1. Számsorozatok és számsorok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Számsorozatok és számsorok"

Átírás

1 1. Számsorozatok és számsorok 1.1. Számsorozatok A számsorozatok egyszer függvények, amelyek hasznos épít kövei lesznek a kés bbi fogalmaknak. 1.1 Deníció. Az a : IN IR típusú függvényeket (valós) számsorozatoknak nevezzük. A számsorozat tehát olyan függvény, amely természetes számokhoz rendel hozzá valós számokat. Ekkor az a(n) helyett az a n jelölést szokásos használni (ezt a sorozat n-edik elemének hívjuk), és magára az a sorozatra a zárójeles (a n ) jelölést is gyakran alkalmazzuk. Pl. ( 1 n ) azt a sorozatot jelöli, amelynek elemei: a 1 = a(1) = 1; a 2 = a(2) = 1 2 ; a 3 = a(3) = 1 3 stb. Egy speciális típusú sorozat az olyan sorozat, amely minden természetes számhoz ugyanazt a valós számot rendeli hozzá, vagyis minden eleme egyenl : 1.2 Deníció. Az (a n ) sorozatot konstans sorozatnak nevezzük, ha létezik olyan α IR szám, amelyre a n = α minden n IN esetén. Fontosak a korlátos sorozatok is. 1.3 Deníció. Az (a n ) sorozatot korlátosnak nevezzük, ha K IR : a n K n IN esetén. Megjegyezzük, hogy a sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha minden eleme nagyobb vagy egyenl, mint egy bizonyos valós szám, azaz m IR, amelyre a n m n IN, és felülr l korlátosnak nevezzük, ha M IR : a n M n IN. Nyilvánvalóan, egy sorozat pontosan akkor korlátos, ha alulról is és felülr l is korlátos Konvergens sorozatok A sorozatok elemei gyakran úgy viselkednek, hogy az n index növelésével minden határon túl megközelítenek egy bizonyos számot. 1.4 Deníció. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat konvergens (más szóval létezik véges határértéke), ha van olyan A IR szám, hogy bármely ε > 0 számhoz van olyan N IN küszöbindex, hogy minden n IN, n N esetén a n A < ε. Ekkor az A számot a sorozat határértékének nevezzük, és a lim a n = A vagy az a n A jelölést alkalmazzuk. Úgy is fogalmazhatunk, hogy az (a n ) sorozat tart az A számhoz. 1

2 Pl. az ( 1 ) sorozat konvergens, és nullához tart. Ugyanis, legyen ε > 0 tetsz leges. Ekkor n mindig van ε-nál kisebb 1 N ha pedig n > N, akkor alakú szám (N IN): 1 N < ε, 1 n < 1 N < ε, azaz 1 n 0 < ε n N. Pl. ε = 1-hez jó lesz küszöbindexnek N = 2, ε = 1/2-hez N = 3, ε = 1/100-hoz N = 101 stb. Vizsgáljuk meg, hogy mi a kapcsolat a korlátosság és a konvergencia között! 1.5 Állítás. Minden konvergens sorozat korlátos. Biz.: Tegyük fel, hogy lim a n = A IR. Ez azt jelenti, hogy ε > 0 N : a n A < ε n N. Így ε = 1 esetén is létezik N 1 index, amelyre a n A < 1 n N 1. Mivel a n = (a n A) + A miatt a n a n A + A, ezért a n 1 + A n N 1. Az N 1 -edik elem el tt pedig csak véges sok elem van, így azok a korlátosság tényét nem befolyásolják, nyilvánvalóan a sorozat minden eleme abszolút értékben kisebb vagy egyenl mint K := max{ a 1, a 2,..., a N1 1, A + 1}. Az állítás megfordítása nem igaz: a sorozat korlátosságából nem következik a konvergenciája, pl. a (( 1) n ) sorozat korlátos, de nem konvergens M veletek sorozatokkal A sorozatok között m veleteket is értelmezhetünk. Ekkor értelmesek az alábbi m veletek: a + b; λ a; a b; Legyenek a, b : IN IR, λ IR. a b, 2

3 és ezeket a következ képpen deniáljuk: (a + b) : IN IR : (a + b)(n) = a(n) + b(n) a n + b n (λ a) : IN IR : (λ a)(n) = λ a(n) λ a n (a b) : IN IR : (a b)(n) = a(n) b(n) a n b n a : IN IR : ( a a(n) )(n) = = an b b b(n) b n (b n 0) A következ kben arra szeretnénk választ kapni, hogy konvergens sorozatok között a fent bevezetett m veleteket elvégezve mit mondhatunk a kapott új sorozatok konvergenciájáról. Ehhez hasznos lesz a következ fogalom. 1.6 Deníció. Egy (a n ) sorozatot nullasorozatnak nevezünk, ha lim a n = 0. Nyilvánvalóan, (a n ) nullasorozat ε > 0 N IN : a n < ε n N. 1.7 Állítás. lim a n = α (a n α) nullasorozat. Biz.: lim a n = α ε > 0 N : a n α < ε n N (a n α) nullasorozat ε > 0 N : a n α < ε n N. A következ állítás két egyszer segédtételt tartalmaz, amelyek leegyszer sítik a f tételeink bizonyítását. 1.8 Állítás. Legyenek (a n ), (b n ), (c n ) olyan sorozatok, amelyekre a.) (a n ) és (b n ) nullasorozat; b.) (c n ) korlátos sorozat. Ekkor (a n + b n ) és (c n a n ) is nullasorozat. Biz.: a.) ε > 0 N 1 és N 2 : a n < ε 2 n N 1, és b n < ε 2 n N 2. Ekkor n N := max{n 1, N 2 } esetén a n + b n a n + b n < ε. b.) Tegyük fel, hogy c n K n, és legyen ε > 0 tetsz leges. Mivel (a n ) nullasorozat, N : a n < ε K n N. Így a n c n K ε K = ε n N. A m veletek során a konvergens sorozatok jól viselkednek. 1.9 Állítás. Legyenek (a n ), (b n ) tetsz leges konvergens sorozatok, λ IR rögzített szám. Ekkor a.) (a n + b n ) is konvergens, és lim(a n + b n ) = lim a n + lim b n ; b.) (λ a n ) is konvergens, és lim(λ a n ) = λ lim a n ; 3

4 c.) (a n b n ) is konvergens, és lim(a n b n ) = lim a n lim b n ; d.) ha lim b n 0, akkor ( an b n ) is konvergens, és lim an b n = lim an lim b n. Biz.: Itt csak az a.) és a c.) állítás bizonyítását mutatjuk meg. Vezessük be a következ jelöléseket: A := lim a n, B := lim b n (A, B IR) a.) (a n A) és (b n B) nullasorozatok ((a n A) + (b n B)) is nullasorozat ((a n + b n ) (A + B)) is nullasorozat lim(a n + b n ) = A + B. c.) a n b n AB = (a n A)b n + (b n B)A. Itt mindkét tag egy nullasorozat és egy korlátos sorozat szorzatsorozata, a két tag nullához tart, így az összegsorozat is nullasorozat. Nézzünk néhány további módszert a konvergencia eldöntésére! 1.10 Állítás. (Közrefogási elv vagy rend relv) Tegyük fel, hogy a n c n b n, lim a n, lim b n és lim a n = lim b n = α IR. Ekkor lim c n, és lim c n = α. Ha egy sorozat konvergenciáját a konvergencia denícióját alkalmazva akarjuk megmutatni, akkor nehézséget okozhat az A határérték megsejtése. Ezért hasznos a következ tétel: 1.11 Állítás. (Cauchy-féle konvergenciakritérium) Az (a n ) sorozat pontosan akkor konvergens, ha bármely ε > 0 számhoz N IN küszöbindex, hogy m, n N esetén a n a m < ε. Ez a tulajdonság azt jelenti, hogy a sorozat elemei tetsz legesen megközelítik egymást Divergens sorozatok Azokat a sorozatokat, amelyek nem konvergensek, divergens sorozatoknak nevezzük. Egy sorozat többféleképpen lehet divergens Deníció. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozatnak + a határértéke, ha minden K IR számhoz létezik N IN küszöbindex, amelyre minden n N esetén a n > K. Jelölése: lim a n = + vagy a n +. Ilyen például az a n = n sorozat. 4

5 1.13 Deníció. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozatnak a határértéke, ha minden K IR számhoz létezik N IN küszöbindex, amelyre minden n N esetén a n < K. Jelölése: lim a n = vagy a n. Ilyen például az a n = n sorozat. Olyan sorozatra is lehet példát mutatni, amely úgy divergens, hogy sem + -hez, sem pedig -hez nem tart, tehát sem véges, sem végtelen határértéke nem létezik. Ezzel a tulajdonsággal rendelkezik pl. az a n = ( 1) n sorozat, amelynek elemei váltakozva -1-gyel és +1-gyel egyenl k. A + -hez vagy -hez tartó sorozatokkal végzett m veletek nagy körültekintést igényelnek. Itt összegy jtjük a legfontosabb szabályokat. 1. Összeadás: Ha lim a n = A (véges) és lim b n = +, akkor lim(a n + b n ) = +. Ha lim a n = A (véges) és lim b n =, akkor lim(a n + b n ) =. Ha lim a n = + és lim b n = +, akkor lim(a n + b n ) = +. Ha lim a n = és lim b n =, akkor lim(a n + b n ) =. Ha lim a n = + és lim b n =, akkor lim(a n + b n )-r l nem tudunk semmit. 2. Szorzás: { Ha lim a n = A 0 (véges) és lim b n = +, akkor lim(a n b n ) = { Ha lim a n = A 0 (véges) és lim b n =, akkor lim(a n b n ) = +, ha A > 0;, ha A < 0., ha A > 0; +, ha A < 0. Ha lim a n = + és lim b n = +, akkor lim(a n b n ) = +. Ha lim a n = és lim b n =, akkor lim(a n b n ) = +. Ha lim a n = + és lim b n =, akkor lim(a n b n ) =. Ha lim a n = 0 és lim b n = vagy +, akkor lim(a n b n )-r l nem tudunk semmit. 3. Osztás: Ha lim b n = + vagy, akkor lim( 1 b n ) = 0. 5

6 Ha lim b n = 0 és (b n ) elemei egy bizonyos indext l kezdve mind pozitívak (ill. negatívak), akkor lim( 1 b n ) = + (ill. ). A lim b n = 0 feltételb l önmagában nem következik semmi. an b n = a n 1 b n alapján a hányadossorozat határértékét meg lehet vizsgálni. A határozatlan esetek: a) lim a n = + vagy és lim b n = + vagy. b) lim b n = Monoton sorozatok 1.14 Deníció. Egy (a n ) sorozatot monoton növ nek nevezünk, ha a 1 a 2..., monoton fogyónak nevezünk, ha a 1 a 2..., szigorúan monoton növ nek nevezünk, ha a 1 < a 2 <..., szigorúan monoton fogyónak nevezünk, ha a 1 > a 2 >... Ha (a n ) egyike a fentieknek, akkor monoton sorozatnak nevezzük. Nyilvánvalóan, egy szigorúan monoton növ (fogyó) sorozat egyben monoton növ (fogyó) is Állítás. Ha az (a n ) sorozat monoton növ és felülr l korlátos, akkor konvergens, és határértéke a sorozat elemeib l álló halmaz legkisebb fels korlátja, azaz lim a n = sup{a 1, a 2,...}. Biz.: Jelölje α := sup{a 1, a 2,...}. Belátandó, hogy lim a n = α. A sup deníciója alapján egyrészt a n α n IN. Másrészt, ε > 0 esetén α ε nem fels korlát, tehát létezik olyan n 0 index, amelyre a n0 > α ε. Mivel a sorozat monoton növ, ezért n > n 0 esetén a n > a n0, tehát a n > α ε. Ezért ε > 0 N : α ε < a n α lim a n = α. Hasonlóan igazolható, hogy ha (a n ) monoton fogyó és alulról korlátos, akkor konvergens, és határértéke a sorozat elemeib l álló halmaz legnagyobb alsó korlátja, azaz lim a n = inf{a 1, a 2,...} Állítás. Ha az (a n ) sorozat monoton növ és felülr l nem korlátos, akkor lim a n = +. (Ha az (a n ) sorozat monoton fogyó és alulról nem korlátos, akkor lim a n =.) Egy monoton sorozatnak tehát mindig van határértéke! 6

7 1.3. Számsorok Legyen (a n ) : IN IR egy tetsz leges sorozat. Kérdés: Hogyan értelmezhetnénk a sorozatot alkotó végtelen sok elem összegét? Végtelen sok számot még számítógéppel sem tudunk összeadni, annak azonban van értelme, hogy a sorozat els elemeib l egyre többet és többet összeadva megvizsgáljuk, hova tartanak ezen véges sok elemek összegei Deníció. Az S n := a 1 + a 2 + a a n, n IN számot az (a n ) sorozat n-edik részletösszegének nevezzük. Tehát S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 2, S 3 = a 1 + a 2 + a 3 és így tovább. Vegyük észre, hogy ezzel egy újabb számsorozatot készítettünk. Tekintsük ezen részletösszegek (S n ) sorozatát! 1.18 Deníció. Az ((a n ), (S n )) rendezett párt az (a n ) sorozathoz tartozó számsornak (numerikus sornak, vagy egyszer en csak sornak) nevezzük, és a n=1 a n (még rövidebben an ) szimbólummal jelöljük. A végtelen sok elem összegét ezen sorozat határértékeként fogjuk értelmezni, amennyiben az létezik Deníció. Azt mondjuk, hogy az ((a n ), (S n )) sornak létezik összege, ha az (S n ) sorozatnak van határértéke. Amennyiben létezik összeg, akkor arra is szokásos a n=1 a n jelölés használata. Ez a szimbólum tehát a sort is és az összegét is jelöli, de a szövegkörnyezetb l mindig egyértelm, hogy melyikr l van szó Deníció. Ha az (S n ) sorozat konvergens (divergens), akkor a sort konvergens (divergens) sornak nevezzük. Példa. Legyen a n = q n, ahol q IR (mértani sorozat). Ekkor S n = q + q q n = q qn 1 q 1, tehát lim S n = lim(q qn 1 ). Vizsgáljuk meg, létezik-e ez a határérték! Ez a q q 1 számtól, azaz a mértani sorozat hányadosától függ. Több eset lehetséges: 1. Ha q < 1, akkor lim q n = 0, így a lim S n határérték létezik, és nem más, mint A mértani sor ekkor tehát konvergens, és összege q 1 q. 2. Ha q > 1, akkor lim q n = +, így lim S n létezik, és + -nel egyenl. Ebben az esetben tehát a sor divergens, létezik összege, és az Ha q 1, akkor lim q n nem létezik, és belátható, hogy lim S n sem létezik, tehát ekkor a mértani sor szintén divergens, de most úgy, hogy nem létezik összege. Érdemes megjegyezni, hogy a 1 1 n 2 sornak π2 6 az összege, így konvergens. n q 1 q. sornak + az összege, tehát divergens, ugyanakkor a 7

8 Konvergenciakritériumok Egy sor összegének meghatározása nem mindig egyszer feladat. A gyakorlatban igen sokszor csak a konvergencia vagy a divergencia tényét tudjuk megállapítani. Erre számos módszer kínálkozik, ismerkedjünk meg a legfontosabbakkal. Mindenekel tt megmutatjuk, hogy egy sor csak akkor lehet konvergens (azaz akkor létezhet véges összege), ha az a 1, a 2, a 3... számok sorozata nullához tart. Igaz tehát a következ állítás Állítás. Ha a n konvergens, akkor a n 0. Biz.: Ha a n konvergens, akkor (S n ) konvergens, így a Cauchy-féle konvergenciakritérium szerint bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan N küszöbindex, hogy minden m > N és n := m + 1 esetén ε > S n S m = a 1 + a a m + a m+1 (a 1 + a a m ) = a n. Ez pedig éppen azt jelenti, hogy a n 0. Ha tehát az (a n ) sorozat nem tart nullához, akkor a a n sor biztosan divergens! A következ tételpár pozitív tagú sorok konvergenciavizsgálatára használható, és egy másik, ismerten konvergens vagy divergens sorral való összehasonlításon alapul Tétel. (Összehasonlító kritériumok) Legyen (a n ), (b n ) IR + és n IN esetén a n b n. Ekkor 1 o ha b n konvergens, akkor a n konvergens; 2 o ha a n divergens, akkor b n divergens. Biz.: Legyen S n := a 1 + a a n és T n := b 1 + b b n, n IN. Mivel az (a n ) és (b n ) sorozat elemei pozitívak, így (S n ) és (T n ) szigorúan monoton növeked. 1 o Ha b n konvergens, akkor (T n ) konvergens. Ekkor n IN esetén S n T n < lim T n = n=1 b n, tehát (S n ) korlátos is, ezért (S n ) konvergens, azaz a n konvergens. 2 o Ha a n divergens, akkor (S n ) felülr l nem korlátos. Ekkor n IN esetén T n S n miatt (T n ) is felülr l nem korlátos, amib l következik, hogy (T n ) nem konvergens (divergens), így b n divergens. 8

9 Végezetül, a következ két tétel segítségével az (a n ) sorozat elemeinek vizsgálatával tudunk a konvergencia tényére következtetni. Ezeket a tételeket bizonyítás nélkül közöljük Tétel. (Hányadoskritérium, D'Alembert) Legyen (a n ) olyan sorozat, amelyhez q (0, 1) és N IN, hogy n > N esetén a n+1 /a n q. Ekkor a n konvergens Tétel. (Gyökkritérium, Cauchy) Legyen (a n ) olyan sorozat, amelyhez q (0, 1) és N IN, hogy n > N esetén n a n q. Ekkor a n konvergens. 2. Többváltozós függvények dierenciálszámítása Az el z félévben találkoztunk az IR n (n IN) szimbólummal. Ez a rendezett valós szám-n-esek halmazát jelentette, tehát IR n := {(x 1, x 2,..., x n ) : x i IR, i = 1, 2,..., n}. Ezen a halmazon összeadást és skalárral való szorzást is értelmezhetünk: (x 1, x 2,..., x n ) + ( x 1, x 2,..., x n ) := (x 1 + x 1, x 2 + x 2,..., x n + x n ), λ (x 1, x 2,..., x n ) := (λ x 1, λ x 2,..., λ x n ) (λ IR). Könnyen megmutatható, hogy ezen két m velet tulajdonságai megegyeznek a geometriai vektorok, vagyis az irányított szakaszok összeadásának és skalárral való szorzásának tulajdonságaival, ezért IR n elemeit is szokásos vektoroknak nevezni. (Az "n-dimenziós vektor" kifejezést fogjuk használni.) Deniálunk ezenkívül egy skaláris szorzásnak nevezett m veletet, amely számot ad eredményül: 2.1 Deníció. Az x = (x 1, x 2,..., x n ) és y = (y 1, y 2,..., y n ) IR n vektorok skaláris szorzatán az x, y := számot értjük. n x i y i IR i=1 Bevezetünk egy olyan fogalmat is, amely IR 2 ill. IR 3 esetén a megfelel síkvektorok hosszát fejezi ki, de IR n -ben is használjuk: 9

10 2.2 Deníció. Az x = (x 1, x 2,..., x n ) IR n vektor euklideszi normáján az x := x x x 2 n IR számot értjük. Ebben a fejezetben f : IR n IR m típusú függvények dierenciálszámításával foglalkozunk. Az ilyen függvény n-dimenziós vektorokhoz m-dimenziós vektorokat rendel hozzá, azaz f : (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y m ) módon képez. Elnevezés: n-változós, m-dimenziós vektor érték függvény. Itt n és m tetsz leges pozitív egész számok lehetnek. Ha mindkett t 1-nek választjuk, a már jól ismert valós-valós függvényeket kapjuk. Az alkalmazásokban azonban fontosan a többváltozós, ill. vektor érték függvények is. Mint látni fogjuk, az IR n IR m típusú függvények dierenciálszámításában szükségünk lesz egy egyszer típusú leképezés, az ún. lineáris leképezés fogalmára. Ezért ismerkedjünk meg el ször ezzel a fogalommal! 2.1. Lineáris leképezések és mátrixok Tekintsük azt a függvényt, amely minden valós számhoz az ötszörösét rendeli hozzá! f : IR IR, f(x) = 5x Nézzük meg, hogy mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez: x 1, x 2 IR, f(x 1 + x 2 ) = 5(x 1 + x 2 ) = 5x 1 + 5x 2 = f(x 1 ) + f(x 2 ) Azaz két szám összegéhez a megfelel függvényértékek összegét rendeli. Mit rendel egy szám λ-szorosához? x IR, λ IR, f(λ x) = 5 (λ x) = λ 5x = λ f(x). Azaz egy x szám λ-szorosához az x-beli függvényérték λ-szorosát rendeli. 2.3 Deníció. (Valós lineáris függvény) Ha egy f : IR IR függvényre igaz az alábbi két tulajdonság: 1. f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) x 1, x 2 IR, és 10

11 2. f(λx) = λf(x) x IR, λ IR, akkor az f függvényt lineáris függvénynek nevezzük. Mint láttuk, az f(x) = 5x függvény eleget tesz a fenti deníciónak, így lineáris függvény. Lineárisak-e a következ valós függvények? a.) f(x) = 0 x IR Legyen x 1, x 2, λ IR tetsz leges. Ekkor f(x 1 + x 2 ) = 0 = f(x 1 ) + f(x 2 ), és f(λx) = 0 = λ f(x). Tehát f lineáris. b.) f(x) = 1 x IR Legyen x 1, x 2 IR. Ekkor f(x 1 + x 2 ) = 1, azonban f(x 1 ) + f(x 2 ) = = 2 1. Azaz az azonosan 1 függvény nem lineáris. c.) f(x) = x 2 Ez sem lineáris, hiszen pl. f(2x) = (2x) 2 = 4x 2 2 f(x) = 2x 2. d.) f(x) = sin x - szintén nem lineáris, hiszen pl. sin(2 90 o ) = 0 2 sin(90 o ) = 2 e.) f(x) = 5x + 2 f(x 1 + x 2 ) = 5(x 1 + x 2 ) + 2 = 5x 1 + 5x 2 + 2, de f(x 1 ) + f(x 2 ) = 5x x = 5x 1 + 5x x 1 + 5x Tehát ez sem lineáris! Ezt a függvényt, és általában az f(x) = ax + b (b 0) alakú függvényeket helyesen lineáris inhomogén függvénynek nevezzük, utalva arra, hogy a valódi lineáris függvényt l csak annyiban különbözik, hogy egy nemnulla konstanst hozzáadtunk. Belátható, hogy az IR IR függvények körében csak az f(x) = a x alakúak lineárisak, ahol a IR rögzített szám. (Az világos az el z ekb l, hogy az ilyen függvény lineáris, de az is könnyen meggondolható, hogy ha egy valós függvény lineáris, akkor csak ilyen alakú lehet. Ugyanis ha f lineáris, akkor f(x) = f(1 x) = f(1) x = a x, ahol a = f(1).) Vegyük észre, hogy a lineáris függvény deníciója f : IR n IR m függvényekre is átvihet, mert ehhez csak az szükséges, hogy szám-n-eseket összeadhassunk, és megszorozhassunk tetsz leges skalárral. 2.4 Deníció. (f : IR n IR m lineáris függvény) Ha egy f : IR n IR m függvényre igaz az alábbi két tulajdonság: 1. f(x + x) = f(x) + f( x) x, x IR n, 2. f(λx) = λf(x) x IR n, λ IR. akkor az f függvényt lineáris függvénynek (vagy lineáris leképezésnek) nevezzük. A fenti egyenl ségek IR m -beli egyenl ségek! 11

12 Kérdés: az f : IR n IR m függvények körében milyen alakúak a lineáris függvények? Tekintsük el ször az f : IR 2 IR leképezéseket. Ezek számpárokhoz valós számokat rendelnek hozzá: f : (x 1, x 2 ) y IR Az ilyen függvényeket a következ képpen szemléltethetjük. Az értelmezési tartomány (x 1, x 2 ) pontjának megfeleltetjük az xy-sík egy pontját, majd az erre mer leges z tengelyen felmérjük az f(x 1, x 2 ) függvényértéket. Ha például f az IR 2 IR képez konstans 1 függvény, akkor a z = 1 magasságban vízszintesen elhelyezked síkot kapjuk, ez lesz a függvény "grakonja". 2.5 Tétel. Egy f : IR 2 IR függvény pontosan akkor lineáris, ha f(x 1, x 2 ) = a 1 x 1 +a 2 x 2 alakú, ahol a 1, a 2 IR rögzített számok. Biz.: ( ) Ha az f függvény f(x 1, x 2 ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 alakú, akkor 1. f((x 1, x 2 ) + ( x 1, x 2 )) = f(x 1 + x 1, x 2 + x 2 ) = a 1 (x 1 + x 1 ) + a 2 (x 2 + x 2 ) = (a 1 x 1 + a 2 x 2 ) + (a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = f(x 1, x 2 ) + f( x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ), ( x 1, x 2 ) IR 2 esetén. 2. f(λ (x 1, x 2 )) = f(λx 1, λx 2 ) = a 1 λx 1 + a 2 λx 2 = λ(a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = λf(x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) IR 2 és λ IR esetén. Tehát f lineáris. ( ) Tegyük fel, hogy f lineáris. Mivel az (x 1, x 2 ) vektor felírható x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1) alakban, így (x 1, x 2 ) IR 2 esetén f(x 1, x 2 ) = f(x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1)) Mivel f lineáris, ezért tagonként alkalmazhatjuk f-et, és az x 1 és x 2 szorzó kihozható: f(x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1)) = x 1 f(1, 0) + x 2 f(0, 1). Vezessük be az a 1 := f(1, 0), a 2 := f(0, 1) jelöléseket. Ezzel f(x 1, x 2 ) = a 1 x 1 + a 2 x 2. Ez azt jelenti, hogy az f : IR 2 IR lineáris leképezések megadhatók két számmal: a 1 és a 2, hozzátéve, hogy melyik az x 1 és melyik az x 2 együtthatója, vagyis egy rendezett számpárral: (a 1, a 2 ). (Itt megállapodás szerint el re írjuk az x 1 együtthatóját, és há- 12

13 tulra az x 2 együtthatóját. A sorrend fontos, hiszen pl. az f(x 1, x 2 ) = 2x 1 + 3x 2 és az f(x 1, x 2 ) = 3x 1 + 2x 2 függvény két különböz lineáris függvény!) Térjünk át az f : IR 2 IR 2 leképezésekre. Ezek már számpárokhoz számpárokat rendelnek: f(x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) Pl. f(x 1, x 2 ) = (2x 1 + x 2, 3x 1 x 2 2). Világos, hogy a képvektor y 1 és y 2 koordinátája is x 1 és x 2 függvénye: y 1 = f 1 (x 1, x 2 ), y 2 = f 2 (x 1, x 2 ), ahol az f 1 és f 2 függvények IR 2 IR típusúak, és úgy nevezzük ket, hogy f els és második koordináta-függvénye. (A megadott konkrét példában f 1 (x 1, x 2 ) = 2x 1 + x 2, ill. f 2 (x 1, x 2 ) = 3x 1 x 2 2.) Mivel az IR 2 -beli vektorok egyenl sége a megfelel elemeik egyenl ségét jelenti, így egy f : IR 2 IR 2 függvény pontosan akkor lesz lineáris, ha f 1 és f 2 is lineáris, azaz ha a függvény f(x 1, x 2 ) = (a 11 x 1 + a 12 x 2, a 21 x 1 + a 22 x 2 ) alakú, ahol a 11, a 12, a 21, a 22 IR rögzített számok. (Egyik sem függhet x 1 -t l és x 2 -t l!) Így tehát az f : IR 2 IR 2 lineáris leképezések négy számmal adhatók meg: a 11, a 12, a 21, a 22. Mivel fontos az is, hogy melyik szám hol áll, ezért ezeket a számokat egy két sorból és két oszlopból álló számtáblázattal, ún. 2 2-es mátrixszal adjuk meg: [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] Mindig az els sorba írjuk az y 1 -ben szerepl együtthatókat: az els helyre az x 1, a második helyre az x 2 együtthatóját, és a második sorba az y 2 együtthatóit, szintén az els helyre az x 1 a második helyre az x 2 együtthatóját. Hangsúlyozzuk, hogy minden f : IR 2 IR 2 lineáris függvényhez egyértelm en hozzá tudunk rendelni egy ilyen 2 2-es "táblázatot", és ez fordítva is igaz: minden 2 2-es táblázatnak egyértelm en megfeleltethet egy f : IR 2 IR 2 lineáris függvény. Térjünk rá ezek után a még általánosabb eset, az f : IR n IR m típusú leképezések vizsgálatára, ahol n, m IN tetsz leges. Ilyenkor a függvény n-változós, és értéke minden IR n -beli pontban egy m-dimenziós vektor: f : (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y m ). 13

14 A képvektor mindegyik koordinátája x 1, x 2,..., x n függvénye, azaz y 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ) y 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n ). y m = f m (x 1, x 2,..., x n ) ahol az f i, i = 1, 2,..., m függvények IR n IR típusúak (f koordináta-függvényei). Belátható, hogy egy f : IR n IR m függvény pontosan akkor lineáris, amikor y 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n y 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. y m = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n alakú, ahol a ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n rögzített valós számok. Itt már m n darab valós szám határozza meg a leképezést, pontosabban egy m n-es mátrix: a 11 a a 1n a 21 a a 2n.. a m1 a m2... a mn Úgy is szokás fogalmazni, hogy egy f : IR n IR m lineáris leképezés reprezentálható egy m n-es mátrixszal. A mátrixokat nagybet vel (pl. A), a mátrix i-edik sorának j-edik elemét pedig a megfelel kisbet vel és indexelve (a ij ) szokásos jelölni. Az f : IR n IR m képez lineáris függvények halmazát Lin(IR n, IR m ) jelöli, az m n-es mátrixok halmazát pedig az IR m n szimbólum. Az el z ekben láthattuk, hogy a Lin(IR n, IR m ) és az IR m n halmaz között szoros kapcsolat van: az elemeik kölcsönösen egyértelm en megfeleltethet k egymásnak M veletek mátrixokkal A mátrixok körében többféle m veletet értelmezünk. Láttuk, hogy a mátrixok azért fontosak, mert segítségükkel egyszer en megadhatjuk az IR n IR m típusú lineáris leképezéseket. Az ilyen leképezéseknek létezik összege, skalárszorosa, kompozíciója. Éppen ezért a mátrixok közötti m veleteket nem öncélúan értelmezzük, hanem úgy, hogy szoros 14

15 kapcsolatban legyenek a lineáris leképezések körében végzett m veletekkel Mátrixok összeadása Célunk: úgy értelmezni az összeadást mátrixok között, hogy két mátrix összege a megfelel lineáris leképezések összegét reprezentálja. Tekintsünk két IR 2 IR 2 lineáris leképezést: f(x 1, x 2 ) = (a 11 x 1 + a 12 x 2, a 21 x 1 + a 22 x 2 ), és g(x 1, x 2 ) = (b 11 x 1 + b 12 x 2, b 21 x 1 + b 22 x 2 ). [ ] [ ] a 11 a 12 b 11 b 12 (Így tehát az f leképezés mátrixa, a g leképezésé pedig.) a 21 a 22 b 21 b 22 Képezzük f és g összegét, szem el tt tartva, hogy két függvényt mindig úgy adunk össze, hogy az értelmezési tartomány minden egyes pontjában összeadjuk a két függvényértéket: (f+g)(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 )+g(x 1, x 2 ) = (a 11 x 1 +a 12 x 2 +b 11 x 1 +b 12 x 2, a 21 x 1 +a 22 x 2 +b 21 x 1 +b 22 x 2 ). Látható, hogy eredményül szintén f : IR 2 IR 2 lineáris leképezést kaptunk, amelynek mátrixa [ ] a 11 + b 11 a 12 + b 12. a 21 + b 21 a 22 + b 22 Vegyük észre, hogy az f és g leképezés mátrixának megfelel elemei összeadódtak. Ez általánosabban, IR n IR m lineáris leképezésekre is igaz. Ez motiválja a következ deníciót: 2.6 Deníció. Az A, B IR m n mátrixok A + B összegén azt a C IR m n mátrixot értjük, amelynek elemeire c ij := a ij + b ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Egyszer bben fogalmazva: m n-es mátrix csak m n-es mátrixszal adható össze, és az összeadást elemenként végezzük. A mátrixok összeadása a következ m veleti tulajdonságokkal rendelkezik: Kommutatív, azaz A + B = B + A A, B IR m n Asszociatív, azaz (A + B) + C = A + (B + C) A, B, C IR m n 15

16 A csupa nulla elem m n-es mátrix (jelölje most 0) rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy bármely mátrixhoz adva az illet mátrixok kapjuk vissza: A + 0 = A. Minden A = (a ij ) IR m n mátrixhoz létezik ellentett mátrix, azaz olyan, amelyet A-hoz hozzáadva a nullmátrixot kapjuk. Ezt A-val jelöljük, és könnyen látható, hogy elemei a a ij (i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n) számok Mátrixok szorzása skalárral Célunk úgy értelmezni a mátrix skalárszorosát, hogy az a mátrixnak megfelel lineáris leképezés skalárszorosát reprezentálja. Képezzük az f(x 1, x 2 ) = (a 11 x 1 + a 12 x 2, a 21 x 1 + a 22 x 2 ) lineáris leképezés λ IR skalárszorosát. Figyelembe véve, hogy egy függvény skalárral való szorzása azt jelenti, hogy a függvényértéket minden helyen megszorozzuk az adott számmal: (λ f)(x 1, x 2 ) = λ f(x 1, x 2 ) = λ (a 11 x 1 + a 12 x 2, a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = = (λa 11 x 1 + λa 12 x 2, λa 21 x 1 + λa 22 x 2 ). Látható, hogy lineáris leképezést kaptunk (IR 2 IR 2 ), amelynek mátrixa [ λa 11 λa 12 λa 21 λa 22 ]. Vagyis az f lineáris leképezés mátrixának minden eleme λ-val szorzódik. Ugyanezt a meg- gyelést tehetjük, ha tetsz leges, IR n IR m lineáris leképezés skalárszorosát vizsgáljuk. Ez motiválja a következ deníciót: 2.7 Deníció. Az A = (a ij ) IR m n mátrixnak a λ IR skalárszorosán azt az à = (ã ij ) IR m n mátrixot értjük, amelyre ã ij = λ a ij, i = 1, 2..., m, j = 1, 2,..., n. Jelölése: λ A vagy egyszer bben λa. Mátrixot tehát úgy szorzunk valós számmal, hogy a mátrix minden elemét megszorozzuk az adott számmal. A mátrixok skalárral való szorzása az alábbi m veleti tulajdonságokkal rendelkezik. λ(a + B) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa A, B IR m n, λ IR; A IR m n, λ, µ IR; λ(µa) = (λµ)a A IR m n, λ, µ IR. 16

17 Mátrixszorzás A mátrixok közötti szorzásm veletet úgy szeretnénk értelmezni, hogy két mátrix szorzata a megfelel lineáris leképezések kompozícióját reprezentálja. Nyilvánvalóan, ha egy g lineáris (vagy nem lineáris) leképezés pl. IR n -b l IR m -be képez, akkor ennek csak abban az esetben képezhetjük a kompozícióját egy másik hasonló típusú leképezéssel f g sorrendben (el ször g hat, azután f!), ha f : IR m IR l. Itt l tetsz leges pozitív egész lehet, de m nem tetsz leges: az IR m a g függvény képtere. Mit lehet mondani egy f : IR m IR l és egy g : IR n IR m lineáris leképezés kompozíciójáról? Az egyszer ség kedvéért azt az esetet nézzük meg részletesebben, amikor n = m = l = 2, azaz mindkét lineáris leképezés IR 2 IR 2 típusú. Legyen tehát g(x 1, x 2 ) = (b 11 x 1 + b 12 x 2, b 21 x 1 + b 22 x 2 ) és f(y 1, y 2 ) = (a 11 y 1 + a 12 y 2, a 21 y 1 + a 22 y 2 ). Az f g kompozíció felírásához az f függvény argumentumában y 1 és y 2 helyébe helyettesítsük be az (x 1, x 2 ) g-képét: (f g)(x 1, x 2 ) = (a 11 (b 11 x 1 +b 12 x 2 )+a 12 (b 21 x 1 +b 22 x 2 ), a 21 (b 11 x 1 +b 12 x 2 )+a 22 (b 21 x 1 +b 22 x 2 )) Az eredmény koordináta-függvényeiben x 1 és x 2 együtthatóit leolvasva látható, hogy f g szintén lineáris leképezés IR 2 IR 2, és a következ mátrixszal azonosítható: [ a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 ]. Ennek a mátrixnak az i-edik sorában és j-edik oszlopában (i, j = 1, 2) lév elemét úgy kaphatjuk meg, hogy az A (f mátrixa) i-edik sorában lév vektort skalárisan szorozzuk a B (g mátrixa) j-edik oszlopában lév vektorral. Általában pedig, ha f : IR m IR l és g : IR n IR m lineáris leképezések, akkor (f g) : IR n IR l lineáris leképezés lesz, amelynek mátrixa l n-es, és i-edik sorának j-edik eleme a m k=1 a ikb kj, i = 1,..., l, j = 1,... n képlettel adható meg. Ez indokolja a következ deníciót. 2.8 Deníció. Az A IR l m és B IR m n mátrixok A B szorzatán azt a C IR l n mátrixot értjük, amelynek i-edik sorában és j-edik oszlopában lév elem az A mátrix i-edik 17

18 sorvektorának és a B mátrix j-edik oszlopvektorának a skaláris szorzata, vagyis amelyre c ij := m a ik b kj, i = 1, 2,..., l, j = 1, 2,..., n. k=1 Vegyük észre, hogy ha adva van egy f lineáris leképezés IR n -b l IR m -be, akkor egy x IR n vektor képét (vagyis az f(x) IR m vektort) is meg tudjuk kapni mátrixszorzás segítségével: a leképezés mátrixával megszorozzuk az x vektort mint n 1-es oszlopmátrixot. Egy IR n -b l IR m -be képez lineáris leképezés tehát nem más, mint egy m n-es mátrixszal való szorzás: f(x) = A x f : IR n IR m típusú függvények folytonossága Az f : IR n IR m típusú függvények folytonosságának az értelmezéséhez szükségünk lesz az IR k -beli vektorsorozat fogalmára. Az els fejezetben számsorozatokkal foglalkoztunk. Láttuk, hogy a számsorozat nem más, mint egy IN IR képez függvény. Ennek mintájára deniálhatjuk az IR k -beli vektorsorozatokat. 2.9 Deníció. Egy IN IR k képez függvényt IR k -beli vektorsorozatnak nevezzük. Jelölés: (x n ) IR k. Ilyen sorozatokra is értelmezhet a konvergencia. Jelölje az sorozat n. elemének, az x n vektornak az i-edik koordinátáját x n,i (i = 1, 2,..., k) Deníció. Az (x n ) : IN IR k vektorsorozatot konvergensnek nevezzük, ha minden koordináta-sorozata konvergens valós számsorozat, azaz (x n,i ) IR sorozat konvergens minden i = 1, 2,..., k esetén. Jelölje az (x n,i ) koordináta-sorozat határértékét x i. Ekkor az (x n ) vektorsorozat határértékének az (x 1, x 2,..., x k ) IRk vektort nevezzük. Pl. az az IR 2 -beli vektorsorozat, amelynek n-edik eleme x n := ( 1, 5), konvergens, és n határértéke a (0, 5) vektor. Az x n := ( 1, n) vektorsorozat azonban nem konvergens, mivel n a második koordináta-sorozata + -hez tart Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR n IR m függvény folytonos az x 0 D(f) pontban, ha minden x n x 0 D(f)-beli vektorsorozatra a képvektorok (f(x n )) IR m sorozata az f(x 0 ) függvényértékhez tart Deníció. Az f : IR n IR m függvényt folytonos függvénynek nevezzük, ha x 0 D(f) pontban folytonos. 18

19 Folytonosak például a konstans függvények, hiszen ha f(x) = b IR m x IR n, akkor bármely x 0 IR n ponthoz tartó (x n ) sorozatot választva az értelmezési tartományban, az (f(x n )) képvektorok sorozata a konstans b vektorsorozat lesz, ez pedig b-hez tart, ami egyben az x 0 -beli helyettesítési érték is, azaz éppen f(x 0 ). például következ f : IR 2 IR függvény a (0, 0) pontban: f(x, y) := { 1, ha x vagy y = 0 0 egyébként. Nem folytonos ugyanakkor Ugyanis, ha pl. az x n = ( 1, 1 ) sorozattal tartunk a (0, 0) ponthoz, akkor a függvényértékek (f(x n )) = (f( 1, 1 )) sorozata 0-hoz tart, miközben f (0, 0)-beli helyettesítési értéke n n n n nem nulla, hanem 1. Most megmutatjuk, hogy nemcsak a konstans, hanem az IR n IR m lineáris függvények is folytonosak. I. Ha m = n = 1, vagyis f : IR IR és lineáris, akkor f(x) = a x alakú, ahol a IR. Legyen x 0 IR tetsz leges pont, és x n x 0 tetsz leges sorozat. Belátandó, hogy f(x n ) f(x 0 ). Ez igaz, hiszen f(x n ) = a x n a x 0 = f(x 0 ). II. Nézzük most azt az esetet, amikor n = 2 és m = 1, tehát f : IR 2 IR. Ekkor a függvény f(x 1, x 2 ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 alakú. Legyen x 0 IR 2 tetsz leges pont, és x n x 0 tetsz leges sorozat IR 2 -ben, vagyis (x n,1, x n,2 ) (x 0,1, x 0,2 ). Belátandó, hogy f(x n ) f(x 0 ). Ez igaz, hiszen f(x n ) = f(x n,1, x n,2 ) = a 1 x n,1 +a 2 x n,2 a 1 x 0,1 +a 2 x 0,2 = f(x 0,1, x 0,2 ) = f(x 0 ). III. Az általános eset és bizonyítása a következ : 2.13 Állítás. Ha f Lin(IR n, IR m ), akkor f folytonos. Biz.: Legyen x 0 IR n = D(f) tetsz leges. Megmutatjuk, hogy f folytonos x 0 -ban. Legyen x j x 0 tetsz leges olyan IR n -beli vektorsorozat, amely x 0 -hoz tart. Ez azt jelenti, hogy (x j ) koordinátánként konvergál x 0 -hoz, vagyis az i-edik koordináták x j,i sorozata tart az x 0 vektor i-edik koordinátájához, x 0,i -hez minden i = 1, 2,..., n. Másképpen: x j,i x 0,i 0. Mivel f Lin(IR n, IR m ), ezért f el áll f(x) = A x alakban, ahol A IR m n. Belátandó, hogy f(x n ) f(x 0 ), vagyis A x j A x 0. Ez utóbbi az (A x j ) i (A x 0 ) i i = 1, 2..., n koordinátánkénti konvergenciát jelenti. Átfogalmazva a következ t kel megmutatnunk: (A x j ) i (A x 0 ) i 0. A mátrixszal való szorzást elvégezve (A x j ) i (A x 0 ) i = n n a ik x j,k a ik x 0,k = k=1 k=1 19 n a ik (x j,k x 0,k ) 0. k=1

20 Az utolsó lépésben felhasználtuk a sorozatok határértékének m veleti tulajdonságait. Megmutatható még az is, hogy folytonos függvények összege és skalárszorosa is folytonos. Célunk a továbbiakban az f : IR n IR m függvények deriváltjának az értelmezése. Ehhez el ször emlékezzünk vissza a valós-valós függvények deriváltjára ( n = m = 1 eset) IR IR függvények deriváltja Egy IR IR függvény deriváltja olyan x 0 pontban értelmezhet, amelyre x 0 intd(f), azaz x 0 bels pontja f értelmezési tartományának. (Ez azt jelenti, hogy van olyan ρ > 0 sugár, amelyre a K ρ (x 0 ) := (x 0 ρ, x 0 + ρ) környezet D(f)-beli Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR IR függvény dierenciálható az x 0 intd(f) pontban, ha létezik és véges a következ határérték: f(x) f(x 0 ) lim. x x 0 x x 0 Ezt a számot nevezzük az f függvény x 0 -beli deriváltjának. Jelölése: f (x 0 ). M ködhet-e ez a deníció, ha f : IR n IR m? Nem, ugyanis a nevez ben szerepl x x 0 kifejezés ekkor egy IR n -beli vektor lenne, az ezzel való osztást pedig nem értelmezzük. Ezért most olyan ekvivalens deníciót keresünk az IR IR függvények dierenciálhatóságára, amelyet már ki lehet terjeszteni az f : IR n IR m függvények esetére. A derivált fenti deníciójának az átfogalmazásához szükségünk lesz a kisrend függvény fogalmára Deníció. Egy r : IR IR függvényt kisrend nek nevezünk az x 0 D(r) pontban, ha 1) r(x 0 ) = 0; és 2) lim x x0 r(x) x x 0 = Megjegyzés. 2)-ben a nevez ben x x 0 is írható. Pl. az x 0 = 0 pontban az r 1 (x) = x 2 függvény kisrend, ugyanis 1) r 1 (0) = 0 2 = 0; és 2) lim x x0 r 1 (x) x x 0 = lim x 0 x 2 x 0 = lim x 0 x = 0. 20

21 Ugyanakkor az r 2 (x) = x identitásfüggvény már nem kisrend a 0 pontban, hiszen bár r 2 (0) = 0, a 2) feltétel nem teljesül: lim x 0 x x 0 = 1 0. A 2) tulajdonság azt fejezi ki, hogy a kisrend függvény annyira gyorsan tart a nullához az x 0 -ban, hogy még a szintén nullához tartó x x 0 kifejezéssel osztva is nullához tart. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy a függvény grakonja az identitásfüggvény (s t minden lineáris függvény) alatt halad be a nullába az x 0 környezetében. Ez a függvény ábrázolásakor abból látható, hogy a függvény grakonja hozzásimul az x-tengelyhez. Ez igaz az r(x) = x 2 függvényre, míg nem igaz az identitásfüggvényre, amelynek a grakonja a nullában csak keresztezi az x tengelyt, de nem simul hozzá. Ezzel eljutottunk az érintkezés fogalmához Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR IR függvény az x 0 pontban érintkezik a g : IR IR függvénnyel, ha f g kisrend x 0 -ban. Ez grakusan azt jelenti, hogy az f és a g függvény az x 0 -ban ugyanazt az értéket veszi fel, és a két függvény görbéje az x 0 pont környezetében egymáshoz simul Megjegyzés. Ha r és p kisrend x 0 -ban, akkor r + p és λ r (λ IR tetsz leges) szintén kisrend x 0 -ban Megjegyzés. A kisrend ség deníciójából látszik, hogy ha r : IR IR kisrend x 0 -ban, akkor r folytonos is x 0 -ban (hiszen x 0 -ban a határértéke nulla (különben nullához tartó kifejezéssel vett hányadosa nem tarthatna nullához), és ez a helyettesítési értéke is.) Ezzel elérkeztünk egy olyan állításhoz, amely ekvivalens deníciót ad a dierenciálhatóságra Állítás. Egy f : IR IR függvény pontosan akkor dierenciálható az x 0 intd(f) pontban, ha létezik olyan a IR szám, amely mellett f x 0 -ban érintkezik az a(x x 0 ) + f(x 0 ) =: l(x) függvénnyel, vagyis amelyre az r(x) := f(x) l(x) = f(x) (a(x x 0 ) + f(x 0 )), x K(x 0 ) (1) függvény kisrend x 0 -ban. Biz.: ( ) Tegyük fel, hogy f dierenciálható x 0 -ban, és legyen a := f (x 0 ). Megmutatjuk, hogy f érintkezik az l(x) = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) függvénnyel az x 0 pontban. Ehhez belátandó, hogy az r(x) := f(x) (f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 )). 21

22 függvény kisrend x 0 -ban. Ez igaz, ugyanis r(x 0 ) = 0; lim x0 r(x) f(x) (f x x 0 = lim (x 0 )(x x 0 )+f(x 0 )) f(x) f(x x0 x x 0 = lim 0 ) x0 x x 0 f (x 0 ) = 0. ( ) Tegyük fel, hogy (1) igaz. Ekkor Mindkét oldal x 0 -beli határértékét véve f(x) f(x 0 ) x x 0 = a + r(x) x x 0. lim x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = a. Tehát f dierenciálható x 0 -ban, és f (x 0 ) = a Következmény. Az f : IR IR függvények dierenciálhatósága a következ képpen is megfogalmazható Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR IR függvény dierenciálható az x 0 intd(f) pontban, ha van olyan a IR szám, amely mellett f x 0 -ban érintkezik az a(x x 0 ) + f(x 0 ) =: l(x) függvénnyel. Ekkor az a számot az f x 0 -beli deriváltjának nevezzük, és f (x 0 )-lal jelöljük Deníció. Ha f : IR IR dierenciálható x 0 -ban, akkor a vele x 0 -ban érintkez l(x) = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) függvényt az f x 0 -beli érint jének nevezzük. Vegyük észre, hogy az érint egy lineáris inhomogén függvény: ahol A = f (x 0 ) és B = f(x 0 ) f (x 0 )x 0. l(x) = Ax + B alakú, A deriválhatóság tehát azt jelenti, hogy a függvénynek van érint je az adott pontban, és a derivált nem más, mint ennek az érint nek a meredeksége. A derivált deníciója már közvetlenül átvihet az IR n IR m függvények esetére Deníció. Egy r : IR n IR m függvényt kisrend nek nevezünk az x 0 D(r) pontban, ha 1) r(x 0 ) = 0 (ez az IR m -beli (0, 0,..., 0) vektor!); és 2) lim x x0 r(x) x x 0 = Az IR n IR m függvények határértékér l itt részletesen nem tanulunk. Ezt a limeszt úgy értsük, hogy ha az x vektor közel van x 0 -hoz akkor r(x) x x 0 közel van a nullvektorhoz. 22

23 2.25 Megjegyzés. Két kisrend függvény összege és egy kisrend függvény skalárszorosa is kisrend. Továbbá, ha r kisrend x 0 -ban, akkor ott folytonos is Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR n IR m függvény az x 0 pontban érintkezik a g : IR n IR m függvénnyel, ha f g kisrend x 0 -ban. Legyen f : IR n IR m, x 0 intd(f) Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR n IR m függvény dierenciálható az x 0 intd(f) pontban, ha van olyan A Lin(IR n, IR m ) lineáris leképezés (m n-es mátrix), amely mellett f érintkezik az A(x x 0 ) + f(x 0 ) =: l(x) függvénnyel x 0 -ban. Ezt az A mátrixot az f függvény x 0 pontbeli deriváltjának nevezzük. Jelölése: f (x 0 ). A deníció értelmes, ugyanis megmutatható, hogy ha létezik a deníció szerinti A mátrix, akkor csak egy létezik. Nem fordulhat tehát el olyan, hogy egy függvénynek két vagy több deriváltja is legyen egy pontban Deníció. Ha f : IR n IR m dierenciálható x 0 -ban, akkor a vele x 0 -ban érintkez l(x) = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) függvényt az f x 0 -beli érint jének nevezzük. Ebben az általánosabb esetben is értelmezzük tehát az érint t, ez egy lineáris inhomogén függvény (lineáris és konstans függvény összege), de már IR n IR m típusú. A valós-valós függvényeknél (Matematika 1) láttuk, hogy ahhoz, hogy egy függvény dierenciálható lehessen egy pontban, ott folytonosnak kell lennie. Más szóval, a folytonosság a dierenciálhatóság szükséges feltétele. Nem nehéz belátni, hogy ez IR n IR m függvények esetében is így van Állítás. Ha f : IR n IR m dierenciálható x 0 -ban, akkor f folytonos x 0 -ban. Biz.: Mivel az r := f l különbségfüggvény kisrend, így f = l + r. pedig két, x 0 -ban folytonos függvény összege áll, így f is folytonos x 0 -ban. A jobb oldalon A deriválás tulajdonságai 2.30 Állítás. Ha f és g : IR n IR m függvények dierenciálhatók x 0 -ban, akkor f + g is dierenciálható x 0 -ban, és (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). 2 A halmaz bels pontja IR n -ben is értelmezhet : olyan pontot jelent, amelynek valamely környezete teljes egészében a halmazban van. Ha pl. a H halmaz IR 2 -beli, akkor x 0 inth azt jelenti, hogy van olyan x 0 középpontú nyílt körlap, amely teljes egészében H-ban van. Pl. az x y R 2 -beli halmaznak ((0, 0) középpontú egységsugarú zárt körlap) bels pontja a (0, 0), de nem bels pontja az (1, 0) pont.) 23

24 Biz.: Elegend megmutatni, hogy az l(x) := (f (x 0 ) + g (x 0 ))(x x 0 ) + (f(x 0 ) + g(x 0 )) függvényre az r := (f + g) l függvény kisrend x 0 -ban. 1) r(x 0 ) = (f + g)(x 0 ) (f(x 0 ) + g(x 0 )) = 0; 2) r(x) x x 0 = (f + g)(x) l(x) x x 0 = f(x) [f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 )] x x 0 + g(x) [g (x 0 )(x x 0 ) + g(x 0 )] x x 0 Mivel f és g dierenciálható x 0 -ban, így a jobb oldalon mindkét hányados nullához tart, ha x x 0. Tehát lim x0 r(x) x x 0 = Állítás. Ha f : IR n IR m dierenciálható x 0 -ban, és λ IR tetsz leges szám, akkor λ f is dierenciálható x 0 -ban, és (λ f) (x 0 ) = λ f (x 0 ). Biz.: Elegend megmutatni, hogy az r(x) := (λ f)(x) [(λ f (x 0 ))(x x 0 ) + (λ f)(x 0 )] függvény kisrend x 0 -ban. 1) r(x 0 ) = (λ f)(x 0 ) (λ f)(x 0 ) = 0; 2) r(x) x x 0 = λf(x) [f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 )] x x 0 f(x) l(x) = λ x x 0, ahol l(x) := f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). Mivel f l kisrend x 0 -ban, így a jobb oldali hányados határértéke nulla, ha x x 0. 24

25 Néhány speciális függvény deriváltja 1. Legyen B : IR n IR m konstans leképezés, azaz olyan, amelyre létezik b IR m : B(x) = b, x IR n. Ekkor B diható minden x 0 IR n pontban, és B (x 0 ) = 0 (az m n-es nullmátrix). Biz.: Belátandó, hogy az r(x) = B(x) [0(x x 0 ) + B(x 0 )] függvény kisrend x 0 -ban. Mivel B(x) = b x IR n, ezért r(x) = b b = 0 a konstans nulla függvény IR n IR m, ami kisrend. 2. Legyen f Lin(IR n, IR m ), azaz f(x) = A x alakú függvény, ahol A IR m n. Ekkor f diható minden x 0 IR n pontban, és f (x 0 ) = f A. Biz.: Belátandó, hogy az r(x) = f(x) [A(x x 0 ) + f(x 0 )] függvény kisrend x 0 -ban. Mivel A(x x 0 ) = Ax Ax 0, és f(x) = Ax, így a jobb oldal Ax Ax + Ax 0 Ax 0 = 0 x IR n, ezért r ismét a konstans nulla függvény IR n IR m, ami kisrend Következmény. Minden f : IR n IR m, f(x) = Ax + B alakú (tehát lineáris inhomogén) függvény minden x 0 IR n pontban dierenciálható, és deriváltja (az összeget tagonként deriválva) f (x 0 ) = A + 0 = A Kompozíció deriváltja Legyen g : IR n IR m és f : IR m IR l. Tegyük fel, hogy létezik az f g : IR n IR l kompozíciófüggvény. Sokszor hasznos lesz a kompozíciófüggvény deriváltja, amelynek képletét a következ állításban adjuk meg Állítás. (Láncszabály) Ha léteznek a g (x 0 ) Lin(IR n, IR m ) és f (g(x 0 )) Lin(IR m, IR l ) deriváltak, akkor f g dierenciálható x 0 -ban, és (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ). A képletben szerepl kompozíció, mint láttuk, mátrixszorzást jelent Iránymenti derivált Legyen f : IR n IR m, a intd(f), e pedig egy olyan IR n -beli vektor, amelynek az euklideszi normája 1, azaz e = Deníció. Az α(t) := a + t e (t IR) IR IR n képez függvényt az a ponton átmen, e irányú egyenesnek nevezzük. Vegyük észre, hogy az α függvény egy IR IR n típusú lineáris inhomogén függvény, így minden t 0 IR pontban dierenciálható, és α (t 0 ) = e. Tekintsük az f α : IR IR m függvényt. Ekkor (f α)(t) = f(α(t)) = f(a + t e). 25

26 2.35 Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR n IR m függvénynek létezik az a intd(f) pontban az e irányú deriváltja, ha az f α függvény dierenciálható a t 0 = 0 pontban. Ez utóbbi derivált értékét nevezzük az f függvény a pontbeli, e irány menti deriváltjának. Jelölése: e f(a). A következ állítás megadja a derivált és az iránymenti deriváltak közötti kapcsolatot Állítás. Tegyük fel, hogy f : IR n IR m dierenciálható a-ban. Ekkor minden e IR n, e irány szerint létezik e f(a), és e f(a) = f (a) e (A jobb oldalon mátrix-vektor szorzat áll.) Biz.: A kompozíció deriválási szabálya és a lineáris inhomogén függvény deriválási szabálya miatt, kihasználva, hogy α(0) = a: (f α) (0) = f (α(0)) α (0) = f (a) e A tétel megfordítása nem igaz! derivált, még nem következik a függvény deriválhatósága. Abból, hogy minden irányban létezik az iránymenti 2.5. A derivált alakja Már tudjuk, hogy egy f : IR n IR m függvény deriváltja egy pontban, ha létezik, akkor egy Lin(IR n, IR m )-beli elem, ami azonosítható egy m n-es mátrixszal. Még nem esett szó azonban arról, hogy hogyan számíthatók ki ennek a mátrixnak az elemei. Legyen f : IR n IR m. Láttuk, hogy ekkor f-nek van m darab koordináta-függvénye: f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)). Mindegyik f i, i = 1, 2,..., m koordináta-függvény IR n IR képez, és a P i i-edik projekciós operátor segítségével f i felírható f i = P i f alakban. Mivel a P i operátor lineáris, tehát P i Lin(IR m, IR), így mindenhol dierenciálható, és deriváltja saját maga: P i (y 0 ) = P i y 0 IR m Következmény. Tegyük fel, hogy f dierenciálható az a intd(f) pontban. Ekkor minden koordináta-függvénye is dierenciálható a-ban, és f i(a) = P i f (a) Lin(IR n, IR) (Ugyanis f i(a) = (P i f) (a) = P i (f(a)) f (a) = P i f (a).) 26

27 Ennek az állításnak a megfordítása is igaz! Ugyanis tegyük fel, hogy f mindegyik f i koordináta-függvénye dierenciálható az a-ban, azaz létezik f i(a) Lin(IR n, IR) IR 1 n (mindegyik f i(a) derivált egy sorvektorral azonosítható). Ekkor az r i (x) := f i (x) (f i(a)(x a) + f i (a)), i = 1, 2,..., m (2) függvények kisrend ek. Jelölje A IR m n a következ mátrixot: f 1(a) f A := 2(a). f m(a) Ekkor az r(x) := r 1 (x) r 2 (x). r m (x) IR n IR m függvényt bevezetve a (2) alatti m darab egyenl ség felírható egy vektori egyenl ségként r(x) = f(x) (A(x a) + f(a)) alakban. Mivel r mindegyik koordináta-függvénye kisrend a-ban így r is az. Vagyis f dierenciálható a-ban és deriváltja éppen az A mátrix lesz. Ezzel beláttuk a következ állítást Állítás. Egy f : IR n IR m függvény pontosan akkor dierenciálható az a intd(f) pontban, ha az f i koordináta-függvények (i = 1, 2,..., m) is dierenciálhatók a-ban. Emellett f 1(a) f f (a) = 2(a). f m(a) A továbbiakban meghatározzuk a derivált alakját. El ször két speciális esetet tárgyalunk: 1. f : IR IR m, 2. f : IR n IR. 27

28 Az f : IR IR m függvények deriváltja Ha f : IR IR m, akkor f(t) = (f 1 (t), f 2 (t),..., f m (t)), ahol az f i koordináta-függvények IR IR típusúak. Ekkor f pontosan akkor dierenciálható a t = t 0 pontban, ha mindegyik koordináta-függvénye dierenciálható, és ekkor a derivált: f 1(t 0 ) f f (t 0 ) = 2(t 0 ). f m(t 0 ) Az f : IR n IR függvények deriváltja Tudjuk, hogy ha f : IR n IR, akkor f (a) egy n elem sormátrix (sorvektor): f (a) = [λ 1, λ 2,..., λ n ] Határozzuk meg az itt szerepl λ i számokat! Tudjuk, hogy ha f dierenciálható a-ban, akkor minden irány mentén is dierenciálható. Tekintsük speciálisan azt az e i vektort, amelynek i-edik koordinátája 1, a többi pedig nulla. Ekkor tehát létezik ei f(a), és 0 0 ei f(a) = f. (a) e i = [λ 1, λ 2,... λ i,..., λ n ]. 0 1 i) = λ i Vagyis a deriváltvektor i-edik eleme nem más, mint az i-edik egységvektor menti deriváltja f-nek a-ban Deníció. A ei f(a) IR számot az f függvény a pontbeli i-edik parciális deriváltjának nevezzük. Jelölése: i f(a). Ezek lesznek tehát a λ i számok. Így beláttuk a következ állítást Állítás. Tegyük fel, hogy az f : IR n IR függvény dierenciálható a-ban. Ekkor f (a) = [ 1 f(a), 2 f(a),..., n f(a)]. 28

29 Vizsgáljuk meg közelebbr l ezeket a speciális, parciális deriváltnak hívott iránymenti deriváltakat! Legyen α i (t) = a + t e i = (a 1, a 2,..., a i 1, a i + t, a i+1,..., a n ) az a ponton átmen, e i irányú egyenes. Határozzuk meg az f α i : IR IR függvény t = 0 pontbeli deriváltját! Mivel ez egy valós-valós függvény, használhatjuk a dierenciahányados határértékét: (f α i ) (0) = lim t 0 (f α i )(t) (f α i )(0) t 0 = lim t 0 f(a 1,..., a i 1, a i + t, a i+1,..., a n ) f(a 1,..., a i 1, a i, a i+1,..., a n ) t Áttérve t helyett az x i = a i + t változóra, a következ alakban tudjuk felírni az e i irány menti deriváltat: Jelölje ϕ (i) a = lim x i a i f(a 1,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n ) f(a 1,..., a i 1, a i, a i+1,..., a n ) x i a i azt az IR IR függvényt, amelyet úgy deniálunk, hogy f-nek az i-ediken kívül az összes többi változóját rögzítjük az a vektor koordinátáira, azaz legyen ϕ (i) a (s) := f(a 1,..., a i 1, s, a i+1,..., a n ) Ezt a függvényt az f függvény a ponthoz tartozó i-edik parciális függvényének hívjuk. Így tehát az f : IR n IR függvény i-edik parciális deriváltját, azaz f deriváltvektorának i-edik elemét a következ alakban is felírhatjuk: ϕ (i) a (s) ϕ (i) a (a i ) λ i = i f(a) = lim s ai s a i = (ϕ (i) a ) (a i ) Vagyis az i-edik parciális derivált a-ban nem más, mint az a ponthoz tartozó i-edik parciális függvény deriváltja a i -ben. Kérdés: Következik-e a parciális deriváltak létezéséb l a dierenciálhatóság? ugyanis tekintsük a következ f : IR 2 IR függvényt: f(x, y) := { 1, ha x vagy y = 0 0 egyébként. Nem, Ez a függvény az x és az y tengely mentén mindenhol 1-et vesz fel, a tengelyeken kívül pedig nullát. Erre az f függvényre az a = (0, 0) pontbeli els és második parciális függvény 29

30 is az azonosan 1 függvény: ϕ (1) (0,0)(x) = 1 x IR; ϕ(2) (0,0)(y) = 1 y IR. Ezért létezik az els és a második parciális deriváltja is a (0, 0)-ban, és mindkett 0-val egyenl. Ugyanakkor az f függvény mégsem lehet dierenciálható ebben a pontban, hiszen itt nem folytonos. Tehát a parciális deriváltak létezéséb l nem következik, hogy a függvény is dierenciálható lenne. Adható ugyanakkor elégséges feltétel is a dierenciálhatóságra: 2.41 Állítás. Tegyük fel, hogy az a ponthoz tartozó ϕ (i) a : IR IR parciális függvények folytonosan dierenciálhatók az a i pontban minden i = 1, 2,..., m esetén. Ekkor f dierenciálható a-ban Az f : IR n IR m függvények deriváltja Ha f : IR n IR m, akkor f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)), ahol az f i koordináta-függvények IR n IR típusúak. Beláttuk, hogy f (a) pontosan akkor létezik, ha léteznek az f i(a) (i = 1, 2,..., m) deriváltak, és f 1(a) f f (a) = 2(a). f m(a) Mint azt a fejezetben láttuk, egy IR n IR függvény deriváltja a parciális deriváltak sorvektora. Ebb l következ en az f (a) deriváltmátrix f 1(a) 1 f 1 (a) 2 f 1 (a)... n f 1 (a) f f (a) = 2(a). = 1 f 2 (a) 2 f 2 (a)... n f 2 (a). f m(a) 1 f m (a) 2 f m (a)... n f m (a) alakú. Ezt a mátrixot f a pontbeli Jacobi-mátrixának nevezzük Megjegyzés. El fordulhat, hogy létezik a Jacobi-mátrixban szerepl összes parciális derivált, a függvény mégsem dierenciálható a-ban. Ugyanakkor ha ezek a parciális deriváltak folytonosak is a-ban, akkor a Jacobi-mátrix valóban a derivált. 30

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

1. Geometriai vektorok

1. Geometriai vektorok 1. Geometriai vektorok Ebben a bevezet fejezetben a középiskolában tanult vektorfogalmat ("irányított szakasz") ismételjük át, és kiegészítjük néhány új fogalommal. A kés bbiekben a vektornak általánosabb

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Differenciálszámítás normált terekben

Differenciálszámítás normált terekben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

1. A vektor és a vektortér fogalma

1. A vektor és a vektortér fogalma 1. A vektor és a vektortér fogalma Célunk: a vektor és a vektortér fogalmának minél tágabb értelmezése. Ez azért hasznos, mert így a síkvektorok körében használatos egyes fogalmak és tételek átvihet k

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

ANALÍZIS TANÁROKNAK II.

ANALÍZIS TANÁROKNAK II. Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar CSÖRGŐ ISTVÁN ANALÍZIS TANÁROKNAK II. az Informatika Minor Szak hallgatói számára nappali és levelező tagozat Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1 Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Az el adás anyagának törzsrésze

Az el adás anyagának törzsrésze Az el adás anyagának törzsrésze 1. Halmazok, elemi logika, valós számok I. Halmazok. 1. "Halmaz" és "eleme": alapfogalmak. Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet, mik az elemei. 2. Halmaz megadása:

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

Mátrixok, mátrixműveletek

Mátrixok, mátrixműveletek Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Többváltozós függvények Jegyzet. Pap Margit, Tóth László Pécsi Tudományegyetem

Többváltozós függvények Jegyzet. Pap Margit, Tóth László Pécsi Tudományegyetem Többváltozós függvények Jegyzet Pap Margit, Tóth László Pécsi Tudományegyetem 11 Tartalomjegyzék El szó 5 1. Többváltozós függvények 7 1.1. Metrika és topológia R n -ben..............................

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

3. el adás: Determinánsok

3. el adás: Determinánsok 3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék,   Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK 217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

A dierenciálszámítás alapjai és az érint

A dierenciálszámítás alapjai és az érint A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben