Matematika (mesterképzés)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika (mesterképzés)"

Átírás

1 Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29

2 Lineáris tér, lineáris függvény A műszaki folyamatok leírásában fontos szerepet játszanak az úgynevezett lineáris modellek, amelyekben egyes mennyiségek között - legalábbis egy bizonyos határig - lineáris kapcsolatot feltételezünk. A feltételezett lineáris kapcsolatok precíz matematikai leírásához szükségünk van a lineáris tér, lineáris függvény fogalmakra. Lineáris térre a legkézenfekvőbb példa R n := {x = (x 1,..., x n ) x 1,..., x n R}, a rendezett valós szám n-esek halmaza. Ezen a halmazon az összeadást tetszőleges x = (x 1,..., x n ) és y = (y 1,..., y n ) elemek esetén x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ), a skalárral való szorzást λ R módon értelmezzük. λ x = (λ x 1,..., λ x n ) Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 2 / 29

3 Ekkor könnyen ellenőrizhető, hogy teljesülnek az alábbi tulajdonságok: A halmaz Abel-csoport az összeadásra nézve, azaz tetszőleges x, y, z elemek esetén: x + y = y + x, (x + y) + z = x + (y + z) létezik egy olyan 0-val jelölt zéruselemnek nevezett elem, melyre x + 0 = x (Ez itt a 0:=(0,..., 0)) minden x elemhez létezik olyan x-el jelölt és additív inverznek nevezett elem, melyre x + ( x) = 0. (Itt a x := ( x 1,..., x n )) A skalárral való szorzás pedig rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: (λ + µ) x = λ x + µ x λ (x + y) = λ x + λ y λ (µ x) = (λ µ) x 1 x = x Ha értelmezve van V -beli elemek összeadása és számmal való szorzása a fenti tulajdonságokkal, akkor V -t lineáris térnek nevezzük. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 3 / 29

4 Egy V lineáris téren adott skaláris szorzat egy olyan : V V R leképezés, mely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: (x + y) z = x z + y z (λ x) z = λ (x z) x y = y x x x 0 és x x = 0 pontosan akkor, ha x = 0 R n -en, mint lineáris téren az x y := x 1 y x n y n képlettel adott függvény skaláris szorzatot definiál. A skaláris szorzat birtokában a norma és a távolság származtatott mennyiségek: Norma: x := x x Távolság (distance): d(x, y) := x y R n -en, mint lineáris téren a norma: x = x x n 2, a távolság pedig: d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2 Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 4 / 29

5 Tétel: Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség Egy skaláris szorzattal ellátott V lineáris tér minden x, y elemére: Bizonyítás: Minden λ R esetén azaz x y x y (x + λ y) (x + λ y) 0, x x + 2 λ x y + λ 2 y y 0. A bal oldalon szereplő másodfokú P(λ) polinom pontosan akkor vesz fel nemnegatív értékeket, ha a diszkrimináns negatív vagy 0, azaz Ez ekvivalens a bizonyítandóval. 4 (x y) 2 4 x x y y 0. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 5 / 29

6 Definíció Egy skaláris szorzattal ellátott V lineáris térben a zérusvektortól különböző x, y vektorok szöge az az α szám, melyre: cos α = x y x y Definíció Egy skaláris szorzattal ellátott V lineáris tér x és y vektorát ortogonálisnak mondjuk, ha x y = 0. Az x V vektort egységvektornak nevezzük, ha x = 1. Egy vektorrendszer ortogonális, ha páronként ortogonális nemzérus vektorokból áll. Egy vektorrendszer ortonormált, ha páronként ortogonális és egységvektorokból áll. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 6 / 29

7 Legyen V lineáris tér, b 1,..., b n V. Ekkor a {b 1,..., b n } vektorrendszer összes lineáris kombinációjának halmaza: L{b 1,..., b n } := {λ 1 b λ n b n λ 1,..., λ n R} Gram - Schmidt ortogonalizálási eljárás Bemenet: b 1, b 2, b 3,... tetszőleges vektorrendszer 1.lépés: e 1 := b 1 (ha b 1 0) 2.lépés: e 2 := b 2 b 2 e 1 e 1 2 e 1 3.lépés: e 3 := b 3 b 3 e 1 e 1 2 e 1 b 3 e 2 e 2 2 e 2 stb... Kimenet: e 1, e 2, e 3,... ortogonális vektorrendszer Ha e k = 0 valamely k -ra, akkor b k törlendő a bemeneti vektorrendszerből és az eljárást folytatjuk a b k+1 elemet alapul véve. Ekkor L{b 1, b 2,...} = L{e 1, e 2,...}. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 7 / 29

8 Megjegyzés és megállapodás Ha adott R 3 -ban egy {a, b, c} ortogonális vektorrendszer, akkor bármely x R 3 vektor előállítható az a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként. Ekkor azt mondjuk, hogy az {a, b, c} rendszer R 3 egy bázisa. Az i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) vektorokból álló vektorrendszer R 3 egy ortonormált bázisa. A továbbiakban i, j, k ezt szimbolizálja. Vektoriális szorzat Az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) nemzérus vektorok vektoriális szorzatán a a b := (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i (a 1 b 3 a 3 b 1 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k vektort értjük. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 8 / 29

9 Megjegyzés Az a és b nemzérus párhuzamos vektorok vektoriális szorzata a zérusvektor. Az a és b nem párhuzamos vektorok vektoriális szorzata olyan vektor mely, mindkét komponensére (a-ra és b-re is) ortogonális. Ha a és b ortogonálisak, akkor az a, b, a b vektorokból álló vektorrendszer ilyen sorrendben jobbsodrású, ortogonális vektorrendszer. Ha egy nemzérus a vektort egy e egységvektorral párhuzamos és egy arra merőleges szabadvektor összegére bontunk, akkor a merőleges komponens a m és a m = (e a) e. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 9 / 29

10 Egyenes előállítása a térben r(x) = r 0 + x v (x R) Ha az egyenes az origón keresztülhalad, akkor r(x) = x v (x R). Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 10 / 29

11 Sík előállítása (r r 0 ) n = 0 Ha r = (x, y, z), r 0 = (x 0, y 0, z 0 ), n = (A, B, C), akkor a sík egyenlete: A (x x 0 ) + B (y y 0 ) + C (z z 0 ) = 0. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 11 / 29

12 Definíció Az A: R n R m függvényt lineárisnak nevezzük, ha A(x + y) = A(x) + A(y), x, y R n, A(λ x) = λ A(x), x, y R n, λ R teljesül. Tétel Legyen A m n-es mátrix. Ekkor az A(x) = A x (x R n ) szerint értelmezett függvény A: R n R m típusú lineáris függvény. Minden A: R n R m lineáris függvény A(x) = A x (x R n, A egy(m n)-es mátrix) alakban írható. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 12 / 29

13 Megjegyzések 1. Az R R típusú x }{{} A x lineáris függvény grafikonja az origón szám átmenő, A meredekségű egyenes a síkban. 2. Az R R 3 típusú x a 1 a 2 a 3 x lineáris függvény grafikonja az origón átmenő, (a 1, a 2, a 3 ) irányvektorú egyenes a térben. 3. Egy R 3 R típusú lineáris függvény egy rögzített a vektorral képzett x a x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 skaláris szorzat formájában állítható elő. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 13 / 29

14 Megjegyzések 4. Geometriai viszonyok, mozgások leírásában fontosak az R n R n típusú lineáris függvények, melyeket az R n tér lineáris transzformációinak is neveznek: az R 2 R 2 típusú lineáris függvények síkbeli, az R 3 R 3 típusú lineáris függvények térbeli lineáris transzformációk. 5. A mechanikában a (síkbeli, illetve térbeli) feszültségi és alakváltozási állapot szintén R 2 R 2, illetve R 3 R 3 típusú lineáris függvényekkel, más szóval tenzorokkal írhatók le. A feszültségtenzor például irányhoz rendel feszültségvektort: ρ(n) = T n, ρ x ρ y ρ z = σ x τ yx τ zx τ xy σ y τ zy τ xz τ yz σ z n x n y n z Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 14 / 29

15 Definíció A v R n nemzérus vektort az A: R n R n lineáris leképezés sajátvektorának nevezzük, ha van olyan λ R, hogy A(v) = λ v. Ilyenkor λ-t a v sajátvektorhoz tartozó sajátértéknek nevezzük. Sajátérték és sajátvektor meghatározása Ha az A: R n R n lineáris leképezés mátrixa A, akkor a sajátvektornak eleget kell tennie az A v = λ v azaz átrendezve és az egységmátrixot E-vel jelölve (A λ E) v = 0 lineáris homogén egyenletrendszernek. Nemzérus v megoldás pontosan akkor van, ha a rendszer együttható mátrixának determinánsa zérus, azaz, ha det(a λ E) = 0. Megjegyzés A feszültségi tenzorral kapcsolatos sajátértékfeladatot a feszültségi tenzor főtengelyproblémájának, a σ n sajátértékeket főfeszültségeknek, a kapott n sajátvektorok által kijelölt irányokat feszültségi főirányoknak szokás nevezni. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 15 / 29

16 Feladat: Döntse el, hogy egy egyenesen van-e a következő három pont: A = (2, 1, 1) B = (3, 1, 2) C = (4, 1, 5) Megoldás: Amennyiben a pontok egy egyenesen vannak, úgy az AB és AC vektorok egymás konstansszorosai. Tehát keresendő olyan λ R, hogy AB = λ AC. AB = (1, 0, 3) és AC = (2, 0, 6), így az AB = 1 2 AC összefüggésből látjuk, hogy a pontok egy egyenesen vannak. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 16 / 29

17 Feladat: A szögek kiszámítása nélkül döntse el, hogy az alábbi vektorok hegyes-, derék-, vagy tompaszöget zárnak-e be: x = ( 3, 2, 0) és y = (4, 1, 5) Megoldás: Mivel a vektorok ( hossza pozitív, ) a vektorok szögének definíciójából látható cos α =, hogy a két vektor skaláris x y x y szorzatának előjele megegyezik a közrezárt szög koszinuszának előjelével. Itt tehát tompaszögről van szó. x y = ( 3) = 10 < 0, Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 17 / 29

18 Feladat: Adott x, y R 3 esetén határozzuk meg a λ értéket úgy, hogy az x + λ y merőleges legyen az y vektorra! Megoldás: A feltétel alapján (x + λ y) y = 0 és így x y + λ y y = 0. Ha y 0, akkor λ = x y y y = x y y 2. y = 0 esetén tetszőleges λ R megoldás. Megjegyzés: Tehát y és x x y y 2 y merőlegesek egymásra. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 18 / 29

19 Feladat: A Gram-Schmidt ortogonalizálási eljárás segítségével konstruálja meg azt az ortonormált {e 1, e 2, e 3 } vektorrendszert, melyre L{b 1, b 2, b 3 } = L{e 1, e 2, e 3 } ha b 1 = (1, 2, 1) b 2 = (3, 0, 1) b 3 = (1, 1, 0) Megoldás: e 1 = b 1 = (1, 2, 1) e 2 = b 2 b 2 e 1 e 1 2 e 1 = (3, 0, 1) ( ) 2 (1, 2, 1) = = (3, 0, 1) 4 6 (1, 2, 1) = (3, 0, 1) 2 3 (1, 2, 1) = ( 7 3, 4 3, 1 3 e 3 = b 3 b 3 e 1 e 1 2 e 1 b 3 e 2 e 2 2 e 2 = = (1, 1, 0) (1, 2, 1) 1 7 ( (1, 1, 0) 3 6 (1, 2, 1) ( 7 3, 4 3, ) ( = 4 22, 4 22, ) 2 ( 7 3, 4 3, 1 3) = ) = 1 3 (7, 4, 1) ) = 2 11 (1, 1, 3) Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 19 / 29

20 e 2 = 1 e 2 e 2 = e 1 = 1 e 1 e 1 = 1 6 (1, 2, 1) e 3 = 1 e 3 e 3 = (7, 4, 1) = (7, 4, 1) (1, 1, 3) = 11 = (1, 1, 3) = (1, 1, 3) {e 1, e 2, e 3 } a kívánt tulajdonságú. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 20 / 29

21 Feladat: Bizonyítsuk be, hogy az alábbi mátrix síkra vonatkozó tükrözés mátrixa és határozzuk meg, mely síkra tükröztünk! Megoldás: I. Megkeressük azokat a pontokat, melyek fixek: lineáris egyenletrendszert kell megoldani. x y z = x y z Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 21 / 29

22 A fixen maradó pontok halmaza egy sík, melynek egyenlete: x = 2y + 3z, azaz x + 2y 3z = 0; melyből a sík normálvektora: n = (1, 2, 3). Jelölje S a továbbiakban a szóbanforgó síkot. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 22 / 29

23 II. A-val jelölve a vizsgált lineáris transzformációt: v = v p + v m és v = A(v) = v p + ( v m ), így v = v 2 v m. Mivel v = v p + v m, véve mindkét oldal skaláris szorzatát n-nel kapjuk, hogy ( ) v n = v m n. Mivel n := n n, így n 2 = n n. Másrészt v m = λ n, így ( ) alakban írható. Így v n n 2 = λ (!) v = v 2 v n n 2 n Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 23 / 29

24 III. Összevetve I-et és II-t: x y z = = x y z = 1 7 x y z 2 x+2y 3z 14 7x 7y 7z x 1 y 2 z 3 2 ( ) ( 3) x y z = = x 2y + 3z 2x 4y + 6z 3x + 6y 9z = 1 7 x y z = 1 7 x y z azaz x + 2y 3z 2x + 4y 6z 3x 6y + 9z 6x 2y + 3z 2x + 3y + 6z 3x + 6y 2z = = Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 24 / 29

25 Feladat: Határozzuk meg a z tengely körüli forgatás, mint lineáris transzformáció mátrixát a természetes bázisra vonatkozóan! ( ) cos ϕ sin ϕ Megoldás: Forgatás az xy síkban: sin ϕ cos ϕ Forgatás a z tengely körül: cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 25 / 29

26 Feladat: Határozzuk meg az a = (0, 1, 2) vektor képét a z tengely körüli 30 -os forgatásnál! 3 Megoldás: a = = Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 26 / 29

27 Feladat: Határozzuk meg az A mátrixú lineáris transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait! ( ) 3 4 A = 2 3 Megoldás: (( ) ( )) P(λ) = det(a λ E) = det λ = ( ) 3 λ 4 = det = (3 + λ) (3 λ) 4 ( 2) = 2 3 λ (9 λ 2 ) + 8 = λ 2 1 P(λ) = 0 λ 2 1 = 0 λ 1,2 = ±1 Tehát a sajátértékek: -1 és 1. A hozzájuk tartozó sajátvektorokat pedig az (A λ E) x = 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 27 / 29

28 Ha λ = 1, akkor az ( 3 ( 1) ( 1) ) ( x1 x 2 ) = ( 0 0 ) azaz a { 4x 1 + 4x 2 = 0 2x 1 2x 2 = 0. egyenletrendszert kell megoldani. Az első egyenletet 4-gyel, a másodikat -2-vel osztva kapjuk, hogy x 1 + x 2 = 0, azaz x 1 = x 2. A megoldó altér: M = {( t, t) t R, t 0} Megjegyzés: A megoldó alteret generálja például a v = (1, 1) vektor (t = 1 esete). Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 28 / 29

29 Ha λ = 1, akkor az ( azaz a { ) ( x1 x 2 2x 1 + 4x 2 = 0 2x 1 4x 2 = 0. ) = ( 0 0 egyenletrendszert kell megoldani. Az első egyenletet 2-vel, a másodikat -2-vel osztva kapjuk, hogy x 1 + 2x 2 = 0, azaz x 1 = 2x 2. A megoldó altér: M = {( 2t, t) t R, t 0} Megjegyzés: A megoldó alteret generálja például a v = ( 2, 1) vektor (t = 1 esetén). ) Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 29 / 29

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

1. Transzformációk mátrixa

1. Transzformációk mátrixa 1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

1. Szabadvektorok és analitikus geometria

1. Szabadvektorok és analitikus geometria 1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort!

Frissítve: 2015.04.29. Feszültség- és alakváltozási állapot. 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1. példa: Írjuk fel az adott kockához tartozó feszültségtenzort! 1 / 20 2. példa: Rajzoljuk fel az adott feszültségtenzorhoz tartozó kockát! 2 / 20 3. példa: Feszültségvektor számítása. Egy alkatrész egy

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Kovács Zoltán 2005. január 4. Tartalomjegyzék 1. Euklideszi vektorterek 3 1.1. Bilineáris és kvadratikus formák, skaláris szorzatok................ 3 1.2.

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

JEGYZET Geometria 2., tanárszak

JEGYZET Geometria 2., tanárszak JEGYZET Geometria 2., tanárszak Hálás köszönet a segítségért Marosi Pollának, Kiss Györgynek, Lakos Gyulának, Tóth Árpádnak, Wintsche Gergőnek. Felhasznált fogalmak Felhasználjuk a valós vektortér és mátrix

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat 6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Számítógépes geometria

Számítógépes geometria 2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Matematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly

Matematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek A jegyzet nagyobb részét Dr. Simon Bakos Erzsébet gépelte Latex szövegszerkesztőben. Tartalomjegyzék 1. Az A-ben tanult

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

Gazdasági matematika II.

Gazdasági matematika II. Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180 Félévközi

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Matematika 11. évfolyam

Matematika 11. évfolyam Matematika 11. évfolyam Tanmenet Másodfokúra visszavezethető magasabb rendű egyenletek, másodfokú egyenletrendszerek 1. Másodfokú egyenletek (ismétlés) 2. Másodfokú egyenletrendszerek (behelyettesítő módszer)

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után -

Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után - 1 ALAPFOGALMAK Vektoranalízis 1. Alapfogalmak Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után - összehasonlíthatóak

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben