Lin.Alg.Zh.1-2 feladatok

Átírás

1 Lin.Alg.Zh.- feladatok. Lin.Alg.Zh. feladatok.. d vektorok Adott három vektor ā b c az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b Mennyi az n ā b vektoriális szorzat? n ā b i j k i j + k. Mennyi az ā b c vegyesszorzat? vagy v ā b c v ā b c. Mer leges-e egymásra ā és b? Miért? Nem mert az s 8 skalárszorzat nem nulla. 5. Egy síkba esik-e ā b és c? Miért? Nem mert az v vegyesszorzat nem nulla.. Mennyi az ā b vektorok által bezárt szög koszinusza? cos α ā b ā b / 7. Mennyi az ā és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe? T par ā b Mennyi az ā és b vektorok által kifeszített háromszög területe? T harom T par

2 9. Mennyi az ā b és c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata? V pip ā b c v. Mennyi az ā b és c vektorok által kifeszített tetraéder térfogata? V tetra V pip. Milyen sodrású az ā b és c vektorok által alkotott rendszer? Miért? Jobb mivel v ā b c > Ha v < balsodrású míg v eseten a három vektor egy síkba esik.. Bázist alkot-e ā b és c? Miért? Igen mert. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete c-re? c. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete ā-re? c p ā c ā a 5. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje c-re? c v ā b c /5 /5. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje ā-re? c t c p c /5 /5 7. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete a c és a ā vektorok által generált síkra? c 8. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete a ā és a b vektorok által generált síkra? n ā b c m n c n /9 /9 8/9 n c p c c m /9 /9 8/9 9. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje a c és a ā vektorok által generált síkra? c. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje a ā és a b vektorok által generált síkra? c t c c m /9 /9 /9

3 Gyakorlás Ismételd meg a feladatot! I. Megoldás: ā b c 5 5 { } nem nem { } bal } igen { { 5} { 5} { 7 5 } { 5} { { 5} } II. Megoldás: ā b c 9 5 { } nem igen } { { nem bazis nem { 9 } { 9 } 9 57 } 9 { 9 } { 9 } { 9 } { 9 } Az els sorban az -5 kérdések válaszai vannak stb.. Továbbá {} zárójelekben vannak a vektorok... Pontok egyenesek síkok Adott három pont az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Írd fel a P és Q pontokat tartalmazó egyenes a parametrikus b illetve algebrai egyenleteit! P Q S v Q P rt P + t v t t. x t t y z t x t y igy az egyenest meghatazozo ket egyenlet: x y z. c Hol van az O -hoz legközelebbi K rt pont az egyenesen? d Mennyi az egyenes távolsága az O origótól? rt v t t + t t K r..

4 e Hol van az S-hez legközelebbi pont az egyenesen? S rt v t t t t / K r/ / /. f Mennyi az egyenes távolsága S-tol? SK / / 7/. Gyakorlás Ismételd meg a feladatot! I. P Q 5 S Megoldás: rt {t + t + t} 7 x y z { } 9 { 9 9 } 9. P Q R S Keresd meg a P Q R pontokat tartalmazó síkot! Írd fel a sík a parametrikus ā Q P b R P ru v u v + u v. b illetve algebrai egyenleteit! c Mennyi az sík távolsága az origótól? P -nek a p m mer leges vetülete n-re Persze p m q m r m. p m np n n d Hol van O mer leges vetülete a síkon? Ahol p m e Hol van O-nak a síkra történ mer leges tükrözöttje? Ahol p m n ā b 5 n [ r P ] 5 x y z 5x y + z tavolsag p m np 5 n. 5

5 f Hol van S-nek a s sik mer leges vetülete a síkon? S-nek a s sik mer leges vetülete n-re s m ns 5 n n s sik S s m p m g Mennyi az sík távolsága S-tol? s m p m ns P n h Hol van S-nak a síkra történ mer leges tükrözöttje? s sik S s m p m Gyakorlás Ismételd meg a feladatot! I. Megoldás: P Q R S ru v v + u u v x + y + z /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 7/8 /8 7/ 8 5/9 7/9 /9. Mennyi a P QRST tetraéder térfogata? ā Q P b R P c Terfogat ā b c. Hol van a P QR sík továbbá az S és az pontokon áthaladó egyenes metszéspontja? Egyenes paraméteres egyenlete rt + t + t. Sík algebrai egyenlete Ha metszéspontnál t érteké t akkor + 5x y + z t + + t t 9/. A metszéspont r 9/ 5. 5

6 .. Lineáris transzformációk. Legyen φ x y T x + y x + 5y T és ψ x y z T z y x T. a Mennyi a φ transzformáció F mátrixa? x φ y b Mennyi a ψ transzformáció P mátrixa? x φ y z y x z x + y x + 5y 5 c Mennyi a µ v φ ψ v φ ψ v transzformáció M mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? M F P 5 d Mennyi a ν v ψ φ v ψ φ v transzformáció N mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? N P F x x F y y x x y P y z z lenne de nem lehet elvégezni a mátrixszorzást. A ν ψ φ kompozíció sincs értelmezve.. Legyen φ x y x + y x + 5y és ψ x y z z y x. a Mennyi a φ transzformáció F mátrixa? φ x y x + y x + 5y x y 5 b Mennyi a ψ transzformáció P mátrixa? φ x y z z y x x y z c Mennyi a µ v φ ψ v φ ψ v transzformáció M mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? M P F 5 x y F x 5 5 A mátrixos sorrendje az el z oszlopvektoros feladatokhoz kepést megfordult és a felhasznált mátrixok az el z ek transzponáltjai. d Mennyi a ν v ψ φ v ψ φ v transzformáció N mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? N F P 5 lenne de nem lehet elvégezni a mátrixszorzást. A ν ψ φ kompozíció sincs értelmezve. y P

7 . Legyenek a feladat x y T vektorai az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban megadva mint oszlopvektorok. Számítsd ki a következ transzformációk hatását az ē T és a ē T ortonormált bázisvektorokra illetve írd fel a lin.tr. mátrixát! A megoldás elve: Aē az A mátrix els oszlopa míg Aē az A mátrix második oszlopa. Így Aē Aē -bol mint oszlopvektorokból felépíthet az A mátrix. a Az x tengelyre való mer leges vetítés b az y tengelyre való mer leges vetítés c az x y egyenesre való mer leges vetítés / / / / d az x tengelyre való mer leges tükrözés e az y tengelyre való mer leges tükrözés f az x y egyenesre való mer leges tükrözés g az origóra való tükrözés h az x tengelyre való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos az x y egyenessel i az x tengelyre való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos az x + y egyenessel j a n cos sin T vektorra való mer leges vetítés P n mátrixa / n / P n n n n n T / / / / 7

8 k a n cos sin vektorra való mer leges tükrözés T n mátrixa. T n v P n v v T n P n E T n l 5 fokos elforgatás m fokos elforgatás. / / / /. Legyenek a feladat x y z T vektorai az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban megadva mint oszlopvektorok. Számítsd ki a következ transzformációk hatását az ē T ē T és a ē T ortonormált bázisvektorokra illetve írd fel a lin.tr. mátrixát! a Az y tengelyre való mer leges vetítés b az z tengelyre való mer leges vetítés c az xy síkra való mer leges vetítés d az y tengelyre való mer leges tükrözés e az x y síkra való mer leges tükrözés f az origóra való tükrözés 8

9 g az xy síkra való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos a T vektorral h az x tengelyre való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos az x + z síkkal i a n cos sin vektorra való mer leges vetítés / n / / P n n n n n T / / / j a n cos sin vektorra való mer leges tükrözés k mer leges vetítés az x + y + z síkra l mer leges tükrözés az x + y + z síkra. T n v P n v v T n P n E T n n T / / / P sik E n n T / / / / / / n T / / / T sik E n n T / / / / / / 5. Legyen v v v v v T. Mennyi A ha A v az a vektor amelynek az a i-edik eleme v i szomszédainak vagy szomszédjának ha i vagy az átlaga? v v A v v + v / v + v / / / v / / v v v 9

10 b i-edik eleme v i szomszédainak az átlaga ahol az els és az utolsó elemeket is szomszédoknak tekintjük? v + v v A v v + v / v + v / v v v + v / v c Ismételd meg a feladatot abban az esetben ha a v v v v v és az va vektorra érvényesek ugyanezek a feltételek! Ha sorvektorokat használunk akkor transzponálni kell az el z mátrixokat de mivel azok szimmetrikusak a transzponálásra nézve így semmi sem változik.. Hasonlósági transzformáció Egy nyúlpopulációban a nyulak mind Szilveszterkor születtek továbbá az egy éves nyulak míg az ennél id sebbek újszülöttet szülnek Szilveszterenként. A populációt jellemezhetjük a December -én éppen az új nyulak születése el tt megmert v e o T v w e p T w vektorokkal. Itt e az egyévesek o az öreg nyulak míg p a teljes populáció létszámát jelölik. Az v w indexek azt jelzik hogy melyik koordináta rendszert használjuk ugyanannak a populációnak a leírására. a Ha a nyúlpopulációt leíró vektorok A v és B w lesznek egy év múlva akkor mennyi A és B? A v v v e + p e B w w w p + [e + p e] b Ha v S w akkor mennyi S? e o c Ha w R v akkor mennyi R? e p d Mi köze van S-nek R-hez? Valóban: v w w v v e o 5 A v v v w w v v e B o w w w e S p v w w v w w e R o w v v w v v S R R S RS SR E. SR e Mi köze van R-nek és A-nak B-hez? B w w R w v A v v S v w R w v A v v R w v v w Valóban: w w B RAS RAR 5

11 f Mi köze van S-nek és B-nek A-hoz? A v v S v w B w w R w v S v w B w w S v w w v Valóban: 7. Legyen A SBR SBS 5 A B Mennyi AB BA + E? Legyen A B. Mennyi AB E? Mennyi BA + E? 5.. Inhomogén lin.tr. an tr.. Legyen φ ab x ax + b. Ha φ ab φ cd φ ef akkor mennyi e és f? φ ab φ cd x φ ab φ cd x φ ab cx + d acx + d + b acx + ad + b φ acad+b x e ac f ad + b.. Legyen fx x + x. Mennyi f n x? f xpontja: fx fix x fix x fix x fix + x fix. Ha a xpont az origó akkor ebben a koordinátarendészében f homogén lineáris lesz így f n x n +.. Legyen fx x + x. Mennyi f n x? Itt f-nek nincs xpontja viszont f n x egy számtani sorozat így f n x + n.

12 . Legyen fx.x. Mennyi f n 99? f xpontja: fx fix x fix x fix.x fix x fix. Ha a xpont az origó akkor ebben a koordinátarendészében f homogén lineáris lesz így f n x. n Add meg az. mátrixnak a λ sajátértékéhez tartozó egyik sajátvektort!. x.x... Tehát a v T vektor λ sajátérték sajtvektora a feladat mátrixának. v többszörösei szintén ilyen vektorok lennének..5. Linearitás bilinearitas multilinearitás. Legyen φ egy lineáris transzformáció továbbá legyen Mennyi φ v 5 v? A linearitás miatt φ v T φ v T. φ v 5 v φ v 5φ v T 5 T 7 T. Legyen φ : V V R egy olyan szimmetrikus bilineáris lekepézés függvény hogy Mennyi φ v + v v v? A bilinearitas miatt φ v v φ v v φ v v 7. φ v + v v v φ v v + φ v v + φ v v + 7φ v v A szimmetria miatt φ v v φ v v így a végeredmény 9.. Legyen φ : V V R egy olyan szimmetrikus bilineáris lekepézés függvény hogy Mennyi φ v v v v? φ v v φ v v φ v v φ v v 7. Koszinusz tétel Legyen adott egy háromszög amelynek két oldala és 7 hosszúak továbbá a közbezárt szögük koszinusza / 7. Mennyi a harmadik oldal? Ez nem lesz a zh-ban.. Legyen φ : V V R egy olyan antiszimmetrikus bilineáris lekepézés függvény hogy φ v v. Mennyi φ v + v v v?

13 5. Legyen φ : R R R egy olyan antiszimmetrikus multilinearis lekepézés hogy Mennyi φ v + v v v? φ v v T φ v v T φ v v T.. Legyen φ : R R R R egy olyan antiszimmetrikus multilinearis leképezés hogy Mennyi φ v + v v v v + v? Az antiszimmetria miatt a kifejezés kifejtésében a stb. típusú tagok eleve nullák így φ v v v. φ v A v A v B φ v A v B v A φ v + v v v v + v φ v v v + φ v v v Továbbá φ v v v φ v v v mivel a permutáció páratlan. Hasonlóan ehhez a permutáció páros így Tehát a végeredmény... Determináns inverz mátrix. Legyen φ v v v φ v v v. A A x y. u v Adj meg egy olyan egyenletrendszert aminek az egyértelm megoldása x y u v! vagy AA E x u y v vagyis x + y u + v x + y u + v x u y v A A E vagyis x + u x + u y + v y + v

14 . Legyen 5 A. Mennyi A ha az indexálás -t l kezd dik? 5 deta + 5 Most toroljuk ki A-bol a -és elem nem a -es! sorát es oszlopát: Így Megjegyzés: Valóban A deta + + A 7 / / 5. Legyen A / /. / / Mennyi A? A ortogonális mátrix mivel az oszlopai skalárszorzatai vagy nulla attól függ en hogy az oszlopvektort önmagával vagy egy másik oszloppal szorozzuk össze skalárisan. Így A A T / / / / T / / / /. Legyen / / A. / / Mennyi A? Mivel A ortogonális mátrix így / / A A T / / T / / / / Mennyi A? 5. Legyen / / A / /. Mennyi A?

15 . Mennyi 7. Mennyi 8. Mennyi x ha x... detb + x B x. Legyen Mennyi x ha ezek a vektorok nem alkotnak bázist? x mivel ezek a vektorok a mátrixunk sorai. Legyen Mennyi x ha ezek a vektorok nem alkotnak bázist? x mivel ezek a vektorok a mátrixunk oszlopai. ā b x c. ā T b x T c T. 9. Mennyi x ha x x. Mennyi λ ha λ λ.. λ λ λ λ λ.. Mennyi λ ha λ λ. λ λ λ λ λ ±.. Milyen paritásúak a következ permutációk? páros páratlan páratlan páratlan 5

16 . Lin.Alg.Zh. feladatok.. Sajatertekek sajatvektorok Sajatertekegyenlet: A v λ v A v λe v A λe v. Viszont A λe v tehat a linearis transzformacio A λe nem egy az egyhez tipusu vagyis nem invertalhato tehat az egyenletunknek csak akkor lesz nemtrivialis v megoldasa ha deta λe. Ebbol megkapjuk λ lehetseges ertekeit ezutan v megkeresesehez mar csak egy linearis egyenlet megoldas szukseges.. Tetel. Tegyuk fel hogy a v... v n vektorok bazist alkotnak egy vektorterben es sajatvektorai A-nak vagyis A v i λ i v i. Legyen S a v i oszlopvektorokbol alkotott matrix. Ekkor S AS diagλ... λ n D. Itt diagλ... λ n azt a diagonalis matrixot jelenti ahol nem nulla elemek csak a diagonalison vannak az i-edik sorban ez az elem eppen λ i. Továbbá A SDS.. Problema. Keresd meg az A matrix sajatertekeit es sajatvektorait! Keresd meg azt as S hasonlosagi transzformaciot ami dagonalizalja A-t vagyis D S AS ahol D diagonalis! Ird fel a v vektort a sajatvektorok linearis kombinaciojakent! Mennyi A v? a 7 b c d e f g h 7 7 Itt a v vektor erteke: a v 8 b f v g h v. Megoldas. b Sajatertekek: λ λ Sajatvektorok: v D S AS A v Mivel A eleve diagonalis volt ez a feladat trivialis a sajatertekek a diagonalis elemek a sajatvektorok pedig a standard bazis. d A Sajatertekek egyenlete: deta λe λ λ λ λ Sajatertekek: λ λ. Mivel a diagonalis alatt csupa all igy a sajatertekek automatikusan a diagonalis elemek.

17 Sajatvektorok egyenlete λ -ra: x y x y vagy x y x x Innen. Ezek kozul valasztunk egy nem nulla vektort pl. legyen x. y x Sajatvektorok: v v Az A matrixot diagonalizalo hasonlosagi transzformacio: D S AS Itt S a v es a v oszlopvektorokbol allo matrix illetve S Mennyi A v? A v SDS v SD S v vagy ahol tehat α β S αv + βv A v A αv + βv αλ v + βλ v + f A Sajatertekek: λ + i λ i Sajatvektorok: i v D S i AS i i v i i + i i g Mivel A a d es az a blokkok kombinacioja igy ezen ket feladat eredmenyeit felhasznalva a kovetkezoket kapjuk: A Sajatertekek: λ λ λ 7 Sajatvektorok: v v 7 D S AS 7 v. 7 7

18 Jegyzet a sajatertekekproblemarol: BME kurzus: Sajatertek sajtvektor. Legyenek az a + i + i T b + i 5 i T vektorok a C veges dimenzios Hilbert-ter egy ortonormalt bazisaban megadva. Mennyi az a b belso szorzat? a b + i + i + + i5 i i + i + i5 i 9 i.. Milyen szoget zar be az Eukledeszi vektorter egy ortonormalt baziasaban megadott A 5 matrix ket kulonbozo sajatertekekehez tartozo sajatvektora? Mivel A valos szimmetrikus igy onadjungalt matrix a kulonbozo sajatertekekehez tartozo sajatvektorai automatikusan merolegesek egymasra tehat a keresett szog 9. Megjegyzes: Ezt persze direkt modon is kiszamolhatjuk: v deta λe 9λ + λ λ 9 7/ λ 9 + 7/ A λe v i + T 7/ v T 7/ v v... Pivotalas Jegyzet a pivotalasrol: Gazdaságmatematika Dr. Nagy Tamás. a Oldd meg a kovetkezo linearis egyenletrendszert: 5x + x + x x + x + x 8 x + x + x vagyis 5 x x x 8 b Legyen a 5i k a i + j a j + k b i + 8j + k. Fejezd ki b-t az a-k linearis kombinaciojakent! c Allitsd elo a 8 vektort az a 5 a a vektorok linearis kombinaciojakent! Megoldas: a p index a pivotelem poziciojat jeloli a a a b e 5 e p 8 e a a a b e 5 a 8 e p Vagyis b a + a + a illetve x x x. Egy masik megoldas: a a a b e 5 e 8 e p a a a b e 5 e p 8 a a a a b e p a a a a a b e p a 8 a a a a b a a a a a a b a a a Mivel itt az utolso tablaban az a-k indexei nem a kanonikus sorrendben vannak vigyazni kell a megoldas leolvasasaval!. a Oldd meg a kovetkezo tulhatarozott linearis egyenletrendszert: 5x + x 5 x x + x vagyis x x + x x 8 8

19 b Legyen a 5i + j k a i + j + k b i + j + k. Fejezd ki b-t az a-k linearis kombinaciojakent! Megoldas: a a b e 5 e p e Tehat b a + a vagyis x x. a a b e p a e a a b a a e. a Oldd meg a kovetkezo tulhatarozott linearis egyenletrendszert: 5x + x 5 x x + x vagyis x x + x x b Legyen a 5i + j k a i + j + k b i + j + k. Fejezd ki b-t az a-k linearis kombinaciojakent! Megoldas: a a b e 5 e p e a a b e p a e 7 a a b a a e Tehat nincs megoldas mivel b nem fejezheto ki csak a -t hasznalva. az utolso tabla utolso oszlopa alapjan.. Oldd meg az x + x + x x x x alulhatarozott egyenletrendszert! Megoldas: Egy partikularis megoldas illetve a homogen x + x + x egyenlet ket megoldasa: part: x x x hom: x x x x x x Az altalanos megoldas: part.megold+lin.komb. hom.megold. x x + t + t x x x 5. Oldd meg az alulhatarozott egyenletrendszert! Megoldas: a a a b e p 5 5 e 5 Tehat az altalanos megoldas: x + x + 5x 5 5 x x x + x 5 x 5 5 x x x x a a a b a 5 5 e 5 p t 9 x a a a b a 7 7 a 9 Ellenorzes:

20 . Invertald a kovetkezo matrixot: Megoldas: A 5 a a a e e e e 5 e p e a a a e e e e p a a a a a e e e e 5 a e p a a a e e e a a 5 a 5 tehat mivel ellenorzeskeppen 5 A Invertald a kovetkezo matrixot: A Megoldas: a a e e e e p a a e e e p a a a e e a a vagyis A Mivel a nem a kanonikus rendben all a fuggoleges cimkekben az utolso tablaban fel kellett cserelni az elso es a masodik sort. Ellenorzes: A 8. Szamitsd ki a kovetkezo matrix determinansat pivotalassal! A 5 Megoldas: a a a e 5 e p e a a a e 5 a e p a a a e p a a a a a a a a tehat deta p p p vagyis a pivotelemek szorzata ez a keresett determinans mivel az utolso tabla a egysegmatrix. 9. Szamitsd ki a kovetkezo matrix determinansat pivotalassal! A 5

21 Megoldas: a a a e p e 5 e a a a a e 5 e p a a a a e p a a a a a a a tehat deta p p p ahol a az utolso tenyezo mivel az permutacio paros. Paratlan permutaciok eseteben ez a faktor lenne... Sorter oszlopter stb.. Oldd meg pivotalassal a kovetkezo egyenletrenszert: x + x + x x + 8x + x. Keresd meg az egyutthatomatrix sorteret oszlopteret nullteret es a transzponalt matrix nullteret! Add meg ezek dimenzioit es bazisait! Milyen jobb oldal eseten oldhato meg az egyenletrendszer? Jelolesek: x 8 + x 8 A x b A : R R x x x x ā + x ā + x ā b + x. Pivottablak: A pivotalas hatasa: a a a b e p e 8 a a a b a e e sor a sor : p e sor e sor e sor : e sor 8 p e sor p p 8. p 8. Itt a pivotalast elvegzo matrix az egysegmatrix modositasa ahol az elso oszlopot valtoztattuk meg mivel a p pivotelem az elso sorban volt. A vegso pivottablaban bennefoglalt informacio: b ā + + ā x part ā ā A x part b ā ā ā + + ā x ā hom A x hom ā ā ā + ā x ā hom A x hom

22 Az altalanos megoldas: b ā + t + t ā + t ā + ā + ā + t ā + ā ā x alt x part + t x hom + t x hom + t + t x x A megoldasban szereplo vektorok leolvashatoak a vegso pivottablabol keszitett tablazatbol ez persze mar nem pivottabla. a a a b a a a. Ide bemasoltuk a vegso pivottabla a cimkeju sorait a b oszlopot feltoltottuk -val mig az a oszlopokat nullakkal es egy darab -gyel. Mivel az a sor szerepelt a vegso pivottablaban igy a tablazatunkban az oszlopa nem tartalmaz extra informaciot. A szamitasaink ellenorzese: 8 A kovetkezoekben az 8 matrixhoz rendelheto negy alteret vizsgaljuk meg. A : R R A Oszlopter kepter Legyen { x OszlopA {x ā + x ā + x ā x i R} } + x + x 8 x i R Spanā ā ā. Ekkor A A x b megoldhato b OszlopA. a a a b a e. pivottabla alapjan az osszes ā i kifejezheto ā segitsegevel igy az egy elemu {ā } halmaz egy bazisa OszlopA-nak: { } OszlopA Spanā {x ā x R} x x 8 R dim OszlopA dim ImA dim Spanā ranga ahol ranga denicioja dim OszlopA erteke.

23 ... Nullter magter a a a a a a. Az a a oszlopok adjak meg a homogen A x hom egyenlet megoldasainak egy bazisat a elemek elhelyezkedese miatt ezek szuksegszeruen linearisan fuggetlen vektorok. A homogen egyenlet megoldasainak alteret jeloljuk NullA ker A-val. Ekkor dim NullA dim R ranga. Tehat NullA Span ā ā t / + t / t R... Sorter NullA Denicio: Egy Eukledeszi V vektorter W alterenek a W ortogonalis komplementere azon vektorok halmaza altere amelyek mindegyike meroleges W osszes vektorara. Ekkor nyilvan dim W + dim W dim V. A tovabbiakban az A : R R lekepezesben szereplo R vektorterekre mint Eukledeszi oszlopvektorokra tekintunk. A sorai oszoponkent felirva transzponalva mindegyike meroleges N ulla vektoraira pl.: A x hom / 8 / 8 8 / 8 / -nek az {ā } bazisvektorokhoz tartozo sorai fuggetlenek egymastol mivel esetunkben csak egy bazisvektor van ez igy sajnos trivialis igy a A sorai transzponaltjainak linearis kombinacioi altal alkotott altere es bazisa: / SorA {y T + y 8 T y i R} Span/ / T Span / dim SorA dim R dim R ranga ranga tehat az A matrix sorai es oszlopai altal generalt vektorterek dimenzioi megegyeznek.... NullA T Hogyan eszleljuk az A x b egyenlet megoldhatosagat vagyis azt hogy b OszlopA? b OszlopA m b m OszlopA. Ezt eleg OszlopA egy bazisara ellenorizni. dimoszlopa dim R ranga Igaz hogy Valoban: y y OszlopA NullA T. A T ȳ 8 y y y y y y stb.

24 Esetunkben a megoldhatosagot a vegso pivottabla e b elemenek a nulla volta biztositotta vagyis az hogy a p 8 p vektor masodik eleme a vegso pivottabla megmarado e sorainak b oszlopaban allo elem nulla. Igy esetunkben NullA T Span 8 T... A LU felbontas a Oldd meg: A x b x 5 8 x 5 9 x I. sor I. sor II. sor II. sor / I. sor : III. sor III. sor / I. sor I. sor I. sor II. sor II. sor : III. sor III. sor / II. sor igy l l A U Tehat A l l U LU. Az egyenletunk felirhato mint LU x Lȳ b x x x y y y 5.

25 Innen ȳ L b y y y. Tovabba U x ȳ x U ȳ. x x x x x x. Persze az U L inverzek explicit kiszamitasara nincs szukseg. Megjegyzes: L l l konnyu kiszamitasa nem veletlen szerencse peldaul tovabba