Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15

Átírás

1 Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó gyakorlaton való aktív részvétellel Ön képes lesz egy valós mátrix, illetve egy valós vektorrendszer rangját kiszámítani; egy geometriai úton adott lineáris transzformáció sajátértékeinek és sajátvektorainak kiszámítására; egy négyzetes mátrix sajátdolgainak kiszámítására; egy lineáris transzformáció mátrixának diagonalizálására; Elméleti, fogalmi célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó gyakorlaton való aktív részvétellel Ön megérti a rang fogalmát; a Kronecker-apelli-tétel kapcsán elmélyíti az egyenletrendszer megoldhatóságáró tanultakat; a reguláris és szinguláris mátrixok fogalmának segítségével rendszerezi tudását a determinánsokkal, a mátrixinvertálással, az egyenletrendszerek megoldhatóságával és a függetlenséggel kapcsolatban; megérti a sajátdolgok jelent ségét téma jelent sége Sokszor nem csak az a fontos, hogy egy mátrix vagy egyenletrendszer sorai/oszlopai között van-e lineáris összefüggés (pl az egyik sor két másik sor összege), hanem a fennálló összefüggés mértékére is kiváncsiak vagyunk rang egy olyan számérték, amely jellemzi ezen függés mértékét Ez önmagában is fontos felhasználási terület, de a rang segítségével egyszer en kifejezhet egy egyenletrendszer megoldásában a szabad és kötött ismeretlenek száma is reguláris és szinguláris mátrix fogalma azért fontos, mert nevet adunk annak, amir l már eddig is sokat beszéltünk, ezáltal jobban tudjuk rendszerezni ismereteinket Gondoljuk csak meg, hányszor szerepelt már feltételként az, hogy egy mátrix determinánsa ne legyen nulla! sajátérték és a sajátvektor klasszikusan fontos eszköz a zikában és a geometriában, de találkozunk vele a modern közgazdaságban matematikában is használják eszközként, pl dierenciálegyenletek megoldásában Számunkra már az is jelent séssé teszi ezt a fogalomat, hogy használatával a transzformációt sokkal kisebb m veletigénnyel lehet végrehajtani, hisz csak egy diagonális mátrixszal kell szorozni Természetesen ez a gyakorlatban csak akkor jelenthet el nyt, ha a transzformálandó mátrixok eleve a diagonális mátrixnak megfelel bázisban vannak megadva

2 Szükséges fogalmak és módszerek korábbról 2 függetlenség, bázis; determináns és tulajdonságai; lineáris egyenletrendszer, homogén lineáris egyenletrendszer; inverzmátrix; lineáris transzformáció, mátrixa egy bázisban; altér, zártsági feltételek; polinom, együttható, f együttható Mátrix oszloprangja és sorrangja rang olyasmi, mint a dimenzió, de nem vektortérnek van, hanem néhány vektornak, illetve egy mátrixnak Háromféle rang fogalmat deniálunk, majd belátjuk, hogy ugyanazok Deníció Egy mátrix oszloprangja r, ha oszlopvektorai között található r lineárisan független, de r-nél több nem Egy mátrix sorrangja r, ha sorvektorai között található r lineárisan független, de r-nél több nem Mennyi a következ mátrix oszloprangja? z els két oszlop lineárisan független Miért? (Két vektor akkor és csak akkor független, ha nem konstansszorosok) Ugyanakkor 3 7 Tehát az oszloprang 2 Mennyi a sorrangja? = és = : nullmátrix oszloprangja z n n-es E egységmátrix sor- és oszloprangja n Egy 3 4-es mátrix oszloprangja vajon mekkora? Maximu annyi, mint ahány oszlop van, azaz maximum négy De ezek az oszlopvektorok három komponens vektorok, azok egy 3-dimenziós vektorterek alkotnak Egy bázis elemszáma ott 3, egy független rendszeré 3 vagy kevesebb Vagyis legfeljebb 3 független oszlopvektor választható ki, az oszloprang legfeljebb 3

3 Általában egy k n-es mátrix oszloprangja legfeljebb n (nincs több oszlop), másrészt a vektorok T k -ból valók, így legfeljebb k lineárisan független lehet köztük, hiszen T k dimenziója k Vagyis r o (T k n ) min(k; n) 3 Determinánsrang Deníció ldetermináns (nem el jeles!): egy négyzetes részmátrix determinánsa Kiválaszthatunk tetsz leges h oszlopot és h sort, s ezek metszeteiben álló h 2 elem által alkotott h h-as mátrix determinánsát vesszük Ha az alábbi mátrix és 3 sorát, valamint a 2 és 4 oszlopát vesszük, akkor ! = 24 4 = 6: Deníció Egy mátrix determinánsrangja r, ha van olyan r r-es aldeterminánsa ami nem nulla, de bármely r-nél nagyobb rend aldeterminánsa már nulla z el z mátrix determinánsrangja 2 Ugyanis láttuk, hogy van egy nemnulla másodrend aldeterminánsa zt is láttuk, hogy a harmadik sora az els kett lineáris kombinációja, s ez akármelyik harmadrend aldeterminánsra is igaz Mátrixok rangszámtétele Tétel Egy mátrix oszloprangja, sorrangja és determinánsrangja megegyezik Ezt a közös értéket nevezzük a mátrix rangjának, jele r() Deníció Egy vektorrendszer (néhány vektor) rangján a bel lük alkotott mátrix rangját értjük Mivel a determináns kiszámítása és a függetlenség ellen rzése is eliminációval elvégezhet, ezért itt is célszer azzal dolgozni Maradhatunk a Gauss-eliminációval, annak kisebb a m veletigénye Tétel rang nem változik elemi ekvivalens átalakítások esetén Mennyi az alábbi mátrix rangja? Jól látható, hogy a fels két sor független, így a rang kett Kronecker-apelli-tétel Tétel z x = b egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha r() = r(jb), azaz az együtthatómátrix rangja megegyezik a kib vített mátrix rangjával megoldás akkor és csak akkor egyértelm, ha a (közös) rang megegyezik az ismeretlenek számával izonyítás z egyenletrendszert x a + x 2 a 2 + : : : + x n a n = b alakban írjuk zaz az egyenletrendszer megoldása: kifejezni az b vektort az a ; a 2 ; : : : ; a n vektorok lineáris kombinációjaként I Legyen el ször r() = r(jb) = r Válasszunk ki r darab független oszlopvektort -ból: a ; a 2 ; : : : ; a r z a ; a 2 ; : : : ; a r ; b már r + darab oszlop (jb)-ben, ezért lineárisan összefügg Ez csak úgy lehet, ha b kifejezhet az a ; a 2 ; : : : ; a r vektorok lineáris kombinációjaként többi oszlopvektort együtthatóval hozzávesszük a lineáris kombinációhoz, vagyis a ; a 2 ; : : : ; a r ; a r+ ; : : : ; a n -nel fejezzük ki b-t Ezzel megoldottuk az egyenletrendszert

4 II Ha az egyenletrendszer megoldható, akkor vannak olyan ; 2 ; : : : ; n számok, hogy b az a j oszlopvektorok lineáris kombinációja ezen együtthatókkal: b = a + 2 a 2 + : : : + n a n ( ) Legyen r() = r nnak belátásához, hogy r(jb) is r, tekintsük az (jb) mátrix r + oszlopvektorát, és lássuk be, hogy ezek már függ ek (i) Ha a kiválasztott oszlopok közt b nem szerepel, akkor r() = r miatt lineárisan összefügg ek (ii) Ha az r + vektor közül az r darab -beli összefügg, akkor az r + vektor is 4 (iii) Ha az r darab -beli lineárisan független, mondjuk a ; a 2 ; : : : ; a r, akkor bármelyik másik a j kifejezhet a lineáris kombinációjukként Ezeket a kifejezéseket ( )-ba behelyettesítve kapjuk, hogy b is el áll a ; a 2 ; : : : ; a r lineáris kombinációjaként, azaz az r + vektor lineárisan összefügg Tehát r = r() r(jb) r III megoldás pontosan akkor egyértelm, ha b egyértelm en áll el oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, z oszlopvektorai lineárisan függetlenek, azaz r()=oszlopok száma=ismeretlenek száma } Reguláris és szinguláris mátrixok Deníció Egy négyzetes mátrixot szingulárisnak nevezünk, ha a determinánsa, egyébként regulárisnak Tétel (összefoglaló) z alábbiak ekvivalensek: det nem nulla 2 -nak létezik inverze 3 -nak létezik jobbinverze 4 -nak létezik balinverze 5 az x = homogén lineáris egyenletrendszernek csak triviális megoldása van 6 van olyan b(2 T n ), melyre az x = b egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van 7 bármely b(2 T n )-re az x = b egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van 8 r() = n 9 oszlopai lineárisan függetlenek sorai lineárisan függetlenek izonyítás, 2, 3 és 4 ekvivalenciáját láttuk az inverzmátrixos témakörben, 8, 9 és a rang három deníciójának ekvivalenciája miatt egyenrangú 5, 6, 7 és 8 pedig az el z tétel szerint ekvivalens } Sajátérték, sajátvektor Deníció Egy T -beli skalár az lineáris transzformáció sajátértéke, ha létezik nemnulla(!) V -beli v vektor, melyre v = v Egy nemnulla v V -beli vektor az lineáris transzformáció sajátvektora, ha létezik olyan T -beli skalár, melyre v = v v NEM lehet, de = lehetséges Más szavakkal: azok a sajátvektorok, amelyeket a transzformáció csak konstansszorosára változtat, és a sajátérték ez a konstans Geometriailag képzelve: a sajátvektorok csak nyúlnak a trnszformáció hatására, nem fordulnak el Példák

5 közönséges síkvektorok terében a 8 o -os elforgatásnak minden nemnulla v vektor sajátvektora, sajátértékkel z egyéb forgatásoknak nincs sajátvektora térvektorok között az (x; y)-síkra való tükrözésnek minden ebben a síkban lev vektor sajátvektora sajátértékkel, a z tengely egyenesébe es vektorok pedig sajátértékkel Ha V a legfeljebb n-edfokú polinomok vektortere, akkor az f 7! xf leképezés sajátvektorai a cx n alakú polinomok, n sajátértékkel Sajátdolgok Tétel Minden sajátvektorhoz pontosan egy sajátérték tartozik 2 Egy adott sajátértékhez tartozó összes sajátvektor és a alteret alkotnak Ezt a -hoz tartozó sajátaltérnek nevezzük 5 izonyítás () Ha v sajátvektorhoz a és a sajátérték is tartozik, azaz v = v = v, akkor ( mivel v nemnulla, = )v =, azaz (2) Legyen v és w is sajátvektor ugyanahhoz a sajátértékhez, azaz v = v; w = w Ekkor (v + w) = v + w = v + w = (v + w): Tehát a sajátértékhez tartozó sajátvektorok halmaza zárt a lineáris kombináció képzésére, azaz altér } Diagonizálás Tétel Egy lineáris transzformáció mátrixa akkor és csak akkor diagonális, ha sajátvektorokból álló bázisban írtuk fel Ekkor a f átlóban álló elemek a megfelel bázisvektorhoz tartozó sajátértékek izonyítás lineáris transzformációk mátrixának felírásakor a kiindulási és az érkezési bázis rendszerint ugyanaz, a tétel is ilyen feltételek mellet érvényes! Emlékezzünk rá, hogy a mátrix oszlopaiban a bázisvektorok képei szerepelnek, így [] e = : : : 2 : : : n akkor és csak akkor teljesül, ha u = u ; : : : ; u n = n u n } Sajátértékszámítás Tétel Legyen e ; e 2 ; : : : ; e n bázis V -ben, pedig V egy lineáris transzformációja Egy 2 T skalár pontosan akkor sajátértéke -nak, ha az [ E] e mátrix determinánsa nulla: det([ E] e ) = : izonyítás sajátérték,van x 6=, melyre x = x, ( E)x =,mátrix alakban [ E][x] = []

6 zaz pontosan akkor sajátérték, ha ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, együtthatómátrix determinánsa det([ E]) = } 6 Sajátérték számítás: det([ E] e ) a ismeretlennek n-ed fokú polinomja, gyökei a sajátértékek Sajátvektor számítás: sajátérétékhez a homogén lineáris egyenletrendszer nemtriviális megoldásait kell megtalálni Karakterisztikus polinom Deníció Legyen az lineáris transzformáció mátrixa valmely bázisban [] = 2 : : : n 2 22 : : : 2n n n2 : : : nn z karakterisztikus polinomján a k (x) = det( xe) = x 2 : : : n 2 22 x : : : 2n n n2 : : : nn x polinomot értjük Tulajdonságok karakterisztikus polinom n-ed fokú, f együtthatója ( ) n n -ed fokú tag együtthatója az [] f átlójában lev elemek összegének ( ) n -szerese (Ez utóbbi összeget a mátrix nyomának hívják) deníció szerint a karakterisztikus polinom függhet a bázis választásától, amelyben a transzformáció mátrixát felírtuk!! elátható: a karakterisztikus polinom független a bázis választásától Legyen a síkvektorok x-tengelyre vonatkozó tükrözése mátrixa a szokásos bázisban = zaz a sajátértékek ; sajátvektorokat meghatározó egyenletrendszerek: det([ E]) = = 2 = : x + x 2 = x + 2x 2 = = : 2x + x 2 = x + x 2 =

7 Összefoglalás 7 z el adást három tematikus egységre bonthatjuk El ször megismertük a mátrix rangjának háromféle denícióját és kimondtuk ezek ekvivalenciáját apelli-tételben a rang segítségével jellemeztük az egyenletrendszerek megoldhatóságát Kronecker- második részben a reguláris és szinguláris mátrixok fogalmának bevezetésével rendszereztük tudásunkat determinánsokkal, a mátrixinvertálással, az egyenletrendszerek megoldhatóságával és a függetlenséggel kapcsolatban reguláris (szabályos) mátrixnak mindenütt a szabályos eset felel meg: egyetlen megoldás, van inverz, nincs összefüggés Végül a sajátdolgok témakörében a determinánsszámítás segítségével adtunk módszert a lineáris transzformációk sajátvektorainak és sajátértékeinek meghatározására sajátvektorok által adott bázisban a transzformáció mátrixa diagonális lesz, így könnyen végrehajtható De nem tudjuk még, hogy hogyan lehet átírni a vektorokat abba a bázisba, amelyben a mátrix fel van írva! ázisátmenet mátrixa Feladat adva van egy vektor egy tetsz leges kiindulási bázisban, meg akarjuk határozni az együtthatóit, azaz a koordináta-mátrixát egy másik adott bázisban z egyszer ség kedvéért nevezzük ezeket régi illetve új bázisnak gyakorlatban a régi bázis a standard bázis szokott lenni Ötlet Ha egy mátrixot jobbról megszorzunk egy vektorral, akkor az eredmény a mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációja, a vektor komponensei az együtthatók (Pl mivel kell megszoroznunk egy mátrixot, hogy megkapjuk a sorösszegeket tartalmazó vektort?) Módszer Írjuk be az új bázis koordinátavektorait egy mátrix oszlopaiba (Feltételezzük, hogy ezek is a régi bázisban vannak megadva) Mi történik akkor, ha ezt a mátrixot jobbról szorozzuk egy oszlopvektorral? z új bázis elemeinek egy lineáris kombinációját kapjuk, azaz egy vektor el állítását az új bázisban z együtthatók a jobboldali szorzótényez vektor komponensei Tehát a jobb oldali oszlopvektort úgy képzeljük el, mint egy vektor koordinátáiból álló oszlopot Méghozzá az új bázis szerinti koordinátákból, hisz a szorzás után ebb l lesznek az új bázisvektorok együtthatói Mi lesz az eredmény? régi bázis szerinti koordináta-oszlop, hisz az új bázisvektorok koordináta-oszlopai is a régi bázis szerint vannak felírva, ez így marad kombináláskor is Legyen [f ] egy vektor régi bázisbeli koordináta-oszlopa, [g] pedig az új bázisbeli koordinátavektora, pedig az új vektorok koordinátaoszlopaiból álló mátrix Ekkor [g] = [f ]: -zel balról(!) szorozva [g] = [f ]: Vagyis lesz a bázisátmenet mátrixa Ellen rz kérdések Mekkora lehet egy 3 5-ös mátrix rangja? 2 Egy 3 3-as mátrix determinánsa Mekkora lehet a rangja? 3 Mikor mondható egy mátrixra, hogy rangja 4? 4 Mekkora egy reguláris mátrix determinánsa? 5 Milyen összefüggés vana sajátérték és egy hozzá tartozó sajátvektor között?