1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)

Átírás

1 Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 ) vektorba a 0 1) vektort pedig a 10 1) vektorba viszi. Mi a mátrixa a standard bázisban? Tekintsük R -ben az ) és ) vektorokat R -ben pedig az 1 ) 1 ) és 1 ) vektorokat. Ellenőrizzük hogy ezek ortonormált bázisok és írjuk fel L mátrixát ezekre nézve is. Megoldás. A standard bázisban a mátrix A megadott vektorok + és miatt egységnyi hosszúak. + ) 0 és 1) )+ 1+ ) 1) + + ) 1 ) alapján páronként ortogonálisak így lineárisan függetlenek. Számuk a dimenzióval egyezik meg így tehát bázist is alkotnak. A leképezés mátrixa az új bázisban [ ] 7.. Tegyük fel hogy egy M mátrix antiszimmetrikus része 0 A Határozzuk meg OMO 1 antiszimmetrikus részét ha a) O az x y síkra való tükrözés mátrixa; b) O az x tengely körüli α szögű forgatás mátrixa. Hogyan változik az antiszimmetrikus részből képzett vektor a két esetben? Megoldás. O mindkét esetben ortogonális tehát OMO 1 OMO T antiszimmetrikus része OAO T. Az első esetben az új antiszimmetrikus rész T a másodikban pedig T cos α sin α cos α sin α 0 sin α cos α sin α cos α 0 cos α + sin α cos α + sin α cos α sin α 0 1. cos α sin α 1 0 Az első esetben a vektor a z tengelyre tükröződik a másodikban pedig az x tengely körül α szöggel elfordul. 1

2 . Legyen f : R R fx y z) 1 x + y + z ). Határozzuk meg a grad f vektormezőt és a f skalármezőt. Megoldás. grad fx y z) f x f f ) x y z). div grad f f x + f + f.. Legyen f 1 x y) e x cos y és f x y) e x sin y. Számoljuk ki a grad f 1 grad f vektormezőket és a f 1 f skalármezőket. Megoldás. grad f 1 x y) e x cos y e x sin y) grad f x y) e x sin y e x cos y) div grad f 1 x y) e x cos y e x cos y 0 div grad f x y) e x sin y e x sin y 0. Legyen f : R + R differenciálható függvény és legyen vx y z) f x + y ) yi+xj). Bizonyítsuk be hogy rot v minden pontban párhuzamos a k vektorral és nagysága csak a z tengelytől mért távolságtól függ. Megoldás. Számoljuk ki a rotációt: i j k rot vx y z) x y z yf x + y ) xf x + y ) 0 ) xf x + y ) i + ) yf x + y ) j ) + xf x x + y ) + yf x + y )) ) k ) f x + y ) + xf x x + y x + y + yf x x + y x + y ) k ) f x + y ) + x + y f x + y ) k 6. Egy v vektormező rotációja rot vx y z) y xyz)i + xz )j + x + yz )k. Írjuk fel O v O 1 rotációját ha O az x y síkra való tükrözés. Megoldás. O tükrözés tehát a tanultak szerint az új vektormező Or pontbeli rotációja ugyanaz mintha az eredeti r pontbeli rotációra a O forgatást alkalmaznánk. Tehát fel kell cserélni az első két komponenst ellentettjére változtatni a vektort és x-et y-nal fel kell cserélni: roto v O 1 )x y z) yz i + x + xyz)j + y xz )k. 7. Bizonyítsuk be az alábbi Leibniz-szabályokat: a) gradfg) grad f)g + f grad g b) fg) f)g + grad f) grad g) + f g) Megoldás. A gradiens i. komponense: fx 1... x n )gx 1... x n )) x i ) ) fx 1... x n ) gx 1... x n ) + fx 1... x n ) gx 1... x n ) x i x i

3 ez valóban grad f)g + f grad g i. komponensével egyenlő. n i1 x i fg) ) n f g + f ) g + f g x i x i x i x i i1 További gyakorló feladatok 8. Számoljuk ki a sík α szögű forgatásának Rα) mátrixát és ellenőrizzük ennek segítségével a szögfüggvényekre vonatkozó addíciós képleteket. Legyen A egy lineáris leképezés -es) mátrixa a standard bázisban. Hogyan változik az antiszimmetrikus rész mátrixa ha az α szöggel pozitív irányban elforgatott bázisban írjuk fel? És ha a két bázisvektort felcseréljük? Megoldás. 1 0) képe cos α sin α) 0 1) képe sin α cos α) tehát cos α sin α Rα). sin α cos α Rα + β) Rα)Rβ) miatt cosα + β) sinα + β) cos α sin α cos β sin β sinα + β) cosα + β) sin α cos α sin β cos β cos α cos β sin α sin β sin α cos β cos α sin β sin α cos β + cos α sin β cos α cos β sin α sin β ami az addíciós képletekkel ekvivalens. Ha O ortogonális mátrix akkor az O oszlopaiból képzett bázisban ugyanennek a leképezésnek a mátrixa O 1 AO O T AO. Ha A antiszimmetrikus része A as akkor O T AO antiszimmetrikus része O T A as O. A antiszimmetrikus mátrixok egydimenziós vektorteret alkotnak X O T XO lineáris leképezés tehát elég egy nemnulla elem képét megnézni. Az elforgatott bázisnál O Rα) tehát [ 0 1 Rα) T Rα) sin α cos α sin α + cos α 0 vagyis az antiszimmetrikus rész nem változik. hasonlóan T tehát az antiszimmetrikus rész az ellentettjére változik. ] Ha a két bázisvektort felcseréljük akkor 9. Legyen f : C C analitikus függvény és definiáljuk az f 1 f síkbeli skalármezőket a következő módon: f 1 x y) Re fx + iy) és f x y) Im fx + iy). Bizonyítsuk be hogy grad f minden pontban grad f 1 elforgatottja π/ szöggel és f 1 f 0. Megoldás. Először komplex együtthatós polinomokra látjuk be az állítást. Mivel a szereplő differenciáloperátorok és az elforgatás lineáris leképezések elegendő a polinomok vektorterének egy R feletti bázisára belátni az állítást. Válasszuk ennek az fz) az n polinomokat ahol n N a {1 i}. Ha n 0 akkor mindkét függvény konstans tehát már a gradiensek is nullvektorok ha viszont n 1 akkor az első esetben grad f 1 x y) x Re ax + iy)n ) Re ax + iy)n Re anx + iy) n 1 ianx + iy) n 1) n Re ax + iy) n 1 n Im ax + iy) n 1)

4 és grad f x y) x Im ax + iy)n ) Im ax + iy)n Im anx + iy) n 1 ianx + iy) n 1) n Im ax + iy) n 1 n Re ax + iy) n 1) ezek valóban merőlegesek egymásra. Másrészt és f 1 x y) x Re ax + iy)n + Re ax + iy)n Re ann 1)x + iy) n + i ann 1)x + iy) n ) 0 f x y) x Im ax + iy)n + Im ax + iy)n Im ann 1)x + iy) n + i ann 1)x + iy) n ) 0. Legyen z 0 tetszőleges pont és írjuk fel f Taylor-sorát z 0 körül. Ha ennek konvergenciasugara R akkor minden r < R sugarú z 0 körüli körlapon a Taylor-sor tagonkénti k. deriváltja egyenletesen konvergál f k. deriváltjához. A sor részletösszegei polinomok és a konvergencia öröklődik f 1 f parciális deriváltjaira is tehát a fenti tulajdonságok f-re is igazak. 10. Legyen f : R + R differenciálható függvény és legyen vx y z) f x + y + z )xi + yj + zk). Mutassuk meg hogy rot v 0. Megoldás. Vezessük be az r x + y + z jelölést és számoljuk ki a rotációt: i j k rot vx y z) x y z xfr) yfr) zfr) zfr) ) yfr) i + xfr) ) x zfr) j + x yfr) ) xfr) k [ f r) z r y r ) i + x r z r ) j + y r ) ] x x xr k 0 mivel grad rx y z) x + y + z ) 1/ xi + yj + zk). 11. Bizonyítsuk be az alábbi azonosságokat f : R R u v : R R ): a) divfu) gradf) u + f divu) b) rotfu) gradf) u + f rotu) c) divu v) rotu) v u rotv) Megoldás. Legyen ux 1... x n ) u 1 x 1... x n )e u n x 1... x n )e n stb. n fu i n f divfu) u i + f u ) i x i x i x i i1 i1 rotfu)x y z) x fu z fu y f u z f u uz y + f u ) y

5 ami éppen gradf) u + f rotu) első komponense stb. divu v) u yv z u z v y ) x + u zv x u x v z ) + u xv y u y v x ) u y x v z u z x v y + u z v x u x v z + u x v y u y v x v y v x v z + u y x u z x + u z u x rotu) v u rotv). v z + u x v y u y v x