A CSOPORT 4 PONTOS: 1. A

Átírás

1 A CSOPORT 4 PONTOS:. A szám: pí= 3,459265, becslése: 3,4626 abszolút hiba: A szám és a becslés özti ülönbség abszolút értée Pl.: Relatív hiba: Az abszolút hiba osztva a szám abszolút értéével Pl.: Képlethiba: A számítási módszer tévedéséből származó eltérés neve. Örölött hiba: Ha már a beolvasott adato is hibása, aor beszélün erről. 2. Definiálja a természetes intervallum iterjesztését, és mutasson rá példát! A valós művelete azon iterjesztése, amelyere: [a, b]+[c, d]=[a+c, b+d] [a, b]-[c, d]= [a-d, b-c] [a, b]*[c, d]= [min (ac, ad, bc, bd), ma (ac, ad, bc, bd)] [a, b]/[c, d]= [a, b]*[/d, /c] 0 [c, d] Az alapműveleteen túl a standard függvényeet is i lehet terjeszteni intervallumora. Azt az eljárást, amelyne során egy valós függvény műveleteit és standard függvényeit rendre intervallumos megfelelőjüre cseréljü, természetes intervallum iterjesztésne nevezzü. Pl.:[, 2]+[2, 3]= [3, 5] [, 2]- [2, 3]= [-2, 0] [, 2]* [2, 3]= [2, 6] [, 2]/ [[2, 3]= [, 2]*[/3, /2]=[/3, ] 3. Mior nevezün ét lineáris egyenletrendszert evivalensne? Mi a megengedett transzformáció? Két egyenletrendszert aor teintün evivalensne, ha a megoldásai halmaza megegyezi. A megengedett transzformáció: egy egyenletne egy nem nulla számmal való beszorzása, és egy egyenlet onstans-szorosána hozzáadása egy mási egyenlethez. Az átalaításoal háromszögmátriot, vagy diagonálismátriot hozun létre. 4. cond (A) = cond(a T ) A definícióból övetezi a ét vizsgálandó megoldása. A végtelen cond a soro absozlút értééne összege, míg az első cond az oszlopo értééne összege, ha ezt transzponálju, aor ész. A = F A T F A F = n i= n j= a ij 2 A = 5. Adja meg a hatványmódszer iterációs épletét, és jellemezze a onvergencia sebességét! Mi mindenne a meghatározására való ez az eljárás? A gyaorlatban so esetben csa bizonyos sajátértée meghatározására van szüség. A hatványmódszer a legnagyobb abszolút értéű sajátérté meghatározására szolgál. Az alapalgoritmus a övetező iteráción alapul: F A T F

2 y y A y /, = = + Ha 2 λ a másodi legnagyobb abszolút értéű sajátérté, aor a onvergencia sebességére érvényes: + = + i i 2 λ λ σ λ, illetve ( ) ( ) + = + T T 2 2 λ λ σ λ Ez a módszer a mátri legnagyobb abszolút értéű sajátértéét özelíti. 5 PONTOS: 6. Mondja i és igazolja az általános- és az interpolációs vadratúra-formulá rendjével apcsolatban tanult 3 tételt!

3 7. Mondja i és igazolja a Newton-módszer hibabecsléséről tanult tételt!

4 B CSOPORT 4 PONTOS:. Iterációs módszere használata; Jacobi iteráció Aor használju, amior nagy, vagy rita mátrioal szeretnén számolni. Valamint, ha az eliminációs eljárással apott, ereítési hibáal terhelt özelítő megoldást ell pontosítani. Jacobi iteráció: 2. Milyen összefüggéseet ismer a polinomo és a gyöö viszonyában? 3. Mior ell a szelő módszert használni a Newton-módszer helyett? Adjon meg egy gyaorlati példát erre!! Amior a függvény deriváltja nem ismert, vagy az f() függvény iválasztásána módja adott. Pl: f()= e 2 4. Mi a hatása a >> p = polyfit(, y, 3) Matlab utasításna? A legisebb négyzete módszere szerint özelíti az ( i, y i ) oordinátájú pontoat. és y azonos hosszú vetoro. A polinom foszáma legalább Meora lehet egy n alappontos vadratúra formula rendje legfeljebb? Min múli a bizonyítás?

5 5 PONTOS 5. Lagrange interpolációs polinom egyértelmű létezéséről szóló tétel + biz! 6. Iterált Horner elrendezés segédtétele és anna övetezményei!

6 C CSOPORT 4 PONTOS. Mi a hibaszámítás alapfeladata? Példa 2. Intervallum artitmetia néhány, a valós aritmetiától eltérő tulajdonsága! 3. Mennyi a Gauss-elimináció, alsó- felső háromszögmátriú, és általános lin.e.r. műveletigénye? Ө(n 2 ) az alsó és felső háromszögmátriú lineáris egyenletrendszer megoldásána műveletigénye. A Gauss eliminációé 2/3n 3. Az általános lineáris egyenletrendszer megoldásána műveletigénye ezen ettő összege. 4. Írni egy 22 mátriot, amire az egyes,végtelen és Frobenius norma ülönböző 2 értéet ad! 3 4 A = 6, A = 7, A F = Gersgorin tétel. Hogyan használható a sajátértée orlátaina megadásához? A => ρ(a)

7 5 PONTOS 6. LR felbontásra vonatozó segédtétel imondása és bizonyítása 7. gradiens módszer

8 D CSOPORT 4 PONTOS. Soroljon fel néhány polinomora vonatozó műveletet a Matlabban és adjon ezere példát! y = >> p= [ ]; >> roots (p) - Kiírja a polinom gyöeit! >>poly (y) - Adott gyööhöz megadja a polinom együtthatóit >>polyfit (, y, n) - Az ( i, y i ) pontora illeszedő legalább harmadfoú polinomot adja meg >>polyval (p, ) - A p polinom iértéelése az helyen. 2. Mire jó a Newton-módszer? Hogyan jellemezhető a onvergenciája, és min alapul a bizonyítás? Nem lineáris egyenlete megoldásána özelítésére. f ( ) + = f ( ) Fejtsü f()-et örül Taylor-sorba és helyettesítsü be az * értéet. 3. Definiálja a numerius integrálás, a vadratura-formula, a súlyo és az alapponto fogalmát! A vadratura a numerius integrálás szinonimája, amioraz határozott integrál özelítése a feladat. A határozott integráloat szoás b n f ) d Qn ( f ) = a i= ( ω f ( ) b a f ( ) d = F( b) F( a) alaban özelíteni, ahol Qn(f)-et vadratura formulána nevezzü. Általában feltesszü, hogy i eleme [a, b] zárt intervallumna teljesül az i alappontora, és eze páronént ülönböző. A ω i számoat súlyona nevezzü. 4. Mi a Horner-elrendezés, mire jó, és mi a hátrány? A Horner-elrendezés az n-ed foú polinom n db szorzásból és n+ összeadásból álló a tényező sorrendjétől elteintve egyértelműen meghatározott alaja. 5. f()=( ((a 0 *+a )*+a 2 )*+ +a n- )*+a n. A polinom gyors iértéelésére szolgál adott pontban. Hátránya: Nem optimális ha ugyanazt a polinomot nagyon so helyen ell iértéelni. i i

9 5 PONTOS 6. Tetszőleges mátrira létezi az ortogonális felbontás 7. Az iterációs módszer onvergenciája

10 E CSOPORT 4 PONTOS. Lebegőpontos számo, mantissza, eponens, rövid jellemzés 2. Kis- és nagy-ordó 3. Definiálja a mátrio ondíciószámát, jól és rosszul ondícionáltságot!

11 4. Eliminációs mátrio, szorzatu, inverzü 5. Mior hasonló A B-hez? Mi a transzformációs mátri? Sajátértéel apcsolata. 5 PONTOS 6. Sajátértée és sajátvetoro ondícionáltsága

12 7. Vezesse le a Lagrange interpoláció hibáját!

13