A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok
|
|
- Lőrinc Szabó
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február 23. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
2 Tartalom 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
3 Vektor 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
4 Vektor 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r A 2- és 3-dimenziós tér vektorai 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
5 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Szabad vektor Ha az irányított szakasz a hal, a vektor a halraj. Ekvivalencia reláció: két irányított szakasz ekvivalens, ha egyik a másikba tolható. A vektorok az ekvivalenciaosztályok. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
6 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Origó A közös kezd pont P OP O A pontok és a vektorok közt kölcsönösen egyértelm megfeleltetés: egy P pontnak az OP vektor felel meg, az origónak a nullvektor. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
7 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorm veletek O a a a + b b b O a a a + b b b a 1a 2a ( 1)a 0a = 0 Tétel (A vektorm veletek tulajdonságai) Ha a, b és c a 2- vagy 3-dimenziós tér tetsz leges vektorai, 0 a zérusvektor és r, s két tetsz leges valós szám, akkor fönnállnak az alábbi azonosságok: a) a + b = b + a e) r(sa) = (rs)a b) (a + b) + c = a + (b + c) f) r(a + b) = r a + r b c) a + 0 = a g) (r + s)a = r a + sa d) a + ( a) = 0 h) 1a = a és 0a = 0 E tulajdonságok vezetnek a vektortér általános fogalmához. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
8 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Lineáris kombináció Deníció (Lineáris kombináció) Az a1, a2,..., a k vektorok lineáris kombinációján egy c1a1 + c2a c k a k alakú vektort értünk, ahol c1, c2,..., c k valós számok. Azt mondjuk, hogy a v vektor el áll az a1, a2,..., a k vektorok lineáris kombinációjaként, ha vannak olyan c1, c2,..., c k valós számok, hogy v = c1a c k a k. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
9 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok lineáris függetlensége, lineáris összefügg sége Deníció (Vektorok függetlensége) Azt mondjuk, hogy egy v vektor lineárisan független az a1, a2,... a n (n 1) vektoroktól, ha v nem fejezhet ki e vektorok lineáris kombinációjaként. Azt mondjuk, hogy az a1, a2,... a n (n 2) vektorok lineárisan függetlenek ha e vektorok egyike sem fejezhet ki a többi lineáris kombinációjaként. Ha legalább egyikük kifejezhet a többi lineáris kombinációjaként, azaz legalább egyikük lineárisan függ a többit l, akkor e vektorokat lineárisan összefügg knek nevezzük. Az egyetlen vektorból álló vektorrendszert lineárisan függetlennek tekintjük, ha a vektor nem a zérusvektor. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
10 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai v A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
11 Vektor 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Vektorok koordinátás alakban 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
12 Vektor Vektorok koordinátás alakban Vektorok koordinátái ( 2, 0) e2 e2 (2, 1) (2, 2) e1 e1 ( 1, 1) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
13 Vektor Vektorok koordinátás alakban Pontok koordinátái O e2 e1 ( 2, 0) e2 (2, 1) ( 1, 1) O e1 (2, 2) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
14 Vektor 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra R n A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
15 Vektor R n Vektorok összeadása és skalárral szorzása R n -ben Deníció Legyen c R egy tetsz leges valós, u = (u1, u2,..., u n ) és v = (v1, v2,..., v n ) az R n tér két tetsz leges vektora. E két vektor összegét és egyikük c-szeresét a következ képletekkel deniáljuk: u + v = (u1 + v1, u2 + v2,..., u n + v n ) cu = (cu1, cu2,..., cu n ). A vektorok tulajdonságai érvényben maradnak! A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
16 Vektor R n A négydimenziós kocka ábrázolása a síkban 1D: 2D: 3D: 4D: A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
17 Vektor R n Lineáris függetlenség Tétel (Lineáris függetlenség) Tetsz leges R n -beli V = { v1, v2,..., v k } vektorrendszerre az alábbi két állítás ekvivalens: 1. V lineárisan független, azaz k > 1 esetén egyik vektora sem fejezhet ki a többi lineáris kombinációjaként, k = 1 esetén pedig a vektor nem a zérusvektor. 2. A zérusvektor csak egyféleképp a triviális módon áll el V lineáris kombinációjaként. Másként fogalmazva, a c1, c2,...,c k skalárokkal vett lineáris kombináció csak akkor lehet a nullvektor, azaz c1v1 + c2v c k v k = 0 csak akkor állhat fenn, ha c1 = c2 =... = c k = 0. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
18 Vektor R n Lineáris függetlenség Bizonyítás Ha a vektorrendszer csak egy vektorból áll, akkor valóban, pontosan akkor lineáris független, azaz pontosan akkor nem a nullvektor, ha a cv = 0 csak c = 0 esetén állhat fenn. ( =) Tfh valamelyik vektor például a v1 kifejezhet a többi lineáris kombinációjaként, azaz v1 = d2v d k v k, vagyis átrendezés után ( 1)v1 + d2v d k v k = 0. Mivel v1 együtthatója nem 0, így el tudtuk állítani a nullvektort olyan lineáris kombinációként, melyben nem minden együttható 0. (= ) Ha van olyan nem csupa 0 együtthatójú lineáris kombináció, mely a nullvektorral egyenl, azaz c1v1 + c2v c k v k = 0, de valamelyik együttható például a c1 nem 0, akkor v1 kifejezhet a többi vektor lineáris kombinációjaként: v1 = c 2 c1 v 2... c k c1 v k. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
19 Algebrai struktúrák 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
20 Algebrai struktúrák 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
21 Algebrai struktúrák Test és gy r Test számolunk, mint a valós számokkal D Egy legalább kételem F halmazt testnek (algebrai testnek) nevezünk, ha 1. értelmezve van F elempárjain egy összeadás és egy szorzás nev bináris m velet, 2. az összeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és minden elemnek létezik ellentettje (additív inverze), 3. a szorzás kommutatív, asszociatív, létezik egységelem és a nullelemen kívül minden elemnek létezik multiplikatív inverze (reciproka), 4. az összeadás a szorzásra nézve disztributív. Á a nullelem és az egységelem szükségképpen különböz. Á 0a = a0 = 0. P R, Q, C, Z p (prím modulusú maradékosztályok, más jelölések: F p, GF(p)). A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
22 Algebrai struktúrák Test és gy r Gy r számolunk, mint az egészekkel D Ha a testnél deniált szorzás csak asszociatív, gy r r l, D ha kommutatív is, kommutatív gy r r l, D ha az asszociativitás mellett van egységeleme is, egységelemes gy r r l beszélünk. P Minden test gy r. P Z egységelemes kommutatív gy r, N nem gy r. P A páros számok kommutatív gy r t alkotnak, de ez nem egységelemes. P A Z m egységelemes kommutatív gy r, és pontosan akkor test, ha m prím. P A valós együtthatós polinomok egységelemes kommutatív gy r t alkotnak. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
23 Lineáris egyenletrendszerek 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
24 Lineáris egyenletrendszerek 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Sor- és oszlopmodell 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
25 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Sormodell x + y = 3 x + 2y = 3 x + 2y = 3 x + 2y = 4 az 2x + 4y = 7 és az 2x + 4y = 6 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
26 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Sormodell 3D-ben A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
27 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Oszlopmodell x + y = 3 x + 2y = 4 x + 2y = 3 x + 2y = 3 2x + 4y = 7 és 2x + 4y = 6 [ ] 1 x + 1 [ ] 1 y = 2 [ 3 4 ] [ ] 1 2 x + [ ] 2 y = 4 [ 3 7 ] [ ] 1 2 x + [ ] 2 y = 4 [ ] 3. 6 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
28 Lineáris egyenletrendszerek 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
29 Lineáris egyenletrendszerek Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Alakzat implicit egyenletrendszere Deníció Egy geometriai alakzat egy adott koordinátarendszerre vonatkozó (implicit) egyenletrendszer: a térnek az alakzathoz tartozó pontjai egyszerre minden egyenletét kielégítik, de más pontok nem. Vektoregyenlet: nem a pontok koordinátái, hanem a pontokba mutató vektorok szerepelnek. Álatalános alak: F1(x1, x2,..., x n ) = 0 F1(x) = 0 F2(x1, x2,..., x n ) = 0 F2(x) = 0 illetve.. F m (x1, x2,..., x n ) = 0 F m (x) = 0 ahol (x1, x2,..., x n ) R n a tér egy pontja, és x az oda mutató vektor. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
30 Lineáris egyenletrendszerek Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Alakzat explicit egyenletrendszere Deníció Egy geometriai alakzat egy adott koordinátarendszerre vonatkozó (explicit) egyenletrendszere: az egyenletek bal oldalán a pontok koordinátáit megadó változók, jobb oldalán adott paraméterek függvényei szerepelnek. Általános alakja x1= f1(t1, t2,..., t k ) x2= f2(t1, t2,..., t k ). x n = f n (t1, t2,..., t k ) vagy vektoregyenlet alakban x = f(t1, t2,..., t k ), ahol t i I i R, és f : R k R n függvény. (paraméteres egyenletrendszer) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
31 Lineáris egyenletrendszerek Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Explicit Implicit vektoregyenlet egyenlet(rendszer) Síkban egyenes r = r 0 + tv Ax + By = C pont r = r 0 A 1 x + B 1 y = C 1 A 2 x + B 2 y = C 2 sík r = r 0 + su + tv Ax + By + Cz = D Térben egyenes r = r 0 + tv A 1 x + B 1 y + C 1 z = D 1 A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 pont r = r 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z = D 1 A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 A 3 x + B 3 y + C 3 z = D 3 hipersík??? a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b R n -ben sík r = r 0 + su + tv??? egyenes r = r 0 + tv??? pont r = r 0??? A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
32 Lineáris egyenletrendszerek 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra Lineáris egyenletrendszer és megoldásai A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
33 Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Lineáris egyenletrendszer D Lineáris egyenletrendszer általános alakja a11x1 + a12x a1nx n = b1.... a m1x1 + a m2x a mn x n = b m, (*) ahol x1, x2,... x n az ismeretlenek, a ij együttható, b i konstans tag. Ha mindegyik egyenlet konstans tagja 0, a lineáris egyenletrendszer homogén, ha csak egy is különbözik 0-tól, inhomogén. Lineáris az x és y változókban: ax + y = 2a x 1 a y = 0 3x y = 0 x + 2y = 0 0 = 0 x + y = 1 0 = 2 x + y = 1 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
34 Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás D Lineáris egyenletrendszer megoldása a rendezett (u1, u2,..., u n ) szám-n-es megoldásvektor D megoldáshalmaz (az összes megoldás halmaza) D konzisztensnek (megoldható), inkonzisztens (nem megoldható). m Ha egy egyenletrendszer több egyenletb l áll, mint ahány ismeretlene van, túlhatározottnak nevezzük, míg ha kevesebb egyenletb l áll, alulhatározottnak. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
35 Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Ekvivalens lineáris egyenletrendszerek D Azonos ismeretlenekkel felírt két egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik halmaza azonos. T Egyenletrendszert ekvivalens egyenletrendszerbe visznek át: 1 két egyenlet felcserélése; 2 egy egyenlet nem nulla számmal való szorzása; 3 egy egyenlet konstansszorosának egy másikhoz adása. 4 egy 0 = 0 alakú egyenlet elhagyása (csökkenti az egyenletek számát!) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
36 Lineáris egyenletrendszerek 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Megoldás kiküszöböléssel 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
37 Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel Elemi sorm veletek Egy mátrix sorain végzett alábbi m veleteket elemi sorm veleteknek nevezzük: Sorcsere: két sor cseréje (S i S j : az i-edik és a j-edik sorok cseréje.) Beszorzás: egy sor beszorzása egy nemnulla számmal (cs i : az i-edik sor beszorzása c-vel) Hozzáadás: egy sorhoz egy másik sor konstansszorosának hozzáadása (S i + cs j : a j-edik sor c-szeresének az i-edik sorhoz adása). Hasonlóan deniálhatók az elemi oszlopm veletek (O i O j, co i, O i + co j ). A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
38 Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel Lépcs s alak Deníció Egy mátrix (sor)lépcs s alakú, ha kielégíti a következ két feltételt: a csupa 0-ból álló sorok (ha egyáltalán vannak) a mátrix utolsó sorai; bármely két egymás után következ nem-0 sorban az alsó sor elején (legalább eggyel) több 0 van, mint a fölötte lév sor elején. A nemnulla sorok els zérustól különböz elemét f elemnek, vezérelemnek vagy pivotelemnek hívjuk. Egy f elem oszlopának f oszlop vagy bázisoszlop a neve. A következ mátrixok lépcs s alakúak: [ ] 3 2, 0 4 [ ] 1 0, , A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
39 Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel Gauss-módszer m A Gauss-módszer, -kiküszöbölés vagy -elimináció: lineáris egyenletrendszer megoldása lépcs s alakra hozással (oszloponként haladva). T Bármely test feletti mátrix elemi sorm veletekkel lépcs s alakra hozható. B 1 nulloszlop letakarása 2 sorcsere után a S i a i1 a11 S 1 után a 11 alatt minden elem 0. 4 takarjuk le az els oszlopot és az els sort, és ha nincs több sor, VÉGE, ha van, menjünk a 1 pontra. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
40 Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel Redukált lépcs s alak (rref) D Egy mátrix redukált lépcs s, ha 1 lépcs s alakú; 2 minden f elem egyenl 1-gyel; 3 a f elemek oszlopaiban a f elemeken kívül minden elem 0; Vezéregyes A következ mátrixok redukált lépcs s alakúak: [ ] [ ] ,, , Algoritmus: oszloponként haladva el ször a vezérelemek alatt, majd csak utána az utolsó oszloptól kezdve fölöttük eliminálunk! A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
41 Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel Redukált lépcs s alakra hozás P Hozzuk redukált lépcs s alakra az M1 M S2 S1 S3 2S1 S1 S S2 S2 S1 S3 2S mátrixot! S2 S1 S2 S3+4S2 S1 3S T A redukált lépcs s alak egyértelm Egy test elemeib l képzett minden mátrix redukált lépcs s alakra hozható. Ez az alak egyértelm... A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
42 Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel GaussJordan-módszer /2S S x = S 1 S y = z = 2 S2 1 2 S 3 S1 2S3 Tehát az egyenletrendszer egyetlen megoldása (x, y, z) = (1, 3, 2). A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
43 Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel GaussJordan-módszer végtelen sok megoldás /2S2 S1 S /2 1 3/2 x1 + 2x /2 0 1/2 2 x 4 + x5 = x x 4 = 1 2 (x1, x2, x3, x4, x5) = ( 2 3 2s 3 2 t u, s, t, t, u), 3 x1 2 2s 2 3 t u x2 s x3 x4 = t t = s t u 0 0. x5 u A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
44 Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
45 Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r R n, F n 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
46 Vektortér (light) R n, F n Valós vektortér Egyel re vektoron R n elemeit értjük. Deníció (Vektortér, altér) Vektortéren vektorok olyan nem üres V halmazát értjük, mely zárt a vektorösszeadás és a skalárral szorzás m veletére. Ha U és V két vektortér és U V, akkor azt mondjuk, hogy az U vektortér a V vektortér altere. Jelölése: U V. Az A vektorhalmaz pontosan akkor vektortér, ha az A-beli vektorokból képzett lineáris kombinációk is mind A-ban vannak. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
47 Vektortér (light) R n, F n Valós vektortér, test fölötti vektortér Minden pozitív n egész esetén F n vektortér F fölött. R 2 -ben egy origón átmen egyenes vektorai (az egyenes pontjaiba mutató helyvektorok) alteret alkotnak. R 3 -ben bármely origón átmen sík vagy egyenes vektorai alteret alkotnak. Az R 3 imént felsorolt alterei olyanok, mint az R és az R 2. (Ezt precízen a vektortér absztrakt deníciója és a vektorterek izomorzmusának fogalma fogja tisztázni. Akkor fogjuk igazolni, hogy R n alterei valóban mind olyanok, mint R k, ahol k n.) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
48 Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Alterek 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
49 Vektortér (light) Alterek Alterek tulajdonságai és szemléltetésük U W V W 0 Z = {0} Minden altérnek eleme a nullvektor (bármely altérbeli vektor 0-szorosa is benne van). Minden altérbeli x vektorral együtt annak ellentettje ( 1-szerese), a x vektor is eleme az altérnek. Minden vektortér maga is altér (saját maga altere). Z = {0} a zérustér altér. (NEM nulltér!). Altér altere altér, azaz ha U V, és W U, akkor W V. Alterek metszete altér: U V = W. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
50 Vektortér (light) Alterek Alterek tulajdonságai és szemléltetésük 0 0 Két altér egyesítése csak akkor altér, ha egyik altere a másiknak. Alteret alkotnak-e az alábbi vektorhalmazok R 3 -ben? { (x, y, z) x = y, z = xy }, { (s + 2t, s 1, 2s + t) s, t R }, { (x, y, z) 2x y + z = 0 }, { (x, y, z) x = 2t, y = t, z = t, t R }. Nem. (Pl. (1, 1, 1) benne van, (2, 2, 2) nem.) Nem. Nincs benne a nullvektor. Igen. Az n = (2, 1, 1) normálvektorú sík. (Ha x és y a sík két vektora, azaz n x = 0 és n y = 0, akkor n (x + y) = 0 és n (cx) = 0 is) Igen. A v = (2, 1, 1) vektor skalárszorosai. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
51 Vektortér (light) Alterek Alterek tulajdonságai és szemléltetésük Állítás (Megoldások altere) Egy n-ismeretlenes homogén lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza alteret alkot R n -ben. Deníció (Nulltér) Az A együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak alterét az A mátrix nullterének nevezzük és N (A)-val jelöljük. Határozzuk meg a x 1 x 2 x 3 x 4 x s 3 2 t u = s 1 2 t = s t u mátrix nullterét: + t u 1 A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február /
52 Vektortér (light) Alterek Kifeszített altér Deníció (Kifeszített altér) V vektortér, a v1, v2,... v k V vektorok c1v1 + c2v c k v k alakú lineáris kombinációinak halmazát a v1, v2,..., v k vektorok által kifeszített altérnek nevezzük, és span(v1, v2,..., v k )-val jelöljük. Állítás (A kifeszített altér altér) A v1, v2,..., v k V vektorok által kifeszített span(v1, v2,..., v k ) vektorhalmaz V egy altere. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
53 Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Egyenletrendszer megoldásai 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
54 Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai Az inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásai Tétel (Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldásai) Az inhomogén lineáris [A b] mátrixú egyenletrendszerre: inhomogén általános megoldása = inhomogén egy partikuláris megoldása + homogén általános megoldása x x A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
55 Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai D Az inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza egy altér eltoltja, melyet geometriai nyelven an altereknek nevezünk. R n x0 + N (A) x0 N (A) x x 0 Az inhomogén egyenletrendszer összes megoldása a homogén összes megoldásának azaz N (A)-nak az inhomogén valamelyik megoldásával való eltoltja. Mindegy melyik megoldást választjuk! A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
56 Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai Sortér, oszloptér Deníció (Sortér, oszloptér) Egy mátrix oszlopvektorai által kifeszített alteret oszloptérnek, a sorvektorai által kifeszített alteret sortérnek nevezzük. Az m n-es valós A mátrix sortere R n altere, oszloptere R m altere. Az A sorterét S(A), oszlopterét O(A) jelöli. R n S(A) 0 N (A) R m O(A) 0 R n x 0 y R m 0 b A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
57 Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai Egyenletrendszer megoldhatósága Következmény (Inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldhatósága) Az [A b] mátrixú egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha b el áll az A oszlopainak lineáris kombinációjaként, azaz b benne van az A oszlopterében. A lineáris kombináció együtthatói megegyeznek a megoldásvektor koordinátáival. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
58 Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai A megoldhatóság vizsgálata P Határozzuk meg, hogy a v1 = (1, 0, 1, 2), v2 = ( 1, 2, 2, 1) és v3 = (1, 1, 1, 1) vektorok által kifeszített altérnek eleme-e az u = ( 1, 2, 3, 6) vektor! Adjunk meg egy ezt bizonyító lineáris kombinációt! Mutassuk meg, hogy a w = ( 1, 2, 3, 4) vektor nem eleme az altérnek! x1v1 + x2v2 + x3v3 = u ( = w) megoldását keressük. A szimultán egyenletrendszer mátrixa [v1 v2 v3 u w] amib l (x1, x2, x3) = (3, 2, 2), és w valóban nem áll el lineáris kombinációként, mert a w-t tartalmazó egyenletrendszer ellentmondásos. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
59 Vektortér (light) Egyenletrendszer megoldásai Lineáris függetlenség eldöntése K Tekintsük az A = [ a1 a2... ] a k mátrixot! Az alábbi állítások ekvivalensek: az a 1, a 2,..., a k vektorok lineárisan függetlenek; az A együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszernek a triviálison kívül nincs más megoldása; az A lépcs s alakjának minden oszlopában van f elem, azaz r(a) = k. P Mutassuk meg, hogy a 4-dimenziós (1, 2, 3, 4), (0, 1, 0, 1) és (1, 1, 1, 0) vektorok lineárisan függetlenek. M A vektorokból képzett mátrix és lépcs s alakja ami azt mutatja, hogy a homogén lineáris egyenletrendszernek csak egyetlen megoldása van, azaz az oszlopvektorok lineárisan függetlenek., A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
60 Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Bázis 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
61 Vektortér (light) Bázis Bázis D A V vektortér bázisán olyan vektorrendszert értünk, mely 1. lineárisan független, 2. generátorrendszer (mely kifeszíti V-t). P Az e1 = (1, 0,..., 0), e2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1) vektorokból álló halmazt F n standard bázisának nevezzük. Á A zérustérnek nincs bázisa A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
62 Vektortér (light) Bázis Bázis meghatározása els megoldás Példa (Altér bázisának meghatározása) Határozzuk meg az (1, 1, 0, 2), (2, 3, 3, 2), (1, 2, 3, 0) és (1, 3, 6, 2) vektorok által kifeszített altér egy bázisát! Megoldás Sorvektorokkal: A bázis vektorai (1, 1, 0, 2), (0, 1, 3, 2). A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
63 Vektortér (light) Bázis Bázis meghatározása második megoldás Megoldás oszlopvektorokkal: Tehát az adott négy vektor közül az els kett, azaz az (1, 1, 0, 2) és (2, 3, 3, 2) vektorok bázist alkotnak. Ha a megadott vektorokat más sorrendben írjuk a mátrixba, másik bázist kaphatunk. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
64 Vektortér (light) Bázis Felírás bázisvektorok lineáris kombinációjaként Megoldás a redukált lépcs s alakból: Ennek alapján: = A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
65 Vektortér (light) Bázis Koordinátás alak e bázisban Példa (Vektor koordinátás alakja a B bázisban) Jelölje B = {(1, 1, 0, 2), (2, 3, 3, 2)} a bázist. A redukált lépcs s alak nemzérus soraiból [ ] kapjuk a négy vektor koordinátás alakjait: [ ] [ ] 1 0 v1 =, v2 =, v3 = 0 1 B B [ ] 1, v4 = 1 B [ ] 3. 2 B A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
66 Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r Dimenzió, rang 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
67 Vektortér (light) Dimenzió, rang Bázis és dimenzió Állítás (Bázis ekvivalens deníciói) Legyen U vektortér, és legyen B = {v1, v2,..., v k } U vektorok egy halmaza. A következ állítások ekvivalensek: B lineárisan független vektorokból áll és kifeszíti az U alteret, B minimális méret halmaz, mely kifeszíti U-t; B maximális méret, független vektorokból álló halmaz U-ban. Tétel (Bázis-tétel) Ha a V vektortérnek van n-elem bázisa, akkor minden bázisa n-elem. Deníció (Dimenzió) A V vektortér n-dimenziós, ha van n-elem bázisa. (véges dimenziós vektortér) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
68 Vektortér (light) Dimenzió, rang Mátrix, rang, dimenzió Állítás (Dimenzió = rang) Egy mátrix rangja, sorterének dimenziója és oszlopterének dimenziója megegyezik. (Ebb l következ leg r(a) = r(a T ).) Tétel (Dimenziótétel) Bármely A F m n mátrix esetén a sortér dimenziójának és a nulltér dimenziójának összege n. Képlettel: dim(s(a)) + dim(n (A)) = n. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
69 Vektortér (light) 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér vektorai Vektorok koordinátás alakban R n 2 Algebrai struktúrák Test és gy r 3 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík Lineáris egyenletrendszer és megoldásai Megoldás kiküszöböléssel 4 Vektortér (light) R n, F n Alterek Egyenletrendszer megoldásai Bázis Dimenzió, rang A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
70 Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra Valós mátrixok sor- és nulltere Deníció (Mer leges altér és mer leges kiegészít altér) egy vektortér két altere mer leges, ha bárhogy választva egy vektort az egyik altérb l, és egy másikat a másik altérb l, azok mer legesek egymásra. Egy W altérre mer leges vektorok alterét a W mer leges kiegészít alterének nevezzük és W -pel jelöljük (W perp). Tétel (A lineáris algebra alaptétele) Minden valós mátrix sortere és nulltere mer leges kiegészít alterei egymásnak. K S(A) = N (A), N (A) = S(A). K O(A) = N (A T ). K Minden x vektor egyértelm en el áll egy sortérbe és egy nulltérbe es vektor összegeként. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
71 Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra Kitüntetett alterek N (A) N (A + ) x b ˆx 0 AA + AA + 0 ˆb S(A) O(A) = S(A + ) = S(A T ) A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
72 Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra Valós együtthatós egyenletrendszer megoldásai Tétel (Lineáris egyenletrendszer megoldásai) Minden valós együtthatós megoldható (konzisztens) lineáris egyenletrendszerre igazak a következ állítások: egyetlen megoldása esik az együtthatómátrix sorterébe; a sortérbe es megoldás az összes megoldás közül a legkisebb abszolút érték ; az összes megoldás el áll úgy, hogy a sortérbe es megoldáshoz hozzáadjuk a homogén rész összes megoldását. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
73 Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A sortérbe es megoldás megkeresése Példa (Lineáris egyenletrendszer sortérbe es megoldása) Határozzuk meg az x + y + z + 3u + 2w = 4 x + 2y + z + 5u + 2w = 5 2x + 3y + z + 8u + 3w = 7 2x + 3y + 2z + 8u + 4w = 9 egyenletrendszer minimális abszolút érték megoldását! A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
74 Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A redukált lépcs s alak: = Így a megoldás: (x, y, z, u, w) = (1, 1, 2, 0, 0) + ( 1, 2, 0, 1, 0)u + ( 1, 0, 1, 0, 1)w. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
75 Vektortér (light) A lineáris algebra alaptétele valós mátrixokra A redukált lépcs s alak szerinti egyenletrendszerhez ezt kell adni: Így a kiegészített egyenletrendszer: x 2y + u = 0 x z + w = / = / / /17, /17 tehát a keresett megoldás 1/17( 4, 5, 19, 6, 15). A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok február / 75
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenAlkalmazott algebra. Vektorterek, egyenletrendszerek :15-14:00 EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Vektorterek,
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenMeghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0
Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics
RészletesebbenMer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf81 2018-09-04
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai
Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenLineáris algebra. Wettl Ferenc, BME , 0.2 változat. Tartalomjegyzék. Geometriai szemléltetés. (tömör bevezetés) Az egyenletek szemléltetése
Lineáris algebra (tömör bevezetés) Wettl Ferenc, BME 2007-03-24, 02 változat Tartalomjegyzék Geometriai szemléltetés 1 Az egyenletek szemléltetése 1 Az egyenletrendszer vektoregyenlet alakja 2 Egyenletrendszerek
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMátrixok jellemzése. 4. fejezet Mátrixhoz tartozó alterek
4 fejezet Mátrixok jellemzése Az előző fejezetben megismerkedtünk a mátrixműveletekkel, azok tulajdonságaival Ebben a fejezetben a mátrixok különféle jellemzőit vizsgáljuk, melyek segítségével arról a
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenMatematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA
LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 20160515 Tartalomjegyzék 1 Algebrai struktúrák 5 2 Lineáris tér (vektortér) 13 21 A vektortér fogalma 14 22 Vektorok lineáris függetlensége és függősége 18 23 Generátorrendszer,
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenMatematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA
LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 20160515 Tartalomjegyzék 1 Algebrai struktúrák 5 2 Lineáris tér (vektortér) 13 21 A vektortér fogalma 14 22 Vektorok lineáris függetlensége és függősége 18 23 Generátorrendszer,
RészletesebbenSztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenKódelméleti és kriptográai alkalmazások
Kódelméleti és kriptográai alkalmazások Wettl Ferenc 2015. május 14. Wettl Ferenc Kódelméleti és kriptográai alkalmazások 2015. május 14. 1 / 11 1 Hibajavító kódok 2 Általánosított ReedSolomon-kód Wettl
RészletesebbenLineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebben1 p, c = p 1 és d = 4. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a c és d paraméterek minden értékére. x + 2z = 5 2x y = 8 3x + 6y + cz = d
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok 013. október 4. 1. Írjuk fel a háromdimenziós tér P = (1, 1, 1) és Q = (3, 1, 5) pontjait összeköt szakasz felez mer leges síkjának egyenletét. Hol
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
Részletesebben1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?
1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy
RészletesebbenTartalomjegyzék. II. Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek megoldása Megoldhatóság és a megoldások tere 51
Tartalomjegyzék II Lineáris egyenletrendszerek 11 5 Lineáris egyenletrendszerek megoldása 13 A lineáris egyenletrendszer és két modellje 13 Lineáris egyenlet és egyenletrendszer 13 Ekvivalens lineáris
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebben7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció
7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebben2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.
Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenAlkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Lineáris leképezések
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)
Matematika szigorlat - konzultációs szeminárium Azoknak, akik másodszorra vagy többedszerre veszik fel a Matematika szigorlat (NAMMS1SAND) tárgyat. Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) FŐBB TÉMAKÖRÖK
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
Részletesebben11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal
11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Részletesebben