Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}"

Ágnes Papné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai definíciókat teljesen kihagytam)! Csak a szerintem fontos dolgok vannak benne! A kiemelt részekre azt mondta a tanárno, hogy aki azokat nem tudja, el se jöjjön vizsgázni Ha valaki hibát talál, akkor megköszönöm, ha azt elküldi a Sityu91@msn.com címre! Lineáris függetlenség, függőség: A V vektortér a1, a2,, an vektorait lineárisan függetlennek tekintjük, ha belőlük a zérusvektor csak triviális lineáris kombinációként állítható elő, azaz: vektoregyenletben bármely α i =0 iє{1,,n} Lineáris függőség: előző ellentétje! Megjegyzések: 1. Sík altere a 3D-s vektortérnek 2. Alterek metszete is altér 3. Alterek uniója általában NEM altér Bázis: Olyan vektorrendszer amely FÜGGETLEN vektorokból áll, és amelyek lin kombinációjaként a vektortér minden vektora előállítható. Generátorrendszer: Olyan vektorrendszer amely függő vektorokból is állhat, és amelyek lin. kombinációjaként a vektortér minden vektora előállítható. G által generált altér: Legyen G nem nulla és része V vektortérnek. G által generált altérnek nevezzük azt a legszűkebb alteret, amely tartalmazza G-t. jele: ζ(g) Végesen generált vektortér: Ha V-nek létezik véges generátorrendszere, akkor végesen generált vektortérnek nevezzük. Def.: 1. Végesen generált vektortérben bármely két bázis azonos tagszámú. 2. Végesen generált vektortér dimenzióján, bázisainak közös tagszámát értjük. dimv=n Fogalmak, amikre szintén nem térek ki: mátrix, sormátrix, oszlopmátrix, quadratikus mátrix, zérusmátrix, egységmátrix, transzponált, mátrixműveletek 1

2 Determináns: Determináns alatt egy nxn-es mátrixhoz rendelt számot értünk, ahol ha a mátrix elemei az aij számok, akkor a köv képpen adható meg a Leibniz formulával: Axiómái: 1. additivitás 2. homogenitás 3. det( x y )= -det( y x ) 4. Rn-ben kanonikus bázis, vagyis: det(e 1 e 2 e 3 e n )=1 Sarrus-szabály Egy a lineáris algebrában használt módszer, mely segítségével meghatározható egy 3 3- as mátrix determinánsa. Determinán sorai, oszlopai: A determinánsok esetén nem lényeges, hogy sorról vagy oszlopról beszélünk a determináns értékét ez nem befolyásolja következmény: deta=deta T, ahol AєM nxn A determináns bármely oszlopa vagy sora szerint kifejthető. Lineáris függetlenség és a determináns kapcsolata: Az { } vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független ha igaz, hogy det Rang: A mátrix rangjának nevezzük a linárisan független oszlopvektorainak maximális számát. Egy mátrix rangja megegyezik a maximális el nem tűnő aldeterminánsainak rendjével.(rangszám tétel) A mátrix rangja elemi átalakítások során nem változik. Mátrix elemi átalakításai: 1. valamely sort vagy oszlopot nem nulla számmal szorzok 2. tetszőleges sorát, oszlopát felcseréljük. 3. valamely sorához valamely tetszőleges sorának konstansszorosát adjuk 4. valamely oszlopához valamely tetszőleges oszlopának konstansszorosát adjuk Reguláris mátrix! AєMnxn A-t regulárisnak hívjuk, ha deta nem 0 inverze egyértelmű: A -1 = 2

3 Szinguláris mátrix! AєM nxn A-t szingulárisnak hívjuk, ha deta=0 inverzét nem értelmezzük Determinánsok szorzástétele:!a és B єm nxn Ekkor det(a*b)=det(a)*det(b) Lineáris egyenletrendszer: Véges sok elsőfokú egyenletet, és véges sok ismeretlent tartalmazó egyenletrendszer. LER csoportosítása megoldásainak száma szerint: Ha egyetlen mo van: határozott Ha végtelen mo van: határozatlan Ha nincs mo: Ellentmondásról beszélünk. Tétel: Bármely LER véges sok lépésben, ekvivalens átalakításokkal (valamely egyenletet nem 0-val szorozzuk, vagy valamely egyenlethez a LER egy másik egyenletét hozzáadjuk) trapéz alakúra alakítható. Homogén Lineáris Leképezés: Azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény. Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha: két vektor összegének képe a két vektor képének összege egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa. null vektor mindig null vektorba megy át. Izomorfizmus: izomorfizmus, ha lineáris és bijektív. Véges dimenziós vektorterek esetén az egymással izomorf vektorterek dimenziója azonos. dim(v 1 )=dim(v 2 ) Lin leképezések alaptétele:!v1 és V2 két ugyanazon T test feletti vektorterek. { } bázis V 1 -ben, és { } tetszőleges V2-beli vektorrendszer. Ekkor egyértelműen létezik lin. leképezés, melyre igaz, hogy φ(a i )=b i 3 AoB leképezés:! A és B lin. leképezések, továbbá! az A leképezés mátrixa A és B leképezés mátrixa B. Ekkor AoB leképezés mátrixa A*B. Következmény: invertálható operátor mátrixa invertálható.

4 Magtér: lináris leképezés magtere azon vektorok halmaza, melyeket φ o-ba visz át. Ker φ := {vєv 1 φ(v)=0} Állítás: Ker φ altér V1-ben Defektus: defektusa a leképezés magterének a dimenziója. def φ = dim Ker φ A leképezés injektivitását méri : ha φ injektív, akkor def φ = 0. emlékeztető: injektív: φ(a) = φ(b) a=b Képtér: Azon vektorok halmaza melyeket φ nem null vektorba visz át. Leképzés rangja: A képtér dimenziója rg φ=dim φ(v 1 ) Rang-nullitás tétel: rg φ + def φ = dim V 1 vagy dim φ(v 1 ) + dim Ker φ = dim V 1 Hasonló mátrixok: Lineáris-operátor különböző bázisokban felírt mátrixai hasonlók. B=S -1 *A*S ahol A és B bázisokhoz tartozó mátrixok V-ben és S a bázistrsz. mátrixa. Ekkor A és B mátrixok hasonlók. Hasonló mátrixok determinánsai megegyeznek. Sajátérték, sajátvetkor: Adott φ : V V lin operátor. Tekintsük a vєv nem nulla vektort, melyre igaz: φ(v)=αv. Ekkor v-t sajátvektornak α-t pedig sajátértéknek nevezzük. Karakterisztikus egyenlet: A φ : V V lineáris trsz. sajátértékei a det(φ-αe)=0 egyenlet gyökei. Ezt nevezzük karakterisztikus egyenletnek. Karakterisztikus polinom: Az előbb felírt egyenlet baloldalát: det(φ-αe) karakterisztikus polinomnak nevezzük. Állítások: 1. Kböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek 2. Szimmetrikus mátrix sajátértkei valósak 3. nxn-es szimmetrikus mátrixnak létezik n darab páronként merőleges sajátvektora. 4

5 Valós euklideszi terek: Adott egy R feletti V vektortér, a <x;x> : VxV R fgvt skaláris szorzatnak nevezzük, ha teljesülnek rá az alábbiak: 1. <x;y> = <y;x> minden x, y є V 2. <αx;y> = α*<x;y> minden x, y є V, αєr 3. <x 1 +x 2 ;y> = <x 1 ;y> + <x 2 ;y> minden x 12, y є V 4. <x,x> >= 0 és <x,x> = 0 csak ha x=0 minden x є V Az így definiált skaláris szorzattal ellátott teret valós Euklideszi térnek nevezzük. Az E n (n dimenziós euklideszi tér) {e 1 e n } bázisát ortonormáltnak nevezzük, ha <e i ;e j > = d ij (Kronecker delta) i, j є{1 n} emlék: Kronecker delta értéke 1 ha a két szám egyenlő, 0, ha nem egyenlő Az A: E n E n lináris trf.t ortogonálisnak nevezzük, ha minden x, y, єe n esetén : <A(x),A(y)>=<x,y> Megjegyzések: 1. Ortogonális trszf. normatartó 2. Ortogonális trszf. szögtartó 3.!E n E n ortogonális trszf. {e 1 e n } bázis, melyre <e i,e j >=d ij és f i := A(e i ) ekkor: d ij =<e i ;e j >=<A(e i ),A(e j )>=<f i,f j > ekkor és csak ekkor: {f 1 f n } ortonormál ortogonális ortonormált 5

Hasonló dokumentumok

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és