Tartalomjegyzék 1 BEVEZETÉS 2

Átírás

1 Tartalomjegyzék BEVEZETÉS FELADATOK. Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletredszerek megoldása, mátrixok felbontása Legkisebb négyzetek módszere Sajátérték feladatok Lagrange interpoláció Hermite interpoláció, spline-interpoláció Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek Közelítő integrálás MEGOLDÁSOK. Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrixok felbontása Legkisebb négyzetek módszere Sajátérték feladatok Lagrange interpoláció Hermite interpoláció, spline-interpoláció Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek Közelítő integrálás BEFEJEZÉS 96 5 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS 97 6 IRODALOMJEGYZÉK 98

2 BEVEZETÉS Ezt a feladatgyűjteményt a Debreceni Egyetem három Gazdaságinformatikus szakos hallgatója (Potyók Nikolett, Lehóczky Bence, Jobbágy Dávid állította össze, Dr. Baran Ágnes témavezető, és Kézi Csaba Gábor konzulens segítségével. Célunk az volt, hogy a jelenleg folyó előadás anyagához bőséges, és lehetőségeinkhez képest megfelelő szakmai színvonalú feladatgyűjteményt adjunk hallgatótársaink kezébe. Ez a példatár főként azoknak a gazdaságinformatikus hallgatóknak készült, akiknek szüksége van további gyakorlásra a gyakorlati órákon kívül, hogy elsajátítsák a numerikus matematika tantárgy feladatainak megoldását, illetve nagy segítséget nyújthat a vizsgákra való felkészülésben. Külön témakörbe szedtük a hasonló feladattípusokat, amikhez nem csak a végeredményt, hanem útmutatást is közöltünk a Megoldások című részben a könnyebb megértés érdekében. Reméljük, hogy ez a példatár és feladatgyűjtemény hasznosan fogja szolgálni a Debreceni Egyetem gazdaságinformatikus-képzés célkitűzéseit, valamint a hallgatók órákra való felkészülését.

3 FELADATOK. Lebegőpontos számok. Adott a, t, k +, k számábrázolási jellemzők esetén írjuk fel a legnagyobb ábrázolható lebegőpontos számot (M, a legkisebb pozitív ábrázolható számot (ε 0, illetve az jobb- és baloldali szomszédját!. Adott a, t, k és k + számábrázolási jellemzők mellett hány darab pozitív lebegőpontos szám írható fel?. a, t 4 esetén írjuk fel az alábbi számok lebegőpontos alakját! 6, 4,, 5, 5 8, a, t 4, k, k + esetén írjuk fel az alábbi számokhoz rendelt lebegőpontos számot szabályos kerekítés, ill. levágás esetén!, 7, e. 5. a, t 4, k, k + esetén ábrázoljuk számegyenesen az összes pozitív lebegőpontos számot! 6. Legyen k + > t. Melyik a legkisebb természetes szám, amely nem lebegőpontos? 7. Legyen a, t 4, k 4, k + 4. Keressünk olyan x, y > 0 lebegőpontos számokat, melyekre: (a x y és fl(x y 0 (b fl(x + y x (c x + y [ M, M ], de x + y nem lebegőpontos szám!

4 8. Legyen t < k +, s (0, lebegőpontos szám és ( s A Lehet-e túlcsordulás, ha det A. értékét számítógéppel számítjuk ki? P. Határozza meg számítógépén ε értékét! P. Az alábbi algoritmus elméletileg minden x 0 esetén az x eredeti értékét adja vissza. Vizsgálja meg mi történik a gyakorlatban, ha az algoritmust x 000, x 00 kezdőértékkel futtatja! Mi az oka a tapasztalt jelenségnek? for i : 60 end x x for i : 60 end x x P. Tekintsük az alábbi azonosságot(ahol x 0! ( x 0 + x x 0, Az x,..., 00 értékekre számítógépén tesztelje a fenti egyenlőség teljesülését! e P4. Ismert, hogy lim x n x x értékek esetén!. Számítsa ki az ex x hányados értékét egyre csökkenő P5. Legyen x. Ciklusban futtassuk le néhányszor az x 4x utasítást, ami elméletileg az x értéket adja vissza. Mit tapasztalunk a gyakorlatban? 4

5 . Normák, kondíciószámok. Mutassa meg, hogy a lineáris normált tér bármely x, y elemére teljesül! x y x y. A?, A?, A? A (. Az alábbi A mátrix esetén A?, A? Adjon meg egy-egy olyan x 0 vektort, mellyel Ax A x, illetve Ax A x teljesül! (a (b A A Bizonyítsa be, hogy az egységmátrix normája minden indukált mátrixnormában! 5. Bizonyítsa be, hogy vektornorma által indukált mátrixnormában teljesül minden A, B R nxn esetén. AB A B 6. Legyen n > és tekintsük R n n -en az ú.n. Frobenius normát: ( n A F n i j a ij /, A R n n Származtatható-e ez a mátrixnorma valamilyen vektornormából? 5

6 7. Legyen A (a ij R n n. Mutassa meg, hogy A max a ij i,j normát definiál R n n -en! Lehet-e ez a norma vektornorma által indukált? 8. Legyen λ az A R n n mátrix egy tetszőleges sajátértéke. Bizonyítsa be, hogy λ A teljesül minden indukált mátrixnorma esetén! 9. Számítsa ki cond (A-t az alábbi mátrixok esetén! A ( 4 A ( a, (a R A Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket, hasonlítsa össze a megoldásokat! (, 000 ( x x (, (, 000 ( x x (, 000. Jelölje λ max, ill. λ min az A abszolút értékben legnagyobb, ill. legkisebb sajátértékét. Bizonyítsa be, hogy λ max cond(a. λ min. Oldja meg az Ax b lineáris egyenletrendszert, ha A ( 0, 99 0, 99 0, 98 Tegyük fel, hogy b helyett b + δb ismert, b + δb (, 99, b, 97 (, 98, 98 Oldja meg az A(x + δx b + δb lineáris egyenletrendszert! Számítsa ki a δx x, δb b relatív hibákat!.. 6

7 . Legyen A A(s s ( + s s s + s, s (0,. Határozza meg az A és cond (A értékeket! 4. Legyen A A(s az előző feladatban definiált mátrix. Oldja meg az Ax b lineáris egyenletrendszert, ahol b (, T, majd oldja meg az egyenletrendszert akkor is, ha a b vektor δb (ε, ε T (ahol ε > 0 hibával terhelten adott. Számítsa ki a megoldás relatív hibáját (maximum-normában! 5. Legyen A R n n reguláris mátrix, 0 c R. cond(ca? 7

8 . Lineáris egyenletredszerek megoldása, mátrixok felbontása. Határozza meg az alábbi mátrixok inverzét Gauss-Jordan eliminációval! A 0 ; B 4 5 ; C 4 0 ; D.. Oldja meg LU-felbontással az Ax b egyenletrendszert! Határozza meg az A mátrix determinánsát! 4 A, b ; C D B a 6 E F G , b, b, b 4 5 a, b , b, b 6 ; ; ; (a R ; ; 5 6 ;

9 H I , b, b ;.. Határozza meg az alábbi mátrixok PLU felbontását! Számítsa ki a mátrixok determinánsát! A C E ; B ; D ; F ; ;. 4. Vizsgálja meg mi történik, ha egy A (a ij n i,j mátrixot balról, ill. jobbról megszorzunk egy d d... 0 D d n diagonális mátrixszal! 5. Határozza meg az alábbi mátrixok LDL T -felbontását! A ; B ;

10 C 9 ; D Határozza meg az alábbi mátrixok Cholesky-felbontását! Számítsa ki a mátrixok determinánsát! A C ; B ; D ; ; E ; F a + 0 (a R. P. Főelem választás nélküli Gauss-eliminációval oldja meg az alábbi egyenletrendszereket! Határozza meg az egzakt megoldást is és magyarázza meg a tapasztalt jelenséget! ( ( 0 7 x x ( és ( ( x 0 7 x ( 0

11 .4 Legkisebb négyzetek módszere. Határozzuk meg az alábbi adatokat négyzetesen legjobban közelítő egyenes egyenletét! (a t i 0 f i (c 5 t i 9 f i 4 4 (b t i f i 0 0 (d t i 0 4 f i 0. Határozzuk meg az alábbi pontokat négyzetesen legjobban közelítő másodfokú polinomot! t (a i 0 t (b i 0 f i f i 0. Az alábbi adatokat négyzetesen legjobban közelítő F(t n c i t i alakú függvényt keresünk. Milyen n értéket érdemes választani? Határozzuk meg az ehhez tartozó polinomot! i0 t i f i, 0,8, 4. Közelítsük az alábbi adatokat F (t c 0 + c cos(πt + c sin(πt alakú modellel! 5 t i 0 y i Mit tapasztalunk, ha a fenti modellel a következő adatokat közelítjük? 5 t i 0 5 f i 4

12 5. Határozzuk meg a t i 0 0,5 0,5,,5,8,,5 f i,5,7,8,,,,5,4,7,7 adatokat négyzetesen legjobban közelítő egyenes egyenletét! 6. Határozzuk meg a t i 0,5 0,6 0,7 0,9,,4,6,8 f i 8, 7 6, 5, 5 4,5 4,4,9,7,5 adatokat négyzetesen legjobban közelítő F(ta+ b t alakú függvényt! 7. Határozzuk meg a t i 0 0, 0,5 0,6 0,8,,,5,6,8,9 f i,9,4,,9, 0,5 0, 0 0, 0,5,,6,9 adatokat négyzetesen legjobban közelítő alakú függvényt! F(ta+b cos(πt+c sin(πt

13 .5 Sajátérték feladatok. Határozzuk meg az alábbi mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait! (a (b (c A A A ( 4 5 ( ( 5. Mutassuk meg, hogy ha λ az A mátrix sajátértéke, akkor λ A, ahol a norma tetszőleges vektornorma által indukált mátrixnorma.. Bizonyítsuk be, hogy A mátrix pontosan akkor szinguláris, ha a 0 sajátértéke! 4. Mutassuk meg, hogy ha a reguláris A mátrixnak λ sajátértéke, akkor /λ sajátértéke A -nek. Mi lesz az A mátrix /λ sajátértékéhez tartozó sajátvektor? 5. Bizonyítsuk be, hogy ha az A mátrixnak λ sajátértéke, akkor λ sajátértéke A -nek! 6. Bizonyítsuk be, hogy ha az A mátrixnak λ sajátértéke, akkor az A ce (c R mátrixnak λ c sajátértéke! Mi lesz az A ce mátrix λ c sajátértékéhez tartozó sajátvektor? 7. Bizonyítsuk be, hogy ha egy A R n n mátrix szigorúan domináns főátlójú, akkor reguláris! 8. Mit tudunk mondani az alábbi mátrixokról a Gersgorin-tétel alapján? A B 4 7 C 4 5

14 9. Mit tudunk mondani az alábbi mátrix sajátértékeinek elhelyezkedéséről? A Mit mondhatunk az A regularitásáról? Legyen v (, 7,, 5, T. Melyik λ esetén lesz minimális az Av λv euklideszi normája? 0. Legyen A 0 0 Legyen v ( 5, 0, 4 T az A egyik sajátvektorának közelítése. Melyik λ esetén lesz minimális az Av λv euklideszi normája? Ez a λ sajátértéke-e A-nak?.. Alkalmazzuk a hatványmódszert az alábbi mátrixokra! Az iterációt addig folytassuk, amíg a λ K λ K ɛ( + λ K leállási feltétel nem teljesül. (a (b (c (d A A A A ( 0 0 4

15 (e (f (g A A A (h A (i A 5

16 .6 Lagrange interpoláció. Határozzuk meg az alábbi pontokra illeszkedő minimális fokszámú polinomot! (a (, 6, (, 7, (, 8, (,, (, 9 (b (,, (, 8, (,, (, (c (,, (, 4, (, (d (, 5, (,, (0,, (, 5 (e (, 4, (,, (, 0, (, 40 (f (, 8, (, 5, (,, (, 0, (, 7. Határozzuk meg a (, 6, (0, 4, (,, (, 0 pontokra illeszkedő minimális fokszámú polinomot! Határozzuk meg azt a minimális fokszámú polinomot, amely az előző pontokon kívül áthalad a (, ponton is!. Közelítsük az f(x cos( π x függvényt a [, ] intervallumon másodfokú polinommal a x, x 0, x pontokra támaszkodva! 4. Az alábbi táblázatban egy másodfokú p polinom helyettesítési értékei láthatóak, melyek közül pontosan egy hibás. Határozza meg a hibás értéket, helyettesítse a helyes értékkel és adja meg a p polinomot! x i p i Becsüljük meg az interpoláció maximális hibáját az alappontok által kifeszített intervallumon, ha az f(x e x függvényt közelítjük az x 0, x, x 0 alappontokra támaszkodva! 6

17 6. Igazoljuk, hogy ha f kétszer folytonosan differenciálható, akkor linerális interpoláció esetén az interpoláció hibájára f(x L (x M 8 h, a x b teljesül, ahol a és b a két alappont, h b a és M max a x b f (x. 7. Milyen sűrűn kell megadni az f(x cos(x függvény értékeit az [0, π] intervallumon, hogy szakaszontkén lineárisan interpolálva a hiba kisebb legyen, mint 0, 5 0 4? 7

18 .7 Hermite interpoláció, spline-interpoláció. Határozzuk meg az alábbi adatokra illeszkedő minimális fokszámú polinomot! (a x i f(x i f (x i 9 7 (b x i f(x i 7 f (x i 4 8 f (x i 40 (c x i f(x i 4 9 f (x i f (x i 4 (d x i f(x i f (x i 59 (e x i f(x i 0 f (x i f (x i 6. Legyen az f valós függvény differenciálható az x 0 pontban. Hermite interpoláció segítségével írjuk fel az f függvény x 0 -beli érintőjének egyenletét!. Írjuk fel az x 0, f(x 0, f (x 0, f (x 0,..., f (n (x 0 adatokra illeszkedő Hermite - polinomot! 4. Írjuk fel az f(x cos x x x függvény x 0 pontbeli érintőjének egyenletét! 8

19 5. Határozzuk meg azt a folytonosan differenciálható, szakaszonként harmadfokú { H (x, ha x [, ] H(x H (x, ha x (, ] polinomot, melyre H( 4, H( 6, H(, H (, H (, H ( 9 teljesül! 6. Határozzuk meg azt a folytonosan differenciálható, szakaszonként harmadfokú { H (x, ha x [, ] H(x H (x, ha x (, ] polinomot, melyre H( 4, H( 6, H(, H (, H ( α, H ( 9 teljesül, ahol α R! 7. Az előző feladatban határozzuk meg α értékét úgy, hogy H(x kétszer folytonosan differenciálható legyen! 9

20 .8 Nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek. Közelítse a x cos(x egyenlet [-π/, π/] intervallumbeli gyökét fixpont-iterációval! Mit mondhatunk a módszer konvergenciájáról?. Közelítse a x x egyenlet [0,] intervallumbeli gyökét fixpont-iterációval! Vizsgálja meg az iteráció konvergenciáját!. Közelítse az ln(x x egyenlet gyökét! 4. Mutassa meg, hogy f(x e x 4x függvénynek van zérushelye a [0,] intervallumban! Igazolja, hogy az x n+ e xn, n0,,... iteráció tetszőleges x 0 [0,] kezdőpont esetén tart ehhez a gyökhöz! 5. Közelítse 5 értékét Newton-módszerrel! 6. Közelítse Newton-módszerrel az e x sin(x egyenlet valamely gyökét! 7. Vizsgálja meg a Newton-módszer viselkedését, ha azt valamilyen x 0 0 kezdőpontból indítva az f(x0 egyenlet megoldására alkalmazzuk, ahol f(x { x, ha x 0, x, ha x < Közelítse az x x 0 egyenlet gyökét Newton-módszerrel az x 0, 5 pontból indulva! 9. Közelítse x x + 0 egyenlet gyökét Newton-módszerrel az x 0, 5 pontból indulva! Ugyanilyen x 0 esetén alkalmazza az x k+ x k f(x k f (x k, k0,,... iterációt! Mit tapasztal? 0

21 0. Vizsgálja meg a x x 0 egyenlet megoldására az (a x k+ x k (b x k+ (x k / iterációkat a [,] intervallumon!. Tekintsük a 4x + cos(x x x + sin x x, x [ π, π] egyenletrendszert. Mit mondhatunk az egyenletrendszer megoldhatóságáról, illetve az x (k cos(x(k x (k x (k+ + sin x(k (k0,,,... eljárás konvergenciájáról?. Közelítse az x x x 0, x + 0, x + 0, x 0, x + 0, x + 0, x 0, x x x + 0, egynletrendszer [0, ] [0, ] [0, ]-beli gyökét fixpont-iterációval! Vizsgálja meg az eljárás konvergenciáját!

22 .9 Közelítő integrálás. Közelítsük az alábbi integrálokat összetett trapéz-, ill. Simpson-formulával úgy, hogy a megadott intervallumot m részintervallumra osztjuk! Becsüljük meg a közelítés hibáját! (a 6 x dx, m 5 (b ln(x dx, m 5 (c 0 ex dx, m 5 (d x ln xdx, m 4 (e π 4 0 ln(cos xdx, m (f 0 ex dx, m. Közelítsük a fenti integrálokat összetett trapéz-, ill. Simpson-formulával úgy, hogy m-et abból a feltételből határozzuk meg, hogy a hiba kisebb legyen, mint 0, 5 0 4!. Közelítsük ln( értékét összetett trapéz-formulával úgy, hogy a hiba kisebb legyen, mint 0, 5 0! 4. f(x xdx típusú integrálokat szeretnénk közelíteni 0 i a if(x i alakú kvadratúrával, ahol x 0, x 0, 5, x. Határozza meg a kvadratúra súlyait úgy, hogy a kvadratúra pontos legyen minden legfeljebb másodfokú polinom esetén! 5. Az f(xdx integrál közelítésére az ( a 0 f + a f(0 + a 5 ( 5 kvadratúrát szeretnénk használni. Határozza meg az a 0, a, a együtthatókat úgy, hogy a kvadratúra pontos legyen minden legfeljebb másodfokú polinom esetén! Vizsgálja meg, hogy magasabb fokú polinomok esetén hogy viselkedik a kvadratúra!

23 MEGOLDÁSOK. Lebegőpontos számok. Legnagyobb ábrázolható lebegőpontos szám: M : a k + t i a k+ ( a t. ( a a a k+ + a a a i a a a t Legkisebb ábrázolható pozitív szám: ε 0 : a k ( a a k. Az jobboldali szomszédja: [+, 0,..., 0, ] a ( a + + a t + ε a t. Az baloldali szomszédja: ( a [+ 0 a, a,..., a ] a 0 a a t a a t. A pozitív lebegőpontos számok alakja: [+ k m, m,..., m t ]. Itt k helyére (k + + k +-féle számot írhatunk, m helyére (a -féle, míg m,..., m t helyére a-féle értéket. Tehát a pozitív lebegőpontos számok száma: (k + + k + (a a t.

24 . Lebegőpontos alak: ±a k ( m a + m a + m a + m 4 a 4. 6 lebegőpontos alakja: ( ( [+ 0 0]. 4 lebegőpontos alakja: 4 ( [ 0 ].,5 lebegőpontos alakja:, 5 6 ( [+ 0 ]. 5 8 lebegőpontos alakja: ( [ ]. 5 8 lebegőpontos alakja: ( [+ ]. 4

25 4. Megkeressük az -hoz legközelebbi lebegőpontos számot. Azaz megkeressük a nála kisebb lebegőpontos számok közül a legnagyobbat, és a nála nagyobbak közül a legkisebbet. Az így megtalált két lebegőpontos szám közül a keresett számhoz közelebb eső lesz a szabályos kerekítéssel megadott szám. Levágás esetén pedig az előbb megtalált kettő lebegőpontos szám közül a nullához közelebbi lebegőpontos számot ábrázoljuk < < azaz: Lebegőpontos alak szabályos kerekítés esetén: [+ 0 ]. Lebegőpontos alak levágás esetén: [+ 0 0]. 7 e Az adott számábrázolási jellemzők mellett a legkisebb pozitív ábrázolható szám: ε 0. Mivel <, így a gép - függetlenül attól, hogy szabályos kerekítéssel vagy levágással kerekít - az -hez a 0-t rendeli. Alulcsordulás lép fel. 7 e, 78., 78-hoz legközelebbi lebegőpontos számok a, 5 < e <, 75. Szabályos kerekítésnél a, 75-t kell felírni lebegőpontosan :, , ( ( Lebegőpontos alak szabályos kerekítés esetén: [+ 0 ]. Levágás esetén a, 5-t kell felírni lebegőpontosan:, 5 + 0, 5 + ( + 4 ( + 8. Lebegőpontos alak levágás esetén: [+ 0 0]. 5. A. feladat alapján összesen 48 db szám lesz: (( + ( k 0 esetén az alábbi számok ábrázolhatóak:, 9, 0,..., Ezekből a többi karakterisztikához tartozó számokat úgy kapjuk, hogy a kettő alkalmas hatványával szorozzuk az előző számokat. 6. Két szomszédos, k karakterisztikájú szám távolsága: a k a t ak t. 5

26 Ha kt, akkor ez a távolság. k t karakterisztika mellett a legnagyobb lebegőpontos szám: a t ( a t a t. Ennek jobboldali szomszédja(a legkisebb t + karakterisztikájú szám: a t+ a at. t+ karakterisztika esetén két szomszédos lebegőpontos szám távolsága a, így az a t + nem lebegőpontos. 7. (a x y és fl(x y 0 A legkisebb ábrázolható szám: ε 0 : a k. A fenti adatoknak megfelelően a legkisebb ábrázolható szám: ε 0 : 5. Olyan lebegőpontos számokat kell keresnünk, melyek távolsága kisebb, mint. Lehetséges értékek: x 9 ; y Vagyis: fl(x y, 8 8 <. Mivel a fl(x y kisebb, mint ε 0, ezért fl(x y 0. (b fl(x + y x Lehetséges számok: x ; y, ugyanis az adott jellemzők mellett a jobboldali szomszédja +, így a + -et a gép -re kerekíti, 4 vagyis: fl(x + y. (c x + y [ M, M ], de x + y nem lebegőpontos szám! Lehetséges számok: x ; y, mert ezek összege nem lebegőpontos szám det(a s. A legrosszabb esetet kell megkeresni. Ebben a helyzetben ez az, amikor az s a legkisebb, azaz az baloldali szomszédját kell megkeresni. Az baloldali szomszédja: a t. Tehát det A akkor a legnagyobb, ha s a t, vagyis s a t. det A s a t at a t+ ( a a < ak a M a a t tehát nincs túlcsordulás. 6

27 P. A feladat Matlab programkódja: e ; while( + e > e e/; end e A feladat megoldása: ε, e 06. ε értékét a Matlab beépített konstansként is ismeri (eps. P. A fenti algoritmus MATLAB-ban megírva: x 00; fori : 60 x sqrt(x; end fori : 60 x x ; end Azt fogja végül kiírni, hogy x. Ennek oka, hogy a > esetén n a tart -hez, ha n. Ha a gyökvonások eredményeit kiiratjuk, akkor látható, hogy i 55 esetén a gyökvonás eredményét a gép pontosan -nek látja. Néhány részeredmény kiírva: i x 5, , , , , , P. ( 0x + x x 0, Az azonosság Matlab-ban megírva a következőképpen néz ki: k 0; forx : 00 if((((/x /0 + x x 0, k k + ; end end 7

28 A fenti MATLAB programot lefuttatva azt tapasztaljuk, hogy k értéke 0. Azaz a MATLAB szerint az egyenlőség egyetlen x-re sem teljesül. Ennek oka, hogy a 0, nem lebegőpontos szám. P4. A feladat Matlab-ban megírva: x ; fori : 60 (exp(x /x x x/; end A ciklust 5-ig futtatva a hányados értékére -et ad eredményül, de 54-ig futtatva a hányados értéke már 0. Ennek oka, hogy lim x 0 e x. Így egy idő múlva a gép e x értékét -nek látja, ekkor a hányados értéke is 0. P5. A feladat Matlab-ban megírva: x /; fori : 40 x 4 x ; end Ha a ciklust 40-szer futtatjuk le az eredmény: 696. Ennek oka, hogy az nem lebegőpontos szám (lásd 4.feladat. Így a kerekítési hibák a ciklus minden lépésében halmozódnak. Néhány részeredmény 5 tizedesjegyre kerekítve: i eredmény 0, 0, 0 0,9 0 0, ,

29 . Normák, kondíciószámok. A bizonyítandó állítás ekvivalens azzal, hogy: x y x y x y Az második egyenlőtlenség igazolása a háromszögegyenlőtlenség segítségével: x (x y + y x y + y ezt átrendezve: x y x y. Az első egyenlőtlenség az x és y szerepének felcserélésével adódik.. Sornorma: A max { +, + } 5 Oszlopnorma: A max { +, + } 4 Spektrálnorma: A λ max (A T A A T A ( ( ( Karakterisztikus polinom: 0 λ λ (0 λ(8 λ 64 λ 8λ + 6 Az A T A sajátértékei: λ 8λ λ, 8± 8 64, így 8+ A , 06. (a A 9, A 6. A Az. mátrixnorma esetén az alkalmas x vektort úgy kaphatjuk, hogy keresünk egy olyan j 0 indexet, melyre n i a ij0 max j 9 n a ij i

30 (azaz ahol az egy oszlopban álló mátrixelemek abszolútértékeinek összege maximális, és x-nek azt a vektort választjuk, melynek j 0 -adik koordinátája, a többi 0. Jelen esetben a. oszlopban a legnagyobb a számok abszolútértékének összege, 0 így x e 0. Ellenőrizzük, hogy ezzel az x vektorral valóban teljesül-e az egyenlőség! x, Ax 9, Ax 9 A x. 8 A. mátrixnorma esetén keresnünk kell egy olyan i 0 indexet, melyre n j a i0 j max i n a ij (azaz ahol az egy sorban álló elemek abszolútértékének összege maximális, és x legyen az a vektor, melynek j-edik koordinátája: x j sgn(a i0 j, j,..., n. A fenti mátrix esetén i 0 (a második sorban a legnagyobb az elemek abszolútértékének az összege, így x. Ellenőrizzük, hogy ezzel az x vektorral valóban teljesül-e az egyenlőség! x, Ax 6, Ax 6 A x. 5 j (b A 0, A 0 A Az a részben leírtak alapján j 0, így x e Ekkor x, Ax 4 4 Az a részben leírtak alapján i 0, azaz x Ekkor x, Ax , Ax 0 A x.., Ax 0 A x. 0

31 4. E max x 0 Ex x max x 0 x x 5. AB max x 0 (AB x x max x 0 A (Bx x max x 0 A Bx x A max x 0 Bx x A B 6. Az egységmátrix normája: E n F n, így nem teljesül a 4. feladatban szereplő tulajdonság, azaz a Frobenius norma nem származtatható semmilyen vektornormából. 7. Belátjuk, hogy a norma definíciójában megkövetelt 4 tulajdonság teljesül.. A 0 minden A R n n esetén. Ez a tulajdonság teljesül, hiszen abszolútértékek maximuma mindig nemnegatív.. A 0 A 0 Ha A 0, akkor a ij 0 i, j-re, így A 0 Ha A 0, akkor max a ij 0 i,j azaz a ij 0 i, j-re, így A 0.. λa λ A λ R, A R n n esetén λa max i,j λa ij max i,j λ a ij λ max a ij λ A. i,j 4. A + B A + B A, B R n n esetén A + B max i,j a ij + b ij max i,j ( a ij + b ij max i,j a ij +max b ij A + B. i,j Tehát a függvény tényleg normát definiál R n n -en. Megmutatjuk, hogy ( ez a norma nem származtatható ( semmilyen vektornormából. Legyen A B, ekkor AB, így A B, míg AB, azaz az indukált normák 5. feladatban bizonyított tulajdonsága nem teljesül.

32 8. Ha v 0 a λ-hoz tartozó sajátvektor, akkor Av λv, azaz λ v λv Av A v λ v A v ezt az egyenlőtlenséget v 0-val osztva kapjuk az állítást. 9. (a det(a 0 a determináns nem nulla, tehát a mátrix invertálható A ( ( A 6, A 5 0, így cond (A A A es mátrix esetén a cond (A-t az alábbi képlet segítségével is meghatározhatjuk: cond (A A A. det(a (b det(a a + ha a akkor A nem invertálható, egyébként igen. Mivel a ismeretlen, ezért több eset áll fenn:. eset: ha + a, azaz a, akkor A. Ekkor A, és így cond (A A A det(a 9 a +.. eset: ha < + a, azaz < a, akkor A + a, és A + a, azaz cond (A A A det(a ( + a a +. (c det(a 8 a determináns nem nulla, tehát a mátrix invertálható A A 9, A 8 8 cond (A A A T Az első esetben x, x 0, a második esetben x, x, tehát a jobboldalon egy 0 4 nagyságrendű változás a megoldásban nagyságrendű változást okozott.

33 . Először belátjuk, hogy ha a reguláris A mátrixnak λ,..., λ n sajátértéke, akkor A - nek λ,..., λ n sajátértéke. Legyen λ az A sajátértéke, v 0 a hozzátartozó sajátvektor. Ekkor Av λv, A A v λ A v. Felhasználva, hogy egy reguláris mátrixnak a 0 nem sajátértéke az előző egyenlőtlenséget oszthatjuk λ-val: λ v A v. Így látható, hogy A -nek λ sajátértéke. Visszatérve a feladatban megfogalmazott állítás bizonyítására, a 8. feladat állítása szerint λ max A, illetve az előbb belátott lemma alapján λ min A. Így λ max λ min A A cond(a. (. Könnyen ellenőrizhető, hogy x. Rátérve a második egyenletrendszer megoldására: (x + δx A (b + δb ( 0, 98 0, 99 det(a 0, 000, A 0,000 0, 99 ( ( ( , (x + δx , Így δx ( δx 99 x δb 0,0 b,99, azaz 99, ( , 005. Látható, hogy a megoldás relatív hibája 4 nagyságrenddel nagyobb a relatív jobboldali hibájánál. Ennek oka, hogy: cond (A A A, A + s s + s s + s s + s s s.

34 det(a s (( + s ( s 4, így A 4s ( + s s s + s Ekkor A +s 4s + s 4s +s + s, így cond 4s 4s s (A. s Látható, hogy amíg a determináns értéke s-től függetlenül állandó, addig a kondíciószám függ az s értékétől. Ha s közel van 0-hoz, akkor ez tetszőlegesen nagy lehet.. 4. Használjuk ki, hogy az előző feladatban meghatároztuk A -et! Ax b x A b ( ( + s s 4s s + s ( s 4s s Hibával terhelt jobboldal esetén ( s s. A (x + δx b + δb Ax + Aδx b + δb Aδx δb δx A δb Így δx 4s ( + s s s + s ( ε ε 4s ( ( + s ε (s ε (s ε ( + s ε ( ε s ε s Mivel δx ε s x s, a megoldás relatív hibája: δx x ε s Észrevehetjük, hogy a jobboldal relatív hibája: így δx x Ez azt jelenti, hogy ekkor a ε s cond (A δb b. δb b ε, továbbá cond (A s, δx x cond (A δb b egyenlőtlenség éles. 4

35 5. Mivel (c A c A, így cond(ca ca (ca cond(ca c A c A cond(a, azaz egy mátrix kondíciószáma nem változik ha egy 0-tól különböző számmal szorozzuk a mátrixot. Ugyanakkor det(ca c n det(a, így látható, hogy a kondíciószám nem függ a mátrix determinánsától. 5

36 . Lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrixok felbontása. Amilyen elemi átalakításokkal kapjuk az A mátrixból az E-t, ugyanolyan elemi átalakításokkal kapjuk az E-ből az A mátrix inverzét. Az A mátrix inverze: 0 0 (A E , tehát az A mátrix inverze: A A B mátrix inverze: A C mátrix inverze: A D mátrix inverze: B C D

37 . Az A mátrix LU felbontása: A A determinánsok szorzástételét felhasználva det(adet(ldet(udet(u4 Mivel ALU, ezért az Axb egyenletrendszert LUxb alakban is felírhatjuk. Bevezetve az y:ux jelölést, előbb az Lyb majd az Uxy egyenletrendszert kell megoldanunk.. Lyb y y y y, y 4, y. Uxy megoldásvektor: x x x x. 4 A B mátrix LU felbontása: 4 4 B A determinánsok szorzástételét felhasználva det(bdet(ldet(udet(u 00 azaz a B mátrix szinguláris.. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: 7

38 y, y 7, y 0. Uxy x x x 7 0 Az Uxy lineáris egyenletrendszer. egyenletét minden x R vektor teljesíti, így az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Legyen x t, ahol t R tetszőleges. Ekkor 5x + t 7 x 7 t 5 4x 4x + x x 9+t 0 megoldásvektor: 9+t 0 7 t 5 t. A C mátrix LU felbontása: C det(c 6. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: y, y, y 4, y 4. Az Uxy egyenletrendszert megoldva a megoldás: x, x, x, x 4. 8

39 A D mátrix LU felbontása: 0 D a 6 det(d a a a 6.Lyb y y y 4 5 a y 4, y 5, y (a +.Uxy a + x x x 4 5 (a + megoldásvektor a esetén: x ha azonban a, akkor az egyenletrendszer: x x x Ennek végtelen sok megoldása van, ugyanis az Uxy lineáris egyenletrendszer. egyenletét minden x R vektor teljesíti. Legyen x t, ahol t R tetszőleges. Ekkor x t 5 x 5 t x + x 4 x 7 + t megoldásvektor: 7 + t 5 t t. 9

40 Az E mátrix LU felbontása: E det(e. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: y 0, y 8, y 4. Az Uxy egyenletrendszert megoldva a megoldásvektor: Az F mátrix LU felbontása: det(f0 F x. Lyb egyenletrendszer megoldása: y, y, y Uxy egyenletrendszer x x x ami ellentmondásos. A G mátrix LU felbontása: 40

41 G det(g 48. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: y 5, y 6, y 5, y 4 6. Az Uxy egyenletrendszer megoldása: x, x, x, x 4 A H mátrix LU felbontása: 4 H det(h. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: y, y, y 4, y 4 6 4

42 . Az Uxy egyenletrendszer megoldása: x, x 4, x, x 4 Az I mátrix LU felbontása: 4 I det(i48. Az Lyb egyenletrendszer megoldása: y 4, y 8, y 4, y 4 6. Az Uxy egyenletrendszer megoldása: x, x 4, x 0, x 4. Mivel a 0, ezért sorcserét kell végre hajtani. A P permutációs mátrixszal balról szorozva egy mátrixot, annak első és második sora felcserélődik. Így 0 A P

43 és erre a legutóbbi mátrixra már végrehajtható az LU felbontás első lépése A P P A legutolsó mátrixban a főelem ( az a elem 0, így újra sorcserére van szükség. A mátrixszal A P P P : P LP U Mivel ezért ahol LP P A P P LU : P LU P P P : P L Az determinánsok szorzástételét felhasználva det(adet(pdet(ldet(u5 B mátrix PLU felbontása: B

44 det(b C mátrix PLU felbontása: 0 0 C det(c D mátrix PLU felbontása: 0 D 5 4 det(d E márix PLU felbontása: E det(e0 F mátrix PLU felbontása: 4 6 F det(f balról szorozva d a a... a n d a d a... d a n 0 d... 0 a a... a n.. d a d a... d a n d n a n a n... a nn d n a n d n a n... d n a nn 44

45 jobbról szorozva a a... a n d d a d a... d n a n a a... a n 0 d d a d a... d n a n. a n a n... a nn d n d a n d a n... d n a nn 5. Az A mátrix LDL T felbontása: 4 8 A Az B mátrix LDL T felbontása: B Az C mátrix LDL T felbontása: C

46 A D mátrix LDL T felbontása: D Az A mátrix Cholesky-felbontása: A A determinánsok szorzástételét felhasználva det(adet(ldet(udet(u6 46

47 A B mátrix Cholesky-felbontása: 9 9 B det(b A C mátrix Cholesky-felbontása: 4 6 C det(c

48 A D mátrix Cholesky-felbontása: det(d0 D

49 Az E mátrix Cholesky-felbontása: E det(e Az F mátrix Cholesky-felbontása: 4 4 F a a a a a a

50 det(f4a P. Számítógéppel (dupla pontosságú számítás mellett kiszámolva az első egyenletrendszer megoldására a következőt kapjuk: x 0, x. Ugyanakkor a második egyenletrendszer esetén x, x adódik. Azt látjuk tehát, hogy két matematikailag ekvivalens egyenletrendszer esetén lényegesen különböző megoldásokat kaptunk a gépi megoldás során. Egyik megoldás sem pontos, de látható, hogy a második megoldás közelebb van a valódi megoldáshoz. A jelenség magyarázata az, hogy a kerekítési hibákból adódó pontatlanságok nagy hibákat okozhatnak osztás során, ha a nevező abszolút érétkben kicsi. Az előző esetben pontosan ez a helyzet (hiszen a megoldás során az a 0 7 elemmel osztunk. Az ilyen hibák elkerülése érdekében használjuk a főelemválasztást. 50

51 .4 Legkisebb négyzetek módszere. (a A modell: F(ta+bt, a mérési adatok száma m4. A modell paramétereit az m m m t i ( i a f i m m i t b m i t i f i i t i i lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Behelyettesítve a megadott értékeket: ( ( ( 4 a. 6 b 6 A mátrix determinánsa 0, így a lineáris egyenletrendszer egyértelműen megoldható (ez már az adatokból is leolvasható, mivel legalább különböző t i érték adott. Az egyenletrendszer megoldása: i ( a b 0 ( 6 4 Így az illesztett modell: F(t 5 + t. (b ( 6 ( 5. A modell: F(ta+bt a mérések száma m5. Mivel a t i értékek között van legalább különböző, ezért a feladat egyértelműen megoldható. A megoldandó egyenletrendszer: ( ( a b ( 5. A mátrix determinánsa 64, így ( a b 64 ( az illesztett modell: F(t 8 t. (c ( 5 ( 8 A modell továbbra is: F(ta+bt de a mérések száma 6 így az m6. Mivel itt is van 5

52 legalább különböző t i érték így a feladat egyértelműen megoldható. A megoldandó egyenletrendszer: ( ( a b ( 0 8. A mátrix determinánsa 05 4 így ( a b 4 05 ( ( 0 8 ( 4 az illesztett modell: F(t 4 + t. (d A megoldandó egyenletrendszer: ( ( a b ( 7 4. A mátrix determinánsa 50, így ( a b 50 az illesztett modell: F(t 0 0 t. ( ( 7 4 ( 0 0. (a A modell amivel közelítünk az F (t c + c t + c t alakú. Az ismeretlen c, c, c paramétereket az A T A A T f Gaus- féle normálegyenlet megoldásával kapjuk, ahol t t t t c f A t t ; x c ; f f. c t 4 t f 4 Ebből A T A m m t i i m t i i m t i i m t i i m t i i m t i i m t i i m t 4 i i ; A T f m f i i m t i f i i m t i f i i 5

53 az adatokat behelyettesítve: Ennek megoldása: c 7 40, c 5 40, c 5 40 c c c így az illesztett modell: F(t t 5 40 t. (b A modell amivel közelítünk az F (t c + c t + c t alakú. Az ismeretlen c, c, c paramétereket a 5 7 c 7 9 c c 4 egyenlet megoldásával kapjuk Ennek megoldása: c, c 4, c 4 így az illesztett modell: F(t 4 t + 4 t.. Mivel az alappontok között csak különböző érték szerepel elsőfokú polinommal érdemes közelíteni (magasabb fokszámú polinom esetén a megoldandó lineáris egyenletrendszer szinguláris lesz, a feladatnak végtelen sok megoldása lesz. A modell : F(ta+bt, a mérési adatok száma pedig m5. A modell paramétereit az m m t i i m t i i m t i i ( a b m f i i m t i f i lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Behelyettesítve a megadott értékeket: ( ( ( 5 a 5.. b. A mátrix determinánsa 54, így a lineáris egyenletrendszer egyértelműen megoldható. Az egyenletrendszer megoldása: i 5

54 ( a b 54 ( 5 ( 5.. ( Így az illesztett modell: F(t t. 4. Itt is a Gauss-féle normálegyenletet kell megoldani ami a következő A T Ax A T f Az A matrix: cos(πt sin(πt 0 cos(πt sin(πt 0 A cos(πt sin(πt cos(πt 4 sin(πt cos(πt 5 sin(πt 5 0 cos(πt 6 sin(πt 6 0 Kiszámoljuk az A T A és A T f mátrixokat: A T A A T f az adatokat behelyettesítve: c c c Ennek megoldása: c 77, c 8 96, c Így az illesztett modell: F(t cos(πt sin(πt. 54

55 Ha a második táblázat adatait közelítjük: A A T A Mivel det(a T A0, ezért a lineáris egyenletrendszer megoldása nem egyértelmű. Ez már abból is látható, hogy az A mátrix oszlopvektorai nem lineárisan függetlenek. 5. A modell: F(ta+bt, a mérési adatok száma m0. Az illesztett model: F(t t 6. A modell: F(ta+ b, a mérési adatok száma m0. t Az illesztett model: F (t t 7. A modell: F (t a + b cos(πt + c sin(πt, a mérési adatok száma m. Az illesztett model: F (t cos(πt sin(πt 55

56 .5 Sajátérték feladatok. (a A ( 4 5 A sajátértékek meghatározásához írjuk fel az A mátrix karakterisztikus polinomját! det(a λe λ 4 5 λ ( λ (5 λ ( λ λ + A sajátértékek a karakterisztikus polinom gyökei lesznek: λ λ + 0 λ, ± 9 8 A λ sajátértékhez tartozó sajátvektort az ±, λ, λ. (A Ev 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. ( ( 4 v 4 v ( 0 0, így v ( 0, 6 0, 8. A λ sajátértékhez tartozó sajátvektort az (A Ev 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. ( ( v 4 4 v ( 0 0, így v (. 56

57 (b A A mátrix karakterisztikus egyenlete: Ennek gyökei: ( λ 4λ λ, 4 ± 6 6 4, λ. A mátrixnak egy kétszeres multiplicitású valós sajátértéke van. A λ sajátértékhez tartozó sajátvektort az (A Ev 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. ( ( v v ( 0 0, így v (. (c A karakterisztikus egyenlet: Ennek gyökei A ( 5 λ λ + 0, λ, ± 4 8 ± 4 ± 4 ± i ±i, λ, ±i A mátrix sajátértékei komplexek. A λ + i sajátértékhez tartozó sajátvektort az (A ( + i Ev 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. ( ( i 5 v i v ( 0 0, 57

58 így ( v 5 (i + A λ i sajátértékhez tartozó sajátvektort az. (A ( i Ev 0 lineáris egyenletrendszer megoldásával kapjuk. ( ( + i 5 v + i v ( 0 0, így ( v 5 ( i.. Induljunk ki az Av λv egyenletből, majd vegyük mindkét oldal normáját! Ebből v 0 miatt következik, hogy A v Av λv λ v A λ.. Ha A-nak a 0 sajátértéke, akkor det(a 0E 0, tehát det(a 0, azaz A szinguláris. Ha A szinguláris akkor det(a 0, azaz a λ 0 megoldja a det(a λe 0 egyenletet, tehát A-nak a 0 sajátértéke. 4. Legyen v 0 a λ sajátértékhez tartozó sajátvektor: A v λ v. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát balról A -gyel: Az A mátrix reguláris, így λ 0. v λ A v. λ v A v, azaz az A mátrixnak λ sajátértéke, a hozzátartozó sajátvektor v. 58

59 5. Legyen v 0 a λ sajátértékhez tartozó sajátvektor. A v λ v / A A v λ A v A v λ (λ v A v λ v, azaz λ az A mátrix sajátértéke, a hozzátartozó sajátvektor v. 6. Legyen v 0 az A mátrix λ sajátértékéhez tartozó sajátvektor. A v λ v / ce v (A ce v (λ c v, tehát λ c sajátértéke az A ce mátrixnak, v pedig a λ c sajátértékhez tartozó sajátvetor. 7. Ha egy mátrix domináns főátlójú, akkor a főátlóban álló elemek nagyobbak, mint a velük egy sorban lévő elemek abszolútértékeinek összegei. Ez alapján a Gersgorin körök uniójában nincs benne a 0, tehát az nem sajátértéke a mátrixnak, így a mátrix reguláris. 8. (a A mátrix sajátértékei a 4 középpontú és 4 sugarú, középpontú és sugarú, 7 középpontú és sugarú körök uniójában helyezkednek el. A 0 beleesik a 4 középpontú körbe, így lehet, hogy a mátrix nem invertálható. A körök nem metszik egymást, így minden körben pontosan darab sajátérték található, amelyek valósak. (b A mátrix sajátértékei a 4 középpontú és sugarú, középpontú és sugarú, 7 középpontú és sugarú körök uniójában helyezkednek el. A 0 nem tartozik egyik körhöz sem, tehát a mátrix invertálható. Mind három kör metszi egymást, így a sajátérték ezek uniójában bárhol lehet. Mivel a mátrix szimmetrikus, így sajátértékei biztosan valósak, a Gersgorin körök elhelyezkedéséből következően pedig pozitívak. A mátrix így pozitív definit. 59

60 (c A mátrix sajátértékei a 4 középpontú és 5 sugarú, 5 középpontú és sugarú, középpontú és sugarú körök uniójában helyezkednek el. A 0 beleesik a 4 középpontú körbe, így lehet, hogy a mátrix nem invertálható. A körök nem metszik egymást, így minden körben pontosan darab sajátérték található, amelyek valósak. 9. A mátrix sajátértékei a 8 középpontú és 6 sugarú, 5 középpontú és sugarú, középpontú és sugarú, 7 középpontú és 4 sugarú, 4 középpontú és sugarú körök uniójában helyezkednek el. A 0 nem tartozik egyik körhöz sem, tehát A mátrix reguláris. A és 4 középpontú körök uniójában, a 8 az 5 és a7 középpontú körök uniójában pedig darab sajátérték található. 0. Ha adott az A R n n mátrix és a v R n, v 0 vektor, akkor a J(λ A v λ v függvény minimumhelye Av, v λ v, v. Ezt a hányadost nevezzük Rayleigh hányadosnak. Esetünkben: így λ 4 λ Av, v v, v ( ( ( , esetén lesz minimális az Av λv euklideszi normája.. v 5 0 4, Av 5, λ így a minimumhely λ. Av, v v, v A E ( 5 ( ( 5 + 4, det(a E 0, tehát a sajátértéke az A mátrixnak. 60

61 . (a A (, ɛ 0.0. Az y (0 -t tetszőlegesen választjuk ki, innentől kezdve ez érvényes az alábbi feladatokra is! ( ( Ay (0 y (0 Ay (0 λ 0, y ( y (0, y (0 + 0 y ( Ay (0 ( Ay ( ( 4 λ Ay (, y ( y (, y ( 0 5 Mivel a sajátérték két egymást követő közelítőértéke megegyezik, az iterációt abbahagyjuk. Könnyen ellenőrizhető, hogy annak ellenére, hogy az iteráció leállási feltétele teljesül (tetszőleges ɛ esetén, λ nem sajátértéke a mátrixnak. A jelenség oka, hogy a mátrix sajátértékei komplexek ( ± i. (b Az y (0 0 0 A vektorból indítva az iterációt K λ K 4,4857 4, , , , , , , , ,99906 ɛ 0, 00. K 0 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (0 -hez tartozó sajátvektor közelítés: 0, y (0 0, , Mivel Ay (0 λ 0 y (0 ɛ, ezért az iteráció sikeres. 6

62 (c Az y (0 0 0 A 0 0 vektorból indítva az iterációt λ K K,,4765,444 ɛ 0, 00. K esetén teljesül a leállási feltétel. A λ ( -hoz tartozó sajátvektor közelítés: 0, y ( 0, , Mivel Ay ( λ y ( ɛ, ezért az iteráció sikeres. (d Az y (0 0 0 A vektorból indítva az iterációt K -0,7486 -, , , ,0097 ɛ 0, 00. λ K K 8 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (8 -hoz tartozó sajátvektor közelítés: 0, 5808 y (8 0, ,

63 Mivel Ay (8 λ 8 y (8 ɛ, ezért az iteráció sikeres. (e Az y (0 0 0 A 0 0 vektorból indítva az iterációt λ K K,666666,976744, , ɛ 0, 00. K 4 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (4 -hez tartozó sajátvektor közelítés: 0, y (4 0, , Mivel Ay (4 λ 4 y (4 ɛ, ezért az iteráció sikeres. (f Az y (0 0 0 A vektorból indítva az iterációt K, ,060606, ,086 5, , , ,009 ɛ 0, 00. λ K 6

64 K 8 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (8 -hoz tartozó sajátvektor közelítés: 0, 66 y (8 0, , 66 Mivel Ay (8 λ 8 y (8 ɛ, ezért az iteráció sikeres. (g Az y ( A vektorból indítva az iterációt K 9 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (9 -hez tartozó sajátvektor közelítés: y (9 λ K K 5 5,970 5, ,09 5 5, , , , ,99989 ɛ 0, 00. 0, , , 878 0, Mivel Ay (9 λ 9 y (9 ɛ, nem teljesül ezért az iteráció sikertelen. Az iteráció más kezdővektorokból indítva sem lesz sikeres, aminek az az oka, hogy a mátrix sajátértékei komplexek. 64

65 (h Az y (0 0 0 A vektorból indítva az iterációt λ K K -7,4857-4,0408-5, , , , , , , ɛ 0, 00. K 9 esetén teljesül a leállási feltétel. A λ (9 -hez tartozó sajátvektor közelítés: 0, y (9 0, 79 0, (i Mivel Ay (9 λ 9 y (9 ɛ, ezért az iteráció sikeres. Az y (0 0 0 A vektorból indítva az iterációt K λ K - - ɛ 0, 00. Mivel a sajátérték két egymás követő közelítőértéke megegyezik, az iterációt abbahagyjuk. Mivel λ esetén az A v λ v egyenlet teljesül, ezért λ sajátértéke a mátrixnak. 65

66 .6 Lagrange interpoláció. (a (, 6, (, 7, (, 8, (,, (, 9 Készítsük el az osztott differenciák táblázatát: 6 7 ( 7 ( 6 ( ( ( 8 ( 7 9 ( ( ( 0 9 ( ( 9 8 ( ( ( 8 ( 6 ( 9 ( 9 ( 0 ( 6 ( ( ( ( Az illesztett polinom: N 4 (x 6 (x (x + (x + (x + (x + (x (x + (x + (x + (x x 4 + x x + x. (b (,, (, 8, (,, (, A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: N (x + (x + 5 (x + (x (x + (x + (x x x x x + 5 x x. 66

67 (c (,, (, 4, (, A differenciatáblázat: 9 4 Az illesztett polinom: N (x + 9 (x + (x + (x + x + x +. (d (, 5, (,, (0,, (, 5 A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: N (x 5+8 (x+ 5 (x+ (x++ (x+ (x+ x x +x x+. (e (, 4, (,, (, 0, (, 40 A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: N (x 4 (x++ (x+ (x + (x+ (x (x x x x+4. 67

68 (f (, 8, (, 5, (,, (, 0, (, 7 A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: N 4 (x 8 (x (x + (x + (x + (x + (x + + (x + (x + (x (x.. A differenciatáblázat: Az első 4 pontra illeszkedő polinom: N (x (x + 4 (x + x + (x + x (x x x 5x + 4. Ha azt a minimális fokszámú polinomot keressük, amely az előző pontokon kívül áthalad a (, ponton is, akkor az előző táblázatunkat kiegészítjük az új adattal, és kiszámítjuk az utolsó "ferde" sort: 68

69 Az 5 pontra illeszkedő polinom: N 4 (x N (x + (x + x (x (x x4 + x 5x x Számítsuk ki a függvény értékét az x, x, x pontokban: f(x 0; f(x ; f(x 0. Az adataink tehát: (, 0, (0,, (, 0. A differenciatáblázat: Az illesztett másodfokú polinom: N (x 0 + (x + (x + x x + x x x. 4. Egy másodfokú polinomot egyértelműen meghatároz különböző helyen vett helyettesítési értéke. Ha a táblázatban szereplő értékek pontosak lennének, akkor bármelyik adat ugyanazt a polinomot határozná meg. Először illesszünk az első adatra polinomot:

70 A differenciatáblázatból felírva az interpolációs polinomot N (x 5 4 x + x (x + x x + 5 adódik. Számítsuk ki milyen értékeket vesz fel az N polinom az,, pontokban! N ( ; N ( ; N ( 5. Látható, hogy az x és x 5 helyeken felvett érték megegyezik a táblázatban adott értékekkel, azaz az N polinom a (, pont kivételével minden pontra illeszkedik. Ebből következik, hogy az x helyen megadott helyettesítési érték hibás, a helyes érték. A p polinom: p(x N (x x x Ha az f függvény (n + -szer folytonosan differenciálható és L n (x az (x i, f(x i, i 0,,..., n adatokra épülő Lagrange-polinom, akkor az interpoláció maximális hibája: f(x L n (x M n+ (n +! ω n+(x, ahol ω n+ (x (x x 0 (x x... (x x n, M n+ max x [a,b] f n+ (x. A maximális hiba megadáshoz először kiszámoljuk a függvény harmadik deriváltját: f (x e x. A harmadik derivált abszolútértékének maximuma az alappontok által kifeszített intervallumon: M. ( ω (x (x + x + x x + x + x. A [, 0] intervallumban az ω (x függvénynek x -nál van maximuma, a 6 maximum értéke. Így 6 f(x L (x 6 6 8, Általános esetben az interpoláció maximális hibája f(x L n (x M n+ (n+! ω n+(x, azaz n esetén f(x L (x M! ω (x adódik. ω (x (x a(x b, azaz ω (x egy olyan másodfokú polinom, melynek zérushelyei a és b, a főegyütthatója pedig pozitív. 70

71 Ebből következik, hogy ω (x minimumhelye a gyökök számtani közepe: x a+b. Felhasználva, hogy x [a, b] esetén ( ( ( ω (x a + b ω a + b a + b a b ( ( a + b a a + b b b a a b (b a 4 (b a 4 teljesül, az f(x L (x M! ω (x M (b a 4 M 8 (b a M 8 h összefüggést kapjuk, ami a bizonyítandó állítás. 7. Szakaszonként lineáris interpoláció esetén a hiba a következő módon becsülhető (ld. 6. feladat: f(x L (x M 8 h. Ha h értékét úgy határozzuk meg, hogy M 8 h < 0 4 teljesüljön, akkor a hiba a megadott korlát alatt marad. Mivel f (x cos(x, ezért M max f (x max cos(x. x [0,π] x [0,π] Tehát 8 h < 0 4 h < h < 0 0, 0. Ha az egyes részintervallumok hossza legfeljebb 0, 0, akkor a hiba a megadott korlát alatt marad. 7

72 .7 Hermite interpoláció, spline-interpoláció. (a A differenciatáblázat: ( 6 4 ( ( ( 4 ( ( ( ( ( Az illesztett polinom: H(x (x + 4 (x (x + (x + 5 (x + (x + + (x + (x (x x 5 + x 4 + x x + 4. (b A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: H(x (x + + (x + + (x + (x + 47 (x + (x (x + (x + 9 (x + (x + (x 9x 6 98 x5 7 x4 + 7 x + 55 x x + x(x +. 7

73 (c A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: H(x (x + (x (x + (x + (x + (x (x + (x + (x + (x (x x 6 + x 5 x 4 + 4x x +. (d A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: H(x + (x + + (x + (x + (x + (x (x. 7

74 (e A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: H(x 0 0 (x (x + 6 (x + (x (x + (x + 4 (x + (x + + (x + (x + (x.. Az x 0, f(x 0, f (x 0 adatokból elkészített differenciatáblázat: x 0 f(x 0 x 0 f(x 0 f (x 0 Az f függvény x 0 -beli érintőjének egyenlete a következő: y(x f(x 0 + f (x 0 (x x 0.. Helyettesítsük be a fenti függvénybe az x 0-t. Azaz f(0 cos(0 (0 (0, az eredmény f(0. A függvény első deriváltja: f (x sin x x. Azaz f (0 sin(0 (0, az eredmény f (0. Így x 0 0 f(x 0, f (x 0 amiből a differenciatáblázat:

75 Felírva az interpolációs polinomot a fenti függvény x 0 pontbeli érintőjének egyenletét kapjuk, ami: y(x x. 4. A differenciatáblázat: x 0 f(x 0 x 0 f(x 0 x 0 f(x 0 x 0 f(x 0 x 0 f(x 0.. x 0 f(x 0 f (x 0 f (x 0 f (x 0 f (x 0. f (x 0 f (x 0 f (x 0 f (x 0. f (x 0 f (x 0! f (x 0!. f (x 0! f (4 (x 0 4!. f (4 (x 0 4!... f (n (x 0 n! Az illesztett polinom: H(x f(x 0 + f (x 0 (x x 0 + f (x 0 + f (x 0! (x x f (n (x 0 n! (x x 0 + (x x 0 n, ami pontosan az f függvény x 0 körüli n-ed fokú Taylor-polinomja. 5. Az adatok táblázatban: x i H(x i 4 6 H (x i 9 A H polinomot úgy határozzuk meg, hogy illeszkedjen az alábbi adatokra: x i H (x i 4 6 H (x i A differenciatáblázat: 75

76 Az illesztett polinom a differenciatáblázat alsó éléből felírva: H (x 6 + (x + 6 (x + (x (x +. A H szakaszonként harmadfokú polinom folytonosan differenciállható lesz, ha H -t úgy határozzuk meg, hogy illeszkedjen a következő adatokra: x i H (x i 6 H (x i 9 A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: H (x 6 + (x 5 (x + 4 (x (x. 6. x i - H(x i 4 6 H (x i - α 9 Ebből az első polinom: x i - H(x i 4 6 H (x i - α A differenciatáblázat: α 76 α α 5 4

77 Az illesztett polinom: H (x 6 + α (x + α (x + α 5 4 (x (x +. A második polinom: A differenciatáblázat: Az illesztett polinom: x i H(x i 6 H (x i α α α 9 + α 4 H (x 6 + α (x + α (x + + α 4 (x (x. Látható, hogy a feladat tetszőleges α R esetén megoldható. 7. H kétszer folytonosan differenciálható, ha kétszer differenciálható és a második deriváltja folytonos. H ( α + α 5 α 6 4 H ( α + +α 4 ( α α α Ebből a kétszer folytonosan differenciálhatóság feltétele a α 6 α egyenlet teljesülése, aminek megoldásaként α adódik. Így a keresett polinomot megkapjuk, ha az előző feladatban α helyére -et helyettesítünk. { 6 + H(x (x + (x 4 7(x 8 (x +, ha x [, ] 6 + (x + (x 4 + 9(x 8 (x +, ha x (, ]. 77