NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK
|
|
- Lídia Gálné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Unported Licenc feltételeinek megfelelően szabadon felhasználható. 1
2 1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t, k, k + ) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl) fogalma, tétel az ábrázolt szám hibájáról. Példák a véges számábrázolás miatt előforduló furcsaságokra. Az a = ±m k, (m = t i=1 m i i, m i {0, 1}, m 1 = 1, t N, k Z) számot normalizált lebegőpontos számnak nevezzük, ahol m i a mantissza, t a mantissza hossza, k karakterisztika. Jelölése: a = ±[m 1... m t k]. Gépi számok halmaza: { M = M(t, k, k + ) := a = ±m k m = ahol 1 m 1, és M a 0-ra szimmetrikus. t m i i, m i {0, 1}, m 1 = 1, t N, k k k } {0}, + i=1 Nevezetes gépi számok: A legnagyobb ábrázolható pozitív szám: M = +[ k + ] = (1 1 ) k+ t A legkisebb ábrázolható pozitív szám: A relatív korlát/pontosság: ε 0 = +[ k ] = 1 k ε 1 = [ ] [ ] = 1 t 1 = 1 t 1 rákövetkezője 1 Input függvény: A valós számok gépi számokkal való megfeleltetése. fl: R x M, ahol M, (x > M ) M, (x < M ) fl(x) = 0, (0 x < ε 0 ) az x-hez legközelebbi gépi szám, (ε x M ) Az ábrázolt szám abszolút hibakorlátja: Tétel: ε 0, (0 x < ε 0 ) x fl(x) 1 x ε 1, (ε 0 x M )
3 Bizonyítás: (1) 0 x < ε 0 triviális () ε 0 x M : a, x M : triviális: x fl(x) = 0 b, x / M : Ekkor tegyük fel, hogy x x x (x, x M szomszédjai) x = [m 1... m t k], az itervallum hossza 1 t k (ezzel bevezethető a hiba. Így x fl(x) 1 1 t k = x 1 t 1 x ε 1. Az ábrázolt szám relatív hibakorlátja: Következmény: x fl(x) 1 x ε 1 = t (ε 0 x M ). A gépi ábrázolás miatt előforduló furcsaságok: (1) a b = a, ahol b 0. Például: [1100 1] [1000 3] [0000 1] [1100 1] () (a b) c a (b c): asszociativitás nem mindig teljesül. Például: } a = [1100 1] : [1100 1] c = [1100 1] b = [1000 3] } b = [1000 3] : [1000 ] a = [1101 1] c = [1000 3] (3) Kivonási jegyveszteség (relatív pontosság romlása). Például: [11011 ] [11000 ] [00011 ]= [ ] (4) A részeredmény nem ábrázolható, de az eredmény igen. Például: a + b, ahol S = max{ a, b } nagy. Ekkor S ( a s ) + ( b s ) alakban számolunk.. A hibaszámítás elemei. Az abszolút és relatív hiba, hibakorlát fogalma. Tétel az alapműveletek abszolút és relatív hibájáról. A függvényérték abszolút és relatív hibája. Függvény egy adott pontbeli kondíciószámának felírása. Jelölés: A: a pontos érték, a: a közelítő érték. (Hibája csak a közelítő értéknek van.) A közelítő érték pontos hibája: a = A a = aδa A közelítő érték abszolút hibája: a = A a A közelítő érték egy abszolút hibakorlátja: a a, a = a δ a A közelítő érték relatív hibája: δa = a A a A közelítő érték egy relatív hibakolátja: δ a δa 3
4 Az alapműveletek abszolút és relatív hibakorlátjai tétel: a±b = a + b δ a±b = a a±b a + a b = b a + a b δ a b =δ a + δ b a b = b a+ a b b δ a a + δ b b b a±b δ b bizonyítás: Tegyük fel, hogy A és B azonos nagyságrendű. Ekkor (a b) = AB ab = AB ab + ab ab = B(A a) + a(b b) = B a + a b = mert a b elhanyagolható. Ekkor (b + b) a + b a b a + a b, (a b) b a + a b b a + a b = a b, (a b) b a + a b δ(a b) = = = a ab ab a + b b = δ a + δ b, δ(a b) δa + δb δ a + δ b = δ a b. Az összevonás, kivonás és osztás bizonyítása analóg módon. Kivonás és összeadás esetén feltesszük még, hogy A és B azonos előjelű. A függvényérték abszolút hibakorlátja tétel: Ha f C 1 (k(a)) (k(a) = [a a, a + a ]), akkor f(a) = M 1 a, ahol M 1 = max{ f (ξ) : ξ k(a)}. bizonyítás: Lagrange-féle középérték-tételt alkalmazva: ξ k(a) : f(a) = f(a) f(a) = f (ξ) (A a) = f (ξ) a, így f(a) = f (ξ) a M 1 a = f(a). tétel: Ha f C (k(a)) (k(a) = [a a, a + a ]), akkor f(a) = f (a) a + M a, ahol M = max{ f (ξ) : ξ k(a)}. bizonyítás: A Taylor-formula segítségével: ξ k(a) : f(a) = f(a) + f (a)(a a) + f (ξ) (A a) f(a) = f(a) f(a) = f (a) a + f (ξ) (A a) f(a) f (a) a + M a f (a) a + M a. következmény: A függvényérték relatív hibakorlátja: δf(a) f (a) f(a) a, Az f függvény a-beli kondíciószáma: δf(a) a f (a) f(a) δ a = δ f(a) cond(f, a) = a f (a), így δ f(a) = cond(f, a) δ a. f(a) 4
5 3. Lineáris egyenletrendszerek (LER) megoldása Gauss-eliminációval. Az elimináció és a visszahelyettesítés műveletigénye. A sor-, illetve oszlopcsere szükségessége. A részleges és teljes főelemkiválasztás. Feladat: Ax = b x =?, ahol A R n n, x, b R n. Az egyenletrendszer megoldható, ha - b kifejezhető A oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, - A oszlopvektorai lineárisan függetlenek. Cél: Felsőháromszög alakra hozni az egyenletrendszert. Gauss elimináció (az egyik háromszög alakra hozó módszer): 0. lépés: Legyen a n+1 := b és a (0) ij := a ij. 1. lépés: 1. egyenlet változatlan, következőekből elimináljuk x 1 -t: új i. egyenlet := i. egyenlet a i1 a egyenlet, ahol a 11 0, i =,..., n. Így a (1) ij := a (0) ij a(0) i1 a (0) 11 a (0) 1j (i =,..., n, j =,..., n + 1) k. lépés: k. egyenlet változatlan, következőekből elimináljuk x k -t: új i. egyenlet := i. egyenlet a(k 1) ik a (k) ij := a (k 1) ij a(k 1) ik a (k 1) kk a (k 1) kj a (k 1) kk k. egyenlet, azaz (n-1). lépés után felsőháromszög-mátrixot kapunk: (k = 1,..., n 1, i = k +1,..., n, j = k +1,..., n+1). a (0) 1,1 x a (0) 1,n x n = a (0) 1,n+1 a (i 1) i,i.. x i + + a (i 1) i,n. a (n 1) n,n. x n = a (i 1) i,n+1. x n = a (n 1) n,n+1 Visszahelyettesítés a felsőháromszüg-mátrixú egyenletrendszerbe: x i = 1 a (i 1) i,i x i együtthatója a (i 1) i,n+1 ami b i helyén keletkezik n (a (i 1) i,j x j ) j=i+1 x i utáni x-ek együtthatójukkal (i = n 1,..., 1) 5
6 Gauss-elimináció műveletigénye: Eliminációs fázis (felsőháromszög-alak kialakítása): a k. lépésben: (n k) db szorzás, (n k) (n k + 1) db osztás, (n k) (n k + 1) db összeadás. (n k) ( (n k) + 3 ) db művelet n 1 Visszahelyettesítési fázis: x i kifejezésénél: ( ) n 1 n 1 (n k) n(n k) + 3 = (n k) + 3 (n k) = (n 1)n(n + 1) (n 1)n = = 3 n3 + O(n ). 1 db osztás, (n i) (n k + 1) db szorzás, (n i) (n k + 1) db összeadás. +x n esetén 1 db osztás (n i) + 1 db művelet ( n 1 i=1 1 + (n i s ) ) n = (s + 1) + 1 = s=1 n 1 s=1 (n 1)n = + n = n + O(n). s + (n 1) + 1 = A Gauss-elimináció elvégezhető sor- és oszlopcsere nélkül a (k 1) kk 0 (k = 1... n 1). Ha a k. lépésben mégis a (k 1) k,k = 0: lehetséges a sorcsere (egyenlet), a megoldás nem változik, oszlopcsere (a megoldásvektor komponensei cserélődnek). Kézi számításnál csak akkor cserélünk, ha muszáj. Gépi számolás esetén főelemkiválasztást alkalmazunk. Részleges főelemkiválasztás: A k. lépésnél: {a (k 1) k,k,..., a (k 1 n,k } közül a maximális abszolútértékű elem sorát cseréljük a k. sorral, a megoldás nem változik. Teljes főelemkiválasztás: A k. lépésnél a [k.-n.] sorok és oszlopok által meghatározott részmátrixban keressük a legnagyobb abszolútértékű elemet, ennek a sorát a k. sorral, illetve oszlopát a k. oszloppal cseréljük. A megoldás változik az oszlopcsere miatt, ezt nyomon kell követni. Mindkét főelemkiválasztós eljárásban a sor és oszlopcserét nem végezzük el, helyette az induláskor felvett sor és oszlopindexelő vektorban cserélünk. Nem kell az elimináció előtt ellenőrizni, hogy megoldható-e az egyenletrendszer, mert az algoritmus közben eldől a megoldhatóság. = 0 elemet cserélni, mert mindenhol (k n 1) 0 maradt, és az utolsó oszlopban is csak 0 marad, akkor végtelen sok megoldás van, egyébként, ha az utolsó oszlopban maradnak nemnulla elemek, akkor nincs megoldás. Ha nem tudjuk az a (k 1) k,k 6
7 4. A GE alkalmazásai: determináns számítása, azonos mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrix inverz számítás. A GE felírása speciális mátrix szorzásokkal. Kapcsolata az LU felbontással. Determináns számítása: A Gauss-elimináció után a determináns a főátlóbeli elemek szorzatával számítható, mivel a Gauss-elminiáció átalakításai determinánstartóak. det(a) = a (0) 11 a (1)... a (n 1) nn ( 1) t, ahol a t a sor- és oszlopindexek összes inverziószáma. Azonos mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldása: Ax 1 = b 1, Ax = b, Ax 3 = b 3 Gauss-elimináció A b 1 b b 3 I x 1 x x 3. visszahelyettesítés Inverz számítása: Ax = I (x = A 1 egyenletből). A(x 1, x,..., x n ) = (e 1, e,..., e n ), így Ax i = e i. Gauss-elimináció A e 1 e... e n I x 1 x... x n. visszahelyettesítés I x=a 1 (a bol oldai oszlopcsere az eredményben sorcserét jelent!) A Gauss-elimináció felírása mátrix szorzásokkal: L k = l k+1,k. = I l k e k, ahol l k = l n,k L k A (k 1) = A (k) a Gauss-elimináció egy lépése, ha az első k db sor nem változik, i. sor = i. sor - l ik k. sor. L n 1 L n L L 1 A =: U felsőháromszög-mátrix. Bizonyítás: A (k) első k darab sora nem változik i > k-ra: A (k 1) i. sora l ik A (k 1) k. sora. Kapcsolata az LU-felbontással: 0. 0 l k+1,k. l n,k, és l ik = a(k 1) ik a (k 1) kk. Az LU-felbontás: A = L 1 1 L 1... L 1 n 1 U = LU Tétel: L 1 k = I + l k e k. 7
8 Bizonyítás: L k L 1 k = (I l k e k )(I + l k e k ) = I l k (e k l k )e k = I 0 Tétel : L 1 1 L 1... L 1 n 1 = I + l 1 e 1 + l e + + l n 1 e n 1. Bizonyítás: Teljes indukcióval. k = 1 : (előző tétel) Tegyük fel, hogy k < n 1-re igaz. ekkor (k + 1)-re: 1... L 1 k ) L 1 k+1 = (I + l 1e l k e k ) (I + l k+1 e k+1) = (L 1 = I + l 1 e l k e k + l k+1 e k+1 + l 1 e 1 l k+1 e k l k e k l k+1 e k+1 = 0 0 = I + l 1 e l k+1 e k+1. Következmény: Ha a Gauss-elimináció elvégezhető sor és oszlopcsere nélkül, akkor A = LU alakú felbontás, ahol L L (1), U U. Igaz a megfordítás is. 5. Az LU felbontás, tétel a!-ről. A főminorok és az LU felbontás kapcsolata. L és U elemeinek meghatározásának menete, sorrendek az elemek kifejezésére. Műveletigénye. A = LU, ahol 1 0 L = 1, U = 1 0 Vagyis L alsóháromszög mátrix, diagonálisában 1-esek, U pedig felsőháromszög mátrix. Ax = b L(Ux ) = b y (1) Ly = b y, () Ux = y x. Tétel: Ha a Gauss-elimináció elvégezhető sor és oszlopcsere nélkül, akkor LU = A. Tétel: Ha det(a) 0! LU = A. Bizonyítás: Indirekt tegyük fel hogy olyan különböző L 1 U 1 és L U, hogy A = L 1 U 1 = L U. Mind a 4 mátrix intvertálható, hiszen det(l 1 ) = det(l ) = 1 8
9 és a det szorzástétel miatt így det(u 1 ) 0, det(u ) 0, L 1 L 1 = U U 1 1. Tudjuk, hogy két alsó háromszögmátrixot megszorozva alsó háromszögmátrixot és két felső háromszögmátrixot megszorozva felső háromszögmátrixot kapunk, és invertálható háromszög mátrix szorzata is ugyan olyan háromszög lesz. Tehát L 1 L 1 alsó háromszögmátrixot ad, és U U 1 1 felső háromszögmátrixot ad. Így egyenlőség csak akkor áll fent, ha mindkét oldalon diagonális mátrix áll, de akkor a bal mátrix I, így akkor a jobb is I. Tehát L 1 L 1 = I L = L 1, U U 1 1 = I U 1 = U. Tétel: Ha az A mátrix főminoraira: D k 0 előállítható. (k = 1,..., n 1), akkor az LU = A felbontás Bizonyítás: Ha D k : det(d k ) 0 (ugyanis D k = a (0) a (k 1) kk ), úgy a GE elvégezhető, tehát LU felbontás. (k = 1,..., n), akkor az LU felbontás egyér- Tétel: Ha az A mátrix főminoraira D k 0 telmű. Bizonyítás: Ha det(a) 0 előző tétel! LU = A. L és U elemeinek meghatározása mátrixszorzással: Általános képlet: a ij = min(i,j) l ik u kj. Az a ij elem (i, j) poziciója határozza meg, hogy l ij vagy u ij elemet számol. Felsőháromszög mátrix elemei: i j a ij = l ii u ij + u ij = a ij Alsó háromszög mátrix elemei: i > j Sorrendek az elemek kifejezésére: i 1 i 1 l ik u kj a ij = l ij u jj + j 1 l ik u kj (l ii = 1 miatt). l ik u kj l ij = 1 j 1 (a ij l ik u kj ). u jj 9
10 sorfolytonosan (i, j) szerint, oszlopfolytonosan (i, j) szerint, parkettás módszer - sor/oszlop felváltva. U első sora = A első sora, L első oszlopa = A első oszlopa/a 11. Az LU-felbontás műveletigénye: u ij : rögzített i-re (i 1) szorzás, (i 1) összeadás = (i 1), l ij : rögzített j-re (j 1) szorzás, (j 1) öszeadás, 1 osztás = j 1, n n n 1 n 1 (i 1) + (j + 1) = i= j=1 j=1 i=j+1 3 n3 + O(n ). 6. Fogalmak: A szimmetrikus, pozitív definit, szigoróan diagonálisan domináns a sorokra illetve oszlopokra, fél sávszélesség, profil, Schur-komplementer. A GE (LU felbontás) megmaradási tételei. A szimmetrikus, ha A = A. A pozitív definit, ha λ i > 0 (i = 1... n) 10
alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz:
1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl)
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
RészletesebbenTétel: Ha,, akkor az ábrázolt szám hibája:
1. A lebegpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl) fogalma,
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Részletesebben9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:
Részletesebben1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó................................................ GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 2009/10. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 9/. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK. Feladat. Az a. választás mellett A /( a) értéke.486. Határozzuk meg mi is A értékét egy tizes számrendszerű, hatjegyű mantisszás
RészletesebbenTáblán. Numerikus módszerek 1. előadás (estis), 2017/2018 ősz. Lócsi Levente. Frissült: december 1.
Táblán Numerikus módszerek 1. előadás (estis), 2017/2018 ősz Lócsi Levente Frissült: 2017. december 1. Ebben az írásban a 2017/2018 őszi félév estis Numerikus módszerek 1. előadásának a diasorban nem szereplő,
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenNumerikus Analízis I.
Numerikus Analízis I. Sövegjártó András Jegyzet másodéves programozó és programtervező matematikus szakos hallgatóknak 2003. ,,A sikerhez és tudáshoz vezető út senki előtt sincs zárva, akiben van bátorság
RészletesebbenNumerikus Analízis. Király Balázs 2014.
Numerikus Analízis Király Balázs 2014. 2 Tartalomjegyzék 1. A hibaszámítás elemei 7 1.1. A matematika modellezés folyamata és a hibaforrások megjelenése.. 7 1.2. Lebegőpontos számábrázolás.......................
Részletesebben1. A kétszer kettes determináns
1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó............................................... 6. GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenFeladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: A x = b,
Gauss Jordan-elimináció Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: ahol A négyzetes mátrix. A x = b, A Gauss Jordan-elimináció tulajdonképpen az általános iskolában tanult módszer lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenXI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek
1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:
Részletesebben12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenMátrixfelbontások BSc szakdolgozat
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Radnai Georgina Mátrixfelbontások BSc szakdolgozat Témavezető: Ágoston István Algebra és Számelmélet tanszék Budapest, 6 Tartalomjegyzék Bevezetés 4.
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma
Mátrixok Definíció Az m n típusú (méretű) valós A mátrixon valós a ij számok alábbi táblázatát értjük: a 11 a 12... a 1j... a 1n.......... A = a i1 a i2... a ij... a in........... a m1 a m2... a mj...
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Részletesebben11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal
11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden
RészletesebbenProblémás regressziók
Universitas Eotvos Nominata 74 203-4 - II Problémás regressziók A közönséges (OLS) és a súlyozott (WLS) legkisebb négyzetes lineáris regresszió egy p- változós lineáris egyenletrendszer megoldása. Az egyenletrendszer
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenLineáris algebrai egyenletrendszerek iteratív megoldási módszerei
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebrai egyenletrendszerek iteratív megoldási módszerei Szakdolgozat Készítette: Kis Ágnes Matematika Bsc. Matematikai elemző szakirány Témavezető:
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések:
A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Egyenletrendszerek megoldása Excelben. Solver használata. Mátrixműveletek és függvények
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Részletesebben3. Lineáris egyenletrendszerek megoldása február 19.
3. Lineáris egyenletrendszerek megoldása 2018. február 19. Lineáris egyenletrendszer M darab egyenlet N változóval, az a ij és b j értékek ismertek: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1N x N = b 1 a 21 x 1 +
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Mátrixműveletek H406 2017-11-10 Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenA parciális törtekre bontás?
Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
Részletesebben5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.
A pivotálás hasznáról és hatékony módjáról Adott M mátrixra pivotálás alatt a következ½ot értjük: Kijelölünk a mátrixban egy nemnulla elemet, melynek neve pivotelem, aztán az egész sort leosztjuk a pivotelemmel.
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenLINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
Részletesebben