Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Átírás

1 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció. Egy V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk a T test felett, ha az alábbi tíz axióma teljesül. (Ö) A V halmazon értelmezett az összeadás: u, v V esetén létezik egy egyértelműen definiált u + v V. (Ö1) Az összeadás asszociatív: u, v, w : (u + v) + w u + (v + w). (Ö2) Az összeadás kommutatív: u, v : u + v v + u. (Ö3) Létezik nullelem: azaz 0 V : v V : 0 + v v + 0 v. (Ö4) Minden elemnek létezik ellentettje, azaz v V -re v V melyre v + ( v) ( v) + v 0. Vektorterek (S) A T test és a V halmaz elemei között értelmezve van egy skalárral való szorzás: λ T és v V esetén létezik egyértelmüen egy V -beli elem, amit λv-nek hívunk. (S1) Bármely λ, µ T és v V esetén (λµ)v λ(µv). (S2) Bármely v V -re 1 v v. (S3) Bármely λ T és u, v V esetén λ(u + v) λu + λv. (S4) Bármely λ, µ T és v V esetén (λ + µ)v λv + µv. Az összeadás szokásos művelet, azaz egy V V V függvény. A skalárral való szozás egy öszvér művelet, azaz egy T V V függvény. Példák Az origóból kiinduló sík illetve térvektorok vektorteret alkotnak, T R. Tetszőleges T test felett vektorteret alkot T k, azaz a k komponensű vektorok halmaza. A k n-es valós mátrixok a valós számtest felett, művelet a mátrixok szokásos összeadása, illetve skalárral való szorzása. R egy Q feletti vektortér. Az összes valós számon értelmezett valós értékű függvények a valós számtest felett a szokásos (pontonkénti) műveletekre: (f + g)(x) f(x) + g(x), (cf)(x) cf(x). R[x]: A valós együtthatós polinomok a valós test felett a szokásos műveletekre nézve. Az axiómák következményei A nullvektor (0) egyértelmű, és minden vektor ellentettje is egyértelmű, kivonás elvégezhető. (S1) és (S3) formálisan asszociativitásra, illetve disztributivitásra hasonlít, így a műveleteknél a megszokott szabályok alakalmazhatók, pl. több tag szorzása több taggal. Tétel.

2 2 1. Bármely λ T -re λ Bármely v V -re 0v Bármely v V -re ( 1)v v. 4. Ha λv 0, akkor λ 0 vagy v 0. Bizonyítás. (1): λ(0 + 0) λ0 λ0 + λ0 λ0 (λ0) + (λ0 + λ0) (λ0) + λ0 λ0 0. Többi: HF. Alterek Definíció. Egy T test feletti V vektortér egy nemüres W V részhalmazát altérnek nevezünk V -ben, ha W maga is vektortér ugyanazon T felett ugyanazokra a V -beli vektorműveletekre nézve. Jelölésben: W V. Tétel. Egy T test feletti V vektortérben a W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha zárt a V-beli műveletekre nézve, azaz 1. u, v W u + v W ; 2. u W, λ T λu W. Bizonyítás. Ha W altér, akkor nyilván zárt a műveletekre. Ha W zárt a műveletekre, akkor a vektortéraxiómák többsége automatikusam teljesül a W -beli vektorokra, hiszen azok speciális V -beli vektorok. Csak azt kell megvizsgálni, hogy a V -beli 0 beleesik-e W -be, illetve egy W -beli vektor V -beli ellentettje beleesik-e W -be: Legyen v W tetszőleges vektor. Ekkor 0 0v W. Legyen v W tetszőleges vektor. Ekkor v ( 1)v V. Példák Definíció. Egy V vektortér triviális alterei V és {0}. További példák alterekre: Origón átmenő egyenes, illetve sík vektorai a térben. Bármely vektortérben egy adott vektor skalárszorosai. R[x]-ben a legfeljebb harmadfokú (k-ad fokú) polinomok. Lineáris kombináció, generátorrendszer Definíció. Legyen a 1,..., a n V, λ 1,..., λ n T. A λ 1 a λ n a n vektort az a i vektorok lineáris kombinációjának nevezzük. Síkban két nem egyenesbe eső, térben három nem egy síkba eső vektor lineáris kombinációjaként minden vektor előáll. Definíció. Az a 1,..., a n V vektorokat a V vektortér generátorrendszerének nevezzük, ha V minden eleme előáll ezek lineáris kombinációjaként. Az a 1,..., a n V vektorok által generált altéren az a i vektorok összes lineáris kombinációinak halmazát értjük. Jelölés: < a 1,..., a n >. Tétel. U < a 1,..., a n > az a vektorokat tartalmazó legszűkebb altér, azaz U altér a i U ha W altér és a i W (i 1, 2,..., n), akkor U W.

3 3 Bizonyítás. (1) U zárt az összeadásra, hiszen illetve zárt a számmal való szorzásra (α 1 a α n a n ) + (β 1 a β n a n ) (α 1 + β 1 )x (α n + β n )a n, c(α 1 a α n a n ) (cα 1 )x (cα n )a n. (2): λ i 1, λ j 0(i j) skalárokkal képzett lineáris kombináció adja a i -t. (3): Ha egy W altér tartalmazza az a i vektorokat, akkor ezek skalárszorosait is, majd azok összegeit is, tehát minden lineáris kombinációját is tartalmaznia kell. A generált alteret szokás az (1)-(3) tulajdonságokkal is definiálni. Néhány elem által generált snurgli az a legszűkebb snurgli, amely tartalmazza az adott elemeket. (Mindig van ilyen?) Lineáris függetlenség Egy lináris kombináció nem triviális, ha van benne olyan skalár együttható, ami nem 0. Egyébként triviális. Világos, hogy egy triviális lineáris kombináció a nullvektort adja. Definíció. Az a 1,..., a n vektorok lineárisan függetlenek, ha a 0 csak triviálisan áll elő lineáris kombinációjukként, azaz λ 1 a λ n a n 0 csak úgy fordulhat elő, ha λ 1... λ n 0 Az a 1,..., a n vektorok lineárisan függőek, ha a 0 nem csak triviálisan áll elő lineáris kombinációjukként, azaz ( λ 1,..., λ n R)(( i : λ i 0) és (λ 1 x λ n x n 0)). Példa. 1. Egyetlen u vektor lineárisan független ha nem a nullvektor. 2. Két vektor akkor és csak akkor független, ha az egyik nem skalárszorosa a másiknak. (!! három esetén ez már nem igaz!!) 3. Síkban tetszőleges három vektor összefüggő. 4. x 2 + 5x, x 2 + 2x, 3x 2 + 4, 6x 2 + 9x + 4 összefüggőek mind a valós, mind a racionális számok felett: 1 (x 2 + 5x) + 2 (x 2 + 2x) + 1 (3x 2 + 4) (6x 2 + 9x + 4). 5. Az összefüggőség változhat attól függően, hogy melyik test feletti vektortérből valóknak tekintjük a vektorokat. Például, x 2 és 2x 2 függetlenek a racionális számtest felett tekintve a polinomokat, de összefüggőek ha a valós számtest felett tekintjük a polinomok vektorterét. Tétel. I. Ha egy legalább kételemű lineárisan független rendszerből elhagyunk egy tetszőleges elemet, akkor a maradék vektorok is lineárisan független rendszert alkotnak. II. Ha egy lineárisan összefüggő rendszerhez egy tetszőleges vektort hozzáveszünk, akkor újra összefüggő rendszert kapunk. III. Egy legalább kételemű vektor rendszer akkor és csak akkor összefüggő, ha van benne olyan vektor, amely előáll a többi lineáris kominációjaként. IV. Ha u 1,..., u m lineárisan független, de az u m+1 hozzávételével kapott rendszer összefüggő, akkor u m+1 előáll az u 1,..., u m vektorok lineáris kombinációjaként. V. Tegyük fel, hogy valamely v előáll az u 1,..., u m vektorok lineáris kombinációjaként. Ez az előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha u 1,..., u m lineárisan függetlenek.

4 4 Bizonyítás. Vegyük észre, hogy I. és II. ekvivalensek (kontrapozíció)! II.-t láthatjuk, ha az összefüggő rendszer nem triviális nullvektort adó lineáris kombinációjához a hozzáadott vektort 0 együtthatóval vesszük hozzá. III. A nem triviális lineáris kombinációban nem 0 együtthatóval szereplő vektor könnyen láthatóan kifejezhető a többi kombinációjaként. IV. Vegyük észre, hogy a kibővített rendszerben az u m+1 vektor nem nulla együtthatóval kell szerepeljen egy olyan nemtriviális lineáris kombinációbanm, ami a 0-t állítja elő. V. Ha u 1,..., u m vektorok összefüggőek, akkor v kifejezéséhez tetszőleges nullvektort adó nem triviális lineáris kombinációjuk hozzáadható, így a kifejezés nem egyértelmű. Ha viszont van legalább két különböző kifejezés v-re, akkor ezek különbsége egy nem triviális lineáris kombináció, ami a nullvektort adja. Bázis Definíció. Bázison egy lineárisan független generátorrendszert értünk. Tétel. Egy u 1,..., u m generátorrrendszer akkor és csak akkor bázis, ha a vektortér minden eleme egyértelműen áll elő az u 1,..., u m vektorok lineáris kombinációjaként. Csak véges bázisokat tekintünk!!! Az R n vektortér standard bázisa az Speciálisan R 3 -ben e 1 (1, 0,..., 0), e 2 (0, 1, 0,..., 0),..., e n (0,..., 0, 1). e 1 (1, 0, 0), e 2 (0, 1, 0), e 3 (0, 0, 1). Nyilvánvaló, hogy tetszőleges a (a 1,..., a n ) R 3 vektor előáll a a 1 e 1 + +a n e n alakban, tehát az a vektor komponensei a standard bázissal történő előállításban szereplő együtthatók. Elemi bázistranszformáció Tétel. Legyen f 1 a V vektortér egy bázisa, továbbá egy adott vektor. Ha valamely k-ra 0, akkor az g γ i f i f 1, g, f k+1 is bázis. Ha ekkor egy tetszőleges vektor, akkor az új bázisban (δ i δ kγ i )f γ i + δ k g. k Bizonyítás. A g n γ if i összefüggésből kifejezhetjük f k -t, mivel 0: f k γ i f i + 1 g. Ebből + δ k f k + δ k γ i f γ i + 1 g k (δ i δ kγ i )f i + δ k g.

5 5 Tehát igaz a fenti előállításról szóló képlet. Ezzel azt is igazoltuk, hogy f 1, g, f k+1 generátorrendszer. Függetlenség: f 1, f k, f k+1 független, így f 1, f k+1 is független. Mivel g előállításában szerepelt f k, ezért g nem áll elő f 1, f k+1 lineáris kombinációjaként. Tehát g-t hozzávéve is független marad a rendszer. Vegyük észre, hogy ha a g és x oszlopvektorokat egymás mellé írva egy mátrixok alkotunk, akkor a vektorok új bázishoz tartozó együtthatóit úgy kapjuk, ha a Jordan-eliminációnál leírt átalakítást hajtjuk végre a generálóelemmel. (δ i δ kγ i )f i + δ k g. γ i δ k δ i Bázistranszformáció Tétel. Ha f 1 a V vektortér egy bázisa, g 1 (k n) pedig lineárisan függgetlen vektorok, akkor az f 1 vektorokból k darabot rendre a g 1 vektorokkal helyettesítve a V vektortér egy másik bázisát kapjuk. Bizonyítás. Csak azt kell igazolni, hogy ha már néhány darabot becseréltem a g i -k közül, akkor a következő is becserélhető úgy, hogy továbbra is bázist alkossanak. Ez azért igaz, mert ha éppen g s -t szeretném becserélni, akkor az aktuális bázisvektorokkal való előállításában szerepelnie kell az g i -ken kívül egy f j -nek is nemnulla együtthatóval, hiszen g 1 független rendszer, így g 1,..., g s is független rendszer, nem állhat elő egyikük sem a többi lineáris kombinációjaként. Ekkor pedig az előző tétel szerint g s becserélhető f j helyére. Bázisok elemszáma Következmény. Ha f 1 egy bázis, g 1 egy független rendszer, akkor k n. Bizonyítás. Ha k > n lenne, akkor n csere után azt kapnánk, hogy g 1,..., g n is bázis, tehát g k előáll g 1,..., g n -ből, ami ellentmond g 1 függetlenségének. Tehát k n teljesül. Következmény. 1. Egy vektortérben minden bázis elemszáma egyenlő. 2. Egy vektortér bármely véges generátorrendszere tartalmaz bázist. 3. Ha egy V vektortérnek van véges generátorrendszere, akkor bármely lineárisan független rendszer kiegészíthető bázissá. Bizonyítás. (1) Mivel a bázisok speciális független rendszerek, az előzőekből már következik. (2) Ha a generátorrendszer független, akkor bázis is. Ha nem, van olyan eleme, ami kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként. Könnyen látható, hogy ezt elhagyva, újra generátorrendszert kapunk. (3) Vegyünk egy bázist(2), és cseréljük be a független rendszer elemeit a bázisba. Ha marad még az eredeti bázisvektorokból: azok egészítik ki bázissá a független rendszert. Dimenzió Definíció. Egy vektortér dimenziója bázisainak elemszáma. Ha a vektortérnek nincs véges generátorrendszere, akkor a dimenziója végtelen. A {0} tér dimenziója 0. Jelölés: dim V. A sík vektorainak dimenziója 2, a "közönséges tér" dimenziója 3. Nyilvánvaló, hogy az R n vektortér n-dimenziós (standard bázis n elemű). Tétel. Legyen V nem nulla vektortér, n pozitív egész. Az alábbiak ekvivalensek:

6 6 1. dim V n; 2. V -ben található n független vektor, de bármely n + 1 összefügg; 3. V -ben található n elemű generátorrendszer, de n 1 elemű nem. Bizonyítás. HF. Altér dimenziója Tétel. Legyen n pozitív egész és legyen dim V n. Ekkor V -ben bármely n elemű {független rendszer, generátorrendszer} bázist alkot. Tétel. I. Legyen W altér V -ben. Ekkor dim W dim V. II. Ha V véges dimenziós, W altér V -ben és dimw dimv, akkor W V. Bizonyítás. Kulcs: W -beli független rendszer V -ben is független. Ellenőrző kérdések 1. Vektortéraxiómák 2. Milyen zártsági feltételekkel jellemezhető egy altér? 3. Generátorrendszer, függetlenség, bázis, dimenzió definíciója. 4. Mikor egyértelmű a lineáris kombinációként való előállítás? 5. Mit értünk elemi bázistranszformáción, és mikor végezhető el? (Válasz: A bázis egyik vektorát kicseréljük egy új vektorra. Akkor végezhető el, ha az új vektor előállításában nemnulla együtthatóval szerepel az a bázisvektor, amit le akarunk cserélni.) 6. Hogy kapunk bázist generátorrendszerből, és hogyan független rendszerből? 7. Mit értünk azon, hogy a bázis minimális generátorrendszer illetve maximális független rendszer?