Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
|
|
- Gizella Fazekas
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor másrészt f(x + y = f ( (x 1, + (y 1, y 2 = f(x 1 + y 1, + y 2 = = ( 3(x 1 + y 1 + 2( + y 2, x 1 + y 1 ( + y 2 = = (3x 1 + 3y y 2, x 1 + y 1 y 2, f(x + f(y = f(x 1, + f(y 1, y 2 = (3x 1 + 2y 1, x 1 y 1 + (3 + 2y 2, y 2 = = (3x 1 + 2y y 2, x 1 y 1 + y 2 = = (3x 1 + 3y y 2, x 1 + y 1 y 2, így f(x + y = f(x + f(y, tehát f additív Másrészt f(cx = f ( c(x 1, = f(cx 1, c = (3cx 1 + 2c, cx 1 c, másrészt cf(x = c(3x 1 + 2, x 1 = (3cx 1 + 2c, cx 1 c, így f(cx = cf(x, azaz f homogén Mivel f additív és homogén, ezért lineáris 2 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (x + y, leképezés? Legyen x = (x 1, R 2, c R Ekkor f(cx = f ( c(x 1, = f(cx 1, c = (cx 1 + c, c 2 1, másrészt cf(x = c(x 1 +, 1 = (cx 1 + c, c 1, így f(cx cf(x, tehát f nem homogén, így nem lineáris 1
2 2 3 Mutassuk meg, hogy ha f : R 2 R 2 lineáris, akkor f( = Ha f lineáris, akkor additív, így f(x + y = f(x + f(y Legyen x = y = Ekkor azaz f( + = f( + f(, f( = 2f(, így f( = 4 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (x + y + 1, x y leképezés? Mivel f( = (1, (,, ezért f nem lineáris 5 Tekintsük az f : R 2 R 2, f(x, y = (2x + 2y, 2x + 5y lineáris leképezést! a Írjuk föl a lineáris leképezés (természetes bázisra vonatkozó mátrixát! b Határozzuk meg a (3, 1 vektor képét a lineáris leképzés mátrixának segítségével! c Írjuk föl a lineáris leképzés karakterisztikus polinomját! d Írjuk föl a lineáris leképzés karakterisztikus egyenletét! e Határozzuk meg a lineáris leképezés sajátértékeit! f Határozzuk a különböz sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat! a A lineáris leképezés természetes bázisra vonatkozó mátrixát úgy írhatjuk föl, hogy megnézzük a természetes bázis tagjain felvett értékeket, majd ezekb l, mint oszlopvektorokból képezünk egy mátrixot: f(1, = (2, 2, f(, 1 = (2, 5 Így a lineáris leképzés mátrixa A = (
3 b Minden lineáris leképzés a mátrixával balról szorzásként hat, így a v(3, 1 vektor képe ( ( ( f(v = Av = = c A karakterisztikus polinom a det(a λe polinom Behelyettesítve a ( 2 λ 2 det 2 5 λ determinánshoz jutunk, melyet kiszámolva, majd elvégzve a zárójelfelbontásokat a polinomot kapjuk (2 λ(5 λ 4 = λ 2 7λ + 6 d A karakterisztikus egyenlet a det(a λe = egyenlet, ami jelen esetben a λ 2 7λ+6 = másodfokú egyenlet e A sajátértékek a karakterisztikus egyenlet gyökei, így meg kell oldanunk a λ 2 7λ+6 = egyenletet: így λ 1 = 1, λ 2 = 6 λ 1,2 = 7 ± = 7 ± 5 2, f A λ sajátértékhez tartozó sajátvektorok azok az x vektorok, melykre Ax = λx teljesül Ezt átrendezve (A λex = adódik El ször meghatározzuk a λ 1 = 1 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat Ekkor ( ( ( A 1 E = = Így meg kell oldanunk a ( ( ( x1 = egyenletrendszert Vegyük észre, hogy az alapmátrix második sora az els sor kétszerese, így az elhagyható, mivel az egyenletrendszer homogén Tehát a megoldandó lineáris egyenletrendszer x = Az egyik ismeretlent szabad paraméternek választjuk Legyen = t R \ {} Ekkor x 1 = 2t Tehát a λ 1 = 1 sajátértékhez tartozó összes sajátvektorok halmaza (amit sajátaltérnek is nevezünk {( 2t S λ1 = t R \ {}} t Meghatározzuk a λ 2 = 6 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat: ( ( ( A 6 E = =
4 4 Így meg kell oldanunk a ( ( ( x1 = egyenletrendszert Vegyük észre, hogy az alapmátrix els sora a második sor mínusz kétszerese, így az elhagyható, mivel az egyenletrendszer homogén Tehát a megoldandó lineáris egyenletrendszer 2x 1 = Az egyik ismeretlent szabad paraméternek választjuk Legyen x 1 = t R \ {} Ekkor = 2t Tehát a λ 2 = 6 sajátértékhez tartozó összes sajátvektorok halmaza {( t S λ2 = t R \ {}} 2t 6 Jelentse f a sík x-tengelyre való tükrözésének mátrixát! a Írjuk föl a lineáris leképezés (természetes bázisra vonatkozó mátrixát! b Határozzuk meg a (2, 5 vektor képét a lineáris leképzés mátrixának segítségével! c Írjuk föl a lineáris leképzés karakterisztikus polinomját! d Írjuk föl a lineáris leképzés karakterisztikus egyenletét! e Határozzuk meg a lineáris leképezés sajátértékeit! f Határozzuk a különböz sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat! a Mivel f(1, = (1, és f(, 1 = (, 1, ezért a lineáris leképezés mátrixa ( 1 A = 1 b Minden lineáris leképzés a mátrixával balról szorzásként hat, így a v(2, 5 vektor képe ( ( ( f(v = Av = = c A karakterisztikus polinom a det(a λe polinom Behelyettesítve a ( 1 λ det 1 λ determinánshoz jutunk, melyet kiszámolva, majd elvégzve a zárójelfelbontásokat a polinomot kapjuk (1 λ( 1 λ = λ 2 1 d A karakterisztikus egyenlet a det(a λe = egyenlet, ami jelen esetben a λ 2 1 = másodfokú egyenlet e A sajátértékek a karakterisztikus egyenlet gyökei, így meg kell oldanunk a λ 2 1 = egyenletet, amib l λ 1 = 1, λ 2 = 1 adódik
5 f A λ sajátértékhez tartozó sajátvektorok azok az x vektorok, melykre Ax = λx teljesül Ezt átrendezve (A λex = adódik El ször meghatározzuk a λ 1 = 1 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat Ekkor A 1 E = ( 1 1 ( 1 1 = ( 2 5 Így meg kell oldanunk a ( 2 ( ( x1 = egyenletrendszert Vegyük észre, hogy az alapmátrix második sora csupa nulla elemekb l áll, így az elhagyható, mivel az egyenletrendszer homogén Tehát a megoldandó lineáris egyenletrendszer 2 =, amib l = Az x 1 ismeretlent szabad paraméternek választhatjuk Legyen x 1 = t R \ {} Tehát a λ 1 = 1 sajátértékhez tartozó összes sajátvektorok halmaza (amit sajátaltérnek is nevezünk {( t S λ1 = t R \ {}} Meghatározzuk a λ 2 = 1 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat: ( ( ( A ( 1 E = + = 1 1 Így meg kell oldanunk a ( 2 ( ( x1 = egyenletrendszert Vegyük észre, hogy az alapmátrix második sora csupa nulla elemb l áll, így az elhagyható, mivel az egyenletrendszer homogén Tehát a megoldandó lineáris egyenletrendszer 2x 1 =, amib l x 1 = adódik Az ismeretlent szabad paraméternek választjuk Legyen = t R \ {} Tehát a λ 2 = 1 sajátértékhez tartozó összes sajátvektorok halmaza {( S λ2 = t R \ {}} t 7 Tekintsük az alábbi mátrixszal adott valós tér fölötti lineáris transzformációt A = a Írjuk föl a lineáris leképzés karakterisztikus polinomját! b Írjuk föl a lineáris leképzés karakterisztikus egyenletét! c Határozzuk meg a lineáris leképezés sajátértékeit! d Határozzuk meg a különböz sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat!
6 6 a A karakterisztikus polinom 2 λ 4 8 det(a λe = det 6 8 λ 14 = ( 2 λ(8 λ( 5 λ λ (8 λ + 42( 2 λ + 24( 5 λ = = λ 3 + λ 2 + 4λ 4 b A karakterisztikus egyenlet λ 3 + λ 2 + 4λ 4 = c A sajátértékek a karakterisztikus egyenlet gyökei, azaz a λ 3 + λ 2 + 4λ 4 = egyenlet megoldásai Az els két tagból emeljünk ki λ 2 -et, a második két tagból pedig 4-et Majd alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát: λ 3 + λ 2 + 4λ 4 = λ 2 (1 λ + 4(λ 1 = (λ 1(4 λ 2 = Egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényez je nulla, így az egyenlet megoldásai, azaz a sajátértékek λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 2 d A λ sajátértékhez tartozó sajátvektorok azok az x vektorok, melykre Ax = λx teljesül Ezt átrendezve (A λex = adódik El ször meghatározzuk a λ 1 = 1 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat Ekkor A 1 E = = Így meg kell oldanunk a x 1 = egyenletrendszert Elimináljuk az egyenletrendszer mátrixát, azaz az els sor 2-szeresét adjuk hozzá a második sorhoz és az els sor 1-szeresét adjuk hozzá a harmadik sorhoz Ezután a második sor 1-szeresét adjuk hozzá a harmadik sorhoz:
7 Így az egyenletrendszer 3x = + 2 = Legyen = t R\{} Ekkor = 2t Ezeket az els egyenletbe behelyettesítve 3x 1 + 8t 8t =, azaz x 1 = Tehát a λ 1 = 1 sajátértékhez tartozó összes sajátvektorok halmaza S λ1 = 2t t R \ {} t Most meghatározzuk a λ 2 = 2 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat Ekkor A 2 E = = Így meg kell oldanunk a x 1 = egyenletrendszert Elimináljuk az egyenletrendszer mátrixát Els lépésben az els sort osszuk el 4-gyel, majd az els sor 6-szorosát adjuk hozzá a második sorhoz és az els sor 3-szorosát adjuk hozzá a harmadik sorhoz Ezután a második sor 1/2-szeresét adjuk hozzá a harmadik sorhoz: Így a megoldandó egyenletrendszer x = 2 = A második egyenletb l = adódik Ezt behelyettesítve az els egyenletbe azt kapjuk, hogy x 1 = Legyen = t R \ {} Ekkor x 1 = t Tehát a λ 2 = 2 sajátértékhez tartozó összes sajátvektorok halmaza S λ2 = t t t R \ {} Most meghatározzuk a λ 2 = 2 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat Ekkor A + 2 E = =
8 8 Így meg kell oldanunk a x 1 = egyenletrendszert Elimináljuk az egyenletrendszer mátrixát Els lépésben a harmadik sort osszuk el 3-al, és cseréljük fel az els és harmadik sort Az els sor 6-szorosát adjuk hozzá a harmadik sorhoz, majd a második sor 1-szeresét adjuk hozzá a harmadik sorhoz: Így a megoldandó egyenletrendszer x 1 + = 4 8 = A második egyenletb l = 2 adódik Legyen = t R \ {} Ekkor = 2t Az els egyenletb l x 1 = t adódik Tehát a λ 3 = 2 sajátértékhez tartozó összes sajátvektorok halmaza S λ3 = t 2t t R \ {} t 8 Tekintsük az alábbi mátrixszal adott valós tér fölötti lineáris transzformációt A = a Írjuk föl a lineáris leképzés karakterisztikus polinomját! b Írjuk föl a lineáris leképzés karakterisztikus egyenletét! c Határozzuk meg a lineáris leképezés sajátértékeit! d Határozzuk a legkisebb sajátértékhez tartozó sajátvektorokat! a A karakterisztikus polinom det(a λe = det b A karakterisztikus egyenlet 1 λ λ 4 5 λ (1 λ(3 λ(5 λ = = (1 λ(3 λ(5 λ
9 9 c A sajátértékek a karakterisztikus egyenlet gyökei, azaz a (1 λ(3 λ(5 λ = egyenlet megoldásai Egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényez je nulla, így az egyenlet megoldásai, azaz a sajátértékek λ 1 = 1, λ 2 = 3, λ 3 = 5 d A λ sajátértékhez tartozó sajátvektorok azok az x vektorok, melykre Ax = λx teljesül Ezt átrendezve (A λex = adódik El ször meghatározzuk a λ 1 = 1 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat Ekkor A 1 E = = Így meg kell oldanunk a x 1 = egyenletrendszert Elimináljuk az egyenletrendszer mátrixát, azaz az els sor 1-szeresét adjuk hozzá a második sorhoz Ezután a második sor 4/3-szorosát adjuk hozzá a harmadik sorhoz: Így az egyenletrendszer 2 = 3 = Az utolsó egyenletb l =, ezt behelyettesítve a második egyenletbe = adódik Legyen x 1 = t R \ {} Tehát a λ 1 = 1 sajátértékhez tartozó összes sajátvektorok halmaza S λ1 = t t R \ {} 9 Egy szerkezet valamely pontjához tartozó feszültségállapotot alábbi mátrix jellemez:
10 [MP a] Határozzuk meg a f feszültségek nagyságát és a hozzájuk tartozó feszültségi f irányokat! A f feszültségek a transzformációhoz tartozó sajátértékek, a f irányok pedig az egységnyi hosszúságú sajátvektorok A sajátértékek a karakterisztikus egyenlet gyökei A karakterisztikus polinom det(a λe = det A karakterisztikus egyenlet 5 λ λ 25 λ = (5 λ(3 + λ(25 λ 9(25 λ = (25 λ ( (5 λ(3 + λ 9 = = (25 λ(λ 2 2λ 24 (25 λ(λ 2 2λ 24, melynek megoldásai, azaz a f feszültségek λ 1 = 6 [MPa], λ 2 = 25 [MPa], λ 3 = 4 [MPa] El ször meghatározzuk a λ 1 = 6 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat Ekkor 5 3 A 6 E = = Így meg kell oldanunk a x 1 =
11 egyenletrendszert Vegyük észre, hogy a második sor az els 3-szorosa, így az elhagyható A harmadik egyenletb l = adódik Az els egyenletb l x 1 = 3 Ha = t R \ {}, akkor x 1 = 3t Tehát a λ 1 = 6 sajátértékhez tartozó összes sajátvektorok halmaza S λ1 = 3t t t R \ {} Mivel a f iránynak egységnyi hosszúnak kell lenni, ezért 9t 2 + t 2 = 1 is kell, hogy teljesüljön, azaz t = 1/ 1 Így a λ 1 -hez tartozó f irány n 1 = Meghatározzuk a λ 2 = 25 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat: 5 3 A 25 E = = Így meg kell oldanunk a x 1 egyenletrendszert A harmadik egyenlet elhagyható Az els egyenletet 5-el osztva, majd annak 6-szorosát a második sorhoz hozzáadva adódik Így a megoldandó egyenletrendszer 5x = 91 = = A második egyenletb l = Ezt az els egyenletbe visszahelyettesítve x 1 = adódik Tehát a λ 2 = 25 sajátértékhez tartozó összes sajátvektorok halmaza S λ2 = t R \ {} t Mivel a f iránynak egységnyi hosszúnak kell lenni, ezért t 2 = 1 is kell, hogy teljesüljön, azaz t = 1 Így a λ 2 -höz tartozó f irány n 2 = 1
12 12 Meghatározzuk a λ 3 = 4 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat: 5 3 A + 4 E = = Így meg kell oldanunk a x 1 = egyenletrendszert Az els egyenlet a második 3-szorosa, így az elhagyható A harmadik egyenletb l = A második egyenletb l = 3x 1 adódik Legyen x 1 = t R \ {} Ekkor = 3t Tehát a λ 3 = 4 sajátértékhez tartozó összes sajátvektorok halmaza S λ3 = t 3t t R \ {} Mivel a f iránynak egységnyi hosszúnak kell lenni, ezért t 2 + 9t 2 = 1 is kell, hogy teljesüljön, azaz t = 1/ 1 Így a λ 3 -hoz tartozó f irány 1 1 n 3 = 3 1
Mátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenDiszkrét Matematika II.
Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf87 2017-11-21
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf81 2018-11-20
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. 2. zárthelyi november 24.
Bevezetés a számításelméletbe I. 1. zárthelyi 016. október 0. 1. Az e egyenesr l tudjuk, hogy mer legesen dö az x + y + 3z = 6 egyenlet síkot az (1, 1, 1) pontban, az f egyenesr l pedig hogy átmegy az
Részletesebbenés n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Bevezetés Szükségünk van a komplex elemű mátrixok és vektorok bevezetésére. A komplex elemű n-dimenziós oszlopvektorok halmazát C n -el jelöljük. Hasonlóképpen az m n méretű komplex elemű mátrixok halmazát
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenPélda keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására
Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. február 22. Tekintsük az alábbi keresztmetszetet. 1. ábra. A vizsgált
RészletesebbenMA1143v A. csoport Név: december 4. Gyak.vez:. Gyak. kódja: Neptun kód:.
MAv A. csoport Név:... Tekintsük az alábbi mátriot! A 7 a Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozza meg az inverzét! Ellenőrizze számításait! b Milyen egyéb mátritulajdonságokra
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenLineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
Részletesebben5. Lineáris rendszerek
66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenGeometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak
Részletesebben9. AZ R k VEKTORTÉR. 9.1 Az R k vektortér fogalma
9 AZ R k VEKTORTÉR 91 Az R k vektortér fogalma Definíció A k-dimenziós vektortér nek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x 2,, x k ) sorozatok halmazát, azaz 1 R k
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
Részletesebben1 p, c = p 1 és d = 4. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a c és d paraméterek minden értékére. x + 2z = 5 2x y = 8 3x + 6y + cz = d
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok 013. október 4. 1. Írjuk fel a háromdimenziós tér P = (1, 1, 1) és Q = (3, 1, 5) pontjait összeköt szakasz felez mer leges síkjának egyenletét. Hol
RészletesebbenSzinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1-2 feladatok
Lin.Alg.Zh.- feladatok. Lin.Alg.Zh. feladatok.. d vektorok Adott három vektor ā b c az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok október 20.
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok 4. október.. A p paraméter milyen értékére esnek egy síkba az A(; 3; 3), B(3; 4; ), C(4; 6; ) és D(p; ; 5) pontok?. Megadható-e R 4 -ben négy darab
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenKvadratikus alakok gyakorlás.
Kvadratikus alakok gakorlás Kúpszeletek: Adott eg kvadratikus alak a következő formában: ax 2 + 2bx + c 2 + k 1 x + k 2 + d = 0, a, b, c, k 1, k 2, d R (1) Ezt felírhatjuk a x T A x + K x + d = 0 alakban,
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Részletesebben4. Lineáris rendszerek
60 Hartung Ferenc: Differenciálegyenletek, MA22i, MA623d, 2006/07 4 Lineáris rendszerek 4 Lineáris algebrai előismeretek Legyen A egy n n-es mátrix, I az n n-es egységmátrix A pλ := deta λi n-edfokú polinomot
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
Részletesebben(1) Vektorok koordinátavektora. 1/3. R A {b 1,b 2,b 3 } vektorhalmaz bázis a V R n altérben.
Az informatikus lineáris algebra dolgozat A részének főbb témái, pár mintafeladata Az alábbiakban tájékoztató jelleggel fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenBEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1
Wiener Gábor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1 FELADATGYŰJTEMÉNY 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 BME SZIT Készült a Budapesti Műszaki és
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebben