Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Átírás

1 A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi tagjána a meghatározására is, ahol x 0 c és x 1 d adott értée Ha a b 1, c 0, d 1 aor visszaapju a Fibonacci-sorozatot Ha a b 1, c, d 1, aor a övetező sorozatot apju: (L n ) n 0, L n+1 L n + L, ahol L 0, L 1 1, ezt Lucas-sorozatna nevezzü Itt tehát L 0, L 1 1, L 3, L 3 4, L 4 7, L 5 11, L 6 18, 149 Feladat Teintsü az (x n ) n 0 sorozatot, amelyre x n+1 ax n + bx, n 1, és x 0 c, x 1 d, ahol a, b, c, d rögzített valós számo, a + 4b > 0 Jelölje 1 és a a b 0 egyenlet gyöeit, ahol a feltétel szerint 1 valósa i) Igazolju, hogy x n+1 1 x n (a 1 )(x n 1 x ), x n+1 x n (a )(x n x ), ahol n 1 ii) Igazolju, hogy x n+1 1 x n n (d 1 c), x n+1 x n n 1 (d c), ahol n 0 iii) Mutassu meg, hogy x n n 1 (d c) n (d 1 c) 1, n 0 iv) Vezessü le innen a Fibonacci-számora vonatozó Binet-épletet v) Adjun épletet a Lucas-sorozat általános tagjára, L n -re Megoldás i) Közvetlen számolással ii) Az i) pont ismételt alalmazásával iii) Vonju i a ii) pontbeli egyenlőségeet iv) L n ϑ n + ϑ n, n 0, ahol ϑ 1+ 5, ϑ Feladat Igazolju, hogy a) F n L n F n (n 0), b) L n F n+1 + F (n 1), c) L n+1 + L 5F n (n 1) Megoldás a) Az explicit épleteet használva, lásd az előző Feladatot, F n L n 1 5 (ϑ n ϑ n )(ϑ n + ϑ n ) 1 5 (ϑ n ϑ n ) F n b), c) Teljes inducióval 15 Catalan-számo 151 Feladat Adotta az a 0, a 1, a,, a n változó (számo), ahol n 0, és teintsü eze a 0 a 1 a a n szorzatát Hányféleéppen zárójelezhető ez a szorzat? Jelöljü C n -nel ezt a számot Ha n, aor ét lehetőség van: (a 0 a 1 ) a és a 0 (a 1 a ), tehát C Ha n 3, aor a lehetősége: ((a 0 a 1 ) a ), (a 0 (a 1 a )), a 0 ((a 1 a ) ), a 0 (a 1 (a )), (a 0 a 1 ) (a ), eze száma C 3 5 Továbbá C 1 1 (ét tényező), C 0 1 (eor egy tényező van) Mi lesz C n? A továbbiaban a generátorfüggvény módszerrel igazolju, hogy C n 1 n minden n 0-ra Ezeet a számoat, amelye számos ombinatoriai problémában fellépne, Catalan-számona nevezzü A Catalan-számo sorozata C 0 1, C 1 1, C, C 3 5, C 4 14, C 5 4, C 6 13, C 7 49, C , Jelölje C(x) C 0 + C 1 x + C x + a C n számo generátorfüggvényét 15 Tétel 1) Ha n 1, aor C n C 0 C + C 1 C n + + C C 0 ) C(x) 1 1 4x x Bizonyítás 1) Legyen n 1 tetszőleges és teintsü a 0, a 1, a,, a n valamely zárójelezését Figyeljü meg, hogy pontosan egy olyan szorzásjel van, amely minden zárójelen ívül esi Ha ez a szorzásjel az a és a +1 özé esi, aor az előtte levő a 0, a 1,, a változó C -féleéppen zárójelezhető, az utána levő n változó pedig C n 1 -féleéppen, így a lehetősége száma rögzített -ra C C n 1, összesen pedig 0 C C n 1 ) Az 1) pontbeli éplet alapján C(x) C n x n 1 + ( C C n 1 )x n 1 + C x n0 n1 0 0 n+1 C n 1 x n 5

2 1 + x C x 0 n+1 C n (+1) x n (+1), ahol n+1 C n (+1)x n (+1) C 0 + C 1 x + C x + C(x), így apju, hogy C(x) 1 + xc (x), és innen C(x) 1 ± 1 4x 1 1 4x Melyi a megfelelő előjel? Mivel C(0) C 0 1 övetezi, hogy C(x) 1 1 4x 1+ a helyes 1 4x éplet Az 1) pontbeli reurzív épletből (amelyne jobb oldala egy onvolúciós összeg) meghatározható az egymást övető C n számo 153 Tétel Minden n 0 számra C n 1 n Bizonyítás Használju az általánosított binomiális épletet, lásd 7 szaasz, ahonnan λ 1/-re 1 4x ( 4x) és a 15 Tétel szerint 0 ( C(x) 1 1 1/ )( 4x) 0 és a 1 n helyettesítéssel Adju meg most értéét: 1 ()! C(x) 1 n0 ( 4) x 1 ( 4) x 1, 1 ( 4) n x n ( 1 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( n 1 ) n (n 1) ( 1) ()! n+1 ( 1) n (n)! n+1 ()! 4 (n) (n)! ( 1)n n+1 ()!n! 1 n ( 1)n n+1 () n Belyettesítve övetezi, hogy ahonnan apju a C n -re vonatozó épletet C(x) n0 1 n x n, Ismertetün további néhány olyan ombinatoriai feladatot, amelyeben a Catalan-számo lépne fel 154 Feladat (Euler) Hányféleéppen lehet egy n oldalú onvex soszöget háromszögere bontani olyan átlóal, amelye a soszög belsejében nem metszi egymást? Megoldás Jelöljü a eresett számot E n -nel Itt E 1 (megállapodás szerint), E 3 1, E 4, E 5 5 Teintsü az A 1 A A n soszög egy háromszögere bontását Legyen az A 1 A n oldalú háromszög harmadi csúcsa A (6 ábra) Az A 1 A és A A n átló az n-szöget az A 1 A A -szögre, az A 1 A A n háromszögre és az A A +1 A n (n + 1)-szögre bontjá Mivel a -szöget E -féleéppen, az (n + 1) szöget E n +1 - féleéppen bonthatju fel háromszögere ezért az A 1 A A n háromszöget tartalmazó háromszögere bontáso száma E E n +1, ahol n 1 Összegezve: E n E E n +1, ahol n 3 Ha n helyett (n + )-őt írun (a feladatban n oldalú soszög helyett n + oldalú soszöget teintün), aor n+1 n+1 apju, hogy E n+ E E n +3, innen az E n E n+ jelöléssel E n E E n +1, 6 1

3 E n E je n j 1, ami ugyanaz, mint a 15 Tételben szereplő reurzió Mivel a ezdeti értéere E 1 1 j0 C 1, övetezi, hogy E n C n minden n 1-re Tehát E n C n 1 n 4, n 3 n 1 n A n + 1-szög -szög A A n A 1 6 ábra Közvetlenül is beláthatju, hogy minden n-re bijetív megfeleltetés van egy (n + )-oldalú onvex soszög háromszögere bontásai és az a 0 a 1 a n szorzat zárójelezései özött, ahonnan övetezi, hogy E n+ C n Valóban, ha adott egy (n + )-oldalú onvex soszögne egy háromszögere bontása, aor övessü az alábbi eljárást: a) írju fel a soszög oldalaira egymásután az a 0, a 1,, a n változóat, b) eressün egy olyan háromszöget, amelyne ét oldala a soszög szomszédos megjelölt oldalai (biztosan van ilyen háromszög), c) töröljü le az ábráról ezt a ét oldalt, és a ét oldalon levő változó szorzatát írju fel a háromszög harmadi oldalára (az eredeti soszög egy átlójára), d) a apott soszögre ismételjü meg a b), c), d) lépéseet Így a a 0 a 1 a n szorzat egy zárójelezését apju, lásd az 7 ábrát az n 4 esetre Belátható, hogy ülönböző háromszögere bontásohoz ülönböző zárójelezése tartozna, és minden zárójelezést megapun A a a 1 a 1 a a 0 (a 1 a ) a 0 a 0 (a 0 (a 1 a )) 7 ábra ((a 0 (a 1 a )) ) 155 Feladat Hányféleéppen juthatun el a oordinátarendszerben a (0, 0) pontból a (n, 0) pontba úgy, hogy lépésein az f (1, 1) és l (1, 1) vetoro lehetne és ne menjün a vízszintes tengely alá? (f átlósan fel egyet, l átlósan le egyet a rácsponto özött) Megoldás Legyen y n a lehetősége száma Megállapítható, hogy y 0 1 C 0, y 1 1 C 1, y C, y 3 5 C 3, lásd 8 ábra, ezeet Dyc-utana nevezzü Legyen n 1 rögzített és teintsün egy tetszőleges utat Legyen P (i, 0) az a pont, ahol ez az út először jut vissza a vízszintes tengelyre Így az út ét részre bomli, az első a (0, 0) és P (i, 0) ponto özötti, a másodi a P (i, 0) és (n, 0) özötti, ez utóbbi a [i, n] 7

4 ábra: Dyc-uta n 3-ra intervallumon, amelyne hossza (n i) Az első rész első lépése f fel, utolsó lépése l le, így ez y i 1 - féleéppen választható meg, a másodi rész pedig y n i -féleéppen, lásd a 9 ábrát n 16 esetén, ahol P (i, 0) P (1, 0) Tehát rögzített i-re (1 n) az uta száma y i 1 y n i, összesen pedig y n y i 1 y n i y 0 y + y 1 y n + + y y 0, i1 ami ismét a orábbi reurzió Így y n C n 1 n minden n-re 0 10 P ábra 156 Feladat Hány olyan n-tagú x 1, x,, x n sorozat van, ahol a tago mindegyie +1 vagy 1, x 1 + x + + x n 0, és az x 1, x 1 + x, x 1 + x + x 3,, x 1 + x + + x n parciális összege mindegyie 0? Megoldás Ez ugyanaz a probléma, mint a 155 Feladatbeli Az f fel lépést jelölje +1, az l le lépést jelölje 1, ahol az n 1 db +1-et és az n 1 db ( 1)-et egymás mellé írva összegü 0 lesz Az, hogy az út nem megy a vízszintes tengely alá éppen azzal evivalens, hogy a parciális összege mind 0 értéűe Válasz: C n 1 n 157 Feladat Hányféleéppen juthatun el az n n-es satáblán a bal alsó saroból a jobb felső saroba úgy, hogy egyszerre egyet léphetün felfelé vagy jobbra és nem léphetün a (bal alsó sarot a jobb felső saroal összeötő) melléátló fölé? Megoldás Legyen a n és b n az összes lehetséges uta száma, ill a melléátló alatt maradó uta száma Itt a 1 1, a, 6, 0, és b 1 1, b 1, b 3, b 4 5, Jelölje A és B a bal alsó sarot, ill a jobb felső sarot Az A-t B-vel összeötő uta (törött vonala) száma a n n, mert n lépésre van szüség, ebből n 1 lépés felfelé és n 1 lépés jobbra Azt ell megadni pl, hogy mior lépün jobbra A n lépésből ell tehát iválasztani (n 1)-et, a sorrend nem számít Eze özül hány olyan A B út van, amely a melléátló alatt marad? Nevezzü ezeet jó utana Teintsü a nem ilyen, a rossz utaat Minden rossz út a melléátló fölé erül, tehát metszi a 10 ábrán látható e egyenest Jelölje P azt a pontot, ahol egy rossz út először metszi az e egyenest A rossz út így az A P és P B részeből áll Az A P törött vonalat türözzü az e egyenesre, legyen a tüörép az A P törött vonal Az A P együtt a P B-vel (ez utóbbi változatlanul) egy A B út Belátható, hogy így bijetív megfeleltetést létesítettün az A B rossz uta és az A B (összes lehetséges) uta özött Itt A -ből B-be úgy juthatun, hogy a n lépésből megadju azt az n-et, amior jobbra lépün Eze száma n n, hasonlóan, ( mint a ) megoldás ( elején ) n n A jó uta száma így b n 1 n C Ez egy özvetlen bizonyítás, itt n 1 n n n 1 nem hivatoztun a Catalan-számo előzetesen levezett tulajdonságaira Innen övetezi a 156 Feladat megoldása is Valóban, n helyett n+1-et írva teintsü az (n+1) (n+1)-es satáblát A jobbra lépést jelölje +1, a felfele történő lépést 1 Itt az n db +1 és az n db ( 1)-et egymás 8

5 mellé írva összegü 0 lesz Az, hogy az út a melléátló alatt marad éppen azzal evivalens, hogy a parciális összege mind 0 értéűe Tehát a 156 Feladatra a válasz: C n 1 n e B P A A 10 ábra Megmutatju, hogy az eredeti 151 Feladatra is adható a generátorfüggvény módszert nem használó, elemi megoldás úgy, hogy visszavezetjü a most özvetlenül megoldott 156 Feladatra Bijetív megfeleltetés van az a 0 a 1 a n szorzat zárójelezett alajai és a 156 Feladat feltételeine eleget tevő n-tagú x 1, x,, x n sorozato özött Valóban, teintsü az a 0 a 1 a n szorzat egy tetszőleges zárójelezett alaját 1 lépés: tegyün i még egy pár zárójelet az elejére és a végére, lépés: a szorzásjele helyett írjun +1-et, 3 lépés: a jobb oldali zárójele helyett írjun 1-et, 4 lépés: a bal oldali zárójeleet és az a 0, a 1,, a n változóat töröljü le Eor a apott +1 és 1 számoból álló sorozat teljesíti a 156 Feladat feltételeit Különböző zárójelezésehez ülönböző sorozato tartozna és minden sorozatot megapun Pl n 3-ra (a 0 a 1 ) (a )-ból iindulva ((a 0 a 1 ) (a )) és adódi, a 0 (a 1 (a ))-ból iindulva (a 0 (a 1 (a ))) és adódi 158 Feladat Igazolju, hogy teljesül az (n + )C n+1 (4n + )C n (n 0) reurzió 159 Feladat Egy ör alaú asztal örül n személy áll Hányféleéppen alothatna eze n párt úgy, hogy az egy párban levő ezet foghassana anélül, hogy egy mási pár eze alatt vagy felett át ellene nyúlniu? (Az asztal felett átnyúlhatna, és ülönbözőne teintjü az elforgatásoból származó elrendezéseet) 9