Matematika (mesterképzés)
|
|
- Bálint Németh
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29
2 Lineáris tér, lineáris függvény A műszaki folyamatok leírásában fontos szerepet játszanak az úgynevezett lineáris modellek, amelyekben egyes mennyiségek között - legalábbis egy bizonyos határig - lineáris kapcsolatot feltételezünk. A feltételezett lineáris kapcsolatok precíz matematikai leírásához szükségünk van a lineáris tér, lineáris függvény fogalmakra. Lineáris térre a legkézenfekvőbb példa R n := {x = (x 1,..., x n ) x 1,..., x n R}, a rendezett valós szám n-esek halmaza. Ezen a halmazon az összeadást tetszőleges x = (x 1,..., x n ) és y = (y 1,..., y n ) elemek esetén x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ), a skalárral való szorzást λ R módon értelmezzük. λ x = (λ x 1,..., λ x n ) Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 2 / 29
3 Ekkor könnyen ellenőrizhető, hogy teljesülnek az alábbi tulajdonságok: A halmaz Abel-csoport az összeadásra nézve, azaz tetszőleges x, y, z elemek esetén: x + y = y + x, (x + y) + z = x + (y + z) létezik egy olyan 0-val jelölt zéruselemnek nevezett elem, melyre x + 0 = x (Ez itt a 0:=(0,..., 0)) minden x elemhez létezik olyan x-el jelölt és additív inverznek nevezett elem, melyre x + ( x) = 0. (Itt a x := ( x 1,..., x n )) A skalárral való szorzás pedig rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: (λ + µ) x = λ x + µ x λ (x + y) = λ x + λ y λ (µ x) = (λ µ) x 1 x = x Ha értelmezve van V -beli elemek összeadása és számmal való szorzása a fenti tulajdonságokkal, akkor V -t lineáris térnek nevezzük. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 3 / 29
4 Egy V lineáris téren adott skaláris szorzat egy olyan : V V R leképezés, mely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: (x + y) z = x z + y z (λ x) z = λ (x z) x y = y x x x 0 és x x = 0 pontosan akkor, ha x = 0 R n -en, mint lineáris téren az x y := x 1 y x n y n képlettel adott függvény skaláris szorzatot definiál. A skaláris szorzat birtokában a norma és a távolság származtatott mennyiségek: Norma: x := x x Távolság (distance): d(x, y) := x y R n -en, mint lineáris téren a norma: x = x x n 2, a távolság pedig: d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2 Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 4 / 29
5 Tétel: Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség Egy skaláris szorzattal ellátott V lineáris tér minden x, y elemére: Bizonyítás: Minden λ R esetén azaz x y x y (x + λ y) (x + λ y) 0, x x + 2 λ x y + λ 2 y y 0. A bal oldalon szereplő másodfokú P(λ) polinom pontosan akkor vesz fel nemnegatív értékeket, ha a diszkrimináns negatív vagy 0, azaz Ez ekvivalens a bizonyítandóval. 4 (x y) 2 4 x x y y 0. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 5 / 29
6 Definíció Egy skaláris szorzattal ellátott V lineáris térben a zérusvektortól különböző x, y vektorok szöge az az α szám, melyre: cos α = x y x y Definíció Egy skaláris szorzattal ellátott V lineáris tér x és y vektorát ortogonálisnak mondjuk, ha x y = 0. Az x V vektort egységvektornak nevezzük, ha x = 1. Egy vektorrendszer ortogonális, ha páronként ortogonális nemzérus vektorokból áll. Egy vektorrendszer ortonormált, ha páronként ortogonális és egységvektorokból áll. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 6 / 29
7 Legyen V lineáris tér, b 1,..., b n V. Ekkor a {b 1,..., b n } vektorrendszer összes lineáris kombinációjának halmaza: L{b 1,..., b n } := {λ 1 b λ n b n λ 1,..., λ n R} Gram - Schmidt ortogonalizálási eljárás Bemenet: b 1, b 2, b 3,... tetszőleges vektorrendszer 1.lépés: e 1 := b 1 (ha b 1 0) 2.lépés: e 2 := b 2 b 2 e 1 e 1 2 e 1 3.lépés: e 3 := b 3 b 3 e 1 e 1 2 e 1 b 3 e 2 e 2 2 e 2 stb... Kimenet: e 1, e 2, e 3,... ortogonális vektorrendszer Ha e k = 0 valamely k -ra, akkor b k törlendő a bemeneti vektorrendszerből és az eljárást folytatjuk a b k+1 elemet alapul véve. Ekkor L{b 1, b 2,...} = L{e 1, e 2,...}. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 7 / 29
8 Megjegyzés és megállapodás Ha adott R 3 -ban egy {a, b, c} ortogonális vektorrendszer, akkor bármely x R 3 vektor előállítható az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként. Ekkor azt mondjuk, hogy az {a, b, c} rendszer R 3 egy bázisa. Az i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) vektorokból álló vektorrendszer R 3 egy ortonormált bázisa. A továbbiakban i, j, k ezt szimbolizálja. Vektoriális szorzat Az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) nemzérus vektorok vektoriális szorzatán a a b := (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i (a 1 b 3 a 3 b 1 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k vektort értjük. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 8 / 29
9 Megjegyzés Az a és b nemzérus párhuzamos vektorok vektoriális szorzata a zérusvektor. Az a és b nem párhuzamos vektorok vektoriális szorzata olyan vektor mely, mindkét komponensére (a-ra és b-re is) ortogonális. Ha a és b ortogonálisak, akkor az a, b, a b vektorokból álló vektorrendszer ilyen sorrendben jobbsodrású, ortogonális vektorrendszer. Ha egy nemzérus a vektort egy e egységvektorral párhuzamos és egy arra merőleges szabadvektor összegére bontunk, akkor a merőleges komponens a m és a m = (e a) e. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 9 / 29
10 Egyenes előállítása a térben r(x) = r 0 + x v (x R) Ha az egyenes az origón keresztülhalad, akkor r(x) = x v (x R). Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 10 / 29
11 Sík előállítása (r r 0 ) n = 0 Ha r = (x, y, z), r 0 = (x 0, y 0, z 0 ), n = (A, B, C), akkor a sík egyenlete: A (x x 0 ) + B (y y 0 ) + C (z z 0 ) = 0. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 11 / 29
12 Definíció Az A: R n R m függvényt lineárisnak nevezzük, ha A(x + y) = A(x) + A(y), x, y R n, A(λ x) = λ A(x), x, y R n, λ R teljesül. Tétel Legyen A m n-es mátrix. Ekkor az A(x) = A x (x R n ) szerint értelmezett függvény A: R n R m típusú lineáris függvény. Minden A: R n R m lineáris függvény A(x) = A x (x R n, A egy(m n)-es mátrix) alakban írható. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 12 / 29
13 Megjegyzések 1. Az R R típusú x }{{} A x lineáris függvény grafikonja az origón szám átmenő, A meredekségű egyenes a síkban. 2. Az R R 3 típusú x a 1 a 2 a 3 x lineáris függvény grafikonja az origón átmenő, (a 1, a 2, a 3 ) irányvektorú egyenes a térben. 3. Egy R 3 R típusú lineáris függvény egy rögzített a vektorral képzett x a x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 skaláris szorzat formájában állítható elő. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 13 / 29
14 Megjegyzések 4. Geometriai viszonyok, mozgások leírásában fontosak az R n R n típusú lineáris függvények, melyeket az R n tér lineáris transzformációinak is neveznek: az R 2 R 2 típusú lineáris függvények síkbeli, az R 3 R 3 típusú lineáris függvények térbeli lineáris transzformációk. 5. A mechanikában a (síkbeli, illetve térbeli) feszültségi és alakváltozási állapot szintén R 2 R 2, illetve R 3 R 3 típusú lineáris függvényekkel, más szóval tenzorokkal írhatók le. A feszültségtenzor például irányhoz rendel feszültségvektort: ρ(n) = T n, ρ x ρ y ρ z = σ x τ yx τ zx τ xy σ y τ zy τ xz τ yz σ z n x n y n z Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 14 / 29
15 Definíció A v R n nemzérus vektort az A: R n R n lineáris leképezés sajátvektorának nevezzük, ha van olyan λ R, hogy A(v) = λ v. Ilyenkor λ-t a v sajátvektorhoz tartozó sajátértéknek nevezzük. Sajátérték és sajátvektor meghatározása Ha az A: R n R n lineáris leképezés mátrixa A, akkor a sajátvektornak eleget kell tennie az A v = λ v azaz átrendezve és az egységmátrixot E-vel jelölve (A λ E) v = 0 lineáris homogén egyenletrendszernek. Nemzérus v megoldás pontosan akkor van, ha a rendszer együttható mátrixának determinánsa zérus, azaz, ha det(a λ E) = 0. Megjegyzés A feszültségi tenzorral kapcsolatos sajátértékfeladatot a feszültségi tenzor főtengelyproblémájának, a σ n sajátértékeket főfeszültségeknek, a kapott n sajátvektorok által kijelölt irányokat feszültségi főirányoknak szokás nevezni. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 15 / 29
16 Feladat: Döntse el, hogy egy egyenesen van-e a következő három pont: A = (2, 1, 1) B = (3, 1, 2) C = (4, 1, 5) Megoldás: Amennyiben a pontok egy egyenesen vannak, úgy az AB és AC vektorok egymás konstansszorosai. Tehát keresendő olyan λ R, hogy AB = λ AC. AB = (1, 0, 3) és AC = (2, 0, 6), így az AB = 1 2 AC összefüggésből látjuk, hogy a pontok egy egyenesen vannak. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 16 / 29
17 Feladat: A szögek kiszámítása nélkül döntse el, hogy az alábbi vektorok hegyes-, derék-, vagy tompaszöget zárnak-e be: x = ( 3, 2, 0) és y = (4, 1, 5) Megoldás: Mivel a vektorok ( hossza pozitív, ) a vektorok szögének definíciójából látható cos α =, hogy a két vektor skaláris x y x y szorzatának előjele megegyezik a közrezárt szög koszinuszának előjelével. Itt tehát tompaszögről van szó. x y = ( 3) = 10 < 0, Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 17 / 29
18 Feladat: Adott x, y R 3 esetén határozzuk meg a λ értéket úgy, hogy az x + λ y merőleges legyen az y vektorra! Megoldás: A feltétel alapján (x + λ y) y = 0 és így x y + λ y y = 0. Ha y 0, akkor λ = x y y y = x y y 2. y = 0 esetén tetszőleges λ R megoldás. Megjegyzés: Tehát y és x x y y 2 y merőlegesek egymásra. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 18 / 29
19 Feladat: A Gram-Schmidt ortogonalizálási eljárás segítségével konstruálja meg azt az ortonormált {e 1, e 2, e 3 } vektorrendszert, melyre L{b 1, b 2, b 3 } = L{e 1, e 2, e 3 } ha b 1 = (1, 2, 1) b 2 = (3, 0, 1) b 3 = (1, 1, 0) Megoldás: e 1 = b 1 = (1, 2, 1) e 2 = b 2 b 2 e 1 e 1 2 e 1 = (3, 0, 1) ( ) 2 (1, 2, 1) = = (3, 0, 1) 4 6 (1, 2, 1) = (3, 0, 1) 2 3 (1, 2, 1) = ( 7 3, 4 3, 1 3 e 3 = b 3 b 3 e 1 e 1 2 e 1 b 3 e 2 e 2 2 e 2 = = (1, 1, 0) (1, 2, 1) 1 7 ( (1, 1, 0) 3 6 (1, 2, 1) ( 7 3, 4 3, ) ( = 4 22, 4 22, ) 2 ( 7 3, 4 3, 1 3) = ) = 1 3 (7, 4, 1) ) = 2 11 (1, 1, 3) Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 19 / 29
20 e 2 = 1 e 2 e 2 = e 1 = 1 e 1 e 1 = 1 6 (1, 2, 1) e 3 = 1 e 3 e 3 = (7, 4, 1) = (7, 4, 1) (1, 1, 3) = 11 = (1, 1, 3) = (1, 1, 3) {e 1, e 2, e 3 } a kívánt tulajdonságú. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 20 / 29
21 Feladat: Bizonyítsuk be, hogy az alábbi mátrix síkra vonatkozó tükrözés mátrixa és határozzuk meg, mely síkra tükröztünk! Megoldás: I. Megkeressük azokat a pontokat, melyek fixek: lineáris egyenletrendszert kell megoldani. x y z = x y z Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 21 / 29
22 A fixen maradó pontok halmaza egy sík, melynek egyenlete: x = 2y + 3z, azaz x + 2y 3z = 0; melyből a sík normálvektora: n = (1, 2, 3). Jelölje S a továbbiakban a szóbanforgó síkot. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 22 / 29
23 II. A-val jelölve a vizsgált lineáris transzformációt: v = v p + v m és v = A(v) = v p + ( v m ), így v = v 2 v m. Mivel v = v p + v m, véve mindkét oldal skaláris szorzatát n-nel kapjuk, hogy ( ) v n = v m n. Mivel n := n n, így n 2 = n n. Másrészt v m = λ n, így ( ) alakban írható. Így v n n 2 = λ (!) v = v 2 v n n 2 n Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 23 / 29
24 III. Összevetve I-et és II-t: x y z = = x y z = 1 7 x y z 2 x+2y 3z 14 7x 7y 7z x 1 y 2 z 3 2 ( ) ( 3) x y z = = x 2y + 3z 2x 4y + 6z 3x + 6y 9z = 1 7 x y z = 1 7 x y z azaz x + 2y 3z 2x + 4y 6z 3x 6y + 9z 6x 2y + 3z 2x + 3y + 6z 3x + 6y 2z = = Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 24 / 29
25 Feladat: Határozzuk meg a z tengely körüli forgatás, mint lineáris transzformáció mátrixát a természetes bázisra vonatkozóan! ( ) cos ϕ sin ϕ Megoldás: Forgatás az xy síkban: sin ϕ cos ϕ Forgatás a z tengely körül: cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 25 / 29
26 Feladat: Határozzuk meg az a = (0, 1, 2) vektor képét a z tengely körüli 30 -os forgatásnál! 3 Megoldás: a = = Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 26 / 29
27 Feladat: Határozzuk meg az A mátrixú lineáris transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait! ( ) 3 4 A = 2 3 Megoldás: (( ) ( )) P(λ) = det(a λ E) = det λ = ( ) 3 λ 4 = det = (3 + λ) (3 λ) 4 ( 2) = 2 3 λ (9 λ 2 ) + 8 = λ 2 1 P(λ) = 0 λ 2 1 = 0 λ 1,2 = ±1 Tehát a sajátértékek: -1 és 1. A hozzájuk tartozó sajátvektorokat pedig az (A λ E) x = 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 27 / 29
28 Ha λ = 1, akkor az ( 3 ( 1) ( 1) ) ( x1 x 2 ) = ( 0 0 ) azaz a { 4x 1 + 4x 2 = 0 2x 1 2x 2 = 0. egyenletrendszert kell megoldani. Az első egyenletet 4-gyel, a másodikat -2-vel osztva kapjuk, hogy x 1 + x 2 = 0, azaz x 1 = x 2. A megoldó altér: M = {( t, t) t R, t 0} Megjegyzés: A megoldó alteret generálja például a v = (1, 1) vektor (t = 1 esete). Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 28 / 29
29 Ha λ = 1, akkor az ( azaz a { ) ( x1 x 2 2x 1 + 4x 2 = 0 2x 1 4x 2 = 0. ) = ( 0 0 egyenletrendszert kell megoldani. Az első egyenletet 2-vel, a másodikat -2-vel osztva kapjuk, hogy x 1 + 2x 2 = 0, azaz x 1 = 2x 2. A megoldó altér: M = {( 2t, t) t R, t 0} Megjegyzés: A megoldó alteret generálja például a v = ( 2, 1) vektor (t = 1 esetén). ) Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 29 / 29
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
Részletesebbeni=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenMeghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0
Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenLineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenTranszformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Részletesebben1. A Hilbert féle axiómarendszer
{Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
Részletesebben1. Transzformációk mátrixa
1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Részletesebben1. Szabadvektorok és analitikus geometria
1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenSegédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával
Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január
RészletesebbenTérbeli geometriai transzformációk analitikus leírása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Térbeli geometriai transzformációk analitikus leírása Szakdolgozat Készítette: Témavezeto : Fodor Edina Verhóczki László Matematika BSc, Tanári szakirány
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenFrissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!
1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenSkalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf87 2017-11-21
RészletesebbenGyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenElőadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz
Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Kovács Zoltán 2005. január 4. Tartalomjegyzék 1. Euklideszi vektorterek 3 1.1. Bilineáris és kvadratikus formák, skaláris szorzatok................ 3 1.2.
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenJEGYZET Geometria 2., tanárszak
JEGYZET Geometria 2., tanárszak Hálás köszönet a segítségért Marosi Pollának, Kiss Györgynek, Lakos Gyulának, Tóth Árpádnak, Wintsche Gergőnek. Felhasznált fogalmak Felhasználjuk a valós vektortér és mátrix
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebben