Lineáris algebrai alapok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris algebrai alapok"

Átírás

1 Lineáris algebrai alapok Will 2010 június 16 Vektorterek, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek A lineáris programozási feladat, szimplex algoritmus Vektorterek Jellemzés: Vektorok tulajdonságai Két vektor egyenl, ha hosszuk és irányuk egyenl, Vektorok összeadása kommutatív és asszociatív (kivonás is deniált m velet), Skalárral szorzás (λ R : λa) asszociatív (skalár tagokra), kommutatív, disztributív (skalárokra, vektorokra), két vektor párhuzamos (kollineáris, ), ha egy egyenesre illeszthet ek, két vektor egysíkú (koplanáris), ha elhelyezhet k egy síkban Síkbeli tétel {a, b, c egysíkúak, a b}!α, β R : c = αa + βb Térbeli tétel {a, b, c, v a, b, c páronként nem egysíkúak}!α, β, γ R : v = αa + βb + γc Deníció: Lineáris összefüggés Legyenek a 1,, a k térvektorok, és λ 1,, λ k R Ekkor: lineárisan összefügg ek, ha k i=1 λ ia i = 0, és λ i 0 lineárisan függetlenek, ha k i=1 λ ia i = 0 λ i = 0 Ezek a deníciók tetsz leges számtest feletti tetsz leges vektorterekre kib víthet ek Deníció: Skaláris szorzat ab def a b cos γ(a, b) Tulajdonságai: ab = ba ab = 0 a b vektorosan nem asszociatív(!), de skalárisan igen ((ab)c a(bc), de λ(ab) = (λa)b = a(λb)) disztributív a vektorösszeadásra nézve (a(b + c) = ab + ac) 1

2 Következménye a tulajdonságoknak: i, j, k legyenek páronként mer leges egységvektorok, amelyek jobbrendszert alkotnak Legyenek u, v vektorok olyanok, hogy u = α 1 i + α 2 j + α 3 k, v = β 1 i + β 2 j + β 3 k Ekkor: uv = α 1 β 1 + α 2 β 2 + α 3 β 3 u, v 0: cos γ(u, v) = α 1β 1 +α 2 β 2 +α 3 β 3 α 2 1 α β α2 1 2β2 2 β2 3 = uv u v Deníció: Számtest Egy A számhalmaz a (+, ) binér m veletekkel test, ha: + kommutatív, asszociatív, minden elemnek van inverze, amivel a nullelemet adják ki (0), kommutatív, asszociatív, minden elemnek van inverze, amivel az egységelemet adják ki (1), x, y A : xy = 0 x = y = 0, az +-ra nézve disztributív (x(y + z) = xy + xz) Deníció: Vektortér Legyen adott V, T számtest; a, b, V, α, β, T Ekkor V vektortér T felett, m veletekkel, ha: I II : V V V a, b V : a b = b a a, b, c V : (a b) c = a (b c) 0 V : a V : 0 a = a a V : ( a) V : ( a) a = 0 : T V V λ, µ T, a V : (λµ) a = λ (µ a) λ, µ T, a V : (λ + µ) a = λ a µ a λ T, a, b V : λ (a b) = λ a λ b 1 T : a V : 1 a = a Jelölés: ezentúl := + és := Vektortestekre: a nullelem, az egységelem és az inverz egyértelm, és a skalár-vektor szorzás kommutatív (λ a = a λ) λ T, a V : λ a = 0 λ = 0 a = 0 Deníció: Lineáris kombináció Lináris kombináció: k i=1 λ ia i Triviális lineáris kombináció: k i=1 0a i = 0 Asszociativitás tétele k Z, k 1 és 1 i k : a i V : k a i tetsz leges zárójelezése = ( ((a 1 + a 2 ) + a 3 ) + ) + a k i=1 2

3 Kivonás a, b V!x V : a + x = b Deníció: Bázis Legyen e 1,, e n V Ekkor: 1 i n : e i bázis def j k : e j lineárisan független e k -tól és a V el állítható e i -k valamely lineáris kombinációjaként Egységbázis T := R; +, a szokásos (komponensenkénti), V := R n, ahol n Z + Ekkor legyen 1 i n: 0 e i := 1 0, ahol az i-edik elem az 1 Állítás: e i -k bázist alkotnak V -ben Bázistranszformáció Legyen 1 i n : e i bázis V -ben és a V : a = n j=1 α je j Ekkor tetsz leges i-re: e 1,, e i 1, a, e i+1,, e n bázis V -ben α i 0 Deníció: Lineáris függés vektortért l Legyen A V Ekkor v V lineárisan függ A-tól, ha: a 1,, a k A, α 1,, α k T : v = k i=1 α ia i Deníció: Altér W altere V -nek, ha W V és W vektortér T test felett a + W, W m veletekre nézve Jelölése: W V 1 W V W V 2 a, b W : a + b W 3 λ T, a W : λa W Deníció: A V : W (A) := {v v V, v lineárisan függ A-tól} { 1 W V 2 λ, µ T, a, b W : λa + µb W } W (A) V W 1, W 2 V W 1 W 2 V Deníció: Generálás Legyen A V Ekkor: A : az A-t tartalmazó alterek metszete (A által generált altér), A = W (A) A = {a 1,, a k } A = a 1,, a k 3

4 G generátor rendszer V -ben, ha G = V B bázis V -ben, ha B egy linárisan független generátorrendszer Legyen W 1, W 2 V Ekkor: W 1, W 2 = W 1 W 2 Deníció: Dimenzió dim T V def V egy tetsz leges bázisának elemszáma (tudjuk, hogy V -ben minden bázis azonos számosságú) Ekvivalens megfogalmazások: V -ben a maximális lineárisan független vektorok száma dim T V, V -ben a minimális generátorrendszer elemszáma dim T V Deníció: Vektorrendszer rangja ρ(a 1,, a n ) def dim T a 1,, a n Deníció: Véges dimenziós vektortér V véges dimenziós, ha létezik véges elemszámú generátorrendszere 1 kicserélési tétel Legyen V egy véges dimenziós vektortér, ebben a 1,, a k lineárisan független vektorok, b 1,, b l pedig egy generátorrendszer Ekkor: i) j {1,, m} : b j, a 2,, a k lineárisan függetlenek ii) k m(l számosássága legfeljebb G számossága) 2 kicserélési tétel Legyen V egy véges, n dimenziós vektortér, ebben a 1,, a k lineárisan független vektorok, b 1,, b l pedig egy generátorrendszer Ekkor: i) s 0 : j 1,, j s {1,, m} : a 1,, a k, b j1,, b js bázis V -ben ii) m = n iii) lineáris független vektorrendszer kiegészíthet bázissá iv) L = n L bázis Mátrixok Deníció: Mátrix A egy n m-es mátrix T felett (A T n m ), ha: A : {1,, n} {1,, m} T, jelölje: (i, j) a ij =: i [A] j =: [A] ij 1 i n, 1 j m : a ij T Reprezentálása: a 11 a 1m A = a n1 a nm Deníció: Vektorm veletek Legyen λ egy szám, a, b két vektor, amelyeknek koordinátái rendre α i, β i számok Ekkor: 4

5 α 1 α n = α 1 α n β 1 β n + λ def 1 i n : α i = β i α 1 α n β 1 β n def = def = α 1 + β 1 α n + β n λα 1 λα n Deníció: Mátrixm veletek Legyen A, B T n m, λ T Ekkor: A + B def = a 11 + b 11 a 1m + b 1m a n1 + b n1 a nm + b nm Deníció: Sor-oszlop szorzás Legyen A T n m, x, b T n Ekkor: a 11 a 1m Ax = b def a n1 a nm λa def = x 1 x n = λa 11 λa 1m λa n1 λa nm b 1 b n def 1 i n : b i = a i1 x a im x m Deníció: Mátrixszorzás Legyen A T n m, B T m k Ekkor: def 1 i n, 1 j k : i [AB] j = m i[a] ll [B] j l=1 k n AB T n k, BA k = n AB T n n, BA T m m n = m = k AB, BA T n n, AB BA Deníció: Kronecker-szimbólum { (Weierstrass-delta) def 1, ha i = j δ ij = i [I n ] j = 0, ha i j 5

6 Deníció: Egységmátrix def I n = 0 0 T n n A mátrixszorzás asszociatív és disztributív Legyenek A T n 1 m 1, B T m 2 k 2, C T k 3 l 3 mátrixok Ekkor: (AB)C m 1 = m 2 k 2 = k 3 A(BC), továbbá: (AB)C = A(BC) A(B + C) m 1 = m 2 = k 3 k 2 = l 3 AB + AC, továbbá: A(B + C) = AB + AC Deníció: Mátrix hatványozása Legyen A T n n Ekkor: A 1 := A k > 1 : A k := A k 1 A Deníció: Mátrix transzponáltja Legyen A T n m Ekkor A transzponáltja: T m n A T = i [A T ] j := j [A] i Deníció: Mátrix adjungáltja Legyen A C n m Ekkor A adjungáltja: C m n A = i [A ] j := j [A] i A T n m, B T m k (AB) T = B T A T A C n m, B C m k (AB) = B A Deníció: Speciális mátrixok Legyen A T n n (vagyis négyzetes) Ekkor A: diagonális: 1 i n : a ii = α i T és 1 i, j n : i j : a ij = 0 fels /alsó bidiagonális: a f átló feletti/alatti átlóban is vannak elemek tridiagonális: a f tátló feletti és alatti átlóban is vannak elemek fels /alsó háromszög: 1 i, j n : i j : a ij = 0 szimmetrikus: A T = A antiszimmetrikus: A T = A ortogonális: A T A = I n = AA T projektor: A 2 = A nilpotens: k Z + : A k = 0 invertálható: A 1 : A A 1 = I = A 1 A (esetleg csak jobb vagy balinverz) normális: A A = AA 6

7 unitér: A A = I n = AA önadjungált: A = A LU felbontás A T n n L T n n alsó-, U T n n fels háromszög mátrix, hogy: A = LU Deníció: Mátrixok partícionálása Pl: [ ] A11 A A = 12 A 13 A 21 A 22 A 23, ahol A T n m, a partíciók tetsz leges (megfelel, n m-ben elfér, nem feltétlenül azonos, de egymással kompatibilis) dimenziójúak Deníció: Rang Oszloprang: ρ o (A) def dim T a 1,, a m, vagyis A lineárisan független oszlopainak számossága Sorrang: ρ s (A) def ρ o (A T ) Igazolható: ρ s (A) = ρ o (A) def ρ(a) C T n m, D T m k ρ(cd) ρ(c) Deníció: Rangtartó átalakítások csere: 1 i, j n : ρ(a 1,, a i,, a j,, a n ) = ρ(a 1,, a j,, a i,, a n ) beszorzás: 1 i n, λ 0 : ρ(a 1,, a i,, a n ) = ρ(a 1,, λa i,, a n ) kombináció: 1 i, j n, i j, λ 0 : ρ(a 1,, a i,, a n ) = ρ(a 1,, a i + λa j,, a n ) Inverzek létezése Legyen A T n m Ekkor: i) A-nak van jobbinverzve ρ s (A) = n (teljes sorrangú) ii) A-nak van balinverzve ρ o (A) = m (teljes oszloprangú) iii) A 1 n = m = ρ(a) (négyzetes és teljes rangú) Inverzek készítése Ha A nem négyzetes, akkor ha ρ(a) 1, akkor véges sok rangtartó átalakítással à = alakra hozható Vagyis léteznek S, P invertálható mátrixok, amikre: SAP = à Deníció: Általánosított inverz Legyen A C n n Ekkor!X C n n : i) AXA = A, akkor X ún általánosított inverz ii) XAX = X és i), akkor X ún reexív általánosított inverz iii) (AX) = AX, és i)-ii), akkor X ún normált reexív általánosított inverz [ Ir ] T n m 7

8 iv) (XA) = XA, és i)-ii)-iii), akkor X ún pszeudó-inverz Az inverzek készítése módszert el ször alkalmazva nem négyzetes mátrixra is megkaphatóak az általánosított inverzek Deníció: Mátrixok determinánsa Legyen A T n n Ekkor legyen A def det(a) : A α T Speciálisan: n = 1 : A = [a 11 ] : A = det(a) def = a 11 [ ] a11 a n = 2 : A = 12 : A = det(a) def = a a 21 a 11 a 22 a 12 a (Sarrus-szabály) a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 n = 3 : A = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 12 a 21 a 33 ) Általános esetben: Legyen i 1, i 2,, i n az 1, 2,, n számok egy permutációja Azt mondjuk, hogy (i µ, i ν ) inverzióban van, ha i µ > i ν, µ < ν Legyen I(i 1,, i n ) az i 1,, i n permutációban lév inveriók száma Ekkor: det(a) def = Determinánsokra vonatkozó tételek Legyen A T n n, ekkor: 0 = 0 i 1,,i n ( 1) I(i1,,in) a 1i1 a 2i2 a kik a nin 1 k n : 1 j n : a kj = 0 det(a) = 0 (ha van nulla sor, akkor a determináns 0) A T = A A-ban két sort cserélve det(ã) = 1 A lesz A-ban egy sort beszorozva λ T -vel: det(ã) = λ A lesz λa = λ n A A + B A + B AB = A B ρ(a) < n A = 0 ρ(a) = n A 0 (ez egyben újabb feltétel az inverz létezésére!) ρ(a) = r 1 : r r 0 részmátrix, és (r + 1) (r + 1) = 0 Vandermonde-determináns n 2 : 1 a 1 a 2 1 a n a 2 a 2 2 a n a n a 2 n a n 1 n = 1 i,j n a i a j 8

9 Kifejtési tétel i sor szerinti: j oszlop szerinti: A = A = n a ij A ij j=1 n a ij A ij i=1, ahol A ij az adott el jeles aldetermináns (kiszámítjuk i sor, j oszlop nélküli mátrix determinánsát és szorozzuk ( 1) i+j -vel (sakktábla-szabály)) Ferde kifejtési tétel Ha az adott sor/oszlop elemeit egy másik sorhoz/oszlophoz tartozó el jeles aldeterminánssal szorozzuk és adjuk össze, akkor az eredmény mindig 0 lesz: Lineáris egyenletrendszerek 0 = (k i) n a ij A kj = (k j) j=1 n a ij A ik i=1 Deníció: Lineáris egyenletrendszer (LER) Informálisan: n db egyenlet és m darab ismeretlen a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nm x m = b n Ax = b Deníció: Elemi bázistranszformációs algoritmus Egy adott bázisról, adott vektorokkal térjünk át új bázisra, és közben változtassuk a keresett vektort is Ekkor, ha új bázishoz jutunk, akkor megkapunk egy megoldást is Deníció: LER általánosítása Legyen A T n m, B T n k, X T m k Ekkor AX = B egyenlet átírható k darab LER-ré Deníció: Cramer-szabály A T n n, det(a) 0, b T n!x T n : Ax = b, és 1 j n : x j = det([a 1,,b,,a n]) det([a 1,,a j,,a n]) Deníció: Homogén LER Ax = 0 ún homogén LER Ha A T n n, akkor a következ k ekvivalensek: i) Ax = 0 homogén LER-nek létezik nem triviális megoldása ii) A = 0 iii) ρ(a) < n iv) A-nak legalább két oszlopa, ami lineárisan összefügg 9

10 A lineáris programozási feladat Deníciók: Legyen a, x 1, x 2 R n, a 0, β R, Ekkor: hipersík: H := {x a T x = β} féltér: F := {x a T x β} poliéder: véges sok féltér metszete szakasz: [x 1, x 2 ] := {x x = λx 1 + (1 λ)x 2, 0 λ 1} konvex halmaz: S R n konvex halmaz def x 1, x 2 S : [x 1, x 2 ] S támaszsík: S konvex halmaz támaszsíkja H := {x a T x = β}, ha H S és y S : a T y β extremális pont: S zárt konvex halmaz x S extremális pont, ha H támaszsíkja S-nek, amire: H S = {x} hipersíkok lineáris függetlensége: két hipersík lineárisan független, ha az ket meghatározó vektorok lineárisan függetlenek határoló hipersík: egy poliéder határoló hipersíkjai, azok a hipersíkok, amelyeket a poliédert el állító félterek vektorai határoznak meg szomszédes extremális pontok: két extremális pont szomszédos, ha létezik határoló hipersík, amely mindkett t tartalmazza Minkowski összeg: A, B R n, ekkor A + B := {x x = a + b, a A, b B} végtelen irány: P poliéder végtelen iránya v, ha x P, λ 0 : x + λv P A hipersík konvex halmaz Minden féltér konvex halmaz Legyen I egy indexhalmaz, i I : S i legyen konvex halmaz Ekkor i I S i is konvex halmaz Minden poliéder konvex halmaz 3 ekvivalens állítás i) y a P poliéder extremális pontja ii) y 1, y 2 P, y 1 y 2, 0 < λ < 1 : y = λy 1 + (1 λ)y 2 iii) y rajta van a P poliéder n darab lineárisan független határoló hipersíkján 10

11 Deníció: Lineáris programozási feladat (LP-feladat) Informálisan: lineáris feltételek és egy lineáris célfüggvény összessége Legyen A R m n, b R m, c R n adottak Keressük x R n vektort (ún döntési vektort) az alábbi rendszerben: max c T x Ax = b x 0 Általában feltesszük, hogy ρ(a) = m (azaz A teljes sorrangú) Deníció: LP megoldása Az x R n vektor megoldása az LP-nek, ha Ax = b megengedett megoldása az LP-nek, ha Ax = b, x 0 optimális megoldás az LP-nek, ha megengedett megoldás, és y megengedett megoldásra: c T y c T x Deníció: Vektor tartója Egy x R n vektor tartója azon indexek halmaza, melyekre x i 0 Jelölése: supp(x) = {i x i 0} Deníció: LP bázismegoldása Az LP egy x megoldása bázismegoldás, ha az {a j j supp(x)} egy lineárisan független vektorrendszer Megengedett bázismegoldás, ha megengedett és bázismegoldás is Minden bázis esetén a hozzátartozó bázismegoldás egyértelm De ez fordítva nem igaz: egy bázismegoldáshoz több bázis is tartozhat Degenerált LP: ha van olyan bázismegoldás, amit több bázis is meghatároz Megjegyzés: a gyakorlatban ha b-t valóban folytonos eloszlás szerint véletlenül választjuk, akkor 0 valószín séggel lesz degenerált a feladat A degenerált feladatokat a numerikus hibák miatt is kerüljük Deníció: Megengedett bázis Egy bázis megengedett, ha a hozzá tartozó bázismegoldás megengedett (azaz x B = B 1 b 0) K := {x R n : Ax = b, x 0}, I := x Ksupp(x) y K : supp(y) = I K az extremális pontok megegyeznek a megengedett bázismegoldásokkal Azaz ha x K, akkor x extremális pont x bázismegoldás Legyen B, B két bázis, melyek bázismegoldásai x, x, és x x, továbbá B B = r 1, ahol r az A rangja Ekkor x, x szomszédos extremális pontok Szimplex algoritmus Deníció: Szimplex algoritmus Legyen B egy megengedett induló bázis Ekkor: 11

12 1 Határozzuk meg a redukált árakat: p = c c T B B 1 A 2 B-n kívül változó, hogy p > 0 GOTO 3, ha nem, akkor STOP: optimális megoldásban vagyunk 3 Legyen l a javító oszlop Ha a l 0 STOP: nem korlátos a célfüggvény (végtelen irány), ha i : a li > 0, akkor hányados szabállyal keressük meg a csere sorát (k) 4 Végezzük el a báziscserét (k változó kilép a bázisból, l belép) GOTO 1 Ha az LP nem degenerált, akkor a szimplex algoritmus véges sok lépésben megáll Degeneráció kezelése: 1 Minimálindex szabály: mindig a minimális index javítóoszlop választása 2 Lexikograkus szimplex: javítóoszlopot tetsz legesen, sort lexikograkusan választunk (normálás után) 3 LP perturbálása: a perturbált LP-t megoldjuk, majd azzal a bázissal megoldjuk az eredeti feladatot Induló bázis el állítása: I x u A I b } } Ax b Ax + Iu = b x, b 0 x, b, u 0 Ekvivalens feladatok A bázis megengedett, a bázismegoldás: x = 0, u = b II Ennek az ún segédfeladatnak a megengedett megoldásának x része része az eredeti feladat megengedett megoldásának u = 0, tehát min u i célfüggvénnyel oldjuk meg a feladatot (ez korlátos, mert u 0 i u i 0) III Ha a segédfeladatnak van megoldása (u = b, x = 0), és a célfüggvénye korlátos, akkor a szimplex algoritmus egy optimális megoldást ad Két eset lehetséges: a) min u i > 0 ekkor az eredeti feladatnak nincs megoldása b) min u i = 0 ekkor is el fordulhat, hogy bizonyos változók bentmaradnak a bázisban Ezt bázistranszformációval megoldjuk Ha nem tudjuk kivinni, akkor redundáns feltétel (elhagyható 0-sor) Deníció: Kétfázisú szimplex algoritmus 1) Megengedett bázis keresése (megoldjuk a segédfeladatot) Ha a célfüggvény > 0, akkor STOP: nincs megengedett megoldás Ha a célfüggvény = 0, akkor GOTO 2 2) A megtalált megengedett bázisból indulva keressünk optimumot Trichotómia tétel Minden LP az alábbi három osztály valamelyikébe tartozik: i) megengedett megoldása ii) optimális megoldása (a célfüggvénye korlátos) iii) megengedett megoldása, de a célfüggvény nem korlátos 12

13 Deníció: Újrainvertálás A numerikus hibák az iteráció el rehaladtával egyre inkább el kerülnek Ezért egyszer en nem engedjük meg, hogy az algoritmus túl sok transzformációs mátrixot tároljon (transzformációs mátrix: amivel a kiinduló mátrixot balról szorozva megkapjuk az iterált mátrixot) Ismerjük a bázisban lév elemeket: segítségükkel számoljuk ki újra a bázis inverzét, és így csökkenthet ek a numerikus hibák Megjegyzés: a gyakorlatban ezt 50 lépésenként célszer elvégezni 13

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

3. el adás: Determinánsok

3. el adás: Determinánsok 3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér? Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév

LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat! . Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix

Részletesebben

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n} Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i

i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság 1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

Lineáris algebra. Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika A2a Vektorfüggvények tantárgyhoz tavaszi félév

Lineáris algebra. Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika A2a Vektorfüggvények tantárgyhoz tavaszi félév Lineáris algebra Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika Aa Vektorfüggvények tantárgyhoz 9. tavaszi félév Tartalomjegyzék. Komplex számok és polinomok.................... 4.. A komplex számok bevezetése,

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK 217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

A gyakorlati jegy

A gyakorlati jegy . Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach/ február 15 Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................

Részletesebben

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei

Részletesebben

Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév

Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok

A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 1 / 75 Tartalom 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Gazdasági matematika II. tanmenet

Gazdasági matematika II. tanmenet Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):

Részletesebben

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35 9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics

Részletesebben

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer 8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez

Részletesebben

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28 Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35 Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek

Részletesebben

1. Bázistranszformáció

1. Bázistranszformáció 1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak 10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26. Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39 5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma

2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma Mátrixok Definíció Az m n típusú (méretű) valós A mátrixon valós a ij számok alábbi táblázatát értjük: a 11 a 12... a 1j... a 1n.......... A = a i1 a i2... a ij... a in........... a m1 a m2... a mj...

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Matematikai statisztika 1.

Matematikai statisztika 1. Matematikai statisztika 1 segédanyag Daróczi Gergely Szociológia Intézet 2010 Matematikai statisztika 1 01 Mátrixok A mátrix vízszintes vonalban elhelyezked elemei sorokat, függ leges vonalban elhelyezked

Részletesebben

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek 10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix

Részletesebben

A lineáris programozás alapjai

A lineáris programozás alapjai A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni

Részletesebben

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása

Részletesebben

1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

Alkalmazott algebra - SVD

Alkalmazott algebra - SVD Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés

Részletesebben

1. A kétszer kettes determináns

1. A kétszer kettes determináns 1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,

Részletesebben

Matematika elméleti összefoglaló

Matematika elméleti összefoglaló 1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...

Részletesebben

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba 11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez

Részletesebben

XI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

Matematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA

Matematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 20160515 Tartalomjegyzék 1 Algebrai struktúrák 5 2 Lineáris tér (vektortér) 13 21 A vektortér fogalma 14 22 Vektorok lineáris függetlensége és függősége 18 23 Generátorrendszer,

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2. Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben