NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK

Átírás

1 NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Unported Licenc feltételeinek megfelelően szabadon felhasználható.

2 . Definiálja a gép számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját! Az a = ±m k, (m = t i= m i i, m i {0, }, m =, t N, k Z) számot normalizált lebegőpontos számnak nevezzük, ahol m i mantissza, t a mantissza hossza, k i karakterisztika. Jelölése: a = ±[m... m t k] Gépi számok halmaza: { } t M(t, k, k + ) := a = ±m k m = m i i, m i {0, }, m =, k k k + {0}, i= M = M(t, k, k + ). Írja le a gép számhalmaz nevezetes számait! A legnagyobb pozitív szám: M = +[... k + ] = ( ) k+ t A legkisebb pozitív szám: ε 0 = [ k ] = k A számábrázolás relatív pontossága: ε = [ ] [ ] = }{{}}{{} t = t rákövetkezője 3. Definálja az input függvény fogalmát, és írja le a hibájára vonatkozó tételt! Az fl: R x M függvényt input függvénynek nevezzük, ha { 0, ha 0 x < ε 0 fl(x) = az x-hez közelebbi gépi szám a kerekítés szerint, ha ε 0 x M Tétel: Ha x R x, akkor x fl(x) { ε 0, ha 0 x < ε 0 x ε, ha ε 0 x M 4. Adja meg a hibaszámítás alapfogalmait: hiba, abszolút-, relatív hiba és korlátjaik! Legyen A a pontos érték, a pedig közelítő érték. Ekkor Hiba: a = A a Abszolút hiba: a = A a Egy abszolút hibakorlát: a a Relatív hiba: δa = a a Egy relatív hibakorlát: δ a δa 5. Írja le az alapműveletek abszolút hibakorlátjaira vonatkozó képleteket! - a±b = a + b - ab = a b + b a - a b = a b + b a b = a ( a b a + ) b b 6. Írja le az alapműveletek relatív hibakorlátjaira vonatkozó képleteket! - δ a±b = a δ a + b δ b a ± b - δ ab = δ a + δ b - δ a = δ a + δ b b

3 7. Írja le a függvényérték abszolút hibakorlátjára vonatkozó összefüggést! f C (k(a)), k(a) := [a a ; a + a ], ekkor f(a) = M a, ahol M := max{ f (x) : x k(a)} 8. Írja le a függvényérték abszolút- és relatív hibakorlátjára vonatkozó összefüggést (a függvényről kétszer folytonosan deriválhatóságot feltételezve)! f C (k(a)), ekkor f(a) = f (a) a + M a, ahol M := max{ f (x) : x k(a)} 9. Definiálja az f függvény a pontbeli kondíciószámát! A c(f, a) = a f (a) mennyiséget az f függvény a-beli kondiciószámának nevezzük. f(a) 0. Mennyi a Gauss-elimináció illetve a visszahelyettesítés műveletigénye? (x + O(n y )) Gauss elimináció műveletigénye: 3 n3 + O(n ) Visszahelyettesítés műveletigénye: n + O(n), ahol O(n) = 0, így a műveletigény n. Írja fel az L k mátrixot, melyet A (k ) -re alkalmazva a Gauss-elimináció egy lépését kapjuk! A Gauss-elimináció k. lépése felírható L k A (k ) = A (k) alakban, ahol L k L () és L k = 0 k = I l k e k, ahol l k = k n 0 0 l k+,k. l nk, és l ik = a(k ) ik. a (k ) kk. Adjon elégséges feltételt az LU-felbontás létezésére! (Gauss-eliminációval) Ha a Gauss-elimináció elvégezhető sor és oszlop csere nélkül, akkor A = LU alakú felbontás, ahol L L (), U U. 3. Adjon elégséges feltételt az LU-felbontás létezésére és egyértelműségére! (Gausselimináció nélkül) Ha D k = det((a ij ) k i,j=) 0 (k =,..., n ), akkor az A = LU felbontás létezik, és u kk 0 k =,..., n ). Ha det(a) 0, akkor a felbontás egyértelmű. 4. Mennyi az LU-felbontás, illetve egy háromszög mátrixú LER megoldásának műveletigénye? (x + O(n y )) 3 n3 + O(n ). 5. Mikor nevezzük A-t szimmetrikus és pozitív definit mátrixnak? Az A mátrix szimmetrikus mátrix, ha A = A, és pozitív definit, ha Ax, x = x Ax > 0 ( x 0) 3

4 6. Mikor nevezzük A-t a soraira (oszlopaira) nézve szigorúan diagonálisan dominánsnak? A szigorúan diagonálisan domináns a soraira, ha a ii > j=,j i a ij i-re. az oszlopaira, ha a ii > a ji i-re. j=,j i 7. Definiálja A fél sávszélességét! Az A fél sávszélessége s N, ha i, j : i j > s : a ij = 0, és k, l : k l = s : a kl Definiálja A profilját! Az A profilja a k i és l j számok összessége a ij = 0 (j =... k i ) és a i,ki + 0, és a ij = 0 (j =... l j ) és a lj +,j Definiálja az A mátrix A -re vonatkozó Schur-komplementerét! Ha A R k k és invertálható, akkor az [A A ] = A A A A mátrix az A-nak az A -re vonatkozó Schur-komplementere. 0. Mondja ki a a Gauss-elimináció (legalább) 4 tulajdonságának megmaradási tételét! - Ha A szimmetrikus, akkor [A A ] is szimmetrikus. - Ha A pozitív definit, akkor [A A ] is pozitív definit. - Ha A szigorúan diagonálisan domináns, akkor [A A ] is szigorúan diagonálisan domináns. - Ha A fél szávszélessége s, akkor [A A ] fél sávszélessége is legalább s. - [A A ] profilja az A profiljához képest nem csökkenhet. - det(a) 0 det([a A ]) 0.. Definiálja a Cholesky-felbontást! A = LL, ahol L L, A szimmetrikus és l ii > 0 i-re.. Milyen tételt tanult a Cholesky-felbontásról? Ha A szimmetrikus és pozitív definit, akkor! A = LL felbontás. 3. Mennyi a Cholesky-felbontás műveletigénye? (x + O(n y )) 3 n3 + O(n ). 4. Milyen tételt tanult a QR-felbontásról? Ha A oszlopai lineárisan függetlenek, akkor A = QR felbontás. Ha még feltesszük, hogy az r ii > 0 i-re, akkor egyértelmű is. 5. Mennyi a QR-felbontás műveletigénye? n 3 + O(n ). 4

5 6. Definiálja a Householder mátrixot! A H(v) = I vv (v R n, v = ) mátrix a v vektorhoz tartozó Householder mátrix. 7. Írja le a Householder-transzformáció 4 tanult tulajdonságát! - H = H(v) szimmetrikus (H = H). - H ortogonális (H = H = H, H = I). - H(v)v = v. - y v : H(v)y = y. 8. Adja meg azt a Householder mátrixot, melyre az azonos hosszúságú a b vektorok esetén Ha = b! Legyen a b 0, a = b, ekkor v := ± a b -re H(v)a = b. a b 9. Írja le a vektornorma definiáló tulajdonságait! A : R n R függvényt vektornormának nevezzük, ha - x 0 x R n, - x = 0 x = 0, - λx = λ x λ R, x R n, - x + y x + y x, y R n. 30. Írja le a mátrixnorma definiáló tulajdonságait! A : R n n R függvényt mátrixnormának nevezzük, ha - A 0 A R n n, - A = 0 A = 0, - λa = λ A λ R, A R n n, - A + B A + B A, B R n n, - AB A B A, B R n n. mennyiség mátrix- 3. Írja le az indukált mátrixnormáról tanult tételt! Ax v Legyen v tetszőleges vektornorma. Ekkor az A := sup x 0 x v normát definiál, és indukált mátrixnormának nevezzük. 3. Mit jelent az illeszkedés normák esetén? A mátrixnorma és a v vektornorma illeszkedik, ha x R n, A R n n -re Ax v A x v. 33. Írja le az,, és Frobenius mátrixnormát! -es mátrixnorma: A = a ij. -es mátrixnorma: A = n max j= i= ϱ(a A) = (max(λ i (A A))). mátrixnorma: A = n max i= a ij. j= 5

6 Frobenius mátrixnorma: A F = ( i= j= a ij ). 34. Mit nevezünk egy mátrix spektrálsugarának? A ϱ(b) = max λ i (B) mennyiség a B mátrix spektrálsugara. 35. Definiálja a kondíciószámot mátrixok esetén! Mikor értelmezhető? A cond(a) := A (A ) mennyiséget az A kondíciós számának nevezzük. Akkor értelmezhető, ha A-nak létezik inverze. 36. Írja le a LER jobboldalának változásakor érvényes pertubációs tételt! Tfh. b 0 és A invertálható. Ekkor illeszkedő normákra: A A b b x x A A b b 37. Írja le a LER mátrixának változásakor érvényes pertubációs tételt! Tfh A invertálható, b 0, A A < és indukált nomra. Ekkor: x x cond(a) A A A A 38. Írja le a kondíciószám (legalább) 4 tulajdonságát! - c 0( R) esetén cond(ca) = cond(a). - Indukált mátrixnormában: cond(a). - Ha Q ortogonális mátrix, akkor cond (Q) =. - Ha A szimmetrikus, akkor cond (A) = max λ i min λ i. 39. Írja le a kontrakció fogalmát φ : R n R n függvény esetén! A φ függvény kontrakció, ha q : 0 q <, φ(x) φ(y) < q x y x, y R n. 40. Írja le a Banach-féle fixponttételt R n -re! Ha φ kontrakció R n -en, akkor.!x fixpont,. x (0) R n : x (k+) := φ(x (k) ) iterációs sorozat konvergens és lim(x k ) = x, 3. Hibabecslés: x (k) x q k x (0) x, illetve x (k) x qk q x() x (0). 4. Adjon elégséges feltételt az x (k+) = Bx (k) k + c alakú iterációk konvergenciájára! Ha B <, akkor az x (k+) := Bx (k) + c iteráció x (0) R n -re konvergál az Ax = b megoldásához. 4. Írja le az indukált normák és spektrálsugár kapcsolatáról tanult lemmát! ϱ(b) = inf{ B : indukált norma} ( ε > 0 indukált norma: B ϱ(b) + ε). 6

7 43. Adjon szükséges és elégséges feltételt az x (k+) = Bx (k) k + c alakú iterációk konvergenciájára! x (0) -ra az x (k+) = Bx (k) + c ϱ(b) < iteráció konvergál az Ax = b megoldáshoz. 44. Írja le a Jacobi- és a csillapított Jacobi iterációt Jacobi iteráció ( ) x (k+) i = a ij x (k) j b i (i=...n) a ii j=j i Csillapított Jacobi iteráció ( ) x (k+) i = ( ω)x (k) i ω a ij x (k) j b i (i=...n) a ii j=,j i 45. Adjon elégséges feltételt a Jacobi iteráció és a csillapított Jacobi iteráció konvergenciájára! Jacobi iteráció Ha A szigorúan diagonálisan domináns a soraira, akkor B j < (azaz x (0) -ra konvergens a J()). Csillapított Jacobi iteráció Ha J() konvergens x (0) -ra, akkor 0 < ω < -re a J(ω) is konvergens. 46. Írja le a Gauss-Seidel-iterációt(a koordinátás alakot is!)! (L + D + U)x = b (L + D)x = Ux + b x = (L + D) Ux + (L + D) b x (k+) = (L + D) U }{{} B S Koordinátás ( alak x (k+) i = i a ij x (k+) j + (i=...n) a ii x (k+) i (i=,...,n) j= j= j=i+ x (k) + (L + D) b }{{} c S a ij x (k) j b i ) 47. Írja le a Gauss-Seidel relaxációs módszert(a koordinátás alakot is)! x (k+) = (D + ωl) ( (( ω) D ωu) x (k) + ω (D + ωl) b = ω i ) a ij x (k+) j + a ij x (k) j b i + ( ω) x (k) i. a ii j=i+ 48. Milyen szükséges és elégséges feltételt tanult a Gauss-Seidel relaxáció konvergenciájáról? Ha S(ω) konvergens x (0) -ra, akkor az ω (0, ). Ha A szimmetrikus és pozitív definit, ω (0, ), akkor az S(ω) konvergens x (0) -ra. 49. Szigorúan diagonálisan domináns mátrix esetén mit tud mondani a Jacobi- és a Gauss-Seidel-iteráció konvergenciájáról? Ha A tridiagonálisan domináns a soraira, akkor ϱ(b s ) = ϱ(b J ) azaz S() és J() is konvergens. 7

8 50. Milyen tételt tanult szimmetrikus, pozitív definit és tridiagonális mátrixok esetén a J(), S(), S(w) módszerekről? Ha A szimmetrikus, pozitív definit és tridiagonális, akkor J(), S() és S(ω) is konvergens ω (0, )-re, és ω 0 = + az optimális S(ω)-ra, és ϱ(b J ) ha ϱ(b J ) = 0, akkor ϱ(b S(ω) ) = ϱ(b S ) = 0, ha ϱ(b J ) 0, akkor ϱ(b S(ω) ) = ω 0 < ϱ(b S ) = ϱ(b J ). 5. Vezesse le a Richardson-típusú iterációk alakját! x (k+) = (I pa)x (k) + pb 5. Milyen tételt tanult a Richardson-típusú iterációkról? Ha A szimmetrikus, pozitív definit és a sajátértékeire: 0 < m = λ λ n = M, akkor p (0, )-re a R(p) konvergens M x(0) -ra. p 0 = az optimális p és ekkor (M+m) ϱ(b R(p0 )) = (M m). (M+m) 53. Definiálja a J pozíció halmazra illeszkedő részleges LU-felbontást! Legyen J a mátrix elemek pozícióinak olyan halmaza, mely nem tartalmazza a főátlót. Az A mátrix J pozícióhalmazra vonatkozó ILU-felbontásán olyan felbontást értünk, melyre L és U alakja a szokásos, és l ij = 0 és u ij = 0, ha (i, j) J, (A) ij = (LU) ij (i, j) / J 54. Írja le az ILU-felbontás algoritmusát (L, U és Q előállításának felírása)! Ã := A k. lépésben: (.) Szétbontás: Ã k = P k Q k alakú, ahol (P k ) ik = 0 (i, k) J (P k ) kj = 0 (k, j) J (Q k ) ik = ã (k) ik (Q k ) kj = ã (k) kj (i, k) J (k, j) J (.) Elimináció: Ã k+ = L k P k A = P Q alakot állítunk elő. Az ILU felbontással kapott részmátrixokból: U = Ãn, L = L... L n és Q = Q +Q + +Q k, ekkor A = LU Q (P = LU). 55. Adjon elégséges feltételt az ILU-felbontás létezésére és egyértelműségére! Ha A szigorúan diagonálisan domináns a soraira, akkor az ILU-felbontás elvégezhető és egyértelmű. 56. Vezesse le az ILU-algoritmust! A reziduum vektor bevezetésével írja fel a gyakorlatban használt alakot is! x (k+) = P Qx (k) + P b r (0) := b Ax (0) k = 0,... leállásig 8

9 Px (k) = r (k) x (k+) := x (k) + s (k) r (k+) := r (k) + As (k) 57. Írja le a Bolzano-tételt! f C[a, b], f(a)f(b) < 0 x (a, b) : f(x ) = Írja le az intervallum-felezés algoritmusát és hibabecslését! Algoritmus x 0 := a, y 0 := b k. lépésben: s k := x k + y k f(s k )f(x k ) < 0 x k+ := x k, y k+ := s k f(s k )f(x k ) > 0 x k+ := s k, y k+ := y k f(s k )f(x k ) = 0 s k := x k + y k Hibabecslés } x k x y y k x k x k b a k s k x b a. k+ 59. Írja le a Brouwer-féle fixponttételt! φ : [a, b] [a, b] és φ C[a, b] x [a, b] : x = φ(x ) 60. Írja le a fixponttételt az [a, b] intervallumra! 6. Adjon meg elégséges feltételt a kontrakcióra! 6. Definiálja a konvergencia rend fogalmát! 63. Írja le az m-ed rendű konvergenciára vonatkozó tételt! 64. Vezesse le a Newton-módszer képletét! 9