Lineáris algebra mérnököknek
|
|
- Fruzsina Virág Szőkené
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK 1
2 Célok E lecke befejezése után a hallgató meg tudja határozni mátrix vagy lineáris leképezés sajátértékeit, sajátvektorait, sajátaltereit, sajátértékeinek algebrai és geometriai multiplicitását, jellemezni tudja speciális mátrixok sajátértékeit (szimmetrikus, ferdén szimmetrikus, ortogonális, nilpotens), diagonális alakra tudja hozni az egyszerűbb diagonalizálható mátrixokat, ill. fel tudja írni sajátfelbontásukat, R 2 2 és R 3 3 szimmetrikus mátrixaihoz olyan ortonormált bázist tud adni, melyben annak alakja diagonális. 2
3 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér
4 Jó bázis választása P Tükrözzük a 3-dimenziós tér vektorait a tér egy megadott síkjára! Válasszunk e lineáris leképezés leírásához egy megfelelő bázist, majd írjuk fel a tükrözés e bázisra vonatkozó mátrixát! M A sík egy bázisa {a, b}, a rá merőleges altér egy bázisa {c}. A T leképezés hatása e vektorokon: Ta = a, Tb = b és Tc = c. Az {a, b, c} bázisban T mátrixa E bázisban egy tetszőleges (x, y, z) vektor tükörképe (x, y, z). 3
5 Lineáris transzformációk sajátvektorai D L! V F vektortér, L : V V lineáris transzformáció. Amh az x V, x 0 vektor az L trafó sajátvektora, ha Lx x, azaz ha van olyan λ F szám, melyre Lx = λx. Az ilyen λ számot az L lineáris transzformáció sajátértékének nevezzük. m Ha x sajátvektor, akkor minden cx (c 0) is: L(cx) = clx = cλx = λ(cx), azaz L(cx) = λ(cx). Á A sajátvektorok alterei: Ha az L lin.trafónak λ egy sajátértéke, akkor a λ-hoz tartozó sajátvektorok a nullvektorral együtt alteret alkotnak, mely megegyezik a Ker(L λi) altérrel. B x 0 sv. Lx = λx Lx λx = 0 (L λi)x = 0 x Ker(L λi). 4
6 Sajátaltér D Az L lin.trafó λ sajátértékhez tartozó sajátvektorai és a 0 alkotta alteret a λ s.é.-hez tartozó sajátaltérnek nevezzük. P 1. L! V F vektortér, I az identikus leképezés. Ekkor a tetszőleges c F számra a ci leképezésnek a V tér minden nemnulla vektora a c számhoz tartozó sajátvektora. 2. L! V R a valósok halmazán akárhányszor diffható valós függvények tere és D : V V; f f. D sajátvektora e λx, ami épp a λ sajátértékhez tartozik, mert (e λx ) = λe λx. 3. A sík α kπ szöggel való elforgatásának nincs sajátvektora. F Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér? 1. a sík vektorainak tükrözése egy egyenesre; 2. a sík vektorainak merőleges vetítése egy egyenesre; 3. a tér vektorainak forgatása egyenes körül α kπ szöggel; 4. a tér vektorainak merőleges vetítése egy síkra; 5. a tér vektorainak tükrözése egy síkra. 5
7 Mátrixleképezés sajátértéke, sajátvektora, sajátaltere D L! F test. Amh a λ F szám az A F n n mátrix sajátértéke, ha létezik olyan x 0 vektor, melyre Ax = λx. Az ilyen x vektorokat az A mátrix λ sajátértékhez tartozó sajátvektorainak, az általuk a 0 vektorral alkotott alteret az A sajátalterének, a (λ, x) párokat az A sajátpárjainak nevezzük. y 0 bal sajátvektor, ha y T A = λy T, azaz ha y az A T sajátvektora. P ( 1, (2, 1)) és (2, (1, 2)) egy-egy sajátpárja a [ ] mátrixnak, mert [ ] [ ] 2 = 1 [ ] 2, 1 [ ] [ ] = [ ] 2, 4 6
8 Egy híres alkalmazás: a $-os sajátvektor *? Rangsoroljuk a dokumentumokat a hivatkozások gráfja alapján aszerint, hogy ha véletlenül bolyongunk a dokumentumok közt, akkor az legyen rangosabb, ahol többször járunk. 0 1 /3 1 /3 1 / /3 0 1 /3 1 / /2 1 / /2 1/2 1/4 1/4 A = /4 4 1/ / /4 1 /4 1 / /3 0 1 /3 1 /3 1/6 0 1 /6 1 /6 1 /6 1 /6 0 1 / /3 1 /3 1 /3 0 - Módosítás, hogy minden dokumentumból kiléphessünk: 1/k, ha megy i-ből j-be él és i ki-foka k, [A] ij = 1/n, ha i ki-foka 0 és n a csúcsok száma, 0 egyébként. 7
9 - Módosítás, hogy ne ragadjunk be dokumentumok egy csoportjába: M = (1 d)a + d 1 n J, ahol J a csupa 1-esből álló mátrix, n e négyzetes mátrixok rendje, és d (0, 1). Empírikus d (0.1, 0.2) a jó választás, pl. d = 0.15, így 1 d = Ekkor kerekített jegyekkel M =
10 - Ha x a bolyongás kiindulópontjának valószínűségeloszlását megadó vektor, akkor az első lépés után a gráf i pontjában [x T M] i valószínűséggel leszünk, az m-edik lépés után [x T M m ] i valószínűséggel. lim m xt M m = v T. - (A pozitív mátrixok elmélete, Markov-láncok) v T az ún. stacionárius eloszlás, melyre v T = v T M, és amely megadja, hogy egy-egy pontban aszimptotikusan mekkora valószínűséggel vagyunk a bolyongás során. - v = (0.151, 0.157, 0.137, 0.137, 0.106, 0.100, 0.112, 0.100). - Tehát a dokumentumok sorrendje: 1, 0, 2 & 3, 6, 4, 5 & 7 (két holtversennyel). 9
11 Sajátérték és sajátaltér meghatározása
12 Hogyan találjuk meg a sajátértékeket? Á λ pontosan akkor sajátértéke A-nak, ha det(a λi) = 0. B x 0 sv. Ax = λx Ax λx = 0 x megoldása (A λi)x = 0 egyenletnek x N (A λi) det(a λi) = 0. D L! A F n n. A χ(λ) = det(a λi) polinomot az A mátrixhoz tartozó karakterisztikus polinomnak, a χ(λ) = 0 egyenletet az A mátrix karakterisztikus egyenletének nevezzük. m Néhol a kar. pol. det(λi A), ami mindig 1-főegyütthatójú, de a konstans tag nem mindig a determináns. T Racionális gyökteszt: Ha az a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 egészegyütthatós polinomnak van egyszerűsített alakjában p q alakú gyöke, akkor p a 0, q a n. Ha a n = 1, akkor minden racionális gyök egész! B a n ( p q )n a 0 = 0 a n p n + a n 1 p n 1 q a 0 q n = 0 10
13 Horner-módszer (Horner-séma) a gyök ellenőrzésére T B Horner-módszer: Tekintsük az F test fölötti p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 polinomot. Legyen b n 1 = a n, b k 1 = cb k + a k (k = 1, 2,..., n 1), r = cb 0 + a 0. a n a n 1... a 1 a 0 Táblázatban: c b n 1 b n 2... b 0 r (a) Ekkor p(x) = (x c)(b n 1 x n b 1 x + b 0 ) + r, azaz leolvasható a p(x)/(x c) osztás hányadosa és maradéka. (b) r = p(c) (c) r = p(c) = 0 x c p(x) A p(x) = (x c)(b n 1 x n b 1 x + b 0 ) + r, egyenlőséget a zárójel felbontása és a b i értékek behelyettesítése igazolja. Az x = c-t helyettesítésből p(c) = r. 11
14 P Számítsuk ki p(5) értékét, ha p(x) = x 5 3x 4 6x 3 90x + 3. M Ne feledkezzünk meg a 0 együtthatókról! Kezdő lépés: a második sor első oszlopába írjuk azt az értéket, amelyben ki akarjuk számítani p értékét, esetünkben ez 5. Majd bemásoljuk a p polinom főegyütthatóját a második sor második oszlop első helyére: Ezután minden lépésben egy szorzás és egy összeadás következik a tételbeli c b k + a k képlet szerint = = 4 12
15 = = = Tehát p(5) =
16 Karakterisztikus polinom felírása P Határozzuk meg az [ ] 1 a b a b c a b A =, B = c d 0 1 c, C = mátrixok karakterisztikus polinomját! M Minden 2 2-es mátrixra: a λ b det(a λi) = = (a λ)(d λ) bc c d λ = λ 2 (a + d)λ + (ad bc) = λ 2 trace(a)λ + det A. nyom, determináns! 14
17 Karakterisztikus polinom felírása (folyt) 1 λ a b det(b λi) = 0 1 λ c = (1 λ) λ a λ b c det(c λi) = 1 λ λ = (a λ)λ 2 + bλ + c = λ 3 + aλ 2 + bλ + c. 15
18 Háromszögmátrixok sajátértékei T B A háromszögmátrixok és így a diagonális mátrixok sajátértékei megegyeznek a főátló elemeivel. A háromszögmátrix A λi is det(a λi) = (a 11 λ)(a 22 λ)... (a nn λ) = 0, aminek a gyökei a ii (i = 1,..., n). Így ezek az A sajátértékei. 16
19 Determináns, nyom és a sajátértékek T Ha az n-edrendű A mátrix sajátértékei λ 1,, λ n, akkor det(a) = λ 1 λ 2... λ n trace(a) = λ 1 + λ λ n B A determináns a konstans tag, a nyom a ( λ) n 1 együtthatója a karakterisztikus polinomban. A karakterisztikus polinom gyöktényezős alakja: det(a λi) = (λ 1 λ)(λ 2 λ)... (λ n λ) λ = 0 behelyettesítése után kapjuk, hogy det(a) = λ 1 λ 2... λ n. - ( λ) n 1 szorzat a determináns kígyók determinánsainak összegére bontása alapján csak az (a 11 λ)(a 22 λ)... (a nn λ) szorzatból kapható, onnan pedig az épp i a ii = trace(a). 17
20 Sajátaltér meghatározása P Adjuk meg az A = mátrix 2-höz és a 10-hez tartozó sajátalterét. M a 2 sajátérték (A 2I)x = 0 egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása A 2I = = s t 6 1 x = s = s 1 + t 0. t 0 1 A sajátaltér egy bázisa {( 6, 1, 0), ( 1, 0, 1)}. 18
21 Sajátaltér meghatározása (folyt) A 10 is sajátérték: A 10I = = 0 1 1, t 1 x = t = t 1. A sajátalteret az (1, 1, 1) vektor feszíti ki. t 1 ( 6, 0, 1) ( 1, 0, 1) (1, 1, 1) 19
22 2 2-es mátrixok sajátvektorainak szemléltetése P M Határozzuk meg a következő mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait. [ ] [ ] [ ] [ A = , B = , C = , D = D λi = 4 λ λ = λ2 + 1 [ 3 4 i ] [ i ] λ 1 = i : λ 2 = i : i [ i i = ] = 0 0 [ i 0 0 ] [ 3 amiből x 1 = i ], 1 ] [ 3 amiből x 2 = i ]
23 [ ] [ ] χ A (λ) = λ λ + 1, λ 1 = 2, λ 2 = 1 2, x =, x 2 =. 1 1 [ ] [ ] χ B (λ) = λ λ 1, λ 1 = 2, λ 2 = 1 2, x =, x 2 =. 1 1 [ ] [ ] χ C (λ) = λ , λ 1 = 1, λ 2 = 1, x 1 =, x 2 =. 3 1 [ ] [ ] 3 χ D (λ) = λ 2 + 1, λ 1 = i, λ 2 = i, x 1 = i 3, x 2 = i. 1 1 λ = 2 λ = 2 λ = 1 λ = 1 λ = 0.5 λ =
24 Sajátértékek és sajátvektorok meghatározása m Tankönyvi módszer: 1. det(a λi) = 0 gyökeinek meghatározása (sajátértékek) 2. λ: N (A λi) bázisának meghatározása (a nulltér nemzérus vektorai a sajátvektorok) P M 1. felső háromszögmátrix: λ 1 = 0, λ 2 = λ 3 = 2 2. λ = 0: x 1 2 = 0 x = 0 t
25 λ 2 = λ 3 = 2: x 1 x 2 x 3 = (s + t)/2 1/2 1/2 s = s 1 + t 0. t 0 1 Tehát a két sajátaltér span((1, 0, 0)) és span((1/2, 1, 0), (1/2, 0, 1)). 23
26 Karakterisztikus polinom és a racionálisgyök-tétel P A = λ 2 2 M A λi = 2 1 λ 2 = (λ3 4λ 2 11λ 6) λ racionálisgyök-tétellel: λ 1 = λ 2 = 1 és λ 3 = 6. λ 1 = λ 2 = 1: A + I = x 1 + x 2 + x 3 = s t 1 1 s = s 1 + t 0, t
27 λ 3 = 6: A 6I = /3 x / x 3= 0 x x 3= 0. x 3 = 3t paraméterválasztással 2t 2 2t = t 2. 3t 3 25
28 A karakterisztikus egyenlet komplex gyökei P Határozzuk meg a sajátértékeit és sajátvektorait [ ] 1 A = C M A karakterisztikus egyenlet 1 2 λ 3 ( ) ( ) λ = 2 λ + = λ 2 λ+1 λ = ± 2 i i: ( 1 A 2 + [ ] x y = ) 3 2 i I = ] [ it t = t 1 2 [ 3 2 i ] i [ ] i. 1 [ ] 1 i 0 0 x iy = 0. 26
29 i: A ( ) i I = [ ] x = y [ 3 [ ] [ ] it i = t t 1 2 i ] i [ ] 1 i 0 0 x + iy = 0. 27
30 Többszörös gyökök: algebrai és a geometriai multiplicitás D Algebrai multiplicitás: a λ sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban. D Geometriai multiplicitás: a λ sajátértékhez tartozó sajátaltér dimenziója P A = M (4 λ) 3, a 4 algebrai multiplicitása x t 1 A 4I = y = 0 = t z 0 0 A λ = 4 sajátérték geometriai multiplicitása tehát 1. 28
31 Többszörös gyökök: algebrai és a geometriai multiplicitás P B = , (1 λ)2 (2 λ) 2, gyökei 1 és x s λ = 1: B λi = y z = t 0 = s t w geometriai multiplicitás = algebrai multiplicitás = x y 0 0 λ = 2: B λi = z = t = t w 0 geometriai multiplicitás = 1, algebrai multiplicitás =
32 Algebrai és geometriai multiplicitás kapcsolata T Egy mátrix minden λ sajátértékére: 1 λ geometriai multiplicitása λ algebrai multiplicitása 30
33 Speciális mátrixok
34 Mátrix hatványainak sajátértékei T A invertálható a 0 nem sajátértéke. B A invertálható det(a) 0 det(a 0I) 0 0 nem sajátértéke A-nak. T B Ha (λ, x) az A sajátpárja, n Z, akkor (λ n, x) az A n sajátpárja, amennyiben λ n és A n is értelmezve van. n = 0: λ 0 = 1 és A 0 = I minden vektor sv. n > 0: A 2 x = A(A) = A(λx) = λax = λ 2 x. és így tovább: A k x = A(A k 1 x) = A(λ k 1 x) = λ k 1 (Ax) = λ k 1 (λx) = λ k x. A invertálható: Ax = λx 1 λ x = A 1 x, azaz λ 1 x = A 1 x. n < 0: A k x = λ k x λ k x = A k x. 31
35 Mátrix hatványainak hatása T B Ha (λ i, x i ) (i = 1, 2,..., k) az A sajátpárjai, v = k i=1 c i x i, akkor A m v = k i=1 c i λ m i x i. trivi A m v = A m (c 1 x 1 + c 2 x c k x k ) = c 1 A m x 1 + c 2 A m x c k A m x k = c 1 λ m 1 x 1 + c 2 λ m 2 x c k λ m k x k. K Találunk-e mindig sajátvektorokból álló bázist? 32
36 Speciális valós mátrixok sajátértékei T Szimmetrikus, ferdén szimmetrikus, ortogonális, nilpotens A R n n, λ egy tetszőleges sajátértéke 1. A szimmetrikus λ valós, 2. A ferdén szimmetrikus λ imaginárius, 3. A ortogonális λ = 1, 4. A nilpotens minden λ = 0 (azaz χ A (x) = x n ). B 1., 2.: x H Ax = x H λx = λ x 2 mindkét oldal adjungáltját véve: x H A T x = λ x 2. L! λ = a + ib. A T = A λ = λ, azaz a + ib = a ib I(λ) = 0. A T = A a + ib = a + ib, azaz R(λ) = 0. 3.: A ortogonális x = Ax = λx = λ x λ = 1 33
37 Hasonlóság, diagonalizálhatóság
38 Hasonló mátrixok sajátértékei T Sajátérékhez kapcsolódó invariánsok Ha A B, akkor χ A = χ B, így sajátértékei, azok algebrai és geometriai multiplicitásai is megegyeznek. 1B A lineáris leképezés sajátértékének definíciójából világos. 2B A = C 1 BC: A λi = C 1 BC λc 1 IC = C 1 (BC λic) = C 1 (B λi)c A λi B λi det(a λi) = det(b λi) megegyeznek sajátértékeik, és azok (algebrai) multiplicitásai A λi B λi dim(n (A λi)) = dim(n (B λi)) a geometriai multiplicitások is megegyeznek. m Van értelme lineáris transzformáció karakterisztikus polinomjáról beszélni (véges dimenziós esetben). 34
39 Mátrixok diagonalizálhatósága D Amh az n n-es A mátrix diagonalizálható, ha hasonló egy diagonális mátrixhoz, azaz ha létezik egy olyan diagonális Λ és egy invertálható C mátrix, hogy D A Λ = C 1 AC átírható Λ = C 1 AC. (1) A = CΛC 1 alakba, amit az A mátrix sajátfelbontásának nevezünk. 35
40 Mátrixok diagonalizálhatósága T B Diagonalizálhatóság szükséges és elégséges feltétele Az n n-es A mátrix pontosan akkor diagonalizálható, ha A-nak van n lineárisan független sajátvektora. Ekkor Λ az A sajátértékeiből, C a sajátvektoraiból áll. Λ = C 1 AC CΛ = AC és C invertálható L! C = [x 1 x 2... x n ], Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ). λ λ [x 1 x 2... x n ]. = A[x x 2... x n ]. (2) λ n Ax i = λ i x i de C invertálható, így oszlopvektorai lineárisan függetlenek. 36
41 P Diagonalizálható-e a következő mátrix? A = M λ 1 = 0, λ 2 = λ 3 = 2, a sajátvektorok (1, 0, 0), (1/2, 1, 0) és (1/2, 0, 1), és ezek függetlenek A Λ, ahol Λ = 0 2 0, és C = Ellenőrzés: CΛ = AC = =
42 Bal sajátvektorok D Az y T A = λy T egyenlet y T 0 T feltételnek megfelelő sorvektorait az A mátrix bal sajátvektorainak nevezzük. m ezek a transzponált sajátvektorai: A T y = λy. m det(a λi) = det((a λi) T ) = det(a T λi) A és A T karakterisztikus polinomja azonos bal és jobb sajátértékek közt nincs különbség m Λ = C 1 AC ΛC 1 = C 1 A C 1 sorvektorai A bal sajátvektorai, ugyanis λ y T 1 y T 1 0 λ y T 2 y T 2. = A λ n tehát λ i y T i = y T i A (i = 1, 2,..., n). 38 y T n y T n
43 A sajátfelbontás diadikus alakja m D λ y T 1 A = CΛC 1 0 λ y T 2 = [x 1 x 2... x n ] λ n = λ 1 x 1 y T 1 + λ 2 x 2 y T λ n x n y T n (3) Ezt nevezzük a sajátfelbontás diadikus alakjának. y T n 39
44 A sajátfelbontás diadikus alakja P A = bal sajátvektorai, sajátfelbontása, diadikus alakja? M Bal sajátvektor: a transzponált sajátvektorainak transzponáltjai, vagy a C 1 sorvektorai. A sajátfelbontás: A = CΛC = [ ] A = [ ] 2 [ ] =
45 Különböző sajátértékek sajátalterei T K K K B Ha λ 1, λ 2, λ k különböző sajátértékei az A F n n mátrixnak, akkor a hozzájuk tartozó x 1, x 2, x k sajátvektorok lineárisan függetlenek. Ha különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek mindegyikéből lineárisan független vektorokat választunk, akkor még ezek egyesítése is lineárisan független lesz. Különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek mindegyikéből egy bázist választva, azok egyesítése is lineárisan független vektorrendszert ad. Ha az n-edrendű A mátrixnak n darab különböző sajátértéke van, akkor diagonalizálható. n különböző sajátértékhez n független sajátvektor tartozik diagonalizálható. 41
46 Diagonalizálhatóság és a geometriai multiplicitás T B T Egy n-edrendű négyzetes mátrix pontosan akkor diagonalizálható, ha a sajátértékeihez tartozó geometriai multiplicitások összege n. ( ) Ha a mátrix diagonalizálható, akkor a sajátvektoraiból álló bázis elemszáma épp a geometriai multiplicitások összege, hisz egyetlen sajátvektor sem lehet két sajátaltérben. ( ) Ha a geometriai multiplicitások összege n, akkor minden sajátaltérből kiválasztva egy bázist, és véve ezek egyesítését, egy n sajátvektorból álló független vektorrendszert kapunk. Ha az A F n n minden sajátértéke F-beli (pl. mert F algebrailag zárt test), akkor A pontosan akkor diagonalizálható, ha minden sajátértékének algebrai és geometriai multiplicitása megegyezik. 42
47 Alterek direkt összege D L! V F véges dimenziós vt., V 1, V 2,..., V k V. Amh a V tér a V 1, V 2,, V k alterek direkt összege, jelölése k V = V 1... V k = V i, ha V minden vektora egyértelműen T i=1 felbomlik egy V 1 -, egy V 2 - és egy V k -beli vektor összegére. L! V 1,..., V k V, dim V = n. Ekkor ekvivalensek: 1. V = V 1 V 2... V k 2. V = V 1 (V 2 (V 3... V k )) 3. Mindegyik altér metszete a többi összegével csak a nullvektorból áll, és az alterek összege az egész tér, azaz ( ki=1 V i = V és V i j i j) V = {0}, és 4. V 1,, V k egy-egy bázisának egyesítése a V bázisát adja. 43
48 m 3.-ban nem elég kikötni, hogy V i V j = {0} bármely i j-re! L! a, b R 2 fggtln, V 1 = span(a), V 2 = span(b), V 3 = span(a + b) V i V j = {0}, de R 2 V 1 V 2 V 3, ( (a + b) = a + b + 0). 44
49 Sajátalterek direkt összege T K L! V F vektortér és λ 1,..., λ k az L : V V lin. leképezés különböző sajátértékei. Jelölje V λi a λ i -hez tartozó sajátalteret. Ekkor V λ V λk = V λ1... V λk. Ha V véges dimenziós, akkor az L : V V lineáris leképezésekre a következők ekvivalensek: 1. L diagonalizálható 2. V = i V λ i 3. dim V = i dim V λ i 45
50 Ortogonális diagonalizálhatóság D T B Ortogonális diagonalizálhatóság Azt mondjuk, hogy a négyzetes, valós A mátrix ortogonálisan diagonalizálható, ha van olyan diagonális Λ és ortogonális Q mátrix, hogy A = QΛQ T (azaz A = QΛQ 1, mivel Q ortogonális). Valós főtengelytétel Az A R n n mátrix pontosan akkor diagonalizálható ortogonálisan, ha szimmetrikus. ( ) ha A ortogonálisan diagonalizálható, akkor A = QΛQ T, Λ diagonális tehát Λ = Λ T, így A T = QΛ T Q T = QΛQ T = A. ( ) ha A szimmetrikus és (λ, x), (µ, y) két sajátpár, ahol λ µ, akkor λx y = (λx) T y = (Ax) T y = x T A T y = x T Ay = x T µy = µx y, azaz (λ µ)x y = 0, így λ µ miatt x y = 0, azaz x y. Így a sajátvektorokból kiválasztható egy ortonormált bázis! 46
51 Ortogonális diagonalizálhatóság P Adjunk meg a következő mátrixhoz egy olyan ortonormált bázist, melyben diagonális alakú M A mátrix szimmetrikus, így ortogonálisan diagonalizálható. Karakterisztikus polinomja és sajátértékei: 2 λ 2 1 χ(λ) = 2 1 λ 2 = λ 3 3λ 2 9λ λ Ha e polinomnak van racionális gyöke, akkor a racionális gyökteszt miatt az csak ±1, ±3, ±9 vagy ±27 lehet. 47
52 - A Horner-módszerrel számolva Tehát λ 3 3λ 2 9λ + 27 = (λ 3) 2 (λ + 3), azaz a sajátértékek λ 1,2 = 3, λ 3 = 3. - A sajátvektorok: ] λ = 3: [ t s 2 1 ahonnan x = t = 1 t + 0 s, tehát a λ = 3-hoz s 0 1 tartozó sajátalteret a (2, 1, 0) és a ( 1, 0, 1) vektorok feszítik ki. 48
53 5 2 1 [ ] λ = 3: t 1 ahonnan x = 2t = 2 t, tehát a λ = 3-hoz tartozó t 1 sajátalteret az (1, 2, 1) vektor feszítik ki. E vektor merőleges az előző két sajátvektorra, azok azonban egymásra nem. - A (1, 2, 1) sv. mellé válasszuk a ( 1, 0, 1) vektort, így a harmadik lehet az (1, 2, 1) ( 1, 0, 1) = ( 2, 2, 2). - Osztva a vektorokat a hosszukkal kapjuk a következő ortonormált rendszert: , 1 2 0,
54 A diagonalizálás alkalmazásai
55 Diagonalizálható mátrixok polinomjai D Mátrix polinomja p(x) = c n x n + c n 1 x n c 1 x + c 0 polinomra és négyzetes A mátrixra értelmezhető p-nek A-ban fölvett értéke: p(a) = c n A n + c n 1 A n c 1 A + c 0 I. m A = CΛC 1 A 2 = CΛC 1 CΛC 1 = CΛ 2 C 1, általában tetszőleges nemnegatív k egészre A k = CΛ k C 1. bármely p(x) polinomra p(a) = Cp(Λ)C 1, ahol p (diag(λ 1, λ 2,..., λ n )) = diag (p(λ 1 ), p(λ 2 ),..., p(λ n )). Á Diagonalizálható mátrix polinomja Legyen A = CΛC 1, ahol Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ), és p(x) egy tetszőleges polinom. Ekkor p(λ 1 ) p(λ 2 )... 0 p(a) = C C p(λ n ) 50
56 Példa P Számítsuk ki az A 10 mátrixot! A = [ [ ] [ ] [ ] M Sajátfelbontása A = [ ] [ ] 10 [ ] Így A = = [ 2 ( 1) ( 1) ] [ ] ( 1) ( 1) = ] 51
57 Fibonacci-sorozat explicit alakja * T B A Fibonacci-sorozatra (F 0 = 0, F 1 = 1, F n+1 = F n + F n 1, első néhány tagja: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ) igaz a következő: [ ] n F n = ,2 = 1 (( ) n ( ) n ) 1 5 Az első egyenlőség teljes indukcióval bizonyítható. Jelölés: [ ] 0 1 F =. 1 1 n = 1-re trivi, n n + 1: [ ] [ ] [ ] [ ] F n+1 Fn 1 F n 0 1 Fn F n 1 + F n Fn F n+1 = = =. F n F n F n+1 F n + F n+1 F n+1 F n
58 Fibonacci-sorozat (1. bizonyítás) * B χ F (λ) = λ 2 λ 1, F sajátértékei λ 1,2 = 1 2 (1 ± 5), a hozzájuk tartozó sajátvektorok x 1,2 = (1, 1 2 (1 ± 5)). F n sajátfelbontásával: F n = ahonnan [ [ ] [ ] 1 = 1 [ F n = 1 (( ) n ] n [ ] ( ) n ) ] 1 53
59 Fibonacci-sorozat (2. bizonyítás) * B Vegyük észre [ Fn F n+1 ] = F n [ 0 1 Az x 1 és x 2 sajátvektorok bázist alkotnak R 2 -ben, így a [ 0 1 ] előáll azok lineáris kombinációjaként: [ 0 1 ] = c 1x 1 + c 2 x 2 = 1/ 5x 1 1/ 5x 2. F n [ 0 1 ] = c 1λ n 1 x 1 + c 2 λ n 2 x 2, behelyettesítés után ezt kapjuk: F n [ 0 1 ] = 1 ( ) n [ ] ( ) n [ ] Itt csak az első koordinátát kiszámolva, a tételbeli állítást igazoltuk. ]. 54
60 A sajátérték kiszámítása
61 Hatványmódszer * D Egy sajátérték szigorúan domináns, ha egyszeres multiplicitású, és abszolút értékben nagyobb az összes többinél. (szigorúan domináns sajátvektor, sajátaltér, sajátpár) M A R n n, λ 1 szigorúan domináns sajátérték, (λ i, v i ) sajátpár, λ 1 > λ 2 λ m, (λ 1 valós, egyébként λ 1 is sé. lenne). L! x = c 1 v 1 + c 2 v c m v m, k > 0 egész: A k x = c 1 A k v 1 + c 2 A k v c m A k v m = c 1 λ k 1 v 1 + c 2 λ k 2v c m λ k mv m. Ekkor λ k 1 -val való osztás után k esetén ( ) 1 k ( ) k A k λ2 λm x = c 1 v 1 + c 2 v c m v m c 1 v 1, λ 1 λ 1 λ k 1 Ha c 1 0, akkor A k x iránya tart a domináns sajátvektor irányához. 55
62 T Hatványmódszer: Ha λ 1 az A R n n mátrix szigorúan domináns sajátértéke, akkor létezik olyan x 0 vektor, hogy az x k = A k x 0 vektorok által kifeszített alterek sorozata a domináns sajátaltérhez konvergál, míg xt k Ax k x T k x k hányadosok). [ ] P Legyen A = λ (ún. Rayleigh k [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A k x x 0 x 2 4 x x 3 x 1 56
Lineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf87 2017-11-21
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
Részletesebbeni=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenTartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23
Tartalomjegyzék Bevezetés 17 A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 I. A lineáris algebra forrásai 25 1 Vektorok 29 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 29 Irányított szakasz,
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Részletesebbenés n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenAlkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Lineáris leképezések
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Alkalmazások H607 2018-05-14 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenMer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Bevezetés Szükségünk van a komplex elemű mátrixok és vektorok bevezetésére. A komplex elemű n-dimenziós oszlopvektorok halmazát C n -el jelöljük. Hasonlóképpen az m n méretű komplex elemű mátrixok halmazát
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
RészletesebbenSzinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban
RészletesebbenDiszkrét Matematika II.
Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenLineáris algebra. Wettl Ferenc, BME , 0.2 változat. Tartalomjegyzék. Geometriai szemléltetés. (tömör bevezetés) Az egyenletek szemléltetése
Lineáris algebra (tömör bevezetés) Wettl Ferenc, BME 2007-03-24, 02 változat Tartalomjegyzék Geometriai szemléltetés 1 Az egyenletek szemléltetése 1 Az egyenletrendszer vektoregyenlet alakja 2 Egyenletrendszerek
RészletesebbenLineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenMatematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly
Matematika MSc Építőmérnököknek Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek A jegyzet nagyobb részét Dr. Simon Bakos Erzsébet gépelte Latex szövegszerkesztőben. Tartalomjegyzék 1. Az A-ben tanult
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenElőadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz
Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Kovács Zoltán 2005. január 4. Tartalomjegyzék 1. Euklideszi vektorterek 3 1.1. Bilineáris és kvadratikus formák, skaláris szorzatok................ 3 1.2.
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebben1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Részletesebben7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
Részletesebben(1) Vektorok koordinátavektora. 1/3. R A {b 1,b 2,b 3 } vektorhalmaz bázis a V R n altérben.
Az informatikus lineáris algebra dolgozat A részének főbb témái, pár mintafeladata Az alábbiakban tájékoztató jelleggel fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal,
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenMATEMATIKA MSC ÉPÍTŐMÉRNÖKÖKNEK
SIMON KÁROLY MATEMATIKA MSC ÉPÍTŐMÉRNÖKÖKNEK Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ... (A jegyzet a BME Gépészmérnöki MSc szak hallgatói
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Lineáris leképezések H607 2018-02-05, 07, 09 Wettl
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
Részletesebben1. A vektor és a vektortér fogalma
1. A vektor és a vektortér fogalma Célunk: a vektor és a vektortér fogalmának minél tágabb értelmezése. Ez azért hasznos, mert így a síkvektorok körében használatos egyes fogalmak és tételek átvihet k
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenTartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás
Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2007/8 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2007/8 tanév, II. félév 1 / 186 Félévközi
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Részletesebben1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Részletesebben