Teszt kérdések. Az R n vektortér

Átírás

1 Teszt kérdések Döntse el az alábbi állításokról, hogy igazak agy hamisak! Az R tér geometriája 1. Ha két térbeli egyenesnek nincs közös pontja, akkor párhuzamosak.. Egy térbeli egyenest egyértelműen meghatározza egy irányektora.. Egy térbeli egyenest egyértelműen meghatározza egy pontja és egy rá merőleges nem nulla ektor.. Ha az e 1 és e térbeli kitérő egyenesek, akkor léteznek olyan S 1 és S síkok, hogy e 1 S 1, e S és S 1 S. 5. Ha a térben egy sík normálektorának és egy egyenes irányektorának a ektoriális szorzata nullektor, akkor az egyenes merőleges a síkra. 6. Ha két sík párhuzamos, akkor a normálektoraiknak a skaláris szorzata negatí. 7. Ha egy sík és egy ele párhuzamos térbeli egyenes táolsága d, akkor bármely P S és Q e esetén a P és Q pontok táolsága d. 8. Egy térbeli síkot meghatározza egy pontja és egy ele párhuzamos nem nulla ektor. Az R n ektortér 9. R n ben. bármely ektorhalmaz rangja n. 10. Ha egy H ektorhalmaz rangja k, akkor H nem tartalmazhat k-1 darab lineárisan összefüggő ektort. 11. Ha egy ektorhalmaz rangja megegyezik az elemszámáal, akkor a ektorhalmaz lineárisan független. 1. Ha a H R n ektorhalmazra r(h) = r, akkor H-nak nem lehet r-nél keesebb ektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaza. 1. Ha egy ektorhalmaz rangja r, akkor a ektorhalmazt egy ektorral bőíte a rang r+1-re nő. 1. Ha egy ektorhalmaz generátorrendszer, akkor az bázis is. 15. Ha L R n lineárisan független, G R n generátorrendszer, akkor G-ben legalább annyi ektor an, mint L-ben. 16. Egy lineárisan független ektorhalmazt toábbi ektorokkal bőíte a függetlenség megőrződik. 17. R n ben minden bázis generátorrendszer.

2 18. Ha a H R n ektorhalmaz generátorrendszer, akkor H nem lehet lineárisan összefüggő. 19. R n ben n darab lineárisan független ektor bázist alkot. 0. R n ben létezik n-nél keesebb ektorból álló lineárisan független ektorhalmaz. 1. R n ben létezik n-nél keesebb ektorból álló generátorrendszer.. R n ben létezik n-nél több ektorból álló generátorrendszer.. Ha a H R n ektorhalmaz generátorrendszer és H >n, akkor H lineárisan összefüggő.. Ha a H R n ektorhalmaz generátorrendszer és H = n, akkor H bázis. 5. Ha a H R n ektorhalmaz lineárisan független és H = n, akkor H generátorrendszer. 6. Lineárisan összefüggő ektorhalmaz részhalmaza is lineárisan összefüggő. 7. Ha egy R n beli generátorrendszer n ektorból áll, akkor az bázis. 8. Minden lineárisan összefüggő ektorhalmaz tartalmazza a nullektort. 9. R n ben minden bázis n ektorból áll. 0. Ha egy ektorhalmaz minimális generátorrendszer, akkor az lineárisan független. 1. Ha egy ektorhalmaz minimális generátorrendszer, akkor az lineárisan összefüggő.. R n ben minden bázis tartalmazza a nullektort.. R n ben. minden generátorrendszer legalább n ektorból áll.. R n ben létezik olyan B bázis, hogy alamely a R n ektorra a B és -a B. 5. Ha H R n lineárisan összefüggő, és a R n \ H, akkor H {a}is lineárisan összefüggő. 6. Legyen A={a 1, a k } R n lineárisan összefüggő. Ekkor r(a) < k. 7. Ha A={a 1, a k } R n lineárisan független, akkor k n. 8. Ha a H R n ektorhalmaz lineárisan összefüggő, akkor an H-nak olyan részhalmaza, amely bázis R n -ben. 9. Ha a H R n ektorhalmaz lineárisan összefüggő, akkor an olyan R n -beli ektor, amely két féle képpen áll elő H-beli ektorok lineáris kombinációjaként. 0. Van olyan R n -beli generátorrendszer, amely nem tartalmaz bázist. 1. R n -ben nincs 0-dimenziós altér.. Ha dim(v)=k, akkor a V altér ektorai közül maximálisan k darab lineárisan független ektor álasztható ki.. R n minden altere tartalmazza a nullektort.. Ha R n = V 1 V, akkor dim(v 1 )+ dim(v ) = n. 5. Ha dim(v 1 )+dim(v )=n, akkor. R n = V 1 V. 6. R és R altere R -nak. 7. Ha a V ektorhalmaz altér R n ben, akkor V lineárisan független. 8. Ha a V ektorhalmaz altér R n ben, akkor V lineárisan összefüggő. 9. Két R -beli ektor lineáris kombinációi mindig egy origón átmenő síkot határoznak meg.

3 50. Alterek metszete is altér. 51. Alterek úniója is altér. Mátrixok 5. Ha egy mátrix és a transzponáltja összeadható, akkor a mátrix négyzetes. 5. Ha az A és B mátrixok összeszorozhatóak, akkor a B és az A is összeszorozhatóak. 5. Ha az A és B mátrixok összeadhatóak, akkor az A és B T mátrixok összeszorozhatóak. 55. Az n n-es mátrixok körében a szorzás nem kommutatí. 56. Ha az A és B mátrixikra létezik az A B és a B A mátrix, akkor A és B négyzetes mátrix. 57. Ha az A mátrix speciálisan egy sorektor, akkor az A B szorzat eredménye (ha létezik), szintén sorektor. 58. Ha a B mátrix speciálisan egy oszlopektor, akkor az A B szorzat eredménye (ha létezik), szintén oszlopektor. 59. Ha az A B szorzat létezik, akkor A T B T is létezik és a két szorzat egyenlő. 60. Ha az A B szorzat létezik, akkor az A T B T szorzat is létezik. 61. Ha az A B szorzat létezik, akkor a B T A T szorzat is létezik. 6..Ha A egy 1xn-es mátrix, akkor A A T és A T A is létezik. 6. Ha A nx1-es mátrix, akkor A A T és A T A is létezik. 6. Vannak olyan A és B -es nem nulla mátrixok, hogy A B = Ha az A mátrix rangja 0, akkor minden eleme Ha A inertálható mátrix, akkor A négyzetes. 67. Minden négyzetes mátrix inertálható. 68. Ha egy mátrix inertálható, akkor a rangja megegyezik a sorainak a számáal. 69. Ha A=A T, akkor az A mátrix inertálható. 70. Ha az A mátrix inertálható, akkor az A -1 mátrix is inertálható. 71. (A -1 ) -1 = A. 7..Ha az A és B négyzetes mátrixok inertélhatóak, akkor A+B is inertálható. 7. Ha az A és B azonos méretű négyzetes mátrixok inertélhatóak, akkor A B is inertálható. 7. det(a+b)=det(a)+det(b) 75. det(λ A)=λ det(a) 76. det(a) = det(a T ). 77. det(a) = det(a -1 ). 78. A determináns értéke -1-szeresére áltozik, ha a mátrixban felcserélünk két sort.

4 79. Ha A inertálható, akkor det(a) det(a -1 )= Ha A inertálható, akkor det(a)+det(a -1 )= A determináns értéke nem áltozik, ha a mátrixban alamelyik oszlopot megszorozzuk egy skalárral, majd ehhez hozzáadjuk egy másik oszlopot. 8. A determináns értéke nem áltozik, ha alamelyik oszlophoz hozzáadjuk egy másik oszlop skalárszorosát. 8. A determináns értéke nem áltozik, ha a mátrixban felcserélünk két oszlopot. 8. Ha egy mátrix determinánsa egyenlő a főátlóbeli elemek szorzatáal, akkor a mátrix diagonális. 85. Ha egy mátrix felsőháromszögmátrix, akkor determinánsa egyenlő a főátlóbeli elemek szorzatáal. 86. Ha egy négyzetes mátrix nem teljes rangú, akkor a determinánsa negatí. 87. Ha egy négyzetes mátrix teljes rangú, akkor a determinánsa pozití. 88. Vannak olyan A és B n n-es mátrixok, hogy det(a) = 0 és det(a B) 0. Lineáris egyenletrendszerek 89. Ha az Ax=o lineáris egyenletrendszer megoldható, akkor az inhomogén párja is megoldható. 90. Ha az Ax=b lineáris egyenletrendszer megoldható, akkor a homogén párja is megoldható. 91. Egy homogén lineáris egyenletrendszer mindig megoldható. 9. Egy homogén lineáris egyenletrendszernek csak triiális megoldása an. 9. Egy homogén lineáris egyenletrendszernek égtelen sok megoldása an. 9. Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer mátrixának a rangja megegyezik az ismeretlenek számáal, akkor létezik a triiálistól különböző megoldása. 95. Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer mátrixának a rangja kisebb az ismeretlenek számánál, akkor létezik a triiálistól különböző megoldása. 96..Ha a homogén lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixának rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma, akkor az egyenletrendszer nem oldható meg. 97. Egy homogén lineáris egyenletrendszer bármely éges számú megoldásának a lineáris kombinációi is megoldások. 98. Minden lineáris egyenletrendszernek an triiális megoldása. 99. Ha az együtthatómátrix rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma, akkor az egyenletrendszer nem oldható meg Van olyan egyenletből álló, ismeretlenes lineáris egyenletrendszer, amelynek pontosan egy megoldásektora an Ha az együtthatómátrix rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma, akkor az Ax=o egyenletrendszernek égtelen sok megoldásektora an.

5 10. Ha egy inhomogén egyenletrendszer egyértelműen megoldható, akkor a homogén párjának csak triiális megoldása an. 10. Ha egy lineáris egyenletrendszernek pontosan 1 megoldásektora an, akkor a mátrixának a rangja megegyezik az ismeretlenek számáal. 10. Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer egyértelműen megoldható, akkor az inhomogén párjának is mindig egy megoldásektora an Ha egy inhomogén egyenletrendszernek égtelen sok megoldásektora an, akkor a homogén párjának is égtelen sok megoldásektora an Ha az A mátrix nxn-es, akkor az Ax=b egyenletrendszernek n különböző megoldásektora an Ha A nxn-es mátrix, akkor az Ax=o egyenletrendszernek n db különböző megoldása an Homogén-inhomogén egyenletrendszerpár esetén a homogén egyenletrendszer egy megoldásektorához hozzáada az inhomogén egyenletrendszer egy megoldásektorát egy inhomogén megoldásektort kapunk A Cramer szabállyal bármely n.egyenletből álló n ismeretlenes homogén lineáris egyenletrendszer megoldható Ha det(a) = 0, akkor az Ax=o lineáris egyenletrendszer nem oldható meg Ha az Ax=o lineáris egyenletrendszer megoldható, akkor det(a) = Ha det(a) = 0, akkor az Ax=o lineáris egyenletrendszernek égtelen sok megoldásektora an. 11. Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixának a determinánsa 0, akkor az egyenletrendszernek an triiálistól különböző megoldása. 11. Ha det(a) = 0, akkor az Ax=b lineáris egyenletrendszernek égtelen sok megoldásektora an Ha az Ax=o lineáris egyenletrendszer megoldható, akkor det(a) = Ha det(a) 0, akkor az Ax=o lineáris egyenletrendszernek csak triiális megoldása an. Lineáris leképezések 117. Ha A : R m R n lineáris leképezés, akkor im(a) = R n Ha A:R m R n típusú lineáris leképezés, akkor dim(im(a)) n Minden lineáris leképezés nullektorhoz nullektort rendel. 10. Minden lineáris leképezés magtere tartalmazza a nullektort Egy A lineáris leképezés mátrixának k-adik oszlopektora A(e k ). 1. Egy A lineáris leképezés mátrixának k-adik sorektora A(e k ).

6 1. Minden lineáris leképezés lineárisan összefüggő ektorokhoz lineárisan összefüggő képektorokat rendel. 1. Minden lineáris leképezés lineárisan független ektorokhoz lineárisan független képektorokat rendel. 15. Ha az A lineáris leképezés injektí, akkor a magtere üres halmaz. 16. Lineáris leképezések kompozíciója (ha létezik) lineáris. 17. Ha az A és B lineáris leképezésekre AoB létezik, akkor az M(A) M(B) szorzás elégezhető. 18. Ha A: R R és B: R R típusú lineáris leképezés, akkor AoB létezik. 19. Minden A: R n R n lineáris transzformációnak létezik sajátértéke. 10. Van olyan R n R n típusú lineáris transzformáció, amelynek nincs sajátektora. 11. Egy A: R n R n lineáris transzformációnak legfeljebb n különböző sajátektora lehet. 1. Egy lineáris transzformáció sajátalterének minden ektora sajátektor. 1. Egy A: R n R n lineáris transzformációnak létezhet olyan sajátértéke, amelyhez egyetlen sajátektor tartozik. 1. Egy A: R n R n lineáris transzformáció bármely sajátértékének az algebrai multiplicitása nem kisebb a sajátértékekhez tartozó sajátaltér dimenziójánál. 15. Egy A: R n R n lineáris transzformáció karakterisztikus polinomjának az A gyöke. 16. Legyen A : R R, (x 1, x ) a ( x 1 +x, x ), 1 =(,1), =(5,), =(,), =(,-). Melyik sajátektor? 17. Legyen A : R R, (x 1, x ) a ( x 1 +x, x ), 1 =(,0), =(5,1), =(,), =(,-). Melyik sajátektor? (egyszeres álasztás) 18. Legyen A : R R, (x 1, x ) a ( 5x 1 +x, x ), 1 =(1,1), =(1,-), =(,0), =(-,).Melyik sajátektor? 19. Legyen A : R R, (x 1, x ) a ( x 1 x, x 1 +6x ), 1 =(1,1), =(,-), =(,0), =(-,). Melyik sajátektor? Legyen A, = 0, Legyen A, = 1, Legyen A, =, Legyen A, = 0, 1 1 1,, ,, =,, = ,,. Melyik sajátektor? 0 Melyik sajátektor? 0 Melyik sajátektor? Melyik sajátektor? 0

7 Skaláris szorzat 1. Az (1,, ), (0, 0, 0) és (, -, 0) ektorok ortogonális ektorhalmazt alkotnak. 15. Az (1, 0, ), (0, 0, 0) és (-, 5, 1) ektorok ortogonális ektorhalmazt alkotnak. 16. Az ( 1, 1, 1 ) ektor egységre normált. 17. A (-1, 0, 0 ) ektor egységre normált. 18. Az ( 1, 1, -1 ) ektor egységre normált. 19. Az ( 1, ) és (, 1 ) ektorok ortonormált bázist alkotnak R -ben Az ( 1, 1 ) és ( 1, 1 ) ektorok ortonormált bázist alkotnak R -ben Minden ortogonális ektorhalmaz lineárisan független. 15. Ha H altér R n -ben, akkor dim(h) = dim(h ). 15. Ha a H R n altérre dim(h) = k, akkor dim(h ) = n-k. 15. Ha H altér R n -ben, akkor dim(h) + dim(h ) = n.