Lineáris algebra. Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika A2a Vektorfüggvények tantárgyhoz tavaszi félév

Átírás

1 Lineáris algebra Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika Aa Vektorfüggvények tantárgyhoz 9. tavaszi félév

2 Tartalomjegyzék. Komplex számok és polinomok A komplex számok bevezetése, m veletek értelmezése Komplex szám trigonometrikus alakja. Gyökvonás Polinomok gyökei. Az algebra alaptétele. Polinomok gyöktényez s alakja Feladatok Sík és térbeli vektorok Vektor értelmezése, m veletek Koordináták, m veletek koordinátákkal Skaláris szorzat. Vektorok felbontása Vektoriális- és vegyesszorzat Sík és egyenes egyenletei Feladatok A rendezett szám n-esek lineáris tere M veletek értelmezése R n -en Lineárisan független és összefügg vektorok. Bázis Alterek R n -ben Feladatok Mátrixok Deníciók M veletek mátrixokkal Feladatok Négyzetes mátrix determinánsa A determináns deníciója A determináns elemi tulajdonságai Feladatok Téglalapmátrix és vektorrendszer rangja Mátrix rangjának a deníciója Mátrix rangjának a meghatározása Vektorrendszer rangjának meghatározása Feladatok

3 Tartalomjegyzék 7. Négyzetes mátrix inverze Mátrix invertálhatóságának és inverzének az értelmezése Az inverzmátrix létezése és tulajdonságai Az inverzmátrix meghatározása az adjungálttal Az inverzmátrix meghatározása elemi sortranszformációkkal Mátrixegyenletek Feladatok Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek általános alakja A megoldások létezése Az inverzmátrix-módszer és a Cramer-szabály Gauss-féle kiküszöbölési eljárás A megoldáshalmaz szerkezete Feladatok Sajátérték, sajátvektor. Diagonalizálás Négyzetes mátrix sajátértékei és sajátvektorai Négyzetes mátrix diagonalizálása Feladatok A feladatok megoldásai

4 4. Komplex számok és polinomok. Komplex számok és polinomok.. A komplex számok bevezetése, m veletek értelmezése.. Komplex szám trigonometrikus alakja. Gyökvonás.. Polinomok gyökei. Az algebra alaptétele. Polinomok gyöktényez s alakja.4. Feladatok

5 . Sík és térbeli vektorok 5. Sík és térbeli vektorok.. Vektor értelmezése, m veletek M veletek: összeadás, számmal való szorzás.. Koordináták, m veletek koordinátákkal.. Skaláris szorzat. Vektorok felbontása.4. Vektoriális- és vegyesszorzat.5. Sík és egyenes egyenletei.6. Feladatok Skaláris szorzat. Számítsa ki az a = (,, ) és b = (,, ) vektorok skaláris szorzatát.. Határozza meg λ értékét úgy, hogy az a = (,, ) és a b = (, 5, λ) vektorok mer legesek legyenek.. Határozza meg az a = (,, ) és a b = (,, ) vektorok szögét. 4. Számítsa ki az A = (, 5, ), B = (6,, 5), C = (6, 4, 9) csúcspontú háromszög szögeit. 5. Bontsa fel a v = (,, 5) vektort az a = (4,, ) vektorral párhuzamos és arra mer leges komponensek összegére. 6. Tükrözze az v = (, 6, ) vektort az a = (,, ) vektorra. Határozza meg a tükörkép vektor koordinátáit. Vektoriális szorzat 7. Számítsa ki az a = (,, ) és b = (, 4, 7) vektorok vektoriális szorzatát. 8. Határozza meg az ABC háromszög területét, ha A(,, ), B(,, ) és C(,, ). Vegyesszorzat 9. Határozza meg az a = (,, 5), b = (,, 4) és c = (,, ) vektorok abc, cba és cab vegyesszorzatait.

6 6. Sík és térbeli vektorok. Számítsa ki az a = (,, ), b = (,, ) és c = (,, ) vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatát.. Bizonyítsa be, hogy az A = (4,, ), B = (,, ), C = (4,, ) és D = (7,, 6) pontok egy síkon fekszenek. Koordinátageometriai alkalmazások. Írja fel a P (,, 4) ponton átmen n = (,, ) normálvektorú sík egyenletét.. Írja fel az A(,, ), B(4,, ), C(,, ) pontokon átmen sík egyenletét. Számítsa ki a P (,, ) pont távolságát a fenti síktól. Írja fel a P ponton átmen, a fenti síkra mer leges egyenes egyenletét. Keresse meg a P pontnak a fenti síkra való mer leges P vetületének a koordinátáit. 4. Mutassa meg, hogy az x y +z = és a x 4y +z = síkok párhuzamosak, és határozza meg a két sík távolságát. 5. Írja fel az A(4,, ) és a B(,, 5) pontokon átmen egyenes vektoregyenletét, paraméteres egyenletrendszerét és egy egyenletrendszerét. 6. Keresse meg az x y + 4z = és az x + y z = 5 síkok metszésvonalának az egyenletét. 7. Határozza meg a P (,, 8) ponton átmen és az x + = y = z egyenlet egyenesre mer leges síknak az egyenessel való döfésponját. 8. Számítsa ki a P (5,, 4) pont távolságát az x = t, y = t, z = t + 4 (t R) egyenlet egyenest l. Írja fel a P ponton átmen és az adott egyenesre illeszked sík egyenletét. 9. Mutassa meg, hogy az x = y + 4 = z 4 és x + 4 = y = z egyenlet egyenesek párhuzamosak. Határozza meg a távolságukat. Írja fel a két egyenesre illeszked sík egyenletét.. Határozza meg az x y + z = és a x 4y + z = síkok távolságát.

7 . A rendezett szám n-esek lineáris tere 7. A rendezett szám n-esek lineáris tere Korábban a vektorokat irányított szakaszokként deniáltuk, és láttuk, hogy az i, j, majd a k vektorok bevezetésével egy kétdimenziós (sík)vektor és egy valós számpár, valamint egy háromdimenziós (tér)vektor és egy valós számhármas között kölcsönösen egyértelm megfeleltetés létesíthet, ezért például az (x, x, x ) számhármast vektornak is tekinthetjük. Az alábbiakban bevezetjük a vektor fogalmának egy általánosítását. Ehhez nem geometriai meggondolásokon, hanem algebrai deníciókon keresztül jutunk el. Legyen n egy rögzített pozitív egész szám és jelöljük R n -nel R-nek önmagával vett n-szeres Descartes-szorzatát. R n elemei tehát rendezett szám n-esek, amelyeket az x = (x, x,..., x n ), y = (y, y,..., y n ) szimbólumokkal fogjuk jelölni. Utalva ezek geometriai hátterére, az R n elemeit vektoroknak, az x, x,..., x n számokat az x vektor koordinátáinak vagy komponenseinek szokás nevezni. Az x, y R n szám n-eseket akkor tekintjük egyenl nek, ha a megfelel komponenseik egyenl ek: x = y, x = y,..., x n = y n... M veletek értelmezése R n -en Az x := (x,..., x n ), y := (y,..., y n ) R n vektorok összegét, valamint az x vektor és a λ valós szám szorzatát röviden vektor számszorosát így értelmezzük: x + y := (x + y, x + y,..., x n + y n ), λ x := (λx, λx,..., λx n ). (A szorzás jelét el szokás hagyni. Ezt a m veletet így fogjuk jelölni: λ.) Világos, hogy minden x, y R n esetén x + y R n (szavakban: R n zárt az összeadásra nézve), minden λ R, x R n esetén λ x R n (szavakban: R n zárt a számmal való szorzásra nézve). Igen egyszer en igazolható, hogy ezek a m veletek rendelkeznek az alábbi tulajdonságokal.. tétel. o Az R n elemei között értelmezett összeadásra a következ k teljesülnek: (i) kommutatív, azaz bármely x, y R n elemekre x + y = y + x;

8 8. A rendezett szám n-esek lineáris tere (ii) asszociatív, azaz minden x, y, z R n vektorra (x + y) + z = x + (y + z); (iii) létezik nullelem, azaz van olyan R n vektor, amellyel bármely x R n esetén x + = x (a := (,,..., ) R n vektor rendelkezik ezzel a tulajdonsággal); (iv) minden elemnek létezik ellentettje, azaz bármely x R n elemre a x R n vektorra fenáll az x + ( x) = egyenl ség ( x az x vektor ellentettje). o A R n halmazban bevezetett számmal való szorzás m velete az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: (i) x = x (x R n ); (ii) (λµ)x = λ(µx) (λ R, x R n ); (iii) (λ + µ)x = λx + µx (λ, µ R, x R n ); (iv) λ(x + y) = λx + λy (λ R, x, y R n ). Megmutatható lenne az, hogy az iménti tételben megfogalmazott alaptulajdonságokból a sík- és tér vektorainál sokszor használt további tulajdonságok (pl. a nullelem és az ellentett egyértelm sége, a minden x R n esetén fennálló x = és ( ) x = x egyenl ségek) már levezethet k lennének. Az R n halmazt tehát két m velettel láttuk el. A matematikában ezt úgy szokás kifejezni, hogy értelmeztünk egy struktúrát. Az. tételben az (R n, +, λ) struktúra meghatározó tulajdonságait soroltuk fel. Hamarosan (pl. a mátrixoknál) látni fogjuk azt, hogy más halmazokon is lehet értelmezni ilyen m veleteket pontosan ilyen alaptulajdonságokkal. Ez az oka annak, hogy egy új elnevezést vezetünk be: Az (R n, +, λ) struktúrát az R (számtest) feletti lineáris térnek (vagy az R (számtest) feletti vektortérnek) nevezzük és a továbbiakban röviden csak R n - teret mondunk. (Az elnevezésben R kiemelése azt fejezi ki, hogy a λ értékeket az R számtest elemeib l vesszük.) Megjegyzés. Az x = (x, x,..., x n ) szám n-est gyakran sorvektornak is nevezzük, és ekkor az x = [x, x,..., x n ] jelölést is használjuk. Az x R n komponenseit megadhatjuk oszlopba rendezve is: ilyenkor oszlopvektorról beszélünk. x = x. x n

9 .. Lineárisan független és összefügg vektorok. Bázis 9 Az oszlopvektorok és a sorvektorok halmazában analóg módon értelmezhetjük az összeadás és a számmal való szorzás m veletét. A rendezett szám n-esek, az oszlopvektorok és a sorvektorok halmaza között olyan kölcsönösen egyértelm megfeleltetést lehet létesíteni, ami megtartja a m veleteket, ezért e három struktúra között nem teszünk különbséget... Lineárisan független és összefügg vektorok. Bázis Korábban már láttuk sík- és térbeli vektorok körében a párhuzamos- (kollineáris-) és az egysíkú (komplanáris) vektorok jelent ségét. Most ezek általánosítását adjuk meg. Szükségünk lesz a következ elnevezésekre: A továbbiakban végig m és n tetsz leges természetes számokat fog jelölni. Az x, x,..., x m R n vektorok lineáris kombinációjának nevezzük a λ x + λ x + + λ m x m alakú R n -beli vektorokat, ahol λ,..., λ m tetsz leges valós számok. Triviális lineáris kombinációnak nevezzük a λ = = λ m = együtthatókkal képzett lineáris kombinációt. Világos, hogy a triviális lineáris kombináció az R n -tér nulleleme. Deníció. o Az x, x,..., x m R n vektorok lineárisan összefügg k, ha vannak olyan nem mind nulla λ, λ,..., λ m R valós számok (azaz λ + + λ m > ), amelyekkel a λ x + λ x + + λ m x m = egyenl ség teljesül, azaz az x, x,..., x m vektoroknak van olyan nem triviális lineáris kombinációja, ami a vektort állítja el. o Az x, x,..., x m R n vektorok lineárisan függetlenek, ha nem lineárisan összefügg k, azaz λ x + λ x + + λ m x m = = λ = λ = = λ m =, és ez azt jelenti, hogy a vektort az x, x,..., x m vektoroknak csak a triviális lineáris kombinációja állítja el. Megjegyzés. Ezek a fogalmak valóban a kollinearitás és komplanaritás általánosításai. Gondoljuk meg a következ ket: az a, b R síkbeli vektorok az a, b, c R térbeli vektorok kollineárisak ha lineárisan összefügg k, nem kollineárisak ha lineárisan függetlenek; komplanárisak ha lineárisan összefügg k, nem komplanárisak ha lineárisan függetlenek.

10 . A rendezett szám n-esek lineáris tere Igen fontos kérdés a következ : hogyan lehet eldönteni az R n -ben megadott vektorokról azt, hogy azok lineárisan függetlenek-e vagy lineárisan összefügg k? A deníció alapján ez attól függ, hogy a vektorok milyen lineáris kombinációja állítja el a vektort. A vektorok triviális lineáris kombinációja nyilván a vektort adja. A vektorok akkor lineárisan függetlenek, ha más lineáris kombináció nem állítja el a vektort; az ellenkez esetben a vektorok lineárisan összefügg k. Tegyük fel, hogy adottak az x k := x k x k. x nk Rn (k =,,..., m) vektorok. Azt kell megvizsgálni, hogy milyen λ,..., λ m valós számokra áll fenn a λ x + λ x + + λ m x m = egyenl ség. Ezt koordinátákkal felírva azt kapjuk, hogy x x m λ x + + λ m x m λ x + + λ m x m = λ. + + λ m. =. =.. x n x nm λ x n + + λ m x nm Két vektor pontosan akkor egyenl, ha a koordinátái megegyeznek, ezért a λ,..., λ m ismeretlenekre a következ egyenletrendszert kapjuk: λ x + λ x + + λ m x m =, λ x + λ x + + λ m x m =,. λ x n + λ x n + + λ m x nm =. Ha ennek az egyenletrendszernek csak a triviális (azaz λ = λ = = λ m = ) megoldása van, akkor az x,..., x m vektorok lineárisan függetlenek, az ellenkez esetben pedig lineárisan összefügg k. Az elmondottakat a következ példán illusztráljuk.. példa. Döntsük el, hogy a következ R -beli vektorok lineárisan függetlenek-e vagy nem: (a) x :=, x :=, x := ;

11 .. Lineárisan független és összefügg vektorok. Bázis (b) x :=, x :=, x := 4. 6 A következ állításban felsoroljuk a lineárisan független, illetve lineárisan összefügg vektorrendszerek néhány alapvet tulajdonságát.. tétel. o Az x, x,..., x m R n vektorok akkor és csak akkor lineárisan összefügg k, ha legalább az egyik közülük kifejezhet a többi lineáris kombinációjával. o Ha az x, x,..., x m R n vektorok közül az egyik a vektor, akkor a vektorrendszer lineárisan összefügg. o Lineárisan összefügg vektorokhoz az R n -tér bármelyik vektorát hozzávéve lineárisan összefügg vektorrendszert kapunk. 4 o Lineárisan függetlenek vektorrendszer bármelyik részrendszere is lineárisan független. Az R n -térben van n elemb l álló lineárisan független vektorrendszer.. tétel. o Az R n térben az e :=, e :=, e :=,..., e n :=.... vektorok lineárisan függetlenek. o Minden x R n (oszlop)vektor egyértelm en írható fel az e, e,..., e n vektorok lineáris kombinációjaként. Az R n -térben más olyan vektorrendszerek is megadhatók, amelyekre teljesülnek az el z tétel állításai. Ezt R -ban illusztráljuk.. példa. (a) Az R -beli f :=, f :=, f := vektorok lineárisan függetlenek. (b) Minden x R (oszlop)vektorhoz egyértelm en léteznek olyan λ, λ, λ valós számok, amelyekre x = λ f + λ f + λ f.

12 . A rendezett szám n-esek lineáris tere Ez a példa is motiválja a következ fontos fogalom bevezetését. Deníció. Azt mondjuk, hogy az R n -beli a, a,..., a m vektorrendszer az R n -tér egy bázisa, ha (a) a vektorok lineárisan függetlenek, (b) minden x R n vektor egyértelm en állítható el az R n -beli a,..., a m vektorok lineáris kombinációjával, azaz! λ,..., λ m R : x = λ a + λ a + + λ m a m. A fentiek alapján R n -ben van n vektort tartalmazó bázis: e, e,..., e n. Ezt az R n -tér kanonikus bázisának nevezzük. Láttuk azt is, hogy R n -ben más bázis is megadható. Felvet dik tehát a következ kérdés: hány vektor alkothat bázist R n - ben? Erre ad választ a következ állítás. 4. tétel. Az R n -tér minden bázisa pontosan n vektort tartalmaz. Ennek az állításnak egy nyilvánvaló következménye az 5. tétel. Az R n -beli a,..., a n (tehát n számú) vektor akkor és csak akkor bázis R n -ben, ha a vektorok lineárisan függetlenek. Vegyük most R n egy tetsz leges a, a,..., a n bázisát, és jelöljük ezt a-val. A bázis deníciójából következik, hogy ekkor minden x R n vektorhoz egyértelm en léteznek olyan λ, λ,..., λ n valós számok, amelyekre x = λ a +λ a + +λ n a n. A λ, λ,..., λ n együtthatókkal képzett (oszlop)vektort az x vektor a bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük, és így jelöljük:. példa. Legyen λ λ λ n [x] a :=.. a :=, a :=, a :=, x :=. 9 Igazoljuk, hogy a, a, a bázis R -ban, és határozzuk meg az x vektornak erre a bázisra vonatkozó koordinátáit.

13 .. Alterek R n -ben.. Alterek R n -ben Kitüntetett szerepet játszanak az R n tér azon részhalmazai, amelyek az összeadásra és a számmal való szorzásra zártak. Az ilyen részhalmazokat fogjuk altereknek nevezni. Deníció. Az M R n halmaz altér R n -ben, ha (i) x, y M esetén x + y M, (ii) x M és λ R esetén λx M. Az egész R n tér, illetve a csak a vektorból álló részhalmaz nyilván alér. Ezeket triviális altereknek nevezzük. Nyilvánvaló az is, hogy a zérusvektor az R n tér minden alterének eleme. Alterekre a legfontosabb példa a következ : Tekintsük az R n tér tetsz leges a, a,..., a m vektorait. Szinte nyilvánvaló, hogy ezek összes lineáris kombinációinak a halmaza altér R n -ben. Ezt az alteret az a, a,..., a m vektorok által kifeszített (vagy generált) altérnek nevezzük, és az alábbi szimbólumok valamelyikével jelöljük: a, a,..., a m vagy Span {a, a,..., a m } Ezt az alteret szokás még az a, a,..., a m vektorok lineáris burkának is nevezni. Az a,..., a m vektorokat a szóban forgó altér generáló elemeinek is mondjuk. Az elmondottak alapján tehát a, a,..., a m := Span {a, a,..., a m } := := {λ a + + λ m a m λ,..., λ m R} Nyilvánvaló, hogy ha az a, a,..., a m vektorok lineárisan függetlenek (ekkor m n), akkor a vektorok közül bármelyiket elhagyva az a, a,..., a m altért l különböz halmazt kapunk. A helyzet megváltozik akkor, ha az a, a,..., a m vektorok lineárisan összefügg k. Gondoljuk meg például azt, hogy R -ben az (, 6) vektor által generált altér megegyezik a (, ), (7, 4) vektorok által generált altérrel. Ebben az esetben bizonyos vektorokat elhagyhatunk úgy, hogy a maradék vektorok által generált altér az eredeti vektorok által generált altérrel egyezik meg. Legfeljebb hány vektort hagyhatunk el, és hogyan lehet ezeket a vektorokat kiválasztani? Ezekkel a kérdésekkel kapcsolatos a következ Deníció. Az R n -beli a, a,..., a m vektorrendszer rangján a rendszerb l kiválasztható lineárisan független vektorok maximális számát értjük, és ezt a számot így jelöljük: rang (a, a,..., a m ).

14 4. A rendezett szám n-esek lineáris tere Mivel az R n tér bármelyik n + vektora lineárisan összefügg, ezért bármelyik vektorrendszer rangja n. A deníció másik közvetlen következménye az alábbi állítás: 6. tétel. Ha az R n -beli a, a,..., a m vektorrendszer rangja r, akkor (i) a vektorok között van r számú lineárisan független vektor, (ii) az a, a,..., a m altér minden eleme egyértelm en el állítható az r lineárisan független vektor lineáris kombinációjával (tehát az ezek által generált altér megegyezik az a, a,..., a m altérrel). Ez a tétel választ ad arra a kérdésre, hogy az a, a,..., a m vektorok közül legfeljebb mennyit hagyhatunk el úgy, hogy a maradék vektorok ugyanazt az alteret generálják, mint az a, a,..., a m vektorok. A jelenlegi eszközeinkkel is mutathatnánk olyan módszert, amelynek segítségével ezek a vektorok kiválaszthatók lennének. Újabb ismeretek birtokában azonban a kiválasztásra egy jóval egyszer bb eljárást fogunk mutatni. A fentieket tetsz leges altérre is kiterjeszthetjük. Deníció. Az M R n altér b, b,..., b m vektorait az M altér egy bázisának nevezzük, ha (i) ezek a vektorok lineárisan függetlenek, (ii) minden M-beli elem egyértelm en el állítható a b, b,..., b m vektorok lineáris kombinációjával. 7. tétel. Tetsz leges M R n altérben van bázis. Minden bázis ugyanannyi elemb l áll. Egy bázist alkotó vektorok számát az M altér dimenziójának nevezzük, és dim M-mel jelöljük. 8. tétel. Legyen a, a,..., a m tetsz leges R n -beli vektorrendszer. Ekkor az általuk generált a, a,..., a m altér dimenziószáma az a, a,..., a m vektorrendszer rangjával egyenl : dim a, a,..., a m = rang (a, a,..., a m ). 4. példa. Jellemezzük és szemléltessük az R sík és az R tér altereit. Hány dimenziósak az alterek? 5. példa. Szemléltessük az R tér M := { (x, y, z) R x + y = 5z } részhalmazát, és mutassuk meg, hogy ez altér R -ban. Hány dimenziós ez az altér? Adjuk meg egy bázisát.

15 .4. Feladatok 5 6. példa. Szemléltessük az R tér M := { (x, y, z) R x + y + z = } részhalmazát, és mutassuk meg, hogy ez nem altér R -ban..4. Feladatok Lineárisan összefügg és független vektorrendszerek. Döntse el, hogy a következ R -beli vektorok lineárisan függetlenek-e vagy nem: (a),, ; (b),, ; 4 (c),, ; (d), 4, Tegyük fel, hogy az R 6 tér b, b, b, b 4, b 5 és b 6 vektorai lineárisan függetlenek. Döntse el, hogy az alábbi vektorrendszerek lineárisan függetlenek vagy összefügg k: (a) b b, b b, b 4 b, b 5 b 4, b 6 b 5, b ; (b) b b, b b, b 4 b, b 5 b 4, b 6 b 5, b b 6.. Bizonyítsa be, hogy a,, vektorok lineárisan függetlenek, ezért bázist alkotnak R -ban. Adja meg a 7 vektornak erre a bázisra vonatkozó koordinátáit.

16 6. A rendezett szám n-esek lineáris tere Alterek 4. Tekintsük az R tér a := (,, 4 ), b := (, 7, ), c := (,, ) vektorait. Döntse el, hogy az x := (,, ) vektor benne van-e a vektorok által generált az a, b, c szimbólummal jelölt altérben. 5. Szemléltesse az R tér M := { (x, y, z) R x + y = z }, M := { (x, y, z) R x + y = z } részhalmazait. Alteret alkotnak-e ezek a részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? 6. Igazolja, hogy az R 4 tér M := { (x, x, x, x 4 ) R 4 x + x = 5x x 4 } részhalmaza egy altér R 4 -ben. Hány dimenziós ez az altér? Adja meg egy bázisát.

17 4. Mátrixok Deníciók m n-es mátrix: 4. Mátrixok a a a k a n A := [ a a a k a n ].... a ik := a i a i a ik a in.... a m a m a mk a mn a ik -k valós számok (az A mátrix elemei); i : sorindex; k : oszlopindex. [a i, a i,..., a in ] : a mátrix i-edik sorvektora; a k a k. a kn : a mátrix k-adik oszlopvektora. R m n : az m n-es valós elem mátrixok halmaza. Deníció. Az A = [a ik ] R m n és a B = [b ik ] R p q mátrixok egyenl ek, ha (i) azonos típusúak, azaz m = p és n = q, (ii) az egyenl index elemeik megegyeznek, azaz a ik = b ik Speciális mátrixok. Zérusmátrix: (i =,,..., m; k =,,..., n) :=... Rm n.... Sorvektor: az n-es mátrix: [a, a,..., a n ] R n.

18 8 4. Mátrixok Oszlopvektor: az m -es mátrix: a a a m. Rm.. Négyzetes mátrix: a sorainak és az oszlopainak a száma egyenl : a a... a n a a... a n A :=... Rn n a n a n... a nn.a n-edrend egységmátrix: f átló E n := (n-edrend mátrix)..b n-edrend diagonális mátrix: a f átlón kívüli elemek mind nullák: a... a... a a nn.c n-edrend alsóháromszög-mátrix: a f átló feletti elemek mind nullák: a... a a... a a a a n a n a n... a nn

19 4.. M veletek mátrixokkal 9.d n-edrend fels háromszög-mátrix: a f átló alatti elemek mind nullák: a a a... a n a a... a n a... a n a nn 4.. M veletek mátrixokkal. Transzponálás. Deníció. Az m n-es a a a... a n a a a... a n A := a a a... a n R m n.... a m a m a m... a mn mátrix transzponáltjának nevezzük a sorok és az oszlopok felcserélésével kapott mátrixot: a a a... a m a a a... a m A T := a a a... a m R n m..... a n a n a n... a mn Az m n-es mátrix transzponáltja tehát egy n m-es mátrix. Ha például [ ] A := R4, akkor A T = R Deníció. Az n-edrend A = [a ik ] R n n mátrix szimmetrikus, ha A T = A, antiszimmetrikus, ha A T = A.

20 4. Mátrixok Nyilvánvaló, hogy egy A = [a ik ] n-edrend mátrix pontosan akkor szimmetrikus, ha az elemei a f átlóra szimmetrikusak, azaz a ik = a ki (i, k =,,..., n); illetve pontosan akkor antiszimmetrikus, ha a f átlóra szimmetrikus elemek egymás ellentettjei, azaz a ik = a ki (i, k =,,..., n). Speciálisan: a ii = a ii -b l következik, hogy a ii = (i =,,..., n), tehát antiszimmetrikus mátrix f átlójában minden elem.. Két mátrix összege (csak azonos típusú mátrixok esetén értelmezzük). Deníció. Az m n-es A = [a ik ], B = [b ik ] R m n mátixok összegét így deniáljuk: a + b a + b a + b... a n + b n a + b a + b a + b... a n + b n A + B :=.... Rm n. a m + b m a m + b m a m + b m... a mn + b mn. Mátrix számszorosa. Deníció. Ha A = [a ik ] R m n és λ R, akkor λa λa λa... λa n λa λa λa... λa n λa :=.... Rm n. λa m λa m λa m... λa mn 4. Két mátrix szorzata (csak akkor értelmezzük, ha az els tényez oszlopainak a száma egyenl a második tényez sorainak a számával). Deníció. Az m n-es A = [a ik ] R m n és az n p-s B = [b ik ] R n p mátrixok szorzatának nevezzük és A B-vel jelöljük azt az m p-s C = [c ik ] mátrixot, amelynek c ik eleme c ik := a i b k + a i b k + + a in b nk = n a il b lk l= (i =,,..., m; k =,,..., p). A C szorzatmátrix i-edik sorában és k-adik oszlopában álló elemet tehát úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix i-edik sorának és a B mátrix k-adik oszlopának

21 4.. M veletek mátrixokkal megfelel elemeit összeszorozzuk és a szorzatokat összeadjuk, vagyis a C szorzatmátrix c ik eleme az A mátrix i-edik sorvektorának és a B mátrix k-adik oszlopvektorának a skaláris szorzata. (Ezért szokás azt is mondani, hogy két mátrix szorzatát sor-oszlopszorzással deniáljuk.) Szorozzuk össze példaként az A := R4, és a B = mátrixokat. Ezek A B szorzata képezhet : [ ] A B = 4 = = ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) 4 + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + [ ] 4 R 4 = 8 4. A fenti két mátrix esetén a B A szorzat nem képezhet, mert B oszlopainak a száma különbözik A sorainak a számától. Világos, hogy az A R m n és a B R p q mátrixokra az A B és az B A szorzat akkor és csak akkor képezhet, ha m = q és n = p. Ebben az esetben A B R m m és B A R n n, ami azt jelenti, hogy a mátrixszorzás kommutativitásáról csak négyzetes mátrixok esetén lehet szó. Jegyezzük meg jól, hogy a mátrixszorzás nem kommutatív: Ezt mutatja a következ példa: [ ] [ ] = A B B A. [ ] [ ] [ ] = [ ]. Bizonyos A és B mátrixok esetén persze el fordulhat, hogy teljesül az A B = B A egyenl ség. Ilyen speciális eset például az, amikor az egyik tényez a zérusmátrix vagy az egységmátrix. Ekkor érvényesek az alábbi azonosságok: A = A = (A, R n n ), A E n = E n A = A (A, E n R n n ).

22 4. Mátrixok Deníció. Az n-edrend A, B R n n mátrixok felcserélhet k (egymással kommutálnak), ha A B = B A. A mátrixm veletek tulajdonságai o A R m n halmazban bevezetett összeadás m velete (i) kommutatív: A + B = B + A (A, B R m n ); (ii) asszociatív: (A + B) + C = A + (B + C) (A, B, C R m n ); (iii) a zérusmátrixra a következ teljesül: A + = A (A R m n ) (a zérusmátrix az R m n tér nulleleme); (iv) minden A R m n mátrix esetén a A R m n mátrixra A+( A) = teljesül. ( A az A mátrix ellentettje). o Az R m n halmazban bevezetett számmal való szorzás m velete az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: (i) A = A (A R m n ); (ii) (λµ)a = λ(µa) (λ C, A R m n ); (iii) (λ + µ)a = λa + µa (λ, µ C, A R m n ); (iv) λ(a + B) = λa + λa (λ C, A, B R m n ). o A mátrixok között értelmezett szorzás (i) nem kommutatív; (ii) asszociatív: (A B) C = A (B C) (A R m n, B R n p, C R p q ). (iii) disztributív: A (B + C) = A B + A C) (A R m n, B, C R n p ) (A + B) C = A C + B C) (A, B R m n, C R n p ). 4 o A transzponálás tulajdonságai: ( (i) ) A T T = A (A R m n ). (ii) (A + B) T = A T + B T (A, B R m n ). (iii) (A B) T = B T A T (A R m n, B R n p ). Kapcsolat az R m n és az R m n terek között Figyeljük meg, hogy a mátrixok között értelmezett összeadás és a valós számmal való szorzás m veletek ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az R n -beli vektorok között értelmezett hasonló m veletek. A.. pont végén tett megjegyzések alapján tehát azt is mondhatjuk, hogy R m n (vagy pontosabban az ( R m n, +, λ ) struktúra) R feletti lineáris tér (vagy R feletti vektortér). Igen egyszer en meg tudjuk adni ennek a térnek egy bázisát.. tétel. Legyen m és n tetsz leges természetes szám és i m, j n indexek esetén E ij jelölje azt a mátrixot, amelynek i-edik sorának j-edik oszlopában

23 4.. Feladatok, a többi helyen pedig áll. Ekkor az m n számú E ij R m n ( i m, j n) mártixrendszer bázis az R m n lineáris térben, ezért a dimenziószáma m n, azaz dim R m n = m n. Tekintsük most a rendezett valós szám (m n)-esek R m n lineáris terét. A.. pontban mondottak szerint ennek dimenziószáma m n, azaz dim R m n = m n. Természetes megfeleltetést tudunk létesíteni a mátrixok Rm n halmaza és az R m n vektorhalmaz között. Egy ilyen leképezésre példa az a ϕ : R m n R m n függvény, amelyik egy A R m n mátrixhoz azt az a R m n vektort rendeli, amit úgy kapunk, hogy A sorait egymás után leírjuk. Nyilvánvaló, hogy ez a leképezés bijekció (kölcsönösen egyértelm megfeleltetés) az R m n és az R m n halmazok között. Egyszer en igazolható az is, hogy ϕ m velettartó, azaz a ϕ(λa + µb) = λϕ(a) + µϕ(b) egyenl ség minden A, B R m n mátrixra és minden λ, µ valós számra fennáll. Ezt a tényt röviden úgy fejezzük ki, hogy az R m n és az R m n lineáris terek izomorfak. A két tér tulajdonságai tehát ugyanazok, csak az elemeik természete különbözik. Ezért az egymással izomorf terek között nem teszünk különbséget, azonosaknak tekinthetjük ket. 4.. Feladatok M veletek mátrixokkal. Legyen A = [ ], B =, C =, D =. 4 Mi az értéke a következ mártixkifejezések közül azoknak, amelyek értelmezve vannak: A + C, AB, A + B T, CD D, C, AD B, D T D?

24 4 4. Mátrixok. Végezze el a következ szorzásokat: [ ] 7 x x, y, z 6 y. 5 z. Számítsa ki az AB és a BA mátrixokat, ha 4 A = 5 5, B = Határozza meg az A := A A mátrixot, ha [ ] [ ] a a cos ϕ sin ϕ (a) A := (b) A :=, a sin ϕ cos ϕ ahol a, illetve ϕ tetsz leges valós szám. 5. Egy cég három gyárában négyféle terméket állít el. Az 4 5 A := mátrix a ij eleme jelentse az i-edik gyárban egy nap alatt el állított j-edik termék számát. A 4 p := 6 5 vektor j-edik komponense a j-edik termék egységára. Mekkora az egy nap alatt el állított termelési érték gyáranként? 6. Egy üzem háromféle alapanyagból (A, A, A ) kétféle félkészterméket (F, F ), majd ezekb l háromféle végterméket (V, V, V ) állít el. Az anyagszükségletek a következ k: F := A A A F F 4, V := F F V V V 4.

25 4.. Feladatok 5 (a) Mekkora az egyes termékek alapanyagszükséglete? (b) Mekkora az alapanyagszükséglet, ha V -b l db-ot, V - b l 5 db-ot és V -ból 5 db-ot gyártanak? 7. Egy üzem négyféle alapanyagból (A, A, A, A 4 ) háromféle félkészterméket (F, F, F ), majd ezekb l kétféle végterméket (V, V ) állít el. Az anyagszükségletek a következ k: F := A A A A 4 F F F, V := F F F V V 4. (a) Mekkora az egyes termékek alapanyagszükséglete? (b) Mekkora az alapanyagszükséglet, ha V -b l 4 db-ot, V - b l 5 db-ot gyártanak? 8. Egy kereskedelmi cég n féle terméket forgalmaz m boltjában. Az A mátrix a ij eleme jelentse a j-edik termék i-edik boltban egy hónap alatt forgalmazott mennyiségét. A p vektor p i komponense jelölje az i-edik termék egyszégárát. Az A mátrix, az p vektor, az e i (a kanonikus bázisvektor), valamint az (az az oszlopvektor, amelynek minden koordinátája ) vektorok segítségével írja fel: (a) az r-edik boltban a q-adik áruból eladott mennyiséget; (b) az r-edik bolt bevételét termékenként; (c) a q-adik termék eladásából származó bevételt; (d) az egy hónap alatt eladott termékmennyiséget termékenként; (e) a havi összbevételt. 9. n bank m különböz valuta eladásával foglalkozik. Jelentse a P mátrix p ij eleme az i-edik valutából a j-edik bankban egy hónap alatt eladott mennyiséget, az A mátrix a ij eleme pedig az i-edik valuta j-edik bank szerinti árfolyamát forintban. A P, az A, a diagonális mátrix, valamint az egységvektorok felhasználásával adja meg: (a) a k-adik bank havi deviza eladását devizánként; (b) a k-adik bank l-edik devizájának forintárfolyamát; (c) az s-edik bank havi devizaeladását forintban; (d) az s-edik bank havi devizánkénti forgalmát forintban.

26 6 4. Mátrixok. Határozza meg mindazon B mátrixokat, amelyek az mátrixszal felcserélhet k. A = [ ]. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy A R és A T felcserélhet legyen?

27 5. Négyzetes mátrix determinánsa 7 5. Négyzetes mátrix determinánsa 5.. A determináns deníciója Most minden négyzetes mátrixhoz alkalmas módon hozzárendelünk egy számot, amit a mátrix determinánsának fogunk nevezni. A deníciót rekurzióval adjuk meg. Ez azt jelenti, hogy el ször -es (azaz másodrend ) mátrix determinánsát értelmezzük. Utána megmondjuk azt, hogy ha tetsz leges (n )-edrend mátrix determinánsát már ismerjük, akkor hogyan értelmezzük tetsz leges n-edrend mátrix determinánsát. Szükségünk lesz a következ denícióra: az A = [a ik ] R m n mátrix (ahol m, n egész szám) a ik eleméhez tartozó minormátrixán azt az (m ) (n )- es, A ik -vel jelölt mátrixot értjük, amelyet A-ból úgy kapunk, hogy elhagyjuk annak i-edik sorát és k-adik oszlopát. Ha például akkor A := R5 4, A = 7 R 4, A 4 = 4 R Deníció. o A másodrend [ ] a a R a a mátrix determinánsát így értelmezzük: det A := a a a a := a a a a. o Tegyük fel, hogy tetsz leges (n )-edrend mátrix determinánsát már értelmeztük. Ekkor az n-edrend A = [a ik ] R n n mátrix determinánsát az els sor szerinti kifejtéssel így deniáljuk: a a... a n n det A :=... := ( ) +k a k det A k, a n a n... a nn k=

28 8 5. Négyzetes mátrix determinánsa ahol A k az A mátrix a k eleméhez tartozó (n )-edrend minormátrix. Így tetsz leges rend mátrix determinánsát értelmeztük. Például: 4 7 det 9 = = ( 4 8 9) 4 (( ) 4 6 9) + 7 (( ) 8 6 ) =. Megjegyzés. Harmadrend (és csak harmadrend ) mátrix determinánsát a következ módon (Sarrus-szabály) is kiszámolhatjuk: a a a a a a a a det a a a = a a a a a = a a a a a a a a = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. (Igazoljuk ezt az állítást!) 5.. A determináns elemi tulajdonságai Egy magasabb rend mátrix determinánsának a kiszámolása a deníció alapján elég körülményes. Gondoljuk meg például azt, hogy egy negyedrend mátrix esetén 4 harmadrend (azaz másodrend ) mátrix determinánsát kell meghatározni. Most felsorolunk olyan állításokat, amelyek sok esetben megkönnyítik mátrix determinánsának a kiszámítását.. Ha egy mátrix egyik sorának (vagy oszlopának) minden elemét a λ számmal megszorozzuk, akkor a determinánsa λ-val szorzódik. Például: det [ ] [ ] = det. 4 4 (Közös tényez egy sorból (vagy oszlopból) kiemelhet.). Ha egy mátrix egy sorának (vagy oszlopának) minden eleme nulla, akkor a determinánsa is.

29 5.. A determináns elemi tulajdonságai 9. a a... a n... det b i + c i b i + c i... b in + c in =... a n a n... a nn a a... a n a a... a n = det b i b i... b in + det c i c i... c in a n a n... a nn a n a n... a nn 4. Alsóháromszög-, illetve fels háromszög-mátrix determinánsa a f átlóban lev e- lemek szorzata: a... a a... a n a a... det... = det a... a n... = a a... a nn. a n a n... a nn... a nn 5. Ha egy mátrixban két sort (vagy oszlopot) felcserélünk, akkor a determinánsa ( )-szeresére változik. 6. Ha egy A mátrixban két sor (vagy oszlop) megegyezik, akkor det A =. 7. Ha egy mátrix egyik sorához (vagy oszlopához) hozzáadjuk egy másik sor (vagy oszlop) λ-szorosát, akkor a mátrix determinánsa nem változik. 8. Egy mátrix determinánsa tetsz leges sor szerinti kifejtéssel is meghatározható, azaz tetsz legesen rögzített i =,,..., n index esetén (az i-edik sor szerinti kifejtés) a a... a n... det a i a i... a in =... a n a n... a nn n ( ) i+k a ik det A ik, ahol A ik (k =,,..., n) az A mátrix a ik eleméhez tartozó minormátrix. k=

30 5. Négyzetes mátrix determinánsa 9. Egy mátrix determinánsa tetsz leges oszlop szerinti kifejtéssel is meghatározható, azaz tetsz legesen rögzített k =,,..., n index esetén (a k-adik oszlop szerinti kifejtés) a... a k... a n... n det a i... a ik... a in = ( ) i+k a ik det A ik,... i= a n... a nk... a nn ahol A ik (i =,,..., n) az A mátrix a ik eleméhez tartozó minormátrix.. Ha egy mátrix sorait és oszlopait felcseréljük, akkor a determinánsa nem változik, azaz det A = det A T, ahol A T az A transzponáltja.. Az n-edrend A és B mátrixok szorzatának a determinánsa egyenl a két mátrix determinánsának a szorzatával: (A determinánsok szorzástétele.) 5.. Feladatok det A B = det A B.. Az elemi tulajdonságok alkalmazásával számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát: 4 a b + c a a a (a) 9, (b), (c) b a + c, (d) a a x, 4 6 c a + b a a x (e), (h) 6 9, 4 (i) (f), (g) 4,

31 5.. Feladatok (d) ; (e) ; (f) Legyen A =. Számítsa ki az A T A mátrixot és ennek a determinánsát.. Bizonyítsa be, hogy a a det b b = (b a)(c a)(c b). c c 4. A Vandermonde-féle determináns: Igazolja, hogy tetsz leges a,..., a n valós számok esetén a a... a n a a... a n det.... = a n a n... a n n i<j n (a j a i ).

32 6. Téglalapmátrix és vektorrendszer rangja 6. Téglalapmátrix és vektorrendszer rangja 6.. Mátrix rangjának a deníciója Emlékeztetünk arra, hogy az R n -beli a, a,..., a m vektorrendszer rangján a bel lük kiválasztható lineárisan független vektorok maximális számát értjük. Tegyük fel, hogy az iménti vektorrendszer rangja r ( = rang (a,..., a m ) ), és a vektorok úgy vannak indexelve, hogy az a,..., a r vektorok lineárisan függetlenek. Ekkor az a, a,..., a m vektorok ugyanazt az alteret generálják (ugyanazt az alteret feszítik ki), mint az a, a,..., a r vektorok, azaz a, a,..., a m = a, a,..., a r, következésképpen a, a,..., a r az a, a,..., a m altér egy bázisa. Ebb l az is következik, hogy a vektorok által generált altér dimenziója egyenl a vektorrendszer rangjával: dim a, a,..., a m = rang (a, a,..., a m ). Vegyük észre azt, hogy minden esetben r m. Ha r < m áll fenn, akkor a megadott a, a,..., a m vektorok által generált altér m-nél kisebb számú vektorral (például az a, a,..., a r vektorokkal) is generálható. Ezért fontos a már korábban is felvetett kérdés: Tetsz legesen megadott R n -beli a, a,..., a m vektorok közül hogyan választható ki maximális számú lineárisan független vektor, vagyis hogyan határozható meg a vektorrendszer által generált altér egy bázisa? Az eddig rendelkezésünkre álló eszközök birtokában persze a válasz a következ : Lineáris egyenletrendszer megoldásával már el tudjuk dönteni, hogy adott vektorok összefügg k-e vagy függetlenek. Az a -b l kiindulva sorba egymás után el tudjuk dönteni, hogy a következ vektor lineárisan független-e a megel z kt l. Ha igen, akkor meghagyjuk, az ellenkez esetben kidobjuk. Látható, hogy ez az eljárás már kevés számú vektor esetén is sok számolást igényel. A 6.. pontban egy ennél rövidebb, sokkal kevesebb számolást igényl módszert mutatunk ilyen vektorok kiválasztására. Ehhez szükségünk lesz a más szempontból is hasznos fogalomnak, a mátrix rangjának a deníciójára.

33 6.. Mátrix rangjának a deníciója El ször néhány jelölést és elnevezést vezetünk be. Legyen adott az m n-es a a a k a n.... A := a i a i a ik a in.... a m a m a mk a mn mátrix. Jelöljük a k-adik oszlopvektorát a k -val, az i-edik sorvektorát pedig α i-vel. Ekkor a k egy m-dimenziós oszlopvektor, α i pedig egy n-dimenziós sorvektor: a k = a k. a mk R m ( vagy R m ), α i = [a i, a i,..., a in ] R n ( vagy R n ). Ezekkel a jelölésekkel az A mátrixot így is írhatjuk: α α A = [a, a,..., a n ] =. Minden mátrixhoz két lineáris alteret rendelhetünk hozzá: az egyik az oszlopvektorai által generált altér (ez az m-dimenziós R m -térnek egy altere), a másik a sorvektorai által generált altér (ez pedig az n-dimenziós R n -térnek egy altere). Be lehet látni azt, hogy a két altér dimenziója egyenl.. tétel. Tetsz leges A R m n mátrix oszlopvektorterének dimenziója megegyezik a sorvektorterének a dimenziójával, ezért az oszlopvektorrendszerének a rangja megegyezik a sorvektorrendszerének a rangjával, azaz rang (a, a,..., a n ) = rang (α, α,..., α m). Ezt a természetes számot az A mátrix rangjának nevezzük és a rang A szimbólummal jelöljük. Megjegyzések. o Nyilvánvaló, hogy α m rang A min(m, n). o Vegyük észre azt, hogy néhány olyan esetben, amikor a mátrix csak vagy elemet tartalmaz, akkor a rangja ránézésre megállapítható. Nyilvánvaló például.

34 4 6. Téglalapmátrix és vektorrendszer rangja az, hogy rang =, rang =. Ezt az észrevételt így általánosíthatjuk: Ha egy mátrix csak és elemeket tartalmaz úgy, hogy bármelyik sorban és oszlopban legfeljebb egyetlen -es áll, akkor az ilyen mátrix rangja a zérustól különböz elemek számával egyenl. Mátrix rangját determinánsokkal is lehet jellemezni. Nevezzük az A R m n mátrix minormátrixának azokat a mátrixokat, amelyek A-ból bizonyos számú sora, illetve oszlopa elhagyásával keletkeznek. Fennáll a következ állítás:. tétel. Az n-edrend A R n n mátrix rangja akkor és csak akkor r, ha A-nak van olyan r-edrend minormátrixa, amelynek a determinánsa nullától különböz, de minden r-nél magasabb rend minormátrixának a determinánsa nulla. 6.. Mátrix rangjának a meghatározása Mátrix rangjának meghatározása szempontjából rendkívül fontos az a tény, hogy bizonyos mátrixokon elvégzett m veletek nem változtatják meg a mátrix rangját. Ezzel kapcsolatos a következ állítás.. tétel. Az A R m n mátrix rangja nem változik meg, ha a mátrix (a) két sorát felcseréljük, vagy (b) egy sorát tetsz leges nem nulla számmal megszorozzuk, vagy (c) egy sorvektorának tetsz leges számszorosát hozzáadjuk egy másik sorhoz. A tételben leírt m veleteket elemi sorm veleteknek nevezzük. Hasonlóan értelmezhetjük az elemi oszlopm veleteket is, amelyekre hasonló állítás érvényes. Megállapodunk még abban is, hogy az azonos típusú A és B mátrixokat ekvivalensnek nevezzük (jelben A B), ha a rangjuk megegyezik. Bármely mátrixból kiindulva elemi sor- vagy oszlopm veletek egymás utáni alkalmazásával mindig olyan, vele ekvivalens mátrixhoz juthatunk, ami csak és elemeket tartalmaz úgy, hogy bármelyik sorban és oszlopban legfeljebb egyetlen - es áll. Ezt az észrevételt a fenti állítással kiegészítve a következ jól használható módszert kapjuk mátrix rangjának meghatározásához. Elemi sor- és oszlopm veletek segítségével minden mátrixból olyan vele ekvivalens mátrix képezhet, amelynek minden sorában és minden oszlopában legfeljebb egy zérustól különböz elem áll. Ha már ilyen felépítés mátrixhoz jutottunk, akkor a rang egyszer en a zérustól különböz elemek számával egyenl.

35 6.. Vektorrendszer rangjának meghatározása 5. példa. Határozzuk meg a mátrix rangját. Megoldás. 4 A := A = Az A mátrix rangja tehát Vektorrendszer rangjának meghatározása A fentiek alapján vektorrendszer rangjának a meghatározására is egy igen egyszer a továbbiak szempontjából is fontos, ezért begyakorlandó technika adódik: A vektorrendszerb l képezzünk egy mátrixot úgy, hogy a megadott vektorokat a mátrix oszlopaiba írjuk, majd az ismertetett módon meghatározzuk ennek a mátrixnak a rangját. Ez a szám, mint tudjuk az oszlopvektoraiból kiválasztható lineárisan független vektorok számával, tehát a vektorrendszer rangjával egyenl. Az eljárás végén az adott vektorrendszerb l ki tudjuk választani a lineárisan független vektorokat is. Megjegyzés. Vegyük észre azt, hogy az ismertetett technikával vektorrendszer lineáris függetlenségének (összefügg ségének) a problémáját is lehet kezelni, és ez az új módszer egyszer bb a korábban megismert módszernél (egyenletrendszer megoldásánál).. példa. Határozzuk meg az 4 a :=, a :=, a := 5, a 4 := vektorok által generált altér dimenzióját, és adja meg az altér egy bázisát. Megoldás. A vektorokból el ször egy mátrixot kászítünk: 4 A = [a, a, a, a 4 ] = 5, 5 7 5

36 6 6. Téglalapmátrix és vektorrendszer rangja majd meghatározzuk ennek a rangját. Az el z példában látuk, hogy A = 4 5, tehát A rangja. Ez azt jelenti, hogy az oszlopvektorok (vagyis a i -k) közöt van két lineárisan független vektor, de bármelyik három már lineárisan összefügg. Fogadjuk el azt a tényt, hogy az elemi sor/oszlop-m veletek során a sor/oszlopvektorok lineáris összef gg sége/függetlensége nem változik, és fordítsuk gyelmünket az utolsó mátrixra. Ebben az els két oszlop (következésképpen az eredeti a, a vektorok) lineárisan függetlenek. A csupa oszlopok azt jelentik, hogy a nekik megfelel vektorok (a és a 4 ) kifejezhet k az a, a lineáris kombinációjával. (Aki akarja az egyenletrendszeres módszerrel ezeket ellen rizheti.) Ez tehát azt jelenti, hogy az a, a lineárisan független vektorok ugyanazt az alteret feszítik ki, mint az a, a, a, a 4 vektorok: Az altér egy bázisa tehát a, a. a, a, a, a 4 = a, a, 6.4. Feladatok. Határozza meg az alábbi mátrixok rangját: 4, 4, Határozza meg az a :=, a :=, a :=, a 4 :=, a 5 :=. vektorrendszer rangját.. A t valós paraméter minden értéke mellett határozza meg az alábbi mátrixok t-t l függ rangját: t t t t 6,. t + 4 t t

37 6.4. Feladatok 7 4. Az a és b paraméterek mely értékei mellett lesz az alábbi mátrix rangja 4: 7 5 a 5. b 5. Határozza meg, hogy az a és b paraméterek mely értékére lesz az alábbi vektorrendszer rangja,,, 4 illetve 5! a 8 a :=, a :=, a 7 := 4, a 4 4 := 8 4, a b 5 := Határozza meg az a :=, a :=, a :=, a 4 := 6 vektorok által generált altér dimenzióját, és adja meg az altér egy bázisát. 7. Határozza meg az a :=, a :=, a := 4 5 8, a 4 := 7 7, a 5 := 7 4 vektorok által generált altér dimenzióját, és adjuk meg az altér egy bázisát. 7

38 8 7. Négyzetes mátrix inverze 7. Négyzetes mátrix inverze 7.. Mátrix invertálhatóságának és inverzének az értelmezése El ször a valós számok egy fontos tulajdonságát idézzük fel: minden nemnulla a R számhoz egyértelm en létezik olyan b valós szám, amit a-val szorozva, a szorzásra nézve kitüntetett elemet, vagyis -et kapunk: a b =. (7.) Ezt a b számot a reciprokának (vagy a szorzásra vonatkozó inverzének) neveztük (ez utóbbi elnevezést ritkán használtuk), és az a vagy az a szimbólummal jelöltük. A négyzetes mátrixok körében is értelmeztük a szorzás m veletét, ezért hasonló kérdést ott is feltehetünk. R n n -ben a szorzásra nézve a kitüntetett elem az n- edrend E n egységmátrix. Adott A R n n esetén kérdezhetjük tehát azt, hogy van-e olyan n-edrend B mátrix, hogy A B = E n. (7.) Mivel R-ben is volt a-ra feltétel a (7.) egyenl séget kielégít b szám létezésére (az, hogy a ), ezért várható, hogy mátrixok esetén is kell A-ra feltétel, hogy létezzen a (7.) egyenl séget kielégít B mátrix. Az A mátrixot akkor fogjuk invertálhatónak nevezni, ha létezik hozzá ilyen B mátrix. Deníció. Azt mondjuk, hogy az n-edrend A R n n mátrix invertálható (van inverze), ha létezik olyan B R n n mátrix, amelyre A B = B A = E n teljesül, ahol E n az n-edrend egységmátrix. A B mátrixot az A mátrix inverzének nevezzük és az A szimbólummal jelöljük. A deníció a következ kérdéseket veti fel:. Hogyan lehet jellemezni azokat a mátrixokat, amelyeknek van inverze?. Az inverzmátrixot hogyan lehet kiszámolni? A továbbiakban ezekre a kérdésekre válaszolunk.

39 7.. Az inverzmátrix létezése és tulajdonságai Az inverzmátrix létezése és tulajdonságai Igazolható, hogy ha A-nak van inverze, akkor az egyértelm en meghatározott. Több olyan feltétel is megadható, amelyek biztosítják mátrix inverzének a létezését. Ezeket soroljuk fel a következ állításban.. tétel. Az n-edrend A R n n mátrix invertálható ha det A ; ha sorvektorai, illetve oszlopvektorai lineárisan függetlenek; ha rang A = n. Azokat a négyzetes mátrixokat, amelyek invertálhatók reguláris mátrixnak is nevezzük. A mátrix szinguláris, ha nem invertálható. Érdemes megjegyezni az inverzre vonatkozó alábbi állításokat.. tétel. Legyen A és B n-edrend invertálható mátrix. Ekkor (i) det ( A ) = (det A) ; (ii) A inverze is invertálható és (A ) = A. (iii) A transzponáltja, A T is invertálható és (A T ) = (A ) T ; (iv) A B is invertálható és (A B) = B A. 7.. Az inverzmátrix meghatározása az adjungálttal Deníció. Az n-edrend A R n n mátrix adjungáltjának nevezzük és az adj A = [â ik ] szimbólummal jelöljük azt az n-edrend mátrixot, amelynek elemei â ik := ( ) i+k det A ki (i, k =,,..., n), ahol A ki az A mátrix a ki eleméhez tartozó minormátrix. Az adj A mátrixot tehát így kapjuk meg: () az A mátrixot a f átlójára tükrözzük, azaz vesszük az A transzponáltját; () A -ben minden elemet kicseréljük a hozzá tartozó minormátrix determinánsának a sakktábla-szabály szerinti el jelezésével. Legyen például 4 A := 4 5 6, azaz A = 5. 6

40 4 7. Négyzetes mátrix inverze Ekkor 9 adj A = Például a. sor. elemét (6-ot) úgy kaptuk meg, hogy A -ben vettük a. sor. eleméhez tartozó minormátrix determinánsát: [ ] 4 det = 6 4 = 6, 6 és ezt elláttuk a sakktábla-szabály szerint adódó el jellel. A determináns elemi tulajdonságait felhasználva egyszer en igazolható, hogy Ebb l már következik az alábbi állítás. A adj A = adj A A = (det A) E n.. tétel. Az n-edrend A R n n mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha det A. Ekkor inverze egyértelm, és A = adj A. det A A fenti A mátrix esetén det A =, ezért a mátrix invertálható és A = Az inverzmátrix meghatározása elemi sortranszformációkkal Mátrix invertálhatóságának vizsgálatához és inverzének az el állításához a legegyszer bb általános módszert a rang meghatározásánál ismertetett elemi sorm veletek segítségével nyerünk. E módszer alapja a következ észrevétel: mindegyik sorm velet eredményeként kapott mátrixot felírhatjuk úgy, hogy az adott mátrixot balról megszorozzuk egy alkalmas mátrixszal.

41 7.4. Az inverzmátrix meghatározása elemi sortranszformációkkal 4 Az m-edrend S mátrixot elemi mátrixnak nevezzük, ha S az m-edrend E m mátrixból elemi sorm veletekkel kapott mátrix. Lássunk néhány példát elemi mátrixra:, 4,. Igazolhatók az alábbi állítások:. Ha S m-edrend elemi mátrix és A tetsz leges m n-es mátrix, akkor az S A mátrix egyenl azzal a mátrixszal, amit A-ból az S-nek megfelel elemi sorm velettel nyerünk. Tekintsük például az A := mátrixot, és az els sor háromszorosát adjuk hozzá a harmadik sorhoz. Ezt így is megkaphatjuk: 6 = 6 = S A Mivel det E m =, ezért a determinánsok elemi tulajdonságaiból azonnal adódik, hogy. minden S elemi mátrix invertálható, és az inverze is elemi mátrix.. Az n-edrend A R n n mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha A- ból elemi sorm veletekkel az E n egységmátrix megkapható, azaz A ekvivalens az E n egységmátrixszal. Tegyük most fel, hogy A R n n invertálható. Ekkor A (mondjuk) k számú elemi sorm velettel az egységmátrixba transzformálható, azaz léteznek olyan S, S,..., S k elemi mátrixok, hogy S k... S S A = E n. (7.) Vegyük mindkét oldal inverzét: E n = E n = ( S k... S S A ) = A S S... S k,

42 4 7. Négyzetes mátrix inverze majd szorozzuk meg ezt egyenletet jobbról, egymás után az S k,..., S, S mátrixokkal: A = E n S k... S S. (7.4) A (7.) és a (7.4) egyenl ség a következ t jelenti: az A mátrixot az E n egységmátrixból megkapjuk úgy, hogy E n -re azokat a sorm veleteket alkalmazzuk, amelyek A-t az E n egységmátrixba transzformálják. Az eddigieket összefoglalva a következ módszert kapjuk: Az A R n n mátrix mellé írjuk le az E n egységmátrixot. Elemi sorm veleteket végzünk az [A E n ] mátrixon. Az A mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha A az egységmátrixba transzformálható, azaz [A E n ]-b l az [E n B] mátrix nyerhet. Ebben az esetben A inverze a B mátrix. Ha A-ból elemi sorm veletekkel nem lehet megkapni az E n mátrixot, akkor A nem invertálható.. példa. Az ismertetett módszerrel határozzuk meg az mártix inverzét. Megoldás Az A mátrix tehát invertálható és A := A = 5. 5