és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.."

Átírás

1 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n oszlopból áll akkor m n-es mátrixról beszélünk Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete a sorok száma pedig a függőleges mérete Példák -es mátrix 4 -es 5 -as 4 -es 5 -es Az A mátrix i-edik sora j-edik elemét általában a ij -vel jelöljük így az m n-es mátrix a a a n a a a n A vagy röviden a ij ill a ij i m j n a m a m a mn A valós számokból alkotott m n-es mátrixok halmazát R m n -nel jelöljük Minden n-dimenziós v v v n R n vektor azonosítható a v v n n-es ún sormátrixszal is v v n n -es ún oszlopmátrix szal és a III Definíció A mátrixot négyzetesnek hívjuk ha sorainak és oszlopainak száma azonos A négyzetes mátrix főátlója a bal felső elemet a jobb alsó elemmel összekötő átló folyamatos vonal jelöli lentebb mellékátlója a jobb felső és a bal alsó elem között húzódó átló szaggatott vonal jelöli ugyanott Determinánsok a a n a n a nn Minden négyzetes mátrixhoz tartozik egy meghatározó valós szám neve determináns Az n n-es A mátrix determinánsának jele deta vagy a a n a n a nn Először a -es és a -as mátrixok determinánsát definiáljuk a nagyobbakat később rekurzív módon Definíció -es: -as: a b c d ad bc a b c d e f aei + bfg + cdh ceg afh bdi g h i E két szabály könnyen megjegyezhető: a b c d ad bc A főátló folyamatos vonallal jelölve két elemének szorzatából kivonjuk a mellékátló pontozott vonallal jelölve két elemének szorzatát a b c a b d e f d e aei + bfg + cdh ceg afh bdi g h i g h Először a mátrix első két oszlopát a determináns mögé másoljuk Utána a főátló elemeit összeszorozzuk majd hozzáadjuk a vele párhuzamosan elhelyezkedő két számhármas szorzatát folyamatos vonalak ebből kivonjuk a

2 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév mellékátlóbeli elemek szorzatát és a vele párhuzamos két számhármas szorzatát pontozott vonalak Az eljárás neve Sarrus-szabály A -es és a -as determináns definíciójában is a tagok olyan szorzatok melyekben minden sorból egy tényező szerepel és minden oszlopból is Pl a -as determináns utolsó tagja bdi melyben b az első sor d a második sor i a harmadik sor eleme míg az oszlopokat tekintve b a másodikhoz d az elsőhöz és i a harmadikhoz tartozik! 6 ilyen szorzat van Példák a 4 4 b c a b c a c {{ b ac d e a b c d e f a b d + + a d f + b {{ e + c {{ c {{ d a {{ e b f adf {{ Definíció Egy determinánsban valamely elem aldeterminánsának nevezzük az adott elem sorának és oszlopának elhagyásával keletkező kisebb determinánst Az A négyzetes mátrix i-edik sora j-edik eleméhez a ij tartozó aldeterminánst A ij -vel jelöljük mátrix aldeterminánsainak mérete n n Az n n-es A nagyobb méretű determinánsok definícióját megadhatjuk eggyel kisebb méretű aldeterminánsok segítségével az eljárás neve determináns kifejtése aldeterminánsokkal Definíció Egy determináns rekurzív módon aldeterminánsokkal úgy kapható meg hogy tetszőlegesen választott sorban vagy oszlopban minden elemet megszorzunk a hozzá tartozó aldeterminánssal majd a kapott szorzatokat a sakktáblaszabály szerinti előjelnek megfelelően összeadjuk ill kivonjuk Bizonyításra szorul hogy bármely sor vagy oszlop szerint számolva azonos eredményt kapunk Azt is ellenőrizni kell hogy a -as determináns értéke a Sarrus-szabály és a kifejtések szerint megegyezik Az utóbbi pl az első sor szerinti kifejtésre: a b c d e f g h i a e h f i b d g f i + c d g e h aei fh bdi fg + cdh eg aei afh bdi + bfg + cdh ceg aei + bfg + cdh ceg afh bdi A sakktáblaszabálynál az i-edik sor j-edik előjelét i+j is megadja: Ezt felhasználva a determináns első sor szerinti kifejtése a a a a a a a a a a A a A + a A

3 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév Általában az i-edik sor szerint a j-edik oszlop szerint kifejtve pedig deta deta n i+j a ij A ij j n i+j a ij A ij i Az előző c példában a determinánst az első sor szerint kifejtve + {{{{{{ a második sor szerint a harmadik oszlop szerint pedig + {{{{ {{ + {{{{{{ A többi három kifejtés harmadik sor szerinti első oszlop szerinti második oszlop szerinti hasonlóan számolható ki 4 Definíció Felső háromszögmátrix nak nevezzük az olyan négyzetes mátrixot amelyiknek minden főátló alatti eleme nulla Az alsó háromszögmátrix olyan négyzetes mátrix melynek minden főátló fölötti eleme nulla A diagonálmátrix olyan négyzetes mátrix amelyik a főátlóján kívül csak nulla elemeket tartalmaz A diagonálmátrix egyszerre felső és alsó háromszögmátrix Állítás Minden háromszögmátrix determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata Bizonyítás Felső háromszögmátrix determinánsát számoljuk ki alsóra hasonló a bizonyítás A determinánsokat minden esetben az első oszlop szerint kifejtve a a a a n a a a n a a a n a a a n a a n a a n a a n a + a a nn a nn a nn a a n a a n a a + a a a a a nn a nn a nn 5 ax + by e cx + dy f lineáris egyenletrendszer ahol a b c d e f R adott számok x y R az ismeretlenek Ez determinánsok felhasználásával is megoldható a b Az egyenletrendszer mátrixa A Az első egyenletet d-vel a másodikat pedig b-vel szorozva majd c d a kapott két egyenletet kivonva ax + by e / d I II ad bcx ed fb cx + dy f / b {{ deta

4 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév Hasonlóan kapható ax + by e cx + dy f / c / a II I ad {{ bc y af ec deta Ha deta akkor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van és mindkét ismeretlen determinánsok hányadosaként kapható: ed bf x ad bc e b f d af ec a b y ad bc a e c f c d a b c d A nevezőben a rendszer determinánsa található a számlálót pedig úgy kapjuk hogy a rendszer determinánsában az éppen kiszámolandó változó együtthatói helyébe az adott együttható egyenletének jobb oldalán álló számokat írjuk Ha deta akkor az egyenletrendszernek ed bf af ec esetén végtelen sok megoldása van ha viszont ed bf vagy af ec akkor nincs megoldás Nagyobb lineáris egyenletrendszer megoldását is felírhatjuk determinánsok hányadosaként a fenti módon ha a rendszer determinánsa nullától különböző Ennek Cramer-szabály a neve Ha pedig a rendszer determinánsa nulla akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása vagy végtelen sok megoldása van Példa megoldása 4 9 x 5 4 mert a rendszer determinánsa 5x + 4y x + y y A kisebb mátrixok determinánsát gyorsan kiszámolhatjuk a nagyobbaknál hasznosak az alábbi ismeretek Állítás Elegendő feltételek arra hogy a négyzetes mátrix determinánsa nulla a A mátrix determinánsa nulla ha valamely sorának vagy oszlopának minden eleme nulla b A mátrix determinánsa nulla ha két sora vagy két oszlopa megegyezik c A mátrix determinánsa nulla ha egyik sora egy másik sor konstansszorosa vagy egyik oszlopa egy másik oszlop konstansszorosa Állítás Négyzetes mátrix néhány egyszerű megváltoztatásakor hogyan változik a determinánsa a Ha a mátrix valamely sorához hozzáadjuk egy másik sorát vagy valamely oszlopához hozzáadjuk egy másik oszlopát a determináns nem változik b Ha a mátrix valamely sorához hozzáadjuk egy másik sor konstansszorosát vagy valamely oszlopához hozzáadjuk egy másik oszlop konstansszorosát a determináns nem változik c Ha a mátrix elemeit tükrözzük a főátlóra a kapott mátrix ún transzponált mátrix ld később determinánsa egyenlő az eredeti mátrix determinánsával d Ha a mátrix két sorát vagy két oszlopát felcseréljük a determinánsa az eredeti determinánsának negatívjára azaz -szeresére változik e Ha a mátrix valamely sorának vagy valamely oszlopának minden elemét megszorozzuk ugyanazzal a konstanssal a determináns az eredeti konstansszorosára változik Bármely négyzetes mátrixot a fenti két állításban szereplő lépésekkel háromszögmátrixszá alakíthatjuk melynek determinánsa a főátlójában álló elemek szorzata E nyolc összefüggés szerint az eredeti mátrix determinánsát is ki tudjuk számolni Nagy mátrix esetén ez az eljárás általában gyorsabban ad eredményt mint a kifejtés valamely sor vagy oszlop szerint

5 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III Műveletek mátrixokkal Egy négyzetes mátrixot a főátlójára tükrözve ugyanolyan méretű négyzetes mátrixot kapunk melyet az eredeti mátrix transzponáltjának hívunk A transzponált fogalmát általánosíthatjuk nem feltétlenül négyzetes mátrixokra Definíció Az m n-es A a ij i m j n nevezzük az A T a ji i m j n n m-es mátrixot mátrix transzponált mátrix ának röviden transzponáltjának Példák a 4 T 4 b a c e b d f T a c e b d f c a b c T a b c Minden A mátrixra A T T A Azonos méretű mátrixok összegét különbségét valamint egy mátrix számmal való szorzatát úgy képezzük mint vektorokra a mátrixokra elemenként a vektorokra koordinátánként Definíció Két azonos méretű mátrix összege különbsége és egy mátrix számszorosa az az ugyanolyan méretű mátrix melynek elemeit úgy kapjuk hogy a két mátrixban az azonos helyen álló elemeket összeadjuk kivonjuk ill a mátrix minden elemét megszorozzuk az adott számmal Tehát a ij ± b ij a ij ± b ij λ a ij λa ij Példák a 4 b 4 c Két mátrix szorzatát akkor definiáljuk ha az első tényező oszlopainak száma vízszintes mérete megegyezik a második tényező sorainak számával függőleges mérete Definíció Az m n-es A és az n p-es B mátrix szorzata az az m p méretű C mátrix melynek minden elemét úgy kapjuk hogy az első mátrixnak annyiadik sorát mint a keresett elem első indexe skalárisan szorozzunk a második mátrix annyiadik oszlopával mint a keresett elem második indexe sor-oszlop szorzás Az A a ij és B b ij mátrixok C c ij szorzatának elemei c ij a i b j + a i b j + + a in b nj hiszen i-edik sor a i a i a in j-edik oszlop b j b j c ij b nj Pontosan azoknak a mátrixoknak értelmezzük a szorzatát melyekre az első tényezőben a sorok ugyanolyan hosszúak mint a második tényezőben az oszlopok Példák négyzetes mátrixok szorzására:

6 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév Általában AB BA vagyis a mátrixok szorzása nem kommutatív művelet A mátrixok szorzásának szabálya egyszerűen megjegyezhető ha a két mátrixot A és B az AB szorzatukkal együtt egy -es B A AB táblázatban helyezzük el Ekkor a szorzat elemei sorokat oszlopokkal szorozva anélkül kiszámolhatók hogy eltévesztenénk a sort vagy az oszlopot Amikor ui egy sort egy oszloppal megszorzunk szorzatuk helyét az adott sor és oszlop kijelöli Példa Az A és B mátrixok AB szorzata így is kiszámolható: Egy lépésben Definíció Az mátrixot -es egységmátrixnak hívjuk I -vel jelöljük Ezzel a mátrixszal szorozva a b a + c b + d a b c d a + c b + d c d a b a + b a + b a b c d c + d c + d c d Tehát bármely -es A mátrixszal szorozva AI I A A vagyis I úgy viselkedik a -es mátrixok szorzásakor mint a valós számok szorzásánál Definíció Azt az n n-es mátrixot amelyiknek a főátlójában -esek állnak a többi elem pedig n n-es egységmátrixnak nevezzük I n -vel jelöljük Az I n n n-es egységmátrix és tetszőleges n n-es A mátrix szorzata mindkét sorrendben A-t adja: I n A AI n A Azonos méretű négyzetes mátrixokkal számolva az egységmátrix indexét gyakran elhagyjuk röviden I-vel jelöljük

7 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév 5 Azonos méretű diagonálmátrixok szorzását egyszerűen elvégezhetjük A szorzat is ugyanolyan méretű diagonálmátrix a főátlójának elemeit az eredeti két mátrix azonos helyen álló elemeinek szorzataként kapjuk Állítás Az A a b és B diagonálmátrixok AB és BA szorzata megegyezik mégpedig AB BA a nn a b a nn b nn b nn Bizonyítás A C AB szorzatmátrix i-edik sorában a j-edik elem az A mátrix i-edik sorának és a B mátrix j-edik oszlopának skaláris szorzata vagyis c ij a i b j + a i b j + + a in b nj A diagonálmátrixok bármely sorában és bármely oszlopában egy elem a főátlóban álló kivételével mindegyik nulla így a c ij elemet adó sor-oszlop szorzat: i-edik sor a ii j-edik oszlop b jj Amikor a C szorzatmátrix főátlójának i-edik elemét számoljuk ki akkor egymással szorozzuk a diagonális elemeket a többi tag pedig ezért c ii a ii b ii A főátlón kívüli c ij i j elem pedig olyan szorzatok összege ahol a ii -t és b jj -t is nullával szorozzuk így c ij 6 A mátrixműveletekre érvényes több valós számokra ismert azonosság Állítás Ha α R és A B C olyan mátrixok melyekre a következő azonosságok egyik oldala értelmezve van akkor a másik oldal is értelmezve van és az egyenlőség fennáll: ABC ABC asszociativitás A + BC AC + BC és AB + C AB + AC disztributivitás mindkét módon αab αab AαB 7 Definíció Az A négyzetes mátrix hatványai is ugyanolyan méretű négyzetes mátrixok mégpedig A I A A A A A A A A A Példák a Ha A b Ha A 4 akkor akkor Teljes indukcióval következik A n A A A 7 A 5 4 A A A A n

8 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév c Ha A akkor Teljes indukcióval bizonyíthatjuk hogy A n A A A 4 8 A A 4 A A 8 6 n n n n 8 Állítás Determinánsok szorzástétele Ha A és B azonos méretű négyzetes mátrixok akkor detab det A det B III4 Inverz mátrix Példa 4 4 és fordított sorrendben is 4 4 A valós számok körében ab ba esetén b a az a szám reciproka Az szám megfelelője a mátrixok között az egységmátrix ezért most olyan A és B mátrixokat vizsgálunk melyekre AB BA I Vajon mi a feltétele annak hogy mátrixok szorzata a két lehetséges sorrendben egyenlő legyen? Az A m n-es mátrix és a B p q-as mátrix AB szorzata akkor van értelmezve amikor n p és ekkor AB mérete m q A BA szorzat pedig akkor van értelmezve amikor q m és ebben az esetben BA p n-es mátrix Ha AB BA akkor n p és m q mellett a két szorzatmátrix méretének is meg kell egyeznie vagyis m p és q n Ekkor m n p q vagyis az eredeti két mátrix azonos méretű négyzetes mátrix A valós számok körében megismert reciprok megfelelője a mátrixok között az inverz mátrix Definíció Az A négyzetes mátrix inverz mátrix a röviden inverze a vele azonos méretű B mátrix ha AB BA I Bebizonyítható hogy az inverz definíciójában az AB I és BA I feltételek egyikéből következik a másik annak ellenére hogy általában a mátrixok szorzása nem kommutatív Ha ui A és B azonos méretű négyzetes mátrixok melyekre fennáll AB I akkor BA I is tehát a két mátrix egymás inverze 4 Állítás Minden négyzetes mátrixnak legfeljebb egy inverz mátrixa van vagyis az inverz mátrix egyértelmű Bizonyítás Ha az A négyzetes mátrixnak B és B is inverze akkor AB B A I AB B A I Ekkor a B AB szorzatot kétféleképpen csoportosítva megkapjuk hogy B és B egyenlő: Az A mátrix inverzét A jelöli B B AB {{ B AB {{ B I I 5 Nem minden négyzetes mátrixnak van inverze ahogy nem minden valós számnak van reciproka Osztani csak a nulla valós számmal nem tudunk inverze viszont több mátrixnak sem létezik Nullmátrix nak nevezzük az olyan mátrixot amelyiknek minden eleme nulla inverze a nagyobbaknak sem mert a b I c d A -es nullmátrixnak nincs Példák a A a b mátrixnak nincs inverze Ha ui volna az inverze akkor teljesülne c d a b I c d Ezzel ellentétben a b c d hiszen a két mátrix bal felső eleme különbözik a + c b + d I

9 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév b Az 4 a b mátrixnak sincs inverze mert ha lenne és az inverz c d a b 4 c d összefüggésből a szorzat bal felső és bal alsó elemére következne ami ellentmondás a + c a + 4 c volna akkor az 6 A fenti három mátrixnak nincs inverze és egy másik közös tulajdonságuk hogy a determinánsuk nulla Általában is érvényes a következtetés Állítás Ha egy négyzetes mátrixnak van inverze akkor a determinánsa nem nulla Bizonyítás Ha az A négyzetes mátrixnak van inverze akkor AA I A determinánsok szorzástétele szerint ezért det A det A det A detaa det I Az inverz mátrixra képlet adható Először -es mátrix inverzét adjuk meg: a b d b Ha A és deta ad bc akkor ezt a B mátrixszal szorozva c d c a a b d b ad + b c a b + ba ad bc AB c d c a cd + d c c b + da ad bc és ezért d b a b da + bc db + bd BA c a c d ca + ac cb + ad A következő eredményt kaptuk a b Állítás Ha A c d Példák 5 4 a b c A det A B det A B A I és deta ad bc akkor A deta ad bc ad bc d b c a 7 Nagyobb négyzetes mátrixok inverzére is ismerünk képletet aminek speciális esete a -esre vonatkozó előbbi állítás Definíció Az A négyzetes mátrix adjungáltjának nevezzük azt az A-val azonos méretű négyzetes mátrixot amelyiknek minden eleme az adott elem főátlóra vontakozó tükörképének transzponált elem aldeterminánsa a sakktáblaszabály szerinti előjellel megszorozva Az A mátrix adjungáltjának jele A adj Tehát A a ij adjungáltja A adj i+j A ji a b Példa Az A c d d b mátrix adjungáltja A adj c a mert

10 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév a tükörképe önmaga a hozzá tartozó aldetermináns d b tükörképe c és a c-hez tartozó aldetermináns b c tükörképe b és a b-hez tartozó aldetermináns c d tükörképe önmaga a hozzá tartozó aldetermináns a Állítás Egy A négyzetes mátrixnak pontosan akkor van inverze ha a determinánsa nem nulla és ekkor az inverze A deta A adj 8 Diagonálmátrix inverz mátrixát könnyen meghatározhatjuk Ha a diagonálmátrix egyik főátlóbeli eleme sem nulla akkor a determinánsa nem nulla ezért van inverze ami az eredetivel azonos méretű diagonálmátrix és a főátlójának bármely eleme az eredeti mátrix ugyanazon a helyen álló elemének reciproka Állítás Ha A a a nn és a ii i n akkor A a Bizonyítás A diagonálmátrixok szorzására vonatkozó állításból következik hogy e két mátrix szorzata mindkét sorrendben az I n egységmátrix 9 Az ax + by e cx + dy f egyenletrendszer inverz mátrix felhasználásával is megoldható Először átírjuk a rendszert egyetlen egyenletté x a b amelyikben az ismeretlen az vektor Az egyenletrendszer A mátrixával y c d ax + by e cx + dy f a b x c d y {{ A Ha deta akkor A-nak van inverze amivel balról szorozva az egyenletet x e A / A y f balról A x {{ A y I A e f e f a nn tehát x A y e f deta d b c a e f de + bf deta ce + af ed bf ad bc af ce ad bc Példa Az 5x + 4y x + y 9 egyenletrendszer megoldása inverz mátrix segítségével: 5x + 4y x + y x y 9 x y és alapján azaz x y x y

11 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III5 Mátrix és vektor szorzata Mátrix és vektor szorzatát úgy kapjuk hogy a vektort oszlopmátrixként tekintve azaz n -es mátrixszal azonosítva ha a vektornak n koordinátája van a két mátrixot szorozzuk: A v Av Definíció Az A m n-es mátrix és a v R n vektor szorzata az az Av R m vektor melynek koordinátái Av a v + a v + + a n v n Av i a i v + a i v + + a in v n Av m a m v + a m v + + a mn v n Ha A n n-es négyzetes mátrix és v n-dimenziós vektor akkor Av is n-dimenziós vektor Az egységmátrix a nevéhez híven viselkedik mátrix és vektor szorzásakor is: Bármely v R n vektorra I n v v Példák a I v v: b I v v: v v + v v v v + v v v v v + v + v v + v + v v v v v + v + v v III6 Lineáris leképezések a b Ha A akkor e mátrix által megadott c d R R v v av + bv A v v cv + dv függvény síkbeli vektorokhoz síkbeli vektort rendel tehát geometriai transzformáció Hasonlóan az m n-es A mátrix a v Av hozzárendelési szabállyal meghatároz egy R n R m típusú függvényt Példa Melyik síkbeli transzformációt adja a mátrixszal való szorzás? A hozzárendelés v v v v v v ami felcseréli a két koordinátát Az első és harmadik síknegyed közös szögfelező egyenesére vonatkozó tükrözés tesz így ez a keresett transzformáció Példa A síkon a vízszintes tengelyre vonatkozó tükrözés megadható mátrixszal való szorzásként Ennél a tükrözésnél a vektor vízszintes koordinátája változatlan marad a függőleges koordinátája a - v v szeresére változik vagyis a hozzárendelés szabálya Ez a hozzárendelés megadható mint v v mátrixszal való szorzás: v v v v ezért a vízszintes tengelyre vonatkozó tükrözés mátrixa

12 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév 4 Ha A m n-es mátrix u v R n vektorok és λ R akkor Au + v Au + Av Aλv λ Av Ezek az azonosságok a mátrixok szorzatára tanult azonosságokból következnek mivel mátrix és vektor szorzatát a mátrixok szorzatának mintájára definiáltuk Az első azonosság szerint a vektorok összeadása és mátrixszal való szorzása felcserélhető műveletek a második pedig azt jelenti hogy a vektor számmal és mátrixszal való szorzása is felcserélhető 5 A mátrixszal való szorzás fenti két tulajdonságát követeli meg az alábbi fogalom Definíció Az f : R n R m függvényt lineáris leképezésnek nevezzük ha fu + v fu + fv u v R n fλv λfv v R n λ R Az f : R n R m függvény geometriai transzformáció minden n-dimenziós vektorhoz egy m-dimenziós vektort rendel 6 Ha A m n-es mátrix akkor az fv Av v R n függvény lineáris leképezés Más lineáris leképezés nincs is minden lineáris leképezés megadható mátrixszal való szorzásként Állítás Minden f : R n R m mátrixszal való szorzás Ha lineáris leképezéshez megadható olyan mátrix melyre az f lineáris leképezés a e e e n a standard bázis akkor a mátrix úgy kapható hogy e bázisvektorokon felvett értékeket mint oszlopvektorokat egymás mellé írjuk: A fe fe fe n Bizonyítás Az f lineáris leképezést egyértelműen meghatározzák a standard bázison felvett fe fe fe n értékek hiszen tetszőleges v v v v n R n vektorra fv fv e + v e + + v n e n v fe + v fe + + v n fe n Ha f az A a ij mátrixszal való szorzás akkor a a a n a a a n fe Ae a m a m a mn szerint Ae az A mátrix első oszlopa hasonlóan Ae az A mátrix második oszlopa Ae n az A mátrix utolsó oszlopa Ezért f mátrixa csak a bázisvektorokon felvett értékeket mint oszlopvektorokat egymás mellé írva kapható mátrix lehet: A fe fe fe n f és az A mátrixszal való szorzás is lineáris leképezés az e e e n bázisvektorokhoz a két függvény ugyanazt rendeli így megegyeznek 7 Példa A síkon az első és harmadik síknegyed közös szögfelező egyenesére vonatkozó tükrözés mátrixa mert e szögfelezőre vonatkozó tükrözés lineáris leképezés és e e A fe fe Az egyik bevezető példában is ezt kaptuk a a a m

13 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév cos ϕ sin ϕ 8 Példa A síkon az origó középpontú ϕ szögű pozitív irányú elforgatás mátrixa mert ez az sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ elforgatás lineáris leképezés és az elforgatáskor e e sin ϕ cos ϕ 9 Vajon miért a tanult módon definiáltuk két mátrix szorzatát nem az összeadás és a kivonás mintájára? Az utóbbi két műveletet azonos méretű mátrixok között értelmeztük mégpedig a két mátrixban azonos helyen álló elemeket összeadtuk ill kivontuk A szorzat definíciójakor az volt a matematikusok célja hogy két lineáris leképezés kompozíciójának mátrixa egyenlő legyen a két lineáris leképezés mátrixának szorzatával vagyis ha a g : R p R n lineáris leképezés mátrixa az A n p-es mátrix és az f : R n R m lineáris leképezés mátrixa a B m n-es mátrix akkor az f g : R p R m kompozíció mátrixa a BA m p-es mátrix Ez a cél teljesül hiszen minden v R p vektorra f gv fgv fav BAv BAv tehát f g mátrixa f mátrixa g mátrixa III7 Valós sajátérték-feladat Az A n n-es négyzetes mátrix és a v R n n-dimenziós vektor Av szorzata is n-dimenziós vektor A nullvektortól különböző v vektor pontosan akkor párhuzamos az Av vektorral amikor van olyan λ R szám melyre Av λv Az ilyen nullvektortól különböző vektort amelyik párhuzamos a mátrixszorosával a mátrix sajátvektorának fogjuk hívni Definíció Az n n-es A mátrixnak λ R valós sajátértéke és v R n ha Av λv Av λv Av λiv A λiv Az utóbbi egy lineáris egyenletrendszer vektoregyenletté átírt alakja Ennek megoldása v v v n v egy hozzá tartozó sajátvektor neve triviális megoldás Az egyenletrendszernek pontosan akkor ez az egyetlen megoldása ha a determinánsa nem nulla azaz det A λi Ha pedig det A λi akkor van nemtriviális megoldás ami λ-hoz tartozó sajátvektort ad Tehát a sajátértékeket egyenlet megoldásával kaphatjuk meg Állítás λ R pontosan akkor sajátértéke az A mátrixnak ha det A λi Az A λi mátrix A-ból úgy kapható hogy a főátló elemeiből kivonunk λ-t Definíció Ha A n n-es mátrix akkor det A λi n-edfokú algebrai egyenlet amit A karakterisztikus egyenlet ének hívunk A det A λi polinom neve karakterisztikus polinom Minden n-edfokú algebrai egyenletnek legfeljebb n gyöke van ezért minden n n-es mátrix sajátértékeinek száma legfeljebb n Példák a sajátértékei és sajátvektorai i A sajátértékek: A λi λ λ λ λ λ Látszik hogy A λi valóban megkapható A főátlójának elemeiből λ-t kivonva det A λi λ λ λ λ λ 5λ + 4 λ 5 ± ± λ 4 λ

14 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév ii A λ 4 sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v v + v Av λ v 4 4v v v v + v 4v v v v v v v v + v 4v v + v 4v Az egyenletrendszer egyik egyenletéből a másik az oldalak felcserélésével nyerhető tehát a kettő nem független A sajátvektorok v v v v pl 4 4 A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v Av λ v v v v + v v v + v v v v v v Ez a két egyenlet sem független a sajátvektorok v v v v pl A BRA b 4 sajátértékei és sajátvektorai i A sajátértékek: det A λi λ 4 λ λ4 λ λ 7λ + λ 5 λ ii A λ 5 sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v v Av λ v 5 v 5v v v 4 v v v + 4v 5v v v Tehát v v így a sajátvektorok v v v v pl A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v Av λ v 4 v v v v v v + 4v v v v v v Ebből v v vagyis a sajátvektorok v v v v pl A BRA c sajátértékei és sajátvektorai i A sajátértékek: det A λi λ λ λ λ λ λ 5 λ ± 6

15 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév ii A λ + 6 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat megadó egyenlet Av λ v v + v 6 v v v + v + 6 v v + v + 6 v v 6 v v 6 v Bár kevésbé látható az egyenletrendszer két egyenlete között van kapcsolat az első egyenletet szorozva majd az oldalakat felcserélve kapható a második egyenlet A sajátvektorok v v v pl vagy 6 6 v 6 -dal A λ 6 sajátértékhez tartozó sajátvektorok egyenlete Av λ v v v 6 v v v + v 6 v v + v 6 v v 6 v v 6 v d Ez az egyenletrendszer sem független egyenletekből áll a sajátvektorok v v 6 v v pl vagy 6 4 sajátértékei és sajátvektorai 6 6 i A sajátértékek: det A λi λ 4 6 λ λ6 λ 4 λ6 λ λ λ 6 A háromszögmátrix sajátértékei mindig a főátlóban álló számok ii A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet 4 v v Av λ v v + 4v v 6 v v 6v v 4v v Mindkettő a v feltételt jelenti Viszont v -ről nem követelünk meg semmit így a nulla kivételével tetszőleges lehet ezért a sajátvektorok v v v pl A λ 6 sajátértékhez tartozó sajátvektorok egyenlete 4 v v Av λ v 6 v + 4v 6v 6 v v 6v 6v 4v v 6v 6v e A második egyenlet azonosság csak az első szab feltételt a koordinátákra v 4 v abból a sajátvektorok v 4 v 4 v v pl vagy 4 sajátértékei és sajátvektorai i A sajátérték: det A λi λ λ λ λ λ 4λ + 4 λ λ kétszeres sajátérték ii A sajátvektor-egyenlet v v Av λ v v v v v v v + v v v v v v A sajátvektorok v v v v pl

16 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév f sajátértékei és sajátvektorai i A sajátérték: det A λi λ λ λ λ λ λ λ kétszeres sajátérték ii A hozzá tartozó sajátvektorok egyenlete v v Av λ v v v v v v v v v tetszőleges Ezért bármely v R v sajátvektor A sajátvektort meghatározó egyenletrendszer mindig összefüggő az egyenletek között van összefüggés vagy az egyik egyenlet azonosság Ha egy feladat megoldásakor nem ezt látjuk az számolási hibára utal Definíció Ha A négyzetes mátrix akkor a deta λi karakterisztikus egyenlet valódi komplex megoldásait az A mátrix valódi komplex sajátérték einek nevezzük Az A négyzetes mátrix deta λi karakterisztikus egyenletének megoldásai a komplex számok körében a mátrix valós sajátértékei és a valódi komplex sajátértékei Ezeket nevezzük a mátrix sajátértékeinek Mivel a komplex számok körében minden n-edfokú egyenletnek multiplicitással számolva n megoldása van ezért minden n n-es mátrixnak multiplicitással számolva n sajátértéke van multiplicitással számolva azt jelenti hogy mindegyiket annyiszor számoljuk ahányszoros gyöke az egyenletnek ill a karakterisztikus egyenletnek 4 Állítás Minden háromszögmátrix sajátértékei a főátlóban álló számok Bizonyítás A λi is háromszögmátrix aminek a determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata Így pl felső háromszögmátrixra a λ a n det A λi a λ a nn λ λ a λ n a nn a nn λ 5 Egy négyzetes mátrixot szimmetrikusnak mondunk ha szimmetrikus a főátlójára vagyis a főátlójára szimmetrikusan elhelyezkedő elemek megegyeznek Definíció Az A a ij ijn négyzetes mátrixot szimmetrikusnak nevezzük ha a ij a ji indexre minden i és j Állítás Ha egy n n-es mátrix szimmetrikus akkor n db valós sajátértéke van multiplicitással számolva mindegyiket annyiszor ahányszoros gyöke a karakterisztikus egyenletnek valódi komplex sajátértéke nincs 6 Az alábbi egyszerű összefüggés a mátrix sajátértékei és determinánsa között lehetőséget ad a kiszámolt sajátértékek ellenőrzésére: Állítás A -es mátrix két különböző sajátértékének szorzata ill a kétszeres sajátértékének négyzete egyenlő a mátrix determinánsával a b Bizonyítás Az A mátrix karakterisztikus egyenlete c d deta λi a λ c b d λ a λd λ bc λ a + dλ + ad bc Az egyik Viete-formula szerint e másodfokú egyenlet gyökeinek a sajátértékek: λ és λ lehet λ λ is szorzata az egyenlet konstans tagjának és főegyütthatójának hányadosa vagyis λ λ ad bc det A 7 Állítás Egy négyzetes mátrix adott sajátértékhez tartozó sajátvektorai és a nullvektor alteret alkot vagyis adott sajátértékhez tartozó sajátvektorok lineáris kombinációja is ugyanahhoz a sajátértékhez tartozó sajátvektor vagy a nullvektor

17 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév Bizonyítás Ha u v R n az A mátrix λ valós sajátértékéhez tartozó sajátvektorai vagy a nullvektor és α R akkor Au λu + Au + Av λu + λv Av λv {{{{ Au+v λu+v Au λu / α αau {{ Aαu αλu {{ λαu alapján u + v és αu is λ-hoz tartozó sajátvektora A-nak vagy a nullvektor A nullvektorra nyilván A λ Következmény Egy -es mátrix adott valós sajátértékéhez tartozó összes sajátvektora és a nullvektor által alkotott halmaz vagy egy origón átmenő egyenes minden vektora vagy a sík minden vektora Egy -es mátrix adott valós sajátértékéhez tartozó összes sajátvektora és a nullvektor által alkotott halmaz vagy egy origóra illeszkedő egyenes minden vektora vagy egy origóra illeszkedő sík minden vektora vagy a tér minden vektora Definíció A négyzetes mátrix adott sajátértékéhez tartozó összes sajátvektor és a nullvektor által alkotott halmazt az említett sajátértékhez tartozó sajátaltér nek nevezzük 8 Állítás Ha az A négyzetes mátrixnak λ λ k különböző valós sajátértékei akkor egy-egy azokhoz tartozó v v k sajátvektort választva ez a k számú vektor lineárisan független Bizonyítás Ha nem volna mindig igaz az állítás akkor volna olyan legkisebb számú vektor melyek nem alkotnak lineáris független rendszert Indirekt módon tegyük fel hogy a v v k vektorok lineárisan összefüggőek vagyis van olyan nem triviális α v + + α k v k lineáris kombinációjuk amelyik a nullvektor valamint k-nál kevesebb vektor mindig lineárisean független Szorozzuk az A mátrixot ezzel a lineáris kombinációval akkor A Aα v + + α k v k α Av + + α k Av k α λ v + + α k λ k v k Ha pl α akkor az α v + + α k v k egyenletet λ k -val szorozva a kapott egyenletet vonjuk ki az elsőből: α λ k v + + α k λ k v k α λ λ k v + + α k λ k λ k v k Itt α λ λ k ami azt jelenti hogy a v v k vektorok egy nem triviális lineáris kombinációja a nullvektort állítja elő tehát ez a k vektor is lineárisan összefüggő Ez ellentmond az indirekt feltevésünknek így az utóbbi hamis III8 Házi feladatok? Megoldás: det a? b? c? 5 5 d Ellenőrizze a c feladat eredményét 5 Megoldás: a b d 4 5 Oldja meg a Megoldás: 5 x y 9 x + 6y 9 a A rendszer determinánsa x c és egyenletrendszert a a Cramer-szabály alkalmazásával b inverz mátrixszal! 6 9 így y

18 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév b x y 9 x + 6y 9 x y 9 9 x 9 6 y x y 9 6 x y Adja meg a síkon a második és a negyedik síknegyed közös szögfelező egyenesére vonatkozó tükrözés mátrixát! v v Megoldás: E szögfelezőre vonatkozó tükrözéskor mátrixszal való szorzásként v v v v v v Tehát a második és a negyedik síknegyed közös szögfelező egyenesére vonatkozó tükrözés mátrixa Másik megoldás: E tükrözésnél e e ezért a mátrix 5 Adja meg a síkon az origóra vonatkozó középpontos tükrözés mátrixát! v v Megoldás: Az origóra vonatkozó tükrözéskor ezért v v miatt a mátrix v tükörkép v v v v Másik megoldás: Az origóra vonatkozó tükrözéskor e v e ezért a mátrix 6 Határozza meg az alábbi mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait! Adjon meg egy-egy konkrét sajátvektort! a Megoldás: i A sajátértékek: det A λi λ λ λ λ λ 5λ + 4 λ 4 λ ii A λ 4 sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v v Av λ v 4 v 4v v v v v v + v 4v v v A két egyenlet ugyanazt a v v feltételt jelenti ezért a sajátvektorok v v v v pl A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v Av λ v v v v v v v + v v v v v v Mindkét egyenlet a v v feltétellel ekvivalens így a sajátvektorok v v v v pl

19 Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév b Megoldás: i A sajátértékek: det A λi λ λ λ λ 6λ + 8 λ 6± 6 ± ii A λ 4 sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v Av λ v 4 v + v 4v v v v v v v + v 4v v v v A sajátvektorok v v v v pl A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet v v Av λ v v + v v v v v + v v v v v v v v c 4 4 A sajátvektorok v v v v pl Megoldás: i A sajátértékek: det A λi 4 λ 4 λ 4 λ λ 8λ + λ 8 ± λ 6 λ ii A λ 6 sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet 4 v v Av λ v 6 4v + v 6v v 4 v v v + 4v 6v v A sajátvektorok v v v v pl A λ sajátértékhez tartozó sajátvektor-egyenlet 4 v v Av λ v 4 v v 4v + v v v + 4v v v v A sajátvektorok v v v v pl

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

1. A kétszer kettes determináns

1. A kétszer kettes determináns 1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1. DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS A (nxn) kvadratikus (négyzetes) mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy D R számot, ami a mátrix determinánsa. Már most megjegyezzük, hogy a mátrix determinánsa, illetve a determináns

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

1. A Horner-elrendezés

1. A Horner-elrendezés 1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

1. Transzformációk mátrixa

1. Transzformációk mátrixa 1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására

Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú.

A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú. 1. Vektorok, lineáris algebra 1.1. Mátrixok 1.1.1. Fogalmak, tételek Definíció A mátrix elemek általában számok táblázata téglalap alakú elrendezésben. Nyomtatott nagybetűvel jelölik ezen felül nyomtatásban

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

1. ábra ábra

1. ábra ábra A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix

Részletesebben

1. A vektor és a vektortér fogalma

1. A vektor és a vektortér fogalma 1. A vektor és a vektortér fogalma Célunk: a vektor és a vektortér fogalmának minél tágabb értelmezése. Ez azért hasznos, mert így a síkvektorok körében használatos egyes fogalmak és tételek átvihet k

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Matematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly

Matematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek A jegyzet nagyobb részét Dr. Simon Bakos Erzsébet gépelte Latex szövegszerkesztőben. Tartalomjegyzék 1. Az A-ben tanult

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát.

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát. 1. Vektorok 1.1. Alapfogalmak, alapműveletek 1.1.1. Elméleti összefoglaló Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok október 20.

Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok október 20. Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok 4. október.. A p paraméter milyen értékére esnek egy síkba az A(; 3; 3), B(3; 4; ), C(4; 6; ) és D(p; ; 5) pontok?. Megadható-e R 4 -ben négy darab

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103) Dr. Hartmann Miklós Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~hartm Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat teljesítése.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat 6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának

Részletesebben