LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40"

Átírás

1 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

2 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard norma az R n vektortéren: n u, v = u i v i és u = u, u. i=1 Definíció (Az R n euklideszi tér) A standard belső szorzással ellátott R n vektorteret így hívjuk: az R n euklideszi tér. A standard belső szorzás az R n vektortér minden alterén is meghatároz egy belső szorzást. Definíció (Az R n euklideszi tér altere) Ha az R n vektortér egy U alterét ezzel a belső szorzással ellátva tekintjük, akkor így hívjuk: az R n euklideszi tér U altere. A következőkben euklideszi tér: egy R n (n N) euklideszi tér valamelyik altere. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 2 / 40

3 Vektorok szöge Definíció (Ortogonális vektorok) Tetszőleges V euklideszi tér és u, v V vektor esetén azt mondjuk, hogy u ortogonális (merőleges) v-re, ha u, v = 0. Jele: u v. Észrevétel: ha u ortogonális v-re, akkor v is ortogonális u-ra Emlékeztető: síkban és térben a nemnulla u, v vektorok által bezárt szög koszinusza u,v u v, tehát u,v u v 1 Tétel (Bunyakovszkij Cauchy Schwarz-egyenlőtlenség) Az R n euklideszi tér tetszőleges u, v vektorára u, v u v. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 3 / 40

4 Vektorok által bezárt szög Következmény (Vektorok és szög) Tetszőleges u, v R n \ {0} esetén létezik pontosan egy olyan α szög, melyre 0 α π és cos α = Definíció (Vektorok által bezárt szög) u,v u v. Ezt az α szöget így hívjuk: az u és v vektorok által bezárt szög. Tétel (Háromszög-egyenlőtlenség) Tetszőleges u, v R n esetén u + v u + v. Megjegyzés: az R n euklideszi térben beszélhetünk távolságról, szögről, térfogatról,... Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 4 / 40

5 Normálvektorok Emlékeztető: Ha a 1 x a n x n = b nemtriviális egyenlet, azaz (a 1, a 2,..., a n ) 0, akkor U = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : a 1 x a n x n = 0} (n 1)-dimenziós altér R n -ben, és {(x 1, x 2,..., x n ) R n : a 1 x a n x n = b} = v + U valamely v R n vektorra. Észrevétel: egy R n euklideszi térbeli u vektorra pontosan akkor teljesül u U, ha (a 1, a 2,..., a n ) u Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 5 / 40

6 Normálvektorok Állítás (Bizonyos altér összes vektorára ortogonális vektor) Legyen U (n 1)-dimenziós altér R n -ben. Ekkor 1 létezik olyan a R n \ {0} vektor, amely bármely u U vektorra ortogonális, 2 ha egy b R n \ {0} vektor bármely u U vektorra ortogonális, akkor b [a]. Megjegyzés: ha u 1, u 2,..., u n 1 bázis az U altérben, akkor egy ilyen a vektor koordinátái a i = ( 1) i D i (i = 1, 2,..., n), ahol D i annak az (n 1) (n 1)-es mátrixnak a determinánsa, amely az u 1, u 2,..., u n 1 sorvektorokból álló mátrixból az i-edik oszlop elhagyásával adódik (vö Feladat) az n = 3 esetben ez az a vektor éppen az u 1 és u 2 térbeli vektorok vektoriális szorzata Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 6 / 40

7 Normálvektorok Definíció (Normálvektor) Azt mondjuk, hogy egy a R n \ {0} vektor normálvektora az (n 1)-dimenziós U R n altérnek és U bármely eltoltjának, ha a u minden u U esetén. Következmény (Normálvektor létezése és egyértelműsége konstans szorzó erejéig) A R n euklideszi térben minden (n 1)-dimenziós altérnek és eltoltjának van normálvektora, és bármely két normálvektor egymás konstansszorosa (egy egyenesbe esik). Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 7 / 40

8 Normálvektorok Következmény 1 A síkban minden e egyenes és P pont esetén létezik egyetlen olyan egyenes, amely átmegy P-n és merőleges e-re. 2 A térben minden s sík és P pont esetén létezik egyetlen olyan egyenes, amely átmegy P-n és merőleges s-re. 3 Az R 2 síkban a P = (p, q) ponton átmenő, (a, b) normálvektorú egyenes egyenlete ax + by = ap + bq. 4 Az R 3 térben a P = (p, q, r) ponton átmenő, (a, b, c) normálvektorú sík egyenlete ax + by + cz = ap + bq + cr. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 8 / 40

9 Egyenesek és síkok által bezárt szög a térben Definíció (Egyenesek által bezárt szög a térben) Két egyenes által bezárt szög: az irányvektoraik által bezárt szög és annak kiegészítő szöge közül az, amelyik 0 és π 2 közé esik, beleértve a határokat is. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 9 / 40

10 Egyenesek és síkok által bezárt szög a térben Definíció (Síkok által bezárt szög a térben) Két sík által bezárt szög: a normálvektoraik által bezárt szög és annak kiegészítő szöge közül az, amelyik 0 és π 2 közé esik, beleértve a határokat is. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 10 / 40

11 Egyenesek és síkok által bezárt szög a térben Definíció (Egyenes és sík által bezárt szög a térben) Egyenes és sík által bezárt szög: π 2 β, ahol β az egyenes irányvektora és a sík normálvektora által bezárt szög és annak kiegészítő szöge közül az, amelyik 0 és π 2 közé esik, beleértve a határokat is. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 11 / 40

12 Ortogonális vektorrendszerek Definíció (Ortogonális vektorrendszer) Azt mondjuk, hogy egy euklideszi térbeli v 1, v 2,..., v n vektorrendszer ortogonális vektorrendszer, ha bármely két különböző i, j indexre v i v j, ortonormált vektorrendszer, ha ortogonális vektorrendszer, és v i = 1 minden i-re. Állítás (Ortogonális vektorrendszer és lineáris függetlenség) Euklideszi térben minden 0-t nem tartalmazó ortogonális vektorrendszer lineárisan független. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 12 / 40

13 Ortogonális vektorrendszerek Következmény (Ortogonális vektorrendszer és bázis) 1 Euklideszi térben minden ortonormált vektorrendszer lineárisan független. 2 Egy n-dimenziós euklideszi térben bármely n vektorból álló ortonormált vektorrendszer bázis. 3 Egy n-dimenziós euklideszi térben bármely n tagú, nemnulla vektorokból álló ortogonális vektorrendszer bázis. Definíció (Ortonormált és ortogonális bázis) Legyen V euklideszi tér. Ha egy V -beli ortonormált vektorrendszer bázis V -ben, akkor őt V ortonormált bázisának nevezzük. Ha egy V -beli ortogonális vektorrendszer bázis V -ben, akkor őt V ortogonális bázisának hívjuk. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 13 / 40

14 Gram Schmidt-féle ortogonalizáció Tétel (Gram Schmidt-féle ortogonalizáció) Egy euklideszi tér bármely lineárisan független v 1, v 2,..., v k vektorrendszeréhez van olyan u 1, u 2,..., u k ortogonális vektorrendszer, amelyre teljesül i = 1, 2,..., k esetén. [u 1, u 2,..., u i ] = [v 1, v 2,..., v i ] Észrevétel: A tételbeli u 1, u 2,..., u k ortogonális vektorrendszer minden tagja 0-tól különböző. Így u 1 u 1,..., u k u k ortonormált vektorrendszer. Tehát az u 1, u 2,..., u k vektorrendszer ortonormáltnak is választható. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 14 / 40

15 Gram Schmidt-féle ortogonalizáció A tétel bizonyítása az ún. Gram Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás: adott egy lineárisan v 1, v 2,..., v k független vektorrendszer, a cél egy tételbeli u 1, u 2,..., u k vektorrendszer megadása. def 1 u 1 = v 1 def 2 u 2 = v 2 v 2,u 1 u u ha u 1, u 2,..., u l 1 már definiált, akkor legyen def u l = v l l 1 v l,u j u u j 2 j j=1 u 2 v 2 v 2 v 2 u 1 = v 1 : v 2 merőleges vetülete u 1 -re v 2 = v 2,u 1 u 1 2 u 1 Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 15 / 40

16 Egy alkalmazás Amikor a számítógép háromdimenziós objektumokat (azaz R 3 -beli pontokat) ábrázol és mozgat, akkor a háttérben lineáris algebrát használ. Nézzünk egy példát: adott a térben P = (,, ) pont t = [(,, )] origón átmenő tengely α szög Határozzuk meg a P pont t körüli, α szöggel vett elforgatottját. A forgatás lineáris transzformáció, így van mátrixa, melynek segítségével P képe mátrixszorzással meghatározható. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 16 / 40

17 Egy alkalmazás Egy könnyű eset: t = [(0, 0, 1)] cos α sin α 0 A forgatás mátrixa: sin α cos α Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 17 / 40

18 Egy alkalmazás Általános t esetén: olyan ortonormált bázisban, amelynek utolsó vektora t-re esik, a mátrix ugyanez Ha meg tudunk adni ilyen bázist, akkor a forgatás standard bázisbeli mátrixa a bázisáttérés mátrixával adódik. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 18 / 40

19 Egy alkalmazás Példa: t = [(1, 2, 1)], P = (3, 2, 1), α = 2π 3 1. lépés: adjunk meg olyan ortonormált bázist, melynek utolsó vektora t-re esik 1 egészítsük ki (1, 2, 1)-et valahogyan bázissá: pl. (1, 2, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0) 2 hajtsunk végre rajta Gram Schmidt-féle ortogonalizációt: u 1 = (1, 2, 1) t u 2 = (1, 0, 0) 1 6 (1, 2, 1) = ( ) 5 u 3 = (0, 1, 0) normáljuk: ( 1 6, 2 3, 1 6 ) (1, 2, 1) 1/3 5/6 ( 5, 6, 6, 1 3, 1 ( 6 5 6, 1 3, 1 6 ) 2 15, 1 30 Egy megfelelő bázis: ( ) ( ) ( 5 6, 2 15, , 0, 5 2, 5 1, 6, ( ) 1, 0, 5 2, 5 2 3, 1 ) ( = 0, 2 5, 4 ) 5 6 ) t Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 19 / 40

20 Egy alkalmazás 2. lépés: írjuk fel a forgatás mátrixát ebben a bázisban cos α sin α A = sin α cos α = lépés: térjünk vissza a standard bázisra a bázisáttérés mátrixa erről a bázisról a standard bázisra Q = , Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 20 / 40

21 Egy alkalmazás így a forgatás mátrixa a standard bázisban 1 Q AQ = a P = (3, 2, 1) pont képe pedig 4 1 4, (3, 2, 1)Q 1 AQ = ( 2, 2, 2 2) Megjegyzés: Később látni fogjuk, hogy ha a bázisáttérés Q mátrixa ilyen speciális, akkor Q 1 = Q T, tehát Q inverze számolás nélkül adódik. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 21 / 40

22 Ortonormált bázisok Következmény (Ortonormált bázis létezése) Minden euklideszi térnek van ortonormált bázisa. Következmény (Ortonormált vektorrendszer kiegészítése ortonormált bázissá) Euklideszi térben 1 minden olyan ortogonális vektorrendszer, amely nem tartalmaz nullvektort, kiegészíthető ortogonális bázissá, 2 minden ortonormált vektorrendszer kiegészíthető ortonormált bázissá. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 22 / 40

23 Euklideszi terek izomorfiája Definíció (Euklideszi terek közötti lineáris leképezés) Ha U, V euklideszi terek és ϕ: U V lineáris leképezés az U vektortérről a V vektortérbe, akkor azt mondjuk, hogy ϕ lineáris leképezés az U euklideszi térről a V euklideszi térbe. A vektorterekhez hasonlóan használjuk a Hom(U, V ) jelölést, valamint U = V esetén a lineáris transzformáció elnevezést. DE: Az euklideszi terek közötti izomorfizmus más, mint a vektortér-izomorfizmus! Definíció (Euklideszi terek közötti izomorfizmus) Azt mondjuk, hogy ϕ: U V izomorfizmus az U euklideszi térről a V euklideszi térre, ha vektortér-izomorfizmus, és tetszőleges u 1, u 2 U vektorokra u 1, u 2 = u 1 ϕ, u 2 ϕ. Az utóbbi tulajdonság neve: ϕ megőrzi a belső szorzatot. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 23 / 40

24 Euklideszi terek izomorfiája Állítás (Euklideszi terek közötti izomorfizmusok tulajdonságai) Euklideszi terek közötti izomorfizmusok szorzata és inverze is az. Definíció (Euklideszi terek izomorfiája) Azt mondjuk, hogy az U euklideszi tér izomorf a V euklideszi térrel, ha létezik izomorfizmus az U euklideszi térről a V euklideszi térre. Jelölés: U = V. Tétel (n-dimenziós euklideszi terek) Minden n-dimenziós euklideszi tér izomorf az R n euklideszi térrel. Észrevétel: ortonormált bázisban felírt koordinátasorokkal ugyanúgy számolunk belső szorzatot, mint R n -ben Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 24 / 40

25 Ortogonális lineáris transzformációk Definíció (Ortogonális lineáris transzformáció) Legyen V euklideszi tér és ϕ Hom(V, V ). Azt mondjuk, hogy ϕ ortogonális lineáris transzformáció V -n, ha bármely v V -re v = vϕ. Az utóbbi tulajdonság neve: ϕ normatartó. Észrevétel: Ortogonális lineáris transzformációk szorzata is az. Továbbá minden ortogonális lineáris transzformáció bijektív, így van inverze, és az is ortogonális. Példák: a síkon (az R 2 euklideszi téren): origóra való türközés, origón átmenő egyenesre való tükrözés, origó körüli elforgatás a térben (az R 3 euklideszi téren): origóra való türközés, origón átmenő egyenesre/síkra való tükrözés, origón átmenő egyenes körüli elforgatás Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 25 / 40

26 Ortogonális lineáris transzformációk Tétel (Ortogonális transzformáció ekvivalens jellemzései) Bármely V euklideszi téren értelmezett ϕ lineáris transzformáció esetén ekvivalensek a következők: 1 ϕ ortogonális, 2 tetszőleges u, v V -re u, v = uϕ, vϕ, 3 ϕ bármely ortonormált vektorrendszert ugyanilyenbe visz, 4 ϕ bármely ortonormált bázist ortonormált bázisba visz, 5 van olyan ortonormált bázis V -ben, amit ϕ ortonormált bázisba visz. Észrevétel: a normatartó lineáris transzformációk szükségképpen szögtartók is V ortogonális lineáris transzformációi éppen V önmagára való izomorfizmusai Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 26 / 40

27 Ortogonális mátrixok Észrevétel: Ha ϕ ortogonális leképezés, és mátrixa valamely ortonormált bázisban A = a 1. a n, akkor a 1,..., a n ortonormált bázis R n -ben. Így minden i, j {1,..., n} indexre (AA T ) ij = { 1 ha i = j, a i, a j = 0 különben, azaz AA T = E. Definíció (Ortogonális mátrix) Azt mondjuk, hogy A( R n n ) ortogonális mátrix, ha AA T = E. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 27 / 40

28 Ortogonális mátrixok Állítás (Ortogonális mátrix ekvivalens jellemzései) Tetszőleges A R n n mátrixra ekvivalensek a következők: 1 A sorvektorai ortonormált vektorrendszert/bázist alkotnak R n -ben, 2 AA T = E, 3 A nemelfajuló és A T = A 1, 4 A T A = E, 5 A oszlopvektorai ortonormált vektorrendszert/bázist alkotnak R n -ben. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 28 / 40

29 Ortogonális mátrixok A korábbi, ortogonális transzformációra vonatkozó ekvivalens tulajdonságokat kiegészíthetjük a következőképpen: Tétel (Ortogonális transzformáció ekvivalens jellemzései (folyt.)) Bármely euklideszi téren értelmezett ϕ lineáris transzformáció esetén ekvivalensek a következők: 1 ϕ ortogonális, 2 ϕ mátrixa valamely ortonormált bázisban ortogonális, 3 ϕ mátrixa minden ortonormált bázisban ortogonális. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 29 / 40

30 Ortogonális mátrixok Állítás (Ortonormált bázisok közötti áttérés mátrixa) Minden ortonormált bázisról ortonormált bázisra való áttérés mátrixa ortogonális. Állítás (Ortogonális lineáris transzformáció, ill. mátrix sajátértékei, ortogonális mátrix determinánsa) 1 Ha egy ortogonális lineáris transzformációnak, illetve mátrixnak van sajátértéke, akkor az csak ±1 lehet. 2 Minden ortogonális mátrix determinánsa ±1. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 30 / 40

31 Főtengelytétel Emlékeztető: egy A R n n mátrixot diagonalizálhatónak hívunk, ha létezik olyan P R n n nemelfajuló mátrix, amelyre P 1 AP diagonális itt P bázisáttérés mátrixa a standard bázisról egy A sajátvektoraiból álló tetszőleges bázisra a P 1 AP diagonális mátrix főátlójában minden ilyen P esetén A sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, amennyi az adott sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban, és ez a szám egyenlő a megfelelő sajátaltér dimenziójával Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 31 / 40

32 Főtengelytétel Tétel (Főtengelytétel (szimmetrikus mátrixokra)) Minden szimmetrikus A R n n mátrixhoz létezik olyan Q R n n ortogonális mátrix, amelyre Q 1 AQ diagonális. Kiegészítés: A Q 1 AQ diagonális mátrix főátlójában is A sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, amennyi az adott sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban, és ez a szám egyenlő a megfelelő sajátaltér dimenziójával. Fontos: A Q mátrix itt is bázisáttérés mátrixa a standard bázisról egy A sajátvektoraiból álló bázisra, de nem akármilyenre, hanem ortonormált bázisra! Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 32 / 40

33 Főtengelytétel Következmény 1 Minden valós szimmetrikus mátrix diagonalizálható. 2 Két valós szimmetrikus mátrix pontosan akkor hasonló, ha karakterisztikus polinomjaik megegyeznek. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 33 / 40

34 Főtengelytétel Emlékeztető: az R n vektortéren értelmezett összes kvadratikus alak nemelfajuló lineáris helyettesítéssel kanonikus alakra hozható és ez ekvivalens a következővel: minden szimmetrikus A R n n mátrixhoz létezik olyan nemelfajuló S R n n mátrix, amelyre SAS T diagonális itt S a nemelfajuló lineáris helyettesítés mátrixa, SAS T pedig az A mátrixú kvadratikus alak kapott kanonikus alakjának mátrixa Észrevétel: itt A R n n szimmetrikus; a főtengelytételbeli Q R n n ortogonális mátrixra Q 1 AQ diagonális és Q 1 = Q T ; ekkor S = def Q 1 is ortogonális mátrix, S T = (Q 1 ) T = (Q T ) T = Q és SAS T (= Q 1 AQ) diagonális Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 34 / 40

35 Főtengelytétel Definíció Az olyan lineáris helyettesítést, amelynek mátrixa ortogonális, ortogonális helyettesítésnek nevezzük. Észrevétel: minden ortogonális helyettesítés nemelfajuló Tétel (Főtengelytétel (kvadratikus alakokra)) Az R n euklideszi téren értelmezett összes kvadratikus alak ortogonális helyettesítéssel kanonikus alakra hozható. Kiegészítés: Az ortogonális helyettesítéssel kapott kanonikus alakban a négyzetes tagok együtthatói a kvadratikus alak mátrixának sajátértékei. Minden sajátérték annyi négyzetes tag együtthatója, amennyi az adott sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban, és ez a szám egyenlő a megfelelő sajátaltér dimenziójával. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 35 / 40

36 Főtengelytétel Következmény Egy R n -en értelmezett kvadratikus alak pontosan akkor 1 pozitív definit, ha mátrixának sajátértékei pozitívak; 2 pozitív szemidefinit, ha mátrixának sajátértékei nemnemgatívak, és 0 sajátérték; 3 negatív definit, ha mátrixának sajátértékei negatívak; 4 negatív szemidefinit, ha mátrixának sajátértékei nempozitívak, és 0 sajátérték; 5 indefinit, ha mátrixának pozitív és negatív sajátértéke is van. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 36 / 40

37 Főtengelytétel Megjegyzés: A főtengelytétel és következménye elvi jelentőségű: ortogonális helyettesítést nem tudunk elemi átalakításokkal keresni, meg kell határozni hozzá a kvadratikus alak mátrixának sajátértékeit és sajátaltereit a definitségi osztályt általában jóval könnyebb meghatározni a korábban tanult módon, mint a kvadratikus alak mátrixának sajátértékeit megkeresni Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 37 / 40

38 Egy alkalmazás A főtengelytétel alkalmazása képtömörítésre: A R n n szimmetrikus mátrix Q R n n ortogonális mátrix, melyre D = Q 1 AQ diagonális ekkor A = QDQ T λ λ ha D = és Q = (u 1 u 2 u n ), λ n ahol u 1, u 2,..., u n R n 1, akkor Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 38 / 40

39 Egy alkalmazás λ u T 1 A = QDQ T 0 λ u T 2 = (u 1 u 2 u n ) λ n un T u T 1 u T 2 = (λ 1 u 1 λ 2 u 2 λ n u n ). u T n = λ 1 (u 1 u T 1 ) + λ 2(u 2 u T 2 ) + + λ n(u n u T n ) ahol u i u T i R n n, i = 1, 2,..., n Neve: A egy spektrálfelbontása Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 39 / 40

40 Egy alkalmazás Egy szemléletes példa: Link Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 40 / 40

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n} Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

1. Bázistranszformáció

1. Bázistranszformáció 1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak 10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér? Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf87 2017-11-21

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf81 2018-11-20

Részletesebben

i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i

i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Kovács Zoltán 2005. január 4. Tartalomjegyzék 1. Euklideszi vektorterek 3 1.1. Bilineáris és kvadratikus formák, skaláris szorzatok................ 3 1.2.

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................

Részletesebben

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Euklideszi tér, ortogonalizáció H607 2018-02-12/03-10

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája

Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT ÁPRILIS 26.

MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT ÁPRILIS 26. MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT 2015. ÁPRILIS 26. 1. Lineáris algebra, csoportok definíciója 1.1. Feladat. (Közösen megbeszéltük) Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre

Részletesebben

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság 1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

JEGYZET Geometria 2., tanárszak

JEGYZET Geometria 2., tanárszak JEGYZET Geometria 2., tanárszak Hálás köszönet a segítségért Marosi Pollának, Kiss Györgynek, Lakos Gyulának, Tóth Árpádnak, Wintsche Gergőnek. Felhasznált fogalmak Felhasználjuk a valós vektortér és mátrix

Részletesebben

(1) Vektorok koordinátavektora. 1/3. R A {b 1,b 2,b 3 } vektorhalmaz bázis a V R n altérben.

(1) Vektorok koordinátavektora. 1/3. R A {b 1,b 2,b 3 } vektorhalmaz bázis a V R n altérben. Az informatikus lineáris algebra dolgozat A részének főbb témái, pár mintafeladata Az alábbiakban tájékoztató jelleggel fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach/ február 15 Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) Matematika szigorlat - konzultációs szeminárium Azoknak, akik másodszorra vagy többedszerre veszik fel a Matematika szigorlat (NAMMS1SAND) tárgyat. Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) FŐBB TÉMAKÖRÖK

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában 1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf81 2018-09-04

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

1. A Hilbert féle axiómarendszer

1. A Hilbert féle axiómarendszer {Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,

Részletesebben

A gyakorlati jegy

A gyakorlati jegy . Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35 Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek

Részletesebben

Alkalmazott algebra - skalárszorzat

Alkalmazott algebra - skalárszorzat Alkalmazott algebra - skalárszorzat Ivanyos Gábor 2011 sz Skalárszorzat Skalárszorzat Ebben a részben: a standard skalárszorzat: u T v = n µ i ν i i=1 és a kapcsolódó lineáris algebra absztrakt tárgyalással

Részletesebben

NÉVMUTATÓ. Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J.

NÉVMUTATÓ. Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J. NÉVMUTATÓ Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J., 155 157 Cauchy, A. L., 155 157 Cayley, A., 272, 327 Codenotti, B., 93 Cramer,

Részletesebben

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén 1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,

Részletesebben

Matematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly

Matematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek A jegyzet nagyobb részét Dr. Simon Bakos Erzsébet gépelte Latex szövegszerkesztőben. Tartalomjegyzék 1. Az A-ben tanult

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Alkalmazott algebra - SVD

Alkalmazott algebra - SVD Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció

7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció 7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy

Részletesebben

ALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév)

ALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév) ALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév) Ismétlés 0. feladat O Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre (a) ϕ-nek 1-dimenziós a képtere; (b) ϕ-nek nincsen sajátértéke;

Részletesebben

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 Tartalomjegyzék Bevezetés 17 A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 I. A lineáris algebra forrásai 25 1 Vektorok 29 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 29 Irányított szakasz,

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Tartalomjegyzék. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 63

Tartalomjegyzék. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 63 Tartalomjegyzék I. A lineáris algebra forrásai 17 1 Vektorok 21 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 21 Irányított szakasz, kötött és szabad vektor 21 Vektor magadása egy irányított szakasszal 22 Vektor

Részletesebben

BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1

BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1 Wiener Gábor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1 FELADATGYŰJTEMÉNY 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 BME SZIT Készült a Budapesti Műszaki és

Részletesebben

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben