Mer legesség. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Mer legesség / 40

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40"

Átírás

1 Mer legesség Wettl Ferenc Wettl Ferenc Mer legesség / 40

2 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok Diszkrét Fourier-transzformáció Gyors Fourier-transzformáció Wettl Ferenc Mer legesség / 40

3 Pszeudoinverz A pszeudoinverz fogalma Á A sortér és az oszloptér közt létezik természetes kölcsönösen egyértelm megveleltetés (Ax = b egyetlen sortérbe es megoldása). R n A A + R m S(A) O(A) 0 0 D A R m n pszeudoinverzén vagy MoorePenrose-féle pszeudoinverzén azt az A + -szal jelölt mátrixot értjük, amellyel a sortér minden x vektorára A + (Ax) = x, továbbá az oszloptérre mer leges minden z vektorra A + z = 0. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

4 Pszeudoinverz Néhány pszeudoinverz Á A + = A 1, ha A invertálható, Á O + m n = O n m, Á [a] + = [ 1 /a], ha a 0, és [0] + = [0], Á (A + ) + = A, Á ha a ii 0 (i = 1, 2,..., r), akkor a a a rr O. O O + m n 1 a a = a rr O. O O n m Wettl Ferenc Mer legesség / 40

5 Pszeudoinverz A pszeudoinverz kiszámítása T Ha a valós A teljes oszloprangú, akkor A + = (A T A) 1 A T, ha teljes sorrangú, akkor A + = A T (AA T ) 1. Legyen A = BC, ahol B egy teljes oszloprangú, C egy teljes sorrangú mátrix (ld. bázisfelbontás). Ekkor A + = C + B + = C T (CC T ) 1 (B T B) 1 B T = C T (B T AC T ) 1 B T. B Ha A teljes oszloprangú, akkor R n = S(A), és A T A invertálható: (A T A) 1 A T Ax = x. Meg kell még mutatnunk, hogy ha z N (A T ), vagyis A T z = 0, akkor A + z = 0: (A T A) 1 A T z = (A T A) 1 0 = 0. Ha A teljes sorrangú, akkor O(A) = R m : y-ra Ax = y konzisztens. Jelölje ˆx az egyetlen sortérbe es megoldást, így minden más x megoldásra proj S(A) x = ˆx. A + -ra fenn kell álljon A + y = ˆx: ) proj S(A) x = A T (AA T ) 1 Ax = (A T (AA T ) 1 (Ax) = A + y. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

6 Pszeudoinverz A pszeudoinverz tulajdonságai T MoorePenrose-tétel: A valós A mátrixnak X pontosan akkor pszeudoinverze, ha az alábbi négy feltétel mindegyike fennáll: a) AXA = A, b) XAX = X, c) (AX) T = AX, d) (XA) T = XA. K Tetsz leges A R m n mátrix esetén A + A = proj S(A) és AA + = proj O(A). Tehát A + A az R n teret mer legesen vetíti A sorterére, míg AA + az R m teret mer leges vetíti A oszlopterére. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

7 Pszeudoinverz A pszeudoinverz és a min. absz. érték opt. megoldás T Legyen A egy valós mátrix. Az Ax = b egyenletrendszernek az ˆx = A + b a minimális abszolút érték optimális megoldása. P Határozzuk meg a minimális abszolút érték optimális megoldását! y + z = 3 x + y + 2z = 2 x + y = 2 M Az egyenletrendszer nem oldható meg: ] [ [ Ezt felhasználva a minimális abszolút érték optimális megoldás ˆx = A + b = 1 [ ] [ ] [ ] = Wettl Ferenc Mer legesség / 40 2 ] 1

8 Ortonormált bázis ortogonális mátrix Ortogonális és ortonormált bázis D OR (ortogonális rendszer, lehet köztük zérusvektor), ONR (ortonormált rendszer T Ha a nullvektortól különböz a 1, a 2,..., a k vektorok páronként ortogonálisak, akkor függetlenek is. B Tekintsük a c 1 a c k a k = 0 egyenletet. Szorozzuk be az egyenl ség mindkét oldalát a i -vel (i = 1, 2,..., k): (c 1 a 1 + c 2 a c k a k ) a i = 0 a i c i a i a i = 0. Mivel a i a i 0, ezért c i = 0, és ez igaz minden i-re. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

9 Ortonormált bázis ortogonális mátrix Ortogonális és ortonormált bázis T Legjobb közelítés ONB esetén Adva van a V vektortérben egy {e 1, e 2,..., e k } ortonormált rendszer által kifeszített A altér, valamint egy v vektor. Ekkor a ˆv = (v e 1 )e 1 + (v e 2 )e (v e k )e k (1) vektor az A altér v-hez legközelebb fekv pontja, azaz ˆv = proj A v. B Megmutatjuk, hogy az (1) szerinti pont van legközelebb v-hez: ( ) 2 k k (v ˆv) 2 = v (v e i )e i = v 2 (v e i ) 2. i=1 v és az altér egy tetsz leges u vektorának távolságnégyzete: ( ) 2 k k k (v u) 2 = v c i e i = v 2 2 c i (v e i ) + ci 2. i=1 i=1 i=1 i=1 Wettl Ferenc Mer legesség / 40

10 Ortonormált bázis ortogonális mátrix Ortogonális és ortonormált bázis A különbségük pozitív, tehát valóban ˆv van v-hez legközelebb: (v u) 2 (v ˆv) 2 ( k = v 2 2 c i (v e i ) + = = i=1 i=1 k i=1 k k ci 2 2 c i (v e i ) + c 2 i i=1 i=1 k (c i v e i ) 2 0. i=1 ) ( k (v e i ) 2 v 2 ) k (v e i ) 2 Ebb l a legjobb közelítés tétele szerint kapjuk, hogy ˆv = proj A v. i=1 Wettl Ferenc Mer legesség / 40

11 Ortonormált bázis ortogonális mátrix Ortogonális mátrixok D Egy valós négyzetes mátrix ortogonális, ha oszlopvektorai vagy sorvektorai ONR-t alkotnak. Ha nem kötjük ki, hogy négyzetes legyen, szemiortogonális mátrixról beszélünk. P A forgatás, tükrözés mátrixa, és minden permutációmátrix ortogonális. T Legyen m n és Q R m n. Ekkor Q szemiortogonális Q T Q = I n (m n esetén QQ T = I n ) B sorvektorszor oszlopvektor T Legyen Q R n n. Az alábbi állítások ekvivalensek: Q oszlopvektorai ortonormált rendszert alkotnak. Q T Q = I n. Q 1 = Q T. QQ T = I n. Q sorvektorai ortonormált rendszert alkotnak. Á det(q) = 1, O(n) és SO(n) zárt a szorzásra és invertálásra nézve. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

12 Ortonormált bázis ortogonális mátrix Ortogonális mátrixok geometriája T Ortogonális mátrixhoz tartozó mátrixleképezés Legyen Q R n n. Az alábbi állítások ekvivalensek: a) Q ortogonális. b) Qx = x minden x R n vektorra. c) Qx Qy = x y minden x, y R n vektorra. B a) b): Ha Q ortogonális, akkor Q T Q = I, így tetsz leges x R n vektorra Qx 2 = Qx Qx = (Qx) T (Qx) = x T Q T Qx = x T x = x 2. b) c): A skalárszorzás abszolút értékkel való kifejezéséb l: Qx Qy = 1 ( Qx + Qy 2 Qx Qy 4 2) = 1 ( Q(x + y) 2 Q(x y) 4 = 1 ( x + y 2 x y 4 2) = x y c) a): A Q mátrix i-edik oszlopa q i = Qe i { 0, ha i j, q i q j = Qe i Qe j = e i e j = 1, ha i = j. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

13 Ortonormált bázis ortogonális mátrix A 2- és 3-dimenziós tér ortogonális transzformációi T Minden O(2)-be es ortogonális mátrix vagy egy α szög forgatás, vagy egy α/2 szög egyenesre való tükrözés mátrixa, azaz [ ] [ ] cos α sin α cos α sin α vagy sin α cos α sin α cos α T A harmadrend 1 determinánsú ortogonális transzformációk a forgatások, a 1 determinánsúak, azaz O(3) SO(3) elemei egy tükrözés és egy forgatás egymás utáni alkalmazásával megkaphatók. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

14 Ortonormált bázis ortogonális mátrix Givens-forgatás D Givens-forgatás: forgatás, mely egy koordinátasík vektorain kívül minden más vektort helyben hagy. Az i-edik és j-edik koordinátákra: G = cos α... sin α sin α... cos α M E forgatással elérhet például, hogy egy x vektort egy olyan vektorba forgassunk, melynek j-edik koordinátája 0. Csak az i-edik és j-edik sorokat és oszlopokat kiemelve [ ] [ ] [ cos α sin α a r = r = sin α cos α b 0] a 2 + b 2, cos α = a r, sin α = b r. Wettl Ferenc Mer legesség / 40.

15 Ortonormált bázis ortogonális mátrix Householder-tükrözés D Householder-tükrözés: Egy adott a 0 vektorra mer leges hipersíkra való tükrözést Householder-tükrözésnek nevezzük. Mátrixa H = I 2 a T a aat T Ha a és b két különböz, de azonos hosszúságú vektor R n -ben, akkor az (a b) hipersíkra való H-tükrözés a-t és b-t fölcseréli. B Megmutatjuk, hogy Ha = b és Hb = a, ahol 2 H = I (a b) T (a b) (a b)(a b)t. (a b) T (a b) = a T a a T b b T a+b T b = 2(a T a b T a) = 2(a b) T a. 2 Ha = a (a b) T (a b) (a b)(a b)t a 1 = a (a b) T a (a b)t a(a b) = a (a b) = b. Mivel H 1 = H, ezért Hb = H 1 b = a. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

16 Ortonormált bázis ortogonális mátrix GramSchmidt-ortogonalizáció T GramSchmidt-ortogonalizáció Ha A = {a 1, a 2,..., a k } egy független vektorrendszer, akkor létezik olyan ortogonális V = {v 1, v 2,..., v k } vektorrendszer, hogy minden i = 1, 2,..., k esetén span(a 1, a 2,..., a i ) = span(v 1, v 2,..., v i ). (2) Az ortogonális V rendszerb l a vektorok normálásával kapott { } v1 v 1, v 2 v 2,..., v k v k rendszer ortonormált. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

17 Ortonormált bázis ortogonális mátrix GramSchmidt-ortogonalizáció B v 1 = a 1 span(a 1 ) = span(v 1 ). A span(a 1, a 2 ) = span(v 1, v 2 ) teljesüléséhez: ( ) v1 v 2 = a 2 a 2 v 1 v 1 v 1 = a 2 a 2 v 1 v 1 v 1 v 1 E vektor nem 0-vektor, hisz v 2 = 0 esetén a 2 = a 2 v1 v1 v1 v 1 = a 2 v1 v1 v1 a 1 lenne, azaz a 1 és a 2 nem lenne független. span(a 1, a 2 ) = span(v 1, v 2 )... kiszámoljuk az a i+1 vektornak a span( v 1 v1, v 2 v2,..., v i v i ) altérre mer leges összetev jét, ez lesz v i+1 v i+1 = a i+1 a i+1 v 1 v 1 a i+1 v 2 v 2 a i+1 v i v i v 1 v 1 v 2 v 2 v i v i v i+1 0, különben A nem volna független. v i+1 kifejezhet az a 1, a 2,..., a i+1 vektorok lineáris kombinációjaként, és a i+1 kifejezhet az v 1, v 2,..., v i+1 vektorok lineáris kombinációjaként. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

18 Ortonormált bázis ortogonális mátrix GramSchmidt-ortogonalizáció P Keressünk ortonormált bázist az (1, 1, 1, 1), (3, 1, 3, 1), (6, 2, 2, 2) vektorok által kifeszített altérben. M El ször keressünk egy ortogonális bázist: v 1 = (1, 1, 1, 1) (3, 1, 3, 1) (1, 1, 1, 1) v 2 = (3, 1, 3, 1) (1, 1, 1, 1) = (2, 2, 2, 2) (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1) (6, 2, 2, 2) (1, 1, 1, 1) v 3 = (6, 2, 2, 2) (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1) (6, 2, 2, 2) (2, 2, 2, 2) (2, 2, 2, 2) = (2, 2, 2, 2) (2, 2, 2, 2) (2, 2, 2, 2) Végül az ortonormált bázis: {( 1 2, 1 2, 1 2 2), 1 ( 1, 2, 1 2, 1 ( 1 2 2), 1, 2, 1 2, 1 2 2)}, 1 Wettl Ferenc Mer legesség / 40

19 Ortonormált bázis ortogonális mátrix A QR-felbontás D Legyen A egy teljes oszloprangú mátrix. Az A = QR felbontást QR-felbontásnak vagy redukált QR-felbontásnak nevezzük, ha Q az A-val azonos méret szemiortogonális mátrix, és R négyzetes fels háromszögmátrix, f átlójában pozitív elemekkel. T Teljes oszloprangú valós mátrix QR-felbontása létezik és egyértelm. A Q mátrixot ortonormált oszlopvektorok hozzávételével kiegészíthetjük egy ortogonális mátrixszá, az R mátrixot pedig zérussorok hozzávételével egy m n-es fels háromszögmátrixszá, akkor e mátrixok szorzata is A, ugyanis A = [ ] [ ] R Q ˆQ = QR + ˆQO = QR O Ezt nevezzük teljes QR-felbontásnak. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

20 Ortonormált bázis ortogonális mátrix A QR létezése a GramSchmidt-ortogonalizációs eljárásból: A = [a 1 a 2... a k ] R n k teljes oszloprangú (k n), a q-vektorokra: span(a 1,..., a i ) = span(q 1,..., q i ) minden i = 1, 2,..., k értékre, ezért léteznek olyan r ij skalárok, hogy a 1 = r 11 q 1 a 2 = r 12 q 1 + r 22 q 2. a k = r 1k q 1 + r 2k q r kk q k. Ezt mátrixszorzat-alakba írva épp a kívánt felbontást kapjuk: r 11 r r 1k 0 r A = [a 1 a 2... a k ] = [q 1 q 2... q k ] r 2k = QR r kk A GramSchmidt-eljárásból az is látható, hogy r ii = v i, tehát r ii > 0. R kiszámítása: Q T A = Q T QR = I k R = R, tehát R = Q T A. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

21 Ortonormált bázis ortogonális mátrix QR-felbontás primitív ortogonális transzformációkkal P QR-felbontását Givens-forgatásokkal: A = M a = 4, b = 3, tehát r = = 5, cos α = 4 /5, sin α = 3 /5 ] ] Q 1 = [ 4 /5 3/5 0 3 /5 4/ Q 1 A = [ Következ lépésben a Q 1 A mátrix harmadik sorának második elemét elimináljuk: ] ] Q 2 = [ /13 12/13. R = Q 2 Q 1 A = 0 12 /13 5/ [ és innen [ 4 ] /5 3 /13 36/65 Q = (Q 2 Q 1 ) 1 = Q T 1 QT 2 = 3/5 4/13 48 /65, 0 12/13 5/13 Wettl Ferenc Mer legesség / 40.

22 Ortonormált bázis ortogonális mátrix QR-felbontás primitív ortogonális transzformációkkal A = Q 1A = 0 0 Q 2Q1A = Q 3Q2Q1A = Q1 = H1 Q2 = 0 0 H2 Q3 = H3 Wettl Ferenc Mer legesség / 40

23 Ortonormált bázis ortogonális mátrix P QR-felbontását Householder-módszerrel: A = M (1, 2, 2) (3, 0, 0) trafóhoz a = (1, 2, 2) (3, 0, 0) = ( 2, 2, 2) Q 1 = I 3 2aaT a T a = = , Q 1 A = (4, 3) (5, 0) transzformációh a = (4, 3) (5, 0) = ( 1, 3) H 2 = I 2 2 Q 2 = a T a aat = /5 3/5 0 3/5 4 /5 [ Q = (Q 2 Q 1 ) 1 = Q T 1 QT 2 = 1 ] 1 5 [ , R = Q 2 Q 1 A = 15 ] = [ ] Wettl Ferenc Mer legesség / 40

24 Ortonormált bázis ortogonális mátrix Egyenletrendszer optimális megoldása QR-felbontással T Legyen A egy teljes oszloprangú m n-es valós mátrix, A = QR egy QR-felbontása, és b egy R m -beli vektor. Ekkor az Ax = b egyenletrendszer egyetlen optimális megoldása ˆx = R 1 Q T b, ami megkapható az Rˆx = Q T b egyenletrendszerb l egyszer visszahelyettesítéssel is. B Optimális megoldás a normálegyenletb l: A T Aˆx = A T b A = QR behelyettesítése után (QR) T QRˆx = (QR) T b R T Q T QRˆx = R T Q T b R T Rˆx = R T Q T b Rˆx = Q T b. Q T Q = I balról szorzás az (R T ) 1 mátrixszal Wettl Ferenc Mer legesség / 40

25 Komplex és véges test feletti terek Komplex vektorok skaláris szorzata? komplex számok skaláris szorzata D lehet ségek: (1, i) (1, i)? = 1 1 = 0 (i, i) (i, i)? = 1 1 = 2 z w = z 1 w 1 + z 2 w z n w n, vagy z w = z 1 w 1 + z 2 w z n w n. D Az A komplex mátrix adjungáltján (vagy Hermite-féle transzponáltján) elemenkénti konjugáltjának transzponáltját értjük. Az A adjungáltját A, vagy Hermite neve után A H jelöli, tehát A H = A T. D z w = z 1 w 1 + z 2 w z n w n = z H w. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

26 Komplex és véges test feletti terek Adjungált és a skaláris szorzás tulajdonságai T Legyenek A és B komplex mátrixok, c komplex szám. Ekkor (A H ) H = A, (A + B) H = A H + B H, (ca) H = ca H (AB) H = B H A H. T Legyen u, v, w C n, és legyen c C. Ekkor u v = v u u (v + w) = u v + u w, (cu) v = c(u v) és u (cv) = c(u v), u u > 0, ha u 0, és u u = 0, ha u = 0. D A komplex skaláris szorzás segítségével a valós esethez hasonlóan deniálható a komplex vektorok távolsága és szöge, és így a mer legessége is. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

27 Komplex és véges test feletti terek Önadjungált Hermite-féle mátrixok D A önadjungált, ha A H = A. P Melyik önadjungált? 1 i 1 + i i 2 2 3i, 1 i 2 + 3i 3 az els kett [ ] 1 2, 2 3 [ ] i 1 + i, 1 i 1 [ 1 ] 1 + i 1 + i 2 Wettl Ferenc Mer legesség / 40

28 Komplex és véges test feletti terek Unitér mátrixok D Egy komplex négyzetes U mátrix unitér, ha U H U = I. Á Az alábbiak ekvivalensek: UU H = I, U 1 = U H, U oszlopvektorai ortonormált bázist alkotnak a komplex skalárszorzásra nézve, U sorvektorai ortonormált bázist alkotnak a komplex skalárszorzásra nézve, Ux = x minden x C n vektorra, Ux Uy = x y. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

29 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok M A Fourier-sorok komplex alakja, és részletösszegei (diszkrét Fourier-összeg): n= c n e nit g(t) = N 1 n=0 c n e nit = c 0 +c 1 e it +c 1 e 2it + +c N 1 e (N 1)it Á A (c 0, c 1,..., c N 1 ) (g(0), g( 2π 2(N 1)π ),..., )) leképezés lineáris, N N 2πi és mátrixa mn [e N ] (0 m, n < N). Wettl Ferenc Mer legesség / 40

30 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok P A ε = e 2πi 3 jelöléssel y 0 = c 0 + c 1 e i0 + c 2 e 2i0 = c 0 + c 1 + c 2 y 1 = c 0 + c 1 e 2πi 3 + c 2 e 4πi 3 = c 0 + c 1 ε + c 2 ε 2 y 2 = c 0 + c 1 e 4πi 3 + c 2 e 8πi 3 = c 0 + c 1 ε 2 + c 2 ε 4 a (c 0, c 1, c 2 ) (y 0, y 1, y 2 ) leképezés lineáris, mátrixszorzatos alakja: y c 0 y 1 = 1 ε ε 2 c 1 y 2 1 ε 2 ε 4 c 2 Wettl Ferenc Mer legesség / 40

31 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok Általánosan: y 0 = c 0 + c 1 e i0 + c 2 e 2i0 + + c N 1 e (N 1)i0 = c 0 + c c N 1 y 1 = c 0 + c 1 e 2πi N. y N 1 = c 0 + c 1 e 2πi(N 1) N + c 2 e 4πi N + + c N 1 e 2(N 1)πi N + c 2 e 4πi(N 1) N + + c N 1 e 2πi(N 1)2 N Az ε = /N e2πi jelöléssel mátrixszorzat-alakban y 0 y 1. =. y N ε ε 2 ε 3 ε N 1 1 ε 2 ε 4 ε 6 ε 2(N 1) 1 ε 3 ε 6 ε 9 ε 3(N 1) ε N 1 ε 2(N 1) ε 3(N 1) ε (N 1)2. c 0 c 1. c N 1 Wettl Ferenc Mer legesség / 40

32 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok D Fourier-mátrixok: az ε = /N e2πi, ω = ε = 2πi /N e jelölésekkel: ε... ε N 1 Φ N,ε = V N (1, ε, ε 2,..., ε N 1 ) = ε N 1... ε (N 1) ω... ω N 1 Φ N,ω = V N (1, ω,..., ω N 1 ) = ω N 1... ω (N 1)2 T A Fourier-mátrixok tulajdonságai: Bármelyik Fourier-mátrix k-adik és N k-adik sora egymás konjugáltja, páros N esetén pedig az N /2-edik sorvektor (1, 1, 1, 1,... ). Φ N,ω = Φ N,ε = Φ H N,ε és Φ N,ε = Φ N,ω = Φ H N,ω Φ N,ε Φ N,ω = NI N, így Φ N,ε és Φ N,ω invertálható, továbbá 1 N Φ N,ε és Φ 1 N,ε = 1 N Φ N,ω, Φ 1 N,ω = 1 N Φ N,ε, 1 N Φ N,ω unitér. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

33 Diszkrét Fourier-transzformált Diszkrét Fourier-transzformáció M A továbbiakban f (t) = 1 N N 1 n=0 c n e nit függvényb l indulunk ki, a megadott helyek a [0, 2π] intervallumot N részre osztó 2kπ /N (k = 0, 1,..., N 1) pontok. A F N : (c 0, c 1,..., c N 1 ) (y 0, y 1,..., y N 1 ) F N = Φ N,ω, amelyre a továbbiakban az D Diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) Az F N : C N C N : x X = F N x Wettl Ferenc Mer legesség / 40

34 Diszkrét Fourier-transzformált Diszkrét Fourier-transzformáció P Az F 1, F 2, F 4 és F 8 mátrixok: [ ] F 1 = [1], F 2 =, F = 1 i 1 i , 1 i 1 i i 1 i 1+i 1+i 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1+i 1+i 1 i 1 i F 8 = i 1+i 1 i 1 i 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i 1+i 1 i 1 i 2 1+i 2 1 i 2 1 i 2 Wettl Ferenc Mer legesség / 40

35 Diszkrét Fourier-transzformált Diszkrét Fourier-transzformáció T A DFT tulajdonságai Konstans vektor képe impulzusvektor (melynek a nulladikat kivéve mindegyik koordinátája 0), és fordítva, konkrétan F N (c, c,..., c) = (Nc, 0,..., 0), ahol c C tetsz leges konstans. Ha x valós vektor, akkor X N k = X k. F N (c, 0,..., 0) = (c, c,..., c). Az F N transzformáció invertálható, inverze (IDFT) többféle felírásban: x = F 1 N X = 1 N Φ N,εX, x k = 1 N N 1 n=0 X n ε kn = 1 N N 1 n=0 X n e 2πi N kn. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

36 Diszkrét Fourier-transzformált Gyors Fourier-transzformáció M DFT kiszámításához N 2 m velet M két fele akkora méret Fourier-transzformációból megkapható: X k = = = = N 1 n=0 N/2 1 n=0 N/2 1 n=0 N/2 1 n=0 x n e N 1 2πi kn N = x 2n e x 2n e n=0 x n ω kn N N/2 1 2πi 2nk N + n=0 2πi N/2 nk 2πi + e N N/2 1 x 2n ω nk + N/2 ωk N n=0 x 2n+1 e N/2 1 k n=0 2πi (2n+1)k N x 2n+1 e 2πi N/2 nk x 2n+1 ω nk N/2 = E k + ω k N O k. E k és O k N/2 szerint periodikusak E k+n/2 = E k, O k+n/2 = O k Innen k < N/2 esetén X k = E k + ωn k O k, X k+n/2 = E k ωn k O k. A m veletigény 3 N log N. 2 Wettl Ferenc Mer legesség / 40

37 Diszkrét Fourier-transzformált Gyors Fourier-transzformáció function FFT(x) N dim(x) X legyen N-dimenziós vektor if N = 1 then X 0 x 0 else y x páros index elemei z x páratlan index elemei Y FFT(y) Z FFT(z) for k 0 to N/2 1 do E Y k 2πi k N Z k O e X k E + O X k+n/2 E O return X Wettl Ferenc Mer legesség / 40

38 Diszkrét Fourier-transzformált Gyors Fourier-transzformáció M FFT mátrixszorzat-alakja F N = N [ FN/2 O O F N/2 ] Π N, Π N az a permutációs mátrix, mely el re veszi a páros index elemeket, N a fél transzformáltakat összeadó, és a páratlan index eket egy ω-hatvánnyal beszorzó mátrix Π 4 = Π = [ ] 4 = i = I2 D 2 I 2 D i = [ I4 D 4 I 4 D 4 Wettl Ferenc Mer legesség / 40 ]

39 Diszkrét Fourier-transzformált Gyors Fourier-transzformáció A mátrixokban szerepl diagonális mátrixok az egységmátrixok, és az ω hatványait tartalmazó D mátrixok, ahol D k = diag(1, ω, ω 2,..., ω k 1 ). Pl. [ ] F4 O F 8 = 8 O F 4 Π 8 [ ] 4 O = 8 O 4 F 2 O O O O F 2 O O O O F 2 O O O O F 2 [ Π4 O O Π 4 ] Π 8. Wettl Ferenc Mer legesség / 40

40 Diszkrét Fourier-transzformált Gyors Fourier-transzformáció Wettl Ferenc Mer legesség / 40

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Kovács Zoltán 2005. január 4. Tartalomjegyzék 1. Euklideszi vektorterek 3 1.1. Bilineáris és kvadratikus formák, skaláris szorzatok................ 3 1.2.

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

Számítógépes geometria (mester kurzus)

Számítógépes geometria (mester kurzus) 2010 sz, Debreceni Egyetem Csuklós szerkezetek animációja (Kép 1985-b l: Tony de Peltrie) Csontváz-modellek Csuklós szerkezet (robotkar) A robotkar részei: csuklók (joints) rotációs prizmatikus (transzlációs)

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Matematika Plus 1 építőmérnök hallgatóknak

Matematika Plus 1 építőmérnök hallgatóknak Matematika Plus építőmérnök hallgatóknak Simon Károly.5. Tartalomjegyzék. I. előadás 3.. Kiegészítés az A-ben tanultakhoz: Determináns....... 3... Elemi sor transzformációk hatása a determinánsra:. 5...

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát.

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát. 1. Vektorok 1.1. Alapfogalmak, alapműveletek 1.1.1. Elméleti összefoglaló Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 9. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 6. Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (9. gyakorlat Bázistranszformáció és alkalmazásai (folytatás Tartalom Bázistranszformáció

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

i=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes.

i=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes. 1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek el balról jobbra. A professzor kijön az egyetemr

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Ujv ari Mikl os KONVEX ANAL IZIS 2009 1

Ujv ari Mikl os KONVEX ANAL IZIS 2009 1 Ujvári Miklós KONVEX ANALÍZIS 2009 1 2 Tartalomjegyzék Bevezetés... 5 Jelölések... 10 1. Végesen generált halmazok.... 11 1. A Gauss Jordan-elimináció... 11 2. Alterek, affin halmazok... 24 3. Poliéder

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

1 2 n π =, 1π 2π nπ. ϕ = = {(1,3), (2,1), (3,3)}

1 2 n π =, 1π 2π nπ. ϕ = = {(1,3), (2,1), (3,3)} MBNX114E: DISZKRÉT MATEMATIKA III. Oktató: Maróti Miklós Helye és ideje: Bolyai terem, szerda 1619. E-mail: mmaroti@math.u-szeged.hu Honlap: www.math.u-szeged.hu/ mmaroti/ Számonkérés A félév során maximum

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Kontinuummechanika (óravázlat)

Kontinuummechanika (óravázlat) Kontinuummechanika óravázlat Készítette: Dr. Pere Balázs Széchenyi István Egyetem Alkalmazott Mechanika Tanszék 0. augusztus. Copyright 0 Dr. Pere Balázs. Minden jog fenntartva. Ez a dokumentum szabadon

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Diszkrét matematika feladatok

Diszkrét matematika feladatok gyakorlat Diszkrét matematika feladatok 205/6 tanév, I. félév. Bizonyítsa be teljes indukcióval az alábbi állításokat! n(n + ) (a) + 2 + + n = 2 (b) 2 + 2 2 + + n 2 n(n + )(2n + ) = 6 ( ) 2 n(n + ) (c)

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Matematikai logika. Nagy Károly 2009

Matematikai logika. Nagy Károly 2009 Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben