1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:

Átírás

1 1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet a 22 -vel a másodikat a 12 -vel: a 11 a 22 x 1 +a 12 a 22 x 2 = b 1 a 22 a 21 a 12 x 1 +a 22 a 12 x 2 = b 2 a 12, majd vonjuk ki az első egyenletetből a másodikat: azaz Hasonlóan: a 11 a 22 a 12 a 21 x 1 = b 1 a 22 b 2 a 12, x 1 = b 1a 22 b 2 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21 x 2 = b 2a 11 b 2 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 Ha az alábbi három ismeretlenes egyenletrendszert tekintjük: a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 1 x = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 2 = b 2 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 2 x = b Ekkor egy hasonló, de lényegesen hosszabb számolás adja: ahol x 1 = p q, p = b 1 a 22 a + b a 12 a 2 + b 2 a 1 a 2 b a 1 a 22 b 1 a 2 a 2 b 2 a 12 a q = a 11 a 22 a + a 12 a 2 a 1 + a 1 a 21 a 2 a 1 a 22 a 1 a 11 a 2 a 2 a 12 a 21 a Hasonló képlet adható x 2, x -ra Próbáljuk megérteni a nevezőket! A kétismeretlenes egyenletrendszerben a kéttagú összegek: a 11 a 22 a 12 a 21 A háromismeretlenes egyenletrendszerben a háromtagú összegek: a 11 a 22 a a 12 a 2 a 1 a 1 a 21 a 2 a 1 a 22 a 1 a 11 a 2 a 2 a 12 a 21 a Látjuk, hogy egy szorzatban az indexek első számai az 1, 2 ill 1, 2,, a második számokban pedig az 1, 2 ill 1, 2, számok összes permutációja jelenik meg Igy termzetes azt gondolnunk, hogy az a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a nn x n = b n egyenletrendszer megoldásánál az x i nevezőjében olyan n tényezős szorzatok jelennek meg, ahol az indexben az első számok: 1, 2,, n a második számokban az 1, 2,, n számok összes lehetséges permutációi szerepelnek Még meg kell értenünk a szorzatok előjelét Ehhez az inverziószám fogalmára van szükségünk 1 definíció Legyen az 1, 2,, n számok egy permutációja σ1, σ2,, σn Ekkor ebben a permutációban azon párok számát, ahol az előbbre lévő nagyobb mint a hátrébb lévő a permutáció inverziószámának hívjuk Jelöl: Iσ Például: Két szám eseten: Három szám esetén: I1, 2 = 0 I2, 1 = 1 I1, 2, = 0 I2,, 1 = 2 I, 1, 2 = 2 I, 2, 1 = I1,, 2 = 1 I2, 1, = 1 Látjuk azt, hogy a nevezőken + áll ha a 1σ1 a 2σ2 a nσn esetén Iσ az inverziószám páros szám szám, ha az Iσ páratlan, tehát n = 2 esetén az szorzat előjele: a 1σ1 a 2σ2 a nσn 1 Iσ Ezek alapján termzetes az alábbi definíció: 1

2 2 definíció Egy A = a ij n n mátrix determinánsa: deta = σ 1 Iσ a 1σ1 a 2σ2 a nσn, ahol az összegz az 1, 2,, n összes permutációjára vonatkozik Egy másik jelöl: deta = Példák: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 1 Egy 2 2-es mátrix determinánsát úgy számoljuk ki, hogy a főátlóban lévő elemeket összeszorozzuk kivonjuk ebből a mellékátlóban lévő elemeket szorzatát: = = 26 2 Egy -as determinánst a legegyszerűbb az ún Sarrus-szabállyal kiszámolni Ehhez a -as determinánst leírása után ismételjük meg az első két oszlopot formáljunk az átlósan elhelyezkedő számokból -tagú szorzatokat Ezeket adjuk össze oly módon, hogy a balról, fentről jobbra lefelé elhelyezkedő számok szorzatait +-szal a többieket -szal vesszük tekintetbe = = 106 Legyen A egy ún n n-es felső háromszögmátrix, azaz olyan mátrix, ahol a főátló alatt 0-k szerepelnek Ekkor a 11 a 12 a 1 a 1n 0 a 22 a 2 a 2n 0 0 a a n = a nn 1 Iσ a 1σ1 a 2σ2 a nσn σ Nézzük meg, hogy ez a szumma milyen nem nulla szorzatokat tartalmaz! Az a nσn 0 csak akkor lehet, ha σn = n A a nσn 1 0 csak akkor lehet, ha σn 1 = n 1 vagy n Mivel σn = n, ezért σn 1 = n 1 Hasonlóan kapjuk, hogy σi = i minden 1 i n esetén Azaz csak egy összeggel kell számolnunk: az a 11 a 22 a nn -nel Mivel az I1, 2,, n = 0, ezért az előjel + lesz, így a 11 a 12 a 1 a 1n 0 a 22 a 2 a 2n 0 0 a a n = a 11 a 22 a nn a nn Az utolsó példa azért jelentős, mert a Gauss-elimináció során minden n n-es mátrix ilyen alakra hozható Így a következőkben azzal foglalkoznunk, hogy megértsük, hogy a Gauss-elimináció során alkalmazott sorműveletek milyen hatással vannak a determinánsra Példák: Legyen Ekkor A = deta = 10 1 Sorcsere: = 10, azaz a determináns a 1-szeresére változott 2 c 0-val való szorzás: Szorozzuk meg a második sort -mal: = 0, azaz a determináns szintén -szorosára nőtt Egy sorhoz adjuk hozzá egy másik sor c-szeresét: Adjuk például az első sorhoz a második sor dupláját: = 10, azaz a determináns értéke nem változott A fent látott tulajdonságok általában is igazak: 1 tétel 1 Ha egy n n-es mátrixban sorcserét hajtunk végre, akkor a determináns értéke 1-gyel szorzódik 2 Ha egy n n-es mátrixban egy sort beszorzunk egy c számmal, akkor a determináns is c-vel szorzódik Ha egy n n-es mátrixban egy sorhoz hozzáadjuk egy másik sor c-szeresét, akkor determináns nem változik Példa: Határozza meg az

3 determináns értékét! Megoldás: Emeljünk ki -at az első sorból: 6 9 = Adjuk hozzá az első sort a második negyedik sorhoz vonjuk ki a harmadik sorból az első sort: = Cseréjük fel a második harmadik sort: = Vonjuk ki a harmadik sorból a második sor dupláját: = Cseréljük meg a harmadik negyedik sort: = Vonjuk ki a negyedik sorból a harmadik sor hatszorosát: = = A következőkben azt vizsgáljuk meg, hogy a mátrixműveletek a determinánsokkal mit csinálnak Legyen Ekkor A = deta = 2, B = B = 11 Nyilván deta T = = 2 = deta, deta + B = = 50 deta + detb detab = 7 5 = 22 = detadetb, deta 1 = 2 1 = 1 2 = 1 deta A fent látott összefüggek általában is igazak: 2 tétel Legyen A = a ij n n B = b ij n n Ekkor 1 deta T = deta, 2 detab = detadetb, ha A invertálható, akkor deta 1 = 1 deta A determináns fogalmával már teljesen le lehet írni azokat a négyzetes mátrixokat, amelyek invertálhatók: tétel Egy A = a ij n n mátrix akkor csak akkor invertálható, ha deta 0 Bizonyítás: Tegyük fel, hogy A = a ij n n egy invertálható mátrix Ekkor létezik A 1 n n-es mátrix, hogy AA 1 = I n Ezért ezért 1 = I n = detaa 1 = detadeta 1, det A 0 Most tegyük fel, hogy deta 0 Alkalmazzuk deta-ra a Gauss-Jordan eliminációt Ekkor az eredmény vagy az I n egységmátrix vagy egy olyan mátrix, amelynek utolsó sorában csupa 0 van Nézzük meg, hogy a Gauss-Jordan elimináció során alkalmazott lépeknél a determináns hogyan változik! Sorcserénél a determináns -1-szeresre változik; ha egy sort c 0 számmal szorzunk, akkor a determináns is c-vel szorzódik ha egy sorhoz hozzáadjuk egy másik sor c-szeresét, akkor nem változik a determináns értéke Ezért ha olyan n n-es mátrixból indulunk ki, ahol a determináns nem-nulla, akkor a Gauss-Jordan eliminációval kapott mátrix determinánsa sem nulla Ezért nem lehet, hogy a fenti A mátrix esetén a Gauss-Jordan-elimináció olyan mátrixot eredményezzen, ahol az utolsó sorban 0-k vannak, mert akkor a determináns 0 lenne Így a Gauss- Jordan elimináció az I n egységmátrixot szolgáltatja, tehát a korábban megismert algoritmussal meghatározhatjuk A 1 -t, tehát létezik az inverz A következőkben a determins egy másik kiszámítási módját mutatjuk be Az A = a ij n n mátrix determinánsa: deta = σ 1 Iσ a 1σ1 a 2σ2 a nσn, ezért látjuk, hogy egy rögzített a ij szám olyan szorzatokban szerepel, ahol a tagok abból a mátrixból jönnek, amit

4 A = a ij n n mátrix i-edik sorának j-edik oszlopának elhagyásával kapunk Jelölje ennek determinánsát M ij Nézzük meg, hogy hogyan számítható ki ez alapján egy -as mátrix determinánsa: a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 a 1 a 2 a = a 11 a 22 a + a 12 a 2 a 1 + a 1 a 21 a 2 a 1 a 22 a 1 a 11 a 2 a 2 a 12 a 21 a = a 11 a 22 a a 2 a 2 + a 12 a 2 a 1 a 21 a + a 1 a 21 a 2 a 22 a 1 = a 11 M 11 a 12 M 12 + a 1 M 1 Érdemes bevezetni az előjeles aldetermináns fogalmát: Eszerint a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 a 1 a 2 a C ij = 1 i+j M ij = a 11C 11 + a 12 C 12 + a 1 C 1 Ezt az zrevételt általánosítja a kifejti tétel: 4 tétel Legyen A = a ij n n, jelölje C ij az előjeles aldeterminánsokat Ekkor minden 1 i n esetén det A = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in minden 1 j n esetén det A = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj Az első képletet használatánál azt mondjuk, hogy az i- edik sor szerint fejtjük ki a determinánst, míg a második képletet használva a szóhasználat az, hogy a j-edik oszlop szerint fejtünk ki Mindig olyan sor vagy oszlop szerint érdemes kifejteni, amelyik a lehető legtöbb 0-t tartalmazza, mert így a lehető legtöbb olyan szorzat lesz, ahol az egyik tényező 0, tehát ezeket le sem kell írni Példa: Számítsuk ki az determináns értékét! Megoldás: A második sor szerint érdemes kifejteni Ekkor a 1 i+j előjelet legegyszerűbb az ún sakktáblaszabály szerint felírni, balodalt felül + jel van, egy sorban felváltva vannak + jelek, két egymás utáni sorban eggyel elcsusztatva vannak a + -ok Eszerint = = E két determinánst most megint kifejtjük, mondjuk az első sor szerint: = = így = = = 0, = = = 45 A kifejti tétel egy kis módosításával jutunk a ferde kifejti tételhez: 5 tétel Legyen A = a ij n n, jelölje C ij az előjeles aldeterminánsokat Ekkor minden 1 i n minden 1 j n esetén ha i j, akkor a i1 C j1 + a i2 C j2 + + a in C jn = 0 A kifejti a ferde kifejti tétel lehetőséget ad arra, hogy invertálható mátrix esetén az inverzet felírjuk Ehhez szükség van az adjungált mátrix definíciójára: definíció Az A = a ij n n mátrix adjungált mátrixát úgy kapjuk, hogy minden komponens helyett vesszük a hozzá tartozó előjeles aldetermináns, majd ezt transzponáljuk a főállóra tükrözzük Tömören: adja = C ji n n 6 tétel Ha A = a ij n n egy invertélható mátrix, akkor A 1 = 1 det A adja 4

5 Bizonyítás: Az inverz definíciója szerint azt kell megmutatni, hogy 1 A det A adja = I n, azaz AadjA = det AI n = det A det A det A det A Vegyük a AadjA szorzatot A szorzat i-edik sorának j-edik oszlopának eleme { det A, ha i = j a i1 C j1 + a i2 C j2 + + a in C jn = 0, ha i j a kifeti ferde kifejti tétel szerint Ez bizonyítja a tételt Példa: Határozza meg az 5 2 A = 2 mátrix inverzét! Megoldás: Könnyen látszik, hogy M 11 =, M 12 = 2, M 21 = 2, M 22 = 5, ezért C 11 =, C 12 = 2, C 21 = 2, C 22 = 5 Így Mivel ezért adja = A 1 = det A =, Végezetül visszatérünk a kiinduló problémára szeretnénk egy n ismeretlent tartalmazó n egyenletből álló lineáris egyenletrendszert megoldani, most már determinánsokkal Legyen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n, A fenti egyenletrendszerből formált együtthatómátrix: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn A változók oszlopvektora: x 1 x n x 2 x = A konstansok oszlopvektora: b = b 1 b 2 b n Az egyenlet az ismert módon, tömören Ax = b alakba írható Ha A egy invertálható mátrix, akkor Az x = A 1 1 b = det A adja b adja b szorzat elvégze a következő adja: b 1 C 11 + b 2 C b n C n1 b 1 C 12 + b 2 C b n C n2, b 1 C 1n + b 2 C 2n + + b n C nn tehát Igy x 1 b 1 C 11 + b 2 C b n C n1 b 1 C 12 + b 2 C b n C n2 x 2 = 1 det A x m b 1 C 1n + b 2 C 2n + + b n C nn x j = b 1C 1j + b 2 C 2j + + b n C nj det A Végezetül meg kell értenünk a számlálót Jelölje A j azt a mátrixot, amelyet úgy kapunk, hogy az A mátrixban a j-edik oszlopot kicseréljük a b oszlopvektorral Ekkor C ik - vel jelölve az A j aldeterminánsait kapjuk a j-edik oszlop szerint A j -t kifejtve, hogy det A j = b 1 C 1j + b 2 C 2j + + b n C nj Mivel az A j A csak a j-edik oszlopban külömbözik, ezért a j-edik oszlophoz tartozó előjeles aldeterminánsok a két mátrixban megegyeznek, azaz C ij = C ij, 5

6 ezért det A j = b 1 C 1j + b 2 C 2j + + b n C nj, így x j = det A j det A A fent levezetett formulát Cramer-szabálynak hívják Példa: Oldjuk meg az x 2z = 6 x + 4y + 6z = 0 x 2y + z = 8 egyenletrendszert a Cramer-szabállyal! Megoldás: Az együtthatómátrix: , 1 2 ennek determinánsa: det A = 44 A Cramer-szabályban szereplő mátrixok: A 1 = 0 4 6, 8 2 A 2 = A = az ő determinánsaik: det A 1 = 40,, így det A 2 = 72 det A = 152, x 1 = 40 44, x 1 = 72 44, x 1 =