl. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy lim(a n ) = v deníciója v = ± esetén is fogalmazható úgy, hogy minden pozitív ε számhoz létezik olyan M pozitív egész, melyre minden M-nél nagyobb n esetén a n B(v, ε). De minthogy az M-nél nagyobb egészek halmaza megegyezik a sorozat értelmezési tartományának és a B(+, /M) környezetnek a metszetével, az el bbi állítás ugyanazt fejezi ki, mint a tételben megfogalmazott 2. állítás.

7 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték Deníció. Legyen u H R; ekkor az a kijelentés, hogy u izolált pontja a H halmaznak, azt jelenti, hogy létezik olyan r pozitív szám, melyre H B(u, r) = {u}, míg az, hogy u nem-izolált pontja H-nak, azt jelenti, hogy u H H Megjegyzés. Összehasonlítva az izolált pont denícióját a torlódási pont deníciójával, látható, hogy tetsz leges H R számhalmaz izolált pontjainak halmaza egyenl a H \ H halmazzal, tehát H azon pontjainak halmaza, amelyek nem izolált pontjai a H-nak, azonos H nem-izolált pontjainak halmazával (H \ (H \ H ) = H H ) Tétel (a folytonosság jellemzése a határérték segítségével). Tetsz leges egyváltozós valós f függvény és u D(f) esetén a következ két kijelentés egymással egyenérték :. f folytonos az u helyen; 2. u izolált pontja D(f)-nek, vagy u D(f) és lim x u f(x) = f(u). Bizonyítás.. 2. Ha u nem izolált pontja D(f)-nek, akkor a tétel el tt tett megjegyzés szerint u D(f) és az u-beli folytonosság deníciója szerint minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, melyre minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) f(u) < ε, azaz f(x) B(f(u), ε). 2.. Ha van olyan r pozitív szám, amelyre D(f) B(u, r) = {u} és ε tetsz leges pozitív szám, akkor minden x D(f) B(u, r) esetén, azaz x = u esetén 0 = f(x) f(u) < ε. Ha pedig u D(f) D(f), akkor a határérték deníciója szerint minden pozitív ε számhoz található olyan pozitív δ, melyre minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) B(f(u), ε), azaz f(x) f(u) < ε. Az egyváltozós valós függvény értelmezési tartományának egy eleme pontosan akkor szakadási pontja a függvénynek, ha ott a függvény nem folytonos, így az el bbi tétellel egyenérték az alábbi is: Tétel (a szakadási pontok jellemzése). Az f függvény értelmezési tartományának egy u eleme pontosan akkor szakadási pontja f-nek, ha u torlódási pontja az értelmezési tartománynak és az f(u) szám nem határértéke f-nek az u helyen Tétel (a véges függvényhatárérték jellemzése a folytonosság segítségével). Legyen az u valós szám torlódási pontja az f függvény értelmezési tartományának és legyen v is valós szám. Ekkor a következ két kijelentés egymással egyenérték :. lim x u f(x) = v; 2. az { f(x), ha x D(f) \ {u}, F (x) := v, ha x = u formulával értelmezett F : D(f) {u} R függvény folytonos az u helyen. Bizonyítás. Mindkét kijelentés azt jelenti, hogy minden pozitív ε számhoz található olyan δ, melyre minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) v < ε, hiszen u minden egyes pontozott környezetének ugyanaz a metszete a D(f) halmazzal, mint a D(F ) halmazzal és egy ilyen metszethalmaz minden egyes x elemére f(x) = F (x) Átviteli elvek, sorozatfolytonosság és a Cauchy-féle feltétel Most olyan szükséges és elégséges feltételeket fogunk megismerni, amelyek a függvény folytonosságának, illetve határértékének fogalmát a sorozat határértéke fogalmának segítségével ragadják meg, utána a sorozatok véges határértékének létezésére vonatkozó Cauchy-féle feltétel általánosításáról lesz szó. Az els tételben szerepl. és 2. állítások egyenérték ségét kimondó tételt szokták a határértékre vonatkozó els átviteli elvnek nevezni.

8 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték Tétel. Legyen u torlódási pontja az egyváltozós valós f függvény értelmezési tartományának és v R; ekkor a következ három kijelentés egymással egyenérték :. lim u f = v, 2. minden olyan u-hoz tartó (x n ) sorozatra, melynek tagjai D(f)-nek u-tól különböz elemei, v = lim(f(x n )), 3. minden olyan u-hoz tartó szigorúan monoton (x n ) sorozatra, melynek tagjai D(f)-ben vannak, v = lim(f(x n )). Bizonyítás.. 2. Legyen (x n ) olyan u-hoz tartó sorozat, melynek minden tagja D(f)-nek u-tól különböz eleme és legyen ε tetsz leges pozitív szám. Az. állítás alapján válasszunk olyan δ pozitív számot, melyre minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén f(x) B(v, ε), majd egy olyan küszöbindexet, amelyt l kezdve minden n-re x n B(u, δ). Ekkor δ választása és x n u miatt ugyanett l a küszöbindext l kezdve minden n-re f(x n ) B(v, ε) Legyen (x n ) olyan u-hoz tartó szigorúan monoton sorozat, melynek minden tagja benne van f értelmezési tartományában. Egyszer indirekt okoskodás mutatja, hogy minden n-re x n u: ha valamely m pozitív egész esetén x m = u volna, akkor egyrészt u mindenképpen valós szám volna, másrészt a sorozat szigorú monoton növekedése [csökkenése] miatt a sorozat m+-nél nagyobb index tagjai nagyobbak [kisebbek] volnának x m+ -nél, vagyis nem lennének benne az u szám ε := x m x m+ sugarú környezetében, így az ε hibakorláthoz nem lehetne találni megfelel küszöbindexet. Ezek szerint a (x n ) sorozatról a 2. állítás alapján állíthatjuk, hogy a hozzá tartozó függvényértéksorozat határértéke v. 3.. Azt mutatjuk meg, hogy az. állítás tagadásából következik a 3. állítás tagadása: Ha v nem volna határértéke f-nek az u helyen, akkor volna olyan ε pozitív szám, melyre minden δ pozitív számhoz létezne a D(f) Ḃ(u, δ) halmazban az f(x) / B(v, ε) feltételnek eleget tev x, azaz bevezetve a H := f [R \ B(v, ε)] (= {x D(f) : f(x) / B(v, ε)}) jelölést u torlódási pontja lenne a H halmaznak, azaz (lásd a torlódási pontok jellemzéseir l szóló tétel. és 5. állításának egyenérték ségét) létezne olyan u-hoz tartó szigorúan monoton (x n ) sorozat, melynek minden tagja a H halmazban van, ezért v nem lehet határértéke az (f(x n )) sorozatnak (a szóban forgó ε pozitív számhoz nem található olyan küszöbindex, melyt l kezdve minden n-re f(x n ) benne volna a B(v, ε) környezetben). A következ tételben szerepl. és 2. állítások egyenérték ségét kimondó tételt szokták a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek nevezni Tétel. Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). Ekkor a következ három kijelentés egymással egyenérték :. f folytonos az u helyen, 2. minden olyan u-hoz tartó (x n ) sorozatra, melynek tagjai D(f)-ben vannak, lim(f(x n )) = f(u), 3. minden olyan szigorúan monoton u-hoz tartó (x n ) sorozatra, melynek minden tagja eleme az értelmezési tartománynak, f(u) = lim(f(x n )). Bizonyítás.. 2. Legyen (x n ) olyan u-hoz tartó sorozat, melynek tagjai D(f)-ben vannak és legyen ε tetsz leges pozitív szám. Válasszunk. alapján egy olyan δ pozitív számot, melyre minden x D(f) B(u, δ) esetén f(x) B(f(u), ε), majd lim(x n ) = u alapján egy olyan M küszöbindexet, melyt l kezdve minden n-re x n B(u, δ). Ekkor ugyanett l a küszöbindext l kezdve minden n-re x n D(f) B(u, δ), ezért f(x n ) B(f(u), ε) Nyilvánvaló. 3.. Tegyük fel, hogy f nem folytonos az u helyen, bizonyítjuk, hogy ekkor a 3. állítás sem teljesülhet. Az el z szakasz utolsó el tti tétele (5.34.) szerint u torlódási pontja az értelmezési tartománynak és f(u) nem határértéke az f függvénynek. Az el z tétel alapján ebb l következik egy olyan u-hoz tartó szigorúan monoton (x n ) sorozat létezése, melynek minden tagja D(f)-ben van, s melyre f(u) nem határértéke az (f(x n )) sorozatnak.

9 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték Deníció (sorozatfolytonosság (szekvenciális folytonosság)). Legyen f egyváltozós valós függvény és u D(f). Azt, hogy az (f, u) párra teljesül a most bizonyított tételben szerepl 2. állítás, úgy szokták rövidebben fogalmazni, hogy f az u pontban sorozatfolytonos (vagy szekvenciálisan folytonos). Ha f az értelmezési tartományának minden pontjában sorozatfolytonos, akkor sorozatfolytonosnak, vagy szekvenciálisan folytonosnak nevezik Példák. Szögezzük le, hogy az el z fejezetben néhány függvényr l már bizonyítottuk a sorozatfolytonosságot, vagyis a folytonosságot (s t, egyes esetekben a tételt azonosító rövid címben használtuk is már a szekvenciális folytonosság kifejezést). Melyek voltak ezek a függvények?. Az abszolútérték-függvény: bármely valós u esetén minden u-hoz konvergáló sorozat abszolút értéke konvergál u -hez, 2. az /id függvény, azaz a nullától különböz valós számok halmazán értelmezett x /x függvény: ha egy sorozat minden tagja nullától különböz, és tart egy nullától különböz u számhoz, akkor a reciproka tart /u-hoz, 3. minden -nál nagyobb q egész esetén a q-adik gyök függvény: ha x n u, továbbá páros q esetén u 0 és minden n-re x n 0, akkor q x n q u, 4. az exponenciális függvények, de mindezek el tt említhettük volna még a konstans függvényeket is. Van továbbá néhány olyan függvény, amelynek a sorozatfolytonossága könnyen következik az el z fejezet tételeib l, állításaiból, például a racionális kitev j hatványfüggvényeké és a hiperbolikus függvényeké. Egyváltozós valós függvény valamely pontban vett határértékének létezésére is lehet adni sorozatokkal megfogalmazott szükséges és elégséges feltételt: Tétel (a határértékre vonatkozó második átviteli elv). Legyen u torlódási pontja az f függvény értelmezési tartományának. Ekkor a következ két kijelentés egymással egyenérték :. létezik a lim u f, 2. minden olyan u-hoz tartó (x n ) sorozatra, melynek tagjai D(f)-nek u-tól különböz elemei, az (f(x n )) sorozatnak is van határértéke. Bizonyítás. Az. 2. állítás a határértékre vonatkozó els átviteli elv. 2. részéb l következik (v := lim u f). 2.. Elég azt bizonyítani, hogy a lim(f(x n )) határérték minden egyes u-hoz tartó (x n ) (D(f) \ {u}) Z+ sorozat esetén ugyanaz lesz, hiszen ekkor az (f(x n )) sorozatok közös v határértékére alkalmazható lesz a határértékre vonatkozó els átviteli elv 2.. része. Legyen tehát (x n ) és (y n ) két olyan u-hoz tartó sorozat, melyeknek minden egyes tagja D(f)-nek u-tól különböz eleme és (z n ) a z 2k := x k, z 2k := y k utasításokkal értelmezett összefésült sorozat. Ez utóbbi sorozat határértéke szintén u, hiszen ha n M esetén x n B(u, ε) és y n B(u, ε), akkor n 2M esetén z n B(u, ε). Továbbá minden n-re z n D(f) \ {u}, így a 2. állítás szerint az (f(z n )) sorozatnak is van határértéke, márpedig mind az (f(x n )), mind az (f(y n )) sorozat részsorozata az (f(z n )) sorozatnak, ezért ezeknek is van határértéke, éspedig mind a kett megegyezik a lim(f(z n )) határértékkel Tétel (a véges függvényhatárérték Cauchy-féle feltétele). Legyen u torlódási pontja az f függvény értelmezési tartományának, ekkor a következ két kijelentés egymással egyenérték :. létezik a lim u f határérték és ez véges, 2. minden egyes ε pozitív számhoz található olyan δ pozitív szám, hogy a D(f) Ḃ(u, δ) halmazból vett x, y számokra f(x) f(y) < ε.

10 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 72 Bizonyítás.. 2. Legyen ε tetsz leges, δ pedig olyan pozitív szám, hogy minden x D(f) Ḃ(u, δ) esetén teljesüljön az f(x) lim u f < ε/2 egyenl tlenség. Ekkor a háromszög-egyenl tlenségb l következik, hogy ha mind az x, mind az y szám eleme a D(f) Ḃ(u, δ) halmaznak, akkor f(x) f(y) f(x) lim u f + lim u f f(y) < ε. 2.. Az el z tétel 2.. részét fogjuk alkalmazni. El ször azt bizonyítjuk, hogy tetsz leges olyan u-hoz tartó (x n ) sorozatra, melynek minden tagja D(f)-nek u-tól különböz eleme, az (f(x n )) sorozat konvergens, azaz teljesíti a sorozatokra vonatkozó Cauchy-féle feltételt. Legyen tehát ε tetsz leges pozitív szám, válasszunk hozzá olyan δ pozitív számot, amilyennek a létezését a 2. állítás garantálja, majd ehhez egy olyan M küszöbindexet, amelyt l kezdve minden n-re x n Ḃ(u, δ). Ha m M és n M, akkor x m is és x n is eleme a D(f) Ḃ(u, δ) halmaznak, így δ választása alapján f(x m) f(x n ) < ε. Az el z tételb l következik, hogy létezik a lim u f határérték, jelöljük ezt v-vel, az els átviteli elvb l pedig az, hogy ez a v egyenl az el z bekezdésben vizsgált (f(x n )) alakú sorozatok határértékével. S minthogy az utóbbi sorozatok konvergensek, v valóban véges Folyonosság, határérték, alapm veletek Emlékeztetünk rá, hogy egyváltozós valós függvények összegét, különbségét, szorzatát és hányadosát a bevezet fejezet végén értelmeztük Tétel (folytonosság és az alapm veletek). Tegyük fel, hogy f és g folytonos az u D(f) D(g) helyen; I. ekkor f + g, f g és f g is folytonos az u helyen, II. ha továbbá g(u) 0, akkor f/g is folytonos az u helyen. Bizonyítás. I. A folytonosságra vonatkozó átviteli elvet (5.37.) alkalmazzuk. Legyen (x n ) olyan u-hoz tartó sorozat, melynek minden egyes tagja benne van a D(f) D(g) halmazban. Ekkor a Tétel. 2. állítása szerint lim(f(x n )) = f(u) és lim(g(x n )) = g(u), tehát az f(u) + g(u) szám egyenl e két sorozat összegének határértékével, azaz (f + g)(u) = lim((f + g)(x n )), és hasonló mondható a különbségr l és a szorzatról is. II. Az I. rész bizonyításához képest csak annyi az eltérés, hogy az u-hoz tartó (x n ) sorozatot most a (D(f/g)) Z+ halmazból kell választanunk, így nem csak a g(u), hanem minden egyes n-re a g(x n ) szám is nullától különböz, ezért ( ) ( ) f f(u) (u) = g g(u) = lim f(xn ) f = lim g(x n ) g (x n), tehát f/g-re is alkalmazható a Tétel 2.. állítása Következmény. Minden racionális törtfüggvény folytonos. Az el z tételéhez hasonló az összeg, különbség, szorzat és hányados határértékér l szóló tételek bizonyítása, csak ezúttal nem a folytonosságra, hanem a határértékre vonatkozó (els ) átviteli elvet kell használni, úgyhogy ezeket a bizonyításokat mell zzük, viszont az eredményeket összefoglaljuk kétféle módon is. El ször az alábbi táblázat segítségével:

11 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték Tétel (határérték és az alapm veletek). Ha f és g egyváltozós valós függvények, h az f +g, f g, f g és f/g függvények egyike, u torlódási pontja a h függvény értelmezési tartományának és léteznek a lim u f =: a, lim u g =: b határértékek, akkor attól függ en, hogy a és b, negatív szám, nulla, pozitív szám, vagy +, a h függvény u-beli határértékér l a következ t lehet állítani (a négy részre osztott rubrikák mindegyikében a bal fels sarok tartalma vonatkozik az összegfüggvényre, a jobb fels saroké a különbségfüggvényre, a bal alsóé, illetve a jobb alsóé a szorzat- illetve a hányadosfüggvényre; a kérd jellel jelölt esetekben semmi általános érvény t nem lehet állítani): b = lim u g a = lim u f = (, 0) = 0 (0, + ) = +? + + +? + = +? + 0? 0 0? a + b a b a + b a b a + b a b + + (, 0) + + a c a/b a c 0 a c a/b a + b a b a + b a b a + b a b + + = 0?? a c? a c? a c??? a + b a b a + b a b a + b a b + + (0, + ) a c a/b a c 0 a c a/b + +? ? = +? 0? ? Vagyis a táblázat tartalma tömören megfogalmazva: ha a négy alapm velet egyike, h = f g és R-ban elvégezhet az a b m velet, akkor lim u h = a b. A téma lezárásaképpen azt a kijelentést pontosítjuk, hogy a h függvény határértékér l a kérd jellel jelölt esetek egyikében sem lehet semmi általános érvény t állítani. Ezzel kapcsolatban a következ ket lehet bizonyítani:. tetsz leges u R esetén mind a 7 esetben adható példa olyan f és g függvényre, hogy a hozzájuk tartozó h függvénynek nem létezik határértéke az u helyen; 2. ha u R, (a, b, ) R {, 0, + } {+,,, /} a kérd jeles hármasok egyike és v attól a két megszorítástól eltekintve, hogy az a = b / R, = / esetben nem lehet nullánál kisebb és a a = b / R, = / esetben nem lehet nullánál nagyobb az R tetsz leges eleme, akkor van olyan f és g függvény, amelyekre lim u f = a, lim u g = b és lim u f g = v. E példák konstruálását feltétlenül tanácsolom minden Kedves Olvasónak Folytonosság, határérték, kompozíció Tétel (a kompozíció folytonossága egy pontban). Ha a g függvény folytonos az u D(g) helyen, v := g(u) D(f) és f folytonos a v helyen, akkor f g folytonos az u helyen. Bizonyítás. Legyen ε tetsz leges pozitív szám; f folytonos a v helyen, azért van olyan pozitív r szám, melyre minden y D(f) B(v, r) esetén f(y) f(v) < ε. g folytonos az u helyen így ehhez az r számhoz (is) található olyan δ pozitív szám, melyre minden x D(g) B(u, δ) esetén g(x) B(v, r). Legyen mármost x D(f g) B(u, δ), ekkor g(x) eleme egyrészt D(f g) deníciója szerint D(f)-nek, másrészt δ választása szerint B(v, r)-nek is, ezért r választása alapján állíthatjuk, hogy f(g(x)) f(g(u)) < ε Következmény (a kompozíció folytonossága). Két folytonos függvény kompozíciója folytonos feltéve persze, hogy létezik a kompozíciójuk.

12 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 74 Amit most az összetett függvény határértékér l bizonyítunk, tekinthet akár négy tételnek is, de talán pontosabb, ha úgy fogalmazunk, hogy két tétel és az egyiknek két következménye az ismétlések elkerülése végett egy tételben fogalmazva: Tétel (a kompozíció határértéke egy pontban). Legyenek f és g egyváltozós valós függvények, u torlódási pontja az f g függvény értelmezési tartományának, és tegyük fel, hogy létezik a lim u g =: v határérték. Ha továbbá I. v D(f), f folytonos a v helyen és w := f(v), vagy II. létezik olyan r pozitív szám, melyre minden x Ḃ(u, r) D(f g) esetén g(x) v, v D(f) és létezik a lim v f =: w, vagy III. v D(f) \ D(f) és létezik a lim v f =: w, vagy IV. g injektív, v D(f) és létezik a lim v f =: w, akkor létezik a lim u f g határérték is és egyenl w-vel. Bizonyítás. Legyen ε tetsz leges pozitív szám. Mind a négy esetben létezik olyan δ 0 pozitív szám, melyre minden y D(f) Ḃ(v, δ 0) esetén f(y) B(w, ε), s t, az I. esetben ezt még az y = v számról is állíthatjuk. Abból, hogy lim u g = v, következik egy olyan δ pozitív szám létezése, melyre minden x D(g) Ḃ(u, δ) esetén g(x) B(v, δ 0). Az I. esetben tetsz leges x D(f g) Ḃ(u, δ) esetén g(x) D(f) B(v, δ 0), ezért f(g(x)) B(w, ε). A II. esetben vegyük az összetett függvény értelemzési tartományának tetsz leges olyan x elemét, amely benne van az u középpontú min{r, δ} sugarú pontozott környezetben is, akkor g(x) Ḃ(v, δ 0) D(f), s emiatt f(g(x)) B(w, ε). A III. eset visszavezethet a II. esetre: legyen r := δ (lásd az összetett függvény értelmezési tartományának denícióját). A IV. esetben a II. állítás szerint elég egy olyan r pozitív szám létezését bizonyítanunk, melyre minden x D(g) Ḃ(u, r) esetén g(x) v. g injektivitása miatt azoknak az u-tól különböz x 0 D(g) valós számoknak a száma, amelyekre g(x 0 ) = v, 0 vagy. Ha egyáltalán nincs ilyen x 0, akkor az el bbi állítás minden egyes r pozitív számra teljesül, ha pedig egy ilyen van, akkor az r számot u R esetén választhatjuk x 0 u -nak, u / R esetén például az x 0 + szám reciprokának Megjegyzés. A III.-ban szerepl v D(f) \D(f) feltétel biztosan teljesül akkor, ha v = és D(f) alulról nem korlátos, vagy ha v = + és D(f) felülr l nem korlátos Folytonosság, határérték, rendezés Tétel (a folytonos függvény lokális el jeltartása). Ha az u D(f) helyen az f függvény folytonos, és ott a helyettesítési értéke pozitív (negatív), akkor van olyan δ pozitív szám, melyre minden x D(f) B(u, δ) esetén f(x) > 0 (f(x) < 0). Bizonyítás. Válasszuk a δ számot a folytonosság deníciója alapján az ε := f(u) hibakorláthoz. Vegyük észre, hogy az alábbi tétel egy speciális esetével már találkoztunk a sorozatoknál Tétel (függvényhatárérték és rendezés). Legyen H R, u H, f : H R, g : H R és tegyük fel, hogy léteznek a lim u f =: v és lim u g =: w határértékek. I. Ha w < v, akkor létezik olyan δ pozitív szám, melyre minden x H Ḃ(u, δ) esetén g(x) < f(x); II. ha létezik olyan r pozitív szám, melyre minden x H Ḃ(u, r) esetén f(x) g(x), akkor v w.

13 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 75 Bizonyítás. I. Legyen ε olyan pozitív szám, melyre minden (z, y) B(w, ε) B(v, ε) esetén z < y (lásd az 5.4. Megjegyzést) és δ olyan pozitív szám, melyre minden x H Ḃ(u, δ) esetén f(x) B(v, ε) és g(x) B(w, ε). II. Ha w < v volna, akkor a tétel I. része szerint létezne olyan δ, melyre minden x H Ḃ(u, δ) esetén g(x) < f(x) volna, de ez azon x H számok esetén, melyek az u elem min{r, δ} sugarú pontozott környezetében is benne vannak, ellentmondásra vezet: ezeknek ki kellene elégíteniük mind az f(x) g(x), mind a g(x) < f(x) egyenl tlenséget. Házi feladatként fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be az azonos számhalmazon értelmezett három függvényr l szóló közrefogási elvet (rend relvet), továbbá a + -hez tartó ( -hez tartó) függvényekr l szóló összehasonlító kritériumot Monoton függvények bal és jobb oldali határértékei Most a monoton sorozatok határértékének létezésér l szóló tétel(eke)t általánosítjuk: 5.5. Tétel. Legyen f egyváltozós valós monoton függvény. I. Tegyük fel, hogy b := sup D(f) / D(f), ekkor { sup R(f), ha f monoton növ, lim f = b inf R(f), ha f monoton fogyó; II. tegyük fel, hogy a := inf D(f) / D(f), ekkor { inf R(f), ha f monoton növ, lim f = a sup R(f), ha f monoton fogyó. Bizonyítás. I. Legyen f monoton növ, ε tesz leges pozitív szám, és jelöljük y-nal a B(sup R(f), ε) környezet bal végpontját. Ez a szám kisebb, mint sup R(f), ezért van olyan z D(f), melyre f(z) > y, s így f monoton növ volta miatt minden x D(f) (z, b) esetén y < f(z) f(x) sup R(f), vagyis ezen x számokra f(x) B(sup R(f), ε). És minthogy a D(f) (z, b) halmaz tartalmazza b egy pontozott környezetének D(f)-fel való metszetét, f (bal oldali) határértéke a b helyen valóban sup R(f). A további három állítás bizonyítása hasonlóan történhet Megjegyzés. A tétel I. állításából nem csak a korlátos monoton sorozatok konvergenciájáról szóló tétel következik, hanem az is, hogy ha egy nem korlátos sorozat monoton növ (fogyó), akkor határértéke + ( ) Tétel (monoton függvény egy oldali határértékei). Legyen g egyváltozós valós monoton függvény. I. Tegyük fel, hogy b D(g), ekkor { sup R(g D(g) (,b) ), ha g monoton növ, lim g = b inf R(g D(g) (,b) ), ha g monoton fogyó, ha ráadásul a b D(g) feltétel is teljesül, akkor ez a határérték véges, éspedig növeked g esetén nem nagyobb, fogyó g esetén nem kisebb g(b)-nél. II. Tegyük fel, hogy a D(g) +, ekkor lim a+ g = { inf R(g D(g) (a,+ ) ), ha g monoton növ, sup R(g D(g) (a,+ ) ), ha g monoton fogyó,

14 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 76 ha ráadásul az a D(g) feltétel is teljesül, akkor ez a határérték véges, éspedig növeked g esetén nem kisebb, fogyó g esetén nem nagyobb g(a)-nál. III. Tegyük fel, hogy u D(g) D(g) +, ekkor lim u g { limu+ g, ha g monoton növ, lim u+ g, ha g monoton fogyó, és mindkét egy oldali határérték véges; ha ráadásul az u D(g) feltétel is teljesül, akkor a bal és jobb oldali határértékek közrefogják a g(u) számot. Bizonyítás. Az Állítás alapján mondhatjuk, hogy I. és II. is következik az el z tételb l, ha azt az f := g D(g) (,b), illetve az f := g D(g) (a,+ ) függvényre alkalmazzuk; ha létezik a g(b), vagy a g(a) helyettesítési érték, akkor az fels, illetve alsó korlátja annak a számhalmaznak, amelyiknek a legkisebb fels, illetve a legnagyobb alsó korlátja a szóban forgó határérték. III. Az R(g D(g) (,u) ) és R(g D(g) (u,+ ) ) halmazok közül monoton növ g esetén az el bbit A-nak, az utóbbit B-nek nevezve, monoton fogyó g esetén az el bbit B-nek és az utóbbit A-nak nevezve, (A, B) olyan halmazpár, amely g monotonitása miatt eleget tesz a módosított Dedekindaxióma feltételeinek, s ezért R sup A inf B R. Ebb l, a már bizonyított I. és II. állítást az a := b := u szereposztással alkalmazva, éppen a bizonyítandó egyenl tlenségeket kapjuk A szakadási pontok osztályozása A Tétel szerint egy egyváltozós valós függvény szakadási helyeinek halmaza a függvény értelmezési tartományának azokból az elemeib l áll, amelyek torlódási pontjai is az értelmezési tartománynak, s amelyekben a függvény határértéke vagy nem létezik, vagy létezik ugyan, de nem egyenl az ottani helyettesítési értékkel. Az utóbbi pontok halmaza akár még egyszer ketté bontható az alapján, hogy a határérték véges, vagy végtelen, ezzel lényegében már meg is kaptuk az alábbi tétel bizonyítását: Tétel (a szakadási pontok osztályozása az egy oldali határértékek segítségével). Egy u D(f) szám pontosan akkor szakadási pontja az f függvénynek, ha a következ hat állítás közül legalább az egyik teljesül:. u D(f) és nem létezik a lim u f határérték, 2. u D(f) és létezik a lim u f / R, 3. u D(f) és létezik a lim u f R \ {f(u)}, 4. u D(f) + és nem létezik a lim u+ f határérték, 5. u D(f) + és létezik a lim u+ f / R, 6. u D(f) + és létezik a lim u+ f R \ {f(u)}. Bizonyítás. Az Állítás szerint u pontosan akkor szakadási pontja f-nek, ha az f D(f) (,u], f D(f) [u,+ ) lesz kítések közül legalább az egyiknek szakadási pontja. Márpedig ha gyelembe vesszük a jelen tétel kimondása el tt idézett Tételt, továbbá azt, hogy u pontosan akkor torlódási pontja a D(f) (, u], illetve a D(f) [u, + ) halmaznak, ha bal oldali, illetve jobb oldali torlódási pontja a D(f)-nek, akkor azt kapjuk, hogy egyrészt u pontosan akkor szakadási pontja az f D(f) (,u] lesz kítésnek, ha a tételben felsorolt hat állítás közül az els három egyike igaz, másrészt u pontosan akkor szakadási pontja az f D(f) [u,+ ) lesz kítésnek, ha a másik három állítás egyike igaz.

15 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték Példa. Ha u := 0 és f : R R olyan függvény, amelyre minden x R \ {0} esetén I. f(x) = sin /x, akkor teljesül a fenti. és 4. állítás; II. f(x) = /x, akkor teljesül a fenti 2. és 5. állítás; végül tipikus példa olyan szituációra, amikor teljesül a 3. és a 6. állítás: u := 0, és f a szignum függvény Deníció (a szakadási pontok fajtái). Ha f egyváltozós valós függvény, u D(f) D(f) D(f) +, f-nek az u helyen a bal és jobb oldali határértéke egyaránt létezik és véges, de egymástól különböz k, akkor azt mondjuk, hogy f-nek ugrása van az u helyen. Ha u D(f), létezik és véges az f határértéke az u helyen, de nem egyenl az f(u) számmal, akkor azt mondjuk, hogy f-nek megszüntethet szakadása van az u helyen. Ha f-nek ugrása, vagy megszüntethet szakadása van az u helyen, akkor azt mondjuk, hogy f-nek els fajú szakadása van az u helyen, vagy azt, hogy u els fajú szakadási pontja az f függvénynek. Ha f-nek szakadása van az u helyen, de u nem els fajú szakadási pontja f-nek, akkor azt mondjuk, hogy u másodfajú szakadási pontja az f-nek (vagy azt, hogy f-nek másodfajú szakadása van az u helyen) Tétel (a másodfajú szakadási pontok jellemzése). Legyen u D(f); ekkor a következ két állítás egymással egyenérték : a) f-nek másodfajú szakadása van az u helyen, b) az el z tételben szerepl., 2., 4., 5. állítások közül legalább az egyik teljesül. Bizonyítás. a) b) Lévén u szakadási pontja f-nek, nem lehet izolált pontja H := D(f)-nek, vagyis vagy u H H +, vagy u H \ H +, vagy u H + \ H. Ezt a három esetet külön-külön tárgyaljuk, pontosabban csak az els kett t, hiszen a harmadik eset ugyanúgy vizsgálható, mint a második. Legyen tehát el ször u H H +. Ha a két egy oldali határérték közül legfeljebb az egyik létezik, akkor teljesül az., vagy a 4. állítás, ha mind a kett létezik, de legalább az egyik nem véges, akkor teljesül a 2., vagy az 5. állítás. Az nem lehetséges, hogy mind a kett létezzen és véges legyen, hiszen abban az esetben ez a két határérték vagy különbözne egyástól, ekkor f-nek ugrása lenne az u helyen, vagy egyenl k lennének egymással, ekkor f-nek az u helyen megszüntethet szakadása lenne, vagy folytonos lenne az u helyen. Tegyük fel most, hogy u H \H +. Ekkor f-nek nem lehet az u helyen véges bal oldali határértéke, mert akkor ott vagy megszüntethet szakadása lenne, vagy folytonos lenne. Tehát vagy nem létezik a bal oldali határértéke az u helyen (.), vagy létezik de nem véges (2.). b) a) Azt bizonyítjuk, hogy ha az f-nek az u helyen akár ugrása van, akár megszüntethet szakadása, akkor az el z tételben szerepl., 2., 4., 5. állítások egyike sem teljesülhet. Most is célszer külön-külön vizsgálni a három esetet, ahogy azt a bizonyítás a) b) részében tettük, pontosabban most is elég a második és a harmadik eset közül az egyiket tárgyalni. Az els eset evidens: ha u H H +, és akár ugrása, akár megszüntethet szakadása van f-nek az u helyen, létezik és véges mind a bal, mind a jobb oldali határértéke ezen a helyen. Ha például u H \ H +, akkor f-nek nem lehet ugrása, csak megszüntethet szakadása, ha ez a helyzet, akkor a bal oldali határérték létezik és véges, emiatt mind az., mind a 2. állítás hamis; a 4. és 5. pedig amiatt hamis, hogy most u / H A monoton függvények szakadási helyei Tétel. Monoton függvény minden szakadási pontja els fajú. Bizonyítás. Legyen u szakadási pontja a monoton g függvénynek. Azt bizonyítjuk, hogy g-nek ugrása, illetve megszüntethet szakadása van az u helyen attól függ en, hogy u eleme a D(g) D(g) + halmaznak, vagy nem eleme.

16 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 78 Tegyük fel tehát el ször azt, hogy u D(g) D(g) +. Az el z szakasz utolsó tétele szerint a g függvény u-beli bal és jobb oldali határértéke egyaránt létezik és véges, továbbá e két határérték közrefogja a g(u) számot. Ezek szerint, ha e két határérték egyenl lenne egymással, akkor a helyettesítési értékkel is egyenl k lennének, vagyis g folytonos lenne az u helyen. Tegyük fel most azt, hogy u / D(g) D(g) +. Azaz, minthogy szakadási pontról van szó, u vagy bal oldali torlódási pontja az értelmezési tartománynak és izolált pontja a D(g) [u, + ) halmaznak, vagy jobb oldali torlódási pontja D(g)-nek és izolált pontja a D(g) (, u] halmaznak. Az el z szakasz második tételéb l következik, hogy az els esetben a bal, a második esetben a jobb oldali határérték létezik és véges; ez persze mindkét esetben határértéke g-nek az u helyen (5.29.III.), így ezúttal valóban megszüntethet szakadásról van szó. Bizonyítás nélkül említjük azt a következményt, hogy bármely monoton függvény szakadási pontjainak halmaza megszámlálható. Bizonyítunk viszont egy másik következményt, mely szerint a monoton függvényeknek egy igen fontos speciális esetben egyetlen szakadási helyük sem lehet: Tétel. Intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény inverze folytonos. Bizonyítás. Ha az f : I R függvény g inverzér l akarjuk bizonyítani annak folytonosságát valamely u D(g) = R(f) helyen, és például f növeked, akkor nyilván g is ilyen, hiszen ha g(v) g(w), akkor v = f(g(v)) f(g(w)) = w. Tegyük fel, hogy g nem folytonos az u helyen. Ebb l arra fogunk következtetni, hogy I = R(g) nem intervallum. Az indirekt feltevés szerint tehát g nem folytonos balról, vagy nem folytonos jobbról. Elég az els esettel foglalkozni, mert a másik teljesen hasonlóan tárgyalható. Ezek szerint u bal oldali torlódási pontja g értelmezési tartományának, létezik a lim u g =: v és v < g(u) (5.34., 5.53.). g értékkészletének van v-nél nem nagyobb eleme: g értelmezési tartományának minden egyes u-nál kisebb x elemére g(x) ilyen, természetesen g(u) R(g), tehát ha R(g) intervallum lenne, akkor (v, g(u)) R(g) lenne. Ezzel szemben (v, g(u)) R(g) =, hiszen ha az I-nek egy x eleme kisebb mint u, akkor g(x) v (lásd az tételt), ha pedig x u, akkor g(x) g(u). Szigorúan monoton fogyó függvény esetén a tétel hasonlóan bizonyítható. 5.. Néhány nevezetes határérték El ször a monoton függvények egy oldali határértékeir l szóló tételek (5.5. és 5.53.) néhány egyszer következményét soroljuk fel: lim ch = lim sh = lim arch = lim arsh = +, c (, + ) lim exp c = lim log c = +, lim th = lim cth =, c (0, ) lim exp c = 0, és lim log c =, lim th =, c (, + ) lim exp c = 0, c (0, ) lim exp c = +, Tétel. Ha p R +, q R +, c R + \ {} és a (, + ), akkor I. lim x + x /x =, II. log lim c s t q = 0, III. lim = 0, IV. lim s + s p t + at t 0+ tp log c t = 0, V. lim t t =. t 0+ Bizonyítás. I. Legyen ε tetsz leges pozitív szám; bizonyítjuk egy olyan K pozitív szám létezését, melyre minden x (K, + ) esetén x /x ( ε, + ε). Lévén x esetén x /x, ehhez elég a következ két állítást igazolni: a) lim( n n + ) =, s így van olyan K pozitív egész, amelyt l kezdve

17 Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 79 minden n-re n n + < + ε, b) ha x > K, akkor x /x ([x] + ) /[x] (ekkor ugyanis a vizsgált függvényünknek a K-nál nagyobb helyeken felvett értékei felülr l becsülhet k az ( n n) sorozat olyan tagjával, amely kisebb, mint + ε). Az a) állítás bizonyítása céljából induljunk ki abból, hogy lim( n 2) =, ezért az azonosan sorozat és az ( n 2) sorozat által közrefogott ( n n+ n ) sorozat határértéke is, tehát ha ez utóbbi sorozatot megszorozzuk a szintén -hez tartó ( n n) sorozattal, akkor ismét -hez tartó sorozatot kell kapnunk. b) bizonyítása céljából el bb az -nél nagyobb alapú exponenciális függvények monoton növ voltát, majd a pozitív kitev j hatványfüggvények monoton növ voltát használhatjuk: x /x x /[x] ([x] + ) /[x]. II. A log c folytonos az helyen, így a kompozíció határértékér l szóló els tételünk és az imént bizonyított I. állítás szerint lim x + log c x /x = lim x + (/x) log c x = log c = 0. Ebb l, az 5.47.III. Tételb l, és abból a tényb l, hogy lim + id p = +, következik, hogy log lim c + id idp = 0, ezért ez utóbbi függvény /p-szeresének a határértéke a + helyen szintén nulla. III. Alkalmazzuk az el z állítást a p := /q, c := a szereposztással, majd újra az 5.47.III. Tételt, ezúttal arra a kompozícióra, amelyet az s (log a s)/(s /q ) küls, és az exp a bels függvényb l képezünk, ekkor azt kapjuk, hogy lim t + t = 0, (a t /q ) ha most ez utóbbi függvényb l mint bels függvényb l, és az id q küls függvényb l képezünk újabb kompozíciót, és az 5.47.I. Tételt alkalmazzuk, akkor éppen azt kapjuk, hogy lim t + t q /a t = 0. IV. elég a vizsgált függvény ( )-szeresér l bizonyítani, hogy a határértéke a 0 helyen (jobbról) 0-val egyenl ; de ez a függvény a II. állításban szerepelt függvénynek, mint küls függvénynek, és a pozitív számok halmazán értelmezett t /t függvénynek, mint bels függvénynek a kompozíciója, az utóbbi határértéke a 0 helyen +, ezért ismét az 5.47.III. tételre támaszkodhatunk. V. Az imént is használt bels függvénynek ezúttal az x x /x küls függvénnyel képezve a kompozícióját, ismét 5.47.III.-ból kapjuk, hogy lim t 0+ ( t ) t = lim t 0+ t =, t tehát ez utóbbi függvény reciprokának határértéke is Tétel. I. lim x + ( + /x) x = e, II. lim x ( + /x) x = e, III. lim t 0 ( + t) /t = e. Bizonyítás. I. Minden -nél nagyobb x szám teljesíti az ) [x] A) ( + ) [x] B) ( + ) x C) x x ( + [x] + ( + x ) [x]+ D) ( + ) [x]+ [x] feltételeket: a B) és C) egyenl tlenségeket az + /x alapú exponenciális függvény monoton növ volta miatt, A)-t az [x] kitev j, D)-t pedig az [x] + kitev j hatványfüggvény monoton növ volta miatt. Legyen ε tetsz leges pozitív szám; nyilván elég olyan M pozitív egész létezését igazolni, amelyt l kezdve minden n-re ( e ε < + ) n ( < + n+ < e + ε, n + n)

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére (2008). A differenciálhatóság és a derivált fogalma Emlékeztetünk az egyváltozós különbségi hányados fogalmára, melyet a konvex függvények tárgyalása

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1 Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

ANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA

ANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA ANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA matematikatanár szakosok részére (2006/2007) Az els négy félév anyaga 1. Halmazokkal és függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 2. A valós számok 3. Valós számsorozat határértéke

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1 3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

KALKULUS II. PÉLDATÁR

KALKULUS II. PÉLDATÁR Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE földtudomány szakos hallgatók számára Mezei István, Faragó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék ii Tartalomjegyzék

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben