x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2"

Átírás

1 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését indokolja az, hogy például az x = és x + x + = 0 egyenletek megoldását számnak tekinthessük: x = = ı (imaginárius egység), illetve x = ± = ± ı Komplex számnak nevezük az a + bı szimbólummal jelölt számokat, ha a és b valós. Az a + bı ún. algebrai alakú komplex szám valós része a, imaginárius vagy képzetes része b. Megállapodunk abban, hogy a komplex számok között az összeadást, kivonást, szorzást, osztást ugyanolyan szabályok szerint végezzük el, mint a valós számok körében. (Bebizonyítható, hogy ez a megállapodás lehetséges, és a komplex számok halmazán ugyanazok az azonosságok érvényesek, mint a valós számokra.) Komplex szám akkor és csakis akkor 0, ha a + bi-ben a = 0 és b = 0. b = 0-ra a komplex számok részhalmaza a valós számok. a = 0-ra a komplex számok részhalmaza az imaginárius számok. Két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha a valós részei és imaginárius részei egyenlők: a + b ı = a + b ı a = a, b = b Összeadás: (a + bı) + (c + dı) = (a + c) + (b + d)ı. Szorzás: (a + bı)(c + dı) = ac + bcı + adı + bdı = (ac bd) + (bc + ad)ı.

2 Példák: (6 + ı) + (8 ı) = ı ( + ı)(7 + ı) = + 8ı 9ı = + 9ı (5 + ı)(5 ı) = 5 + = 9 (5 + ı) = 5 + 0ı = + 0ı ı =, ı = ı, ı =, ı 5 = ı Két komplex szám hányadosa (osztás): a + bı (a + bı)(c dı) (ac + bd) + (bc ad)ı = = c + dı (c + dı)(c dı) c + d = Példa hatványozásra: ac + bd bc ad c + + d c + d ı (5 + ı) = ı + 5 ı + ı = ı 5 ı = 0 + 7ı Komplex számsík A komplex számokról szemléletes képet kapunk a komplex számsík által. ) A komplex számok és a rendezett számpárok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. ) A rendezett számpárok és a koordinátasík pontjai között ugyancsak kölcsönösen egyértelmű a megfeleltetés. A z = a + bı komplex számhoz tartozik az (a,b) pont és a hozá tartozó helyvektor. Ennek hossza a szám abszolútértéke: z = a + b. A komplex szám argumentuma vagy irányszöge az a szög, amellyel az x tengelyt pozitív irányban elforgatva fedi a vektort. Ez az argumentum forgásszög, tehát ϕ, ϕ ± ± 60, ϕ ± 60,... ugyanazt a komplex számot határozza meg. Negatív irányban forgatva a ϕ szög negatív értelmű. Jele: arg z = ϕ. Bizonyítható: ) z z = z z ) z = z z z Konjugált komplex számok: z = a + bı és z = a bı egymás konjugáltjai: z a z-nek a valós tengelyre való tükörképe:

3 y bı z = a + bı z ϕ ϕ a x bı z = a bı ) z = z ) arg z = arg z ) zz = z = z ugyanis (a + bı)(a bı) = a + b Konjugáltakra vonatkozó azonosságok: ) z = z z ) z + z = z + z ) z z = z z ) z z = z z A z = a + bı 0 komplex szám inverze : z = z = z z z = a bı a + b. Komplex számok összeadása a vektorösszeadás szabályai szerint történik, szemléltetése is ennek megfelelő. A sík minden z pontjához a b komplex számot adva a kapott z = z + b komplex számoknak megfelelő pontok a sík pontjainak b vektorral való eltolásával adódnak. Komplex számok szorzása a korábbi azonosságokból következik. Az ábrán lévő kisebb háromszög mindegyik oldalához tartozó számot z -vel szorozva a nagyobb háromszög oldalvektorait kapjuk. Innen következik, hogy z z = z z

4 y z + z z z x z z z z z = (z )z y z ϕ z z ϕ ϕ x és arg z z = arg z arg z. A z = az leképezés arg z-vel való elforgatás és a -kel való nyújtás egymásutánja: forgatva nyújtás. Komplex számnak valós számmal való szorzása: az O pontra vonatkozó centrális hasonlóság.

5 y r bı O ϕ a x Komplex számok trigonometrikus alakja z = a + bı } {{ } = r(cos ϕ + ı sin ϕ) } {{ } algebrai alak trigonometrikus alak ahol r = z = a + b, a = r cos ϕ, b = r sin ϕ ) Írjuk fel trigonometrikus alakban a z = z y ı + ı komplex számot! O x z 5

6 r = z = + = = cos 50 = sin50 Tehát z trigonometrikus alakja: z = cos 50 + ı sin 50. z konjugáltjának trigonometrikus alakja: z = cos 0 + ı sin 0. ) Írjuk fel a z = 5(cos 60 + ı sin 60 ) trigonometrikus alakban adott komplex számot algebrai alakban! cos 60 =, sin60 =, így z = 5 + ı5 Szorzás trigonometriai alakban: Ha akkor z = r (cos ϕ + ı sin ϕ ) és z = r (cos ϕ + ı sin ϕ ), z z = r r (cos ϕ + ı sin ϕ )(cos ϕ + ı sin ϕ ) = = r r (cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ + ı sin ϕ cos ϕ + ı cos ϕ sin ϕ ) = = r r ( cos (ϕ + ϕ ) + ı sin (ϕ + ϕ ) ). Hatványozás trigonometriai alakban: z n = r r... r { (cos (ϕ + ϕ ϕ) + ı sin (ϕ + ϕ ϕ) } = = r n (cos nϕ + ı sin nϕ) (Moivre-képlet) Osztás trigonometriai alakban: A z = r(cos ϕ + ı sin ϕ) 0 komplex szám reciproka: z = ( ) cos ( ϕ) + ı sin ( ϕ), ugyanis így z r z = r ( ) cos (ϕ ϕ) + ı sin (ϕ ϕ) =. r Ha z = r (cos ϕ + ı sin ϕ ) és z = r (cos ϕ + ı sin ϕ ) 0, akkor z z = r r ( cos (ϕ ϕ ) + ı sin (ϕ ϕ ) ). 6

7 y z O z x Komplex szám reciprokának geometriai tartalma: z-nek az egységkörre vonatkozó tükörképét (inverzét) tükrözzük a valós tengelyre. Komplex számok n-edik gyöke: Ha w = t(cos φ + ı sin φ) és z = r(cos ϕ + ı sin ϕ), akkor w n = z esetén w n = t n (cos nφ + ı sin nφ) = r(cos ϕ + ı sin ϕ), innen t = n r és nφ ϕ = k 60, mivel az irányszögek 60 egészszámszorosával különbözhetnek, tehát φ = ϕ + k 60, ahol k tetszőleges egész szám. Így n w = n r (cos ϕ + k 60 + ı sin ϕ + k ) 60 n n k = 0,,...,n választásával n darab különböző gyök adódik, k további értékeire ezek ismétlődnek. Tehát egy komplex számnak n darab n-edik gyöke van. Komplex szám exponenciális alakja z = re ıϕ = r(cos ϕ + ı sin ϕ) 7

8 Példák ) Határozzuk meg a z = és z = komplex számok négyzetgyökét! z = = (cos 0 + ı sin 0 ) z = (cos ϕ + k 0 + ı sin ϕ + k ) 0 (cos 0 + ı sin 0 ) = z = (cos 80 + ı sin 80 ) = k = 0, tehát z = = (cos 80 + ı sin 80 ) z = (cos ϕ + k 80 + ı sin ϕ + k ) 80 (cos 90 + ı sin 90 ) = ı z = (cos 70 + ı sin 70 ) = ı k = 0, tehát ) Számítsuk ki a z = 5(cos 0 +ı sin 0 ) és z = (cos 8 +ı sin 8 ) komplex számok szorzatát és hányadosát! z z = 5 ( cos (0 + 8 ) + ı sin (0 + 8 ) ) = 5(cos 58 + ı sin 58 ) z = 5 ( cos (0 8 ) + ı sin (0 8 ) ) = 5 z (cos + ı sin ) ) Számítsuk ki az ı komplex szám harmadik gyökeit! i = (cos 90 + ı sin 90 ) ı = (cos 90 + k 60 + ı sin 90 + k 60 ) k = 0,, ı = cos 0 + ı sin 0 ı = cos ı = cos ı sin ı sin = cos 50 + ı sin 50 = cos 70 + ı sin 70 8

9 ) Számítsuk ki a z = komplex szám negyedik gyökeit! = (cos 0 + ı sin 0 ) = (cos 0 + k 60 + ı sin 0 + k 60 ) k = 0,,, = cos 0 + ı sin 0 = = cos 60 = cos 70 + ı sin 60 + ı sin 70 = cos 90 + ı sin 90 = ı = cos 80 + ı sin 80 = = cos ı sin 080 = cos 70 + ı sin 70 = ı ı ı 5) Határozzuk meg annak a négyzetnek a csúcsait, amelynek A és B csúcsát a z a = + ı illetve a z b = 5 + ı komplex számok jelölik ki a komplex számsíkon! AB = z b z a = + ı ı-vel való szorzás pozitív 90 -os forgatást, ı-vel való szorzás negatív 90 -os forgatást jelent. Így AD = AB ı = (+ı)(ı) = +ı, AD = AB ( ı) = (+ı)( ı) = ı 9

10 Ebből: C = z b + AD 5 + ı + ı = + 6ı D = z a + AD + ı + ı = + ı C = z b + AD 5 + ı + ı = 7 + ı D = z a + AD + ı + ı = 5 C D B A C D 6) Mutassuk meg, hogy az O középpontú kör két húrjának a, a illetve b, b végpontjaira: a a = b b a a b b a a = b b a a b b a b b a a a O b O a b Párhuzamosság esetén: a -et b -be ugyanolyan szögű forgatás viszi, mint b -t a -be. Azaz a e = b illetve a e = b. Innen b a = a b, tehát 0

11 a a = b b. A bizonyítás megfordítható. Merőlegesség esetén: a a párhuzamos b b -vel. Innen a a = b b, azaz a a = b b. A bizonyítás megfordítható. 7) Mi a geometriai helye a következő összefüggéseket kielégítő pontoknak: a) z a = z b b) Re(z ) = 5 c) z < Rez d) Imz > 0 e) z z + = a f) z + z = a } g) Rez z < = h) z ı < i) z > a) Az a és b pontokat összekötő szakasz felezőmerőlegese. b) Az x = egyenes. c) Az y = x parabola belseje. d) Az y > 0 félsík (felső félsík). e) ± fókuszú lemniszkáták. Ha a <, akkor e lemniszkáták két önálló oválisból állnak, ha a =, akkor a Bernoulli-féle lemniszkátát kapjuk, ha a >, akkor zárt görbéket kapunk. f) Lemniszkáták. g) Az x y = hiperbola. h) Az M(0,) középpontú, sugarú kör belseje. i) Az x + y = 9 és (x ) + y = körök közötti gyűrűszerű tartomány. Feladatok ) Írja fel exponenciális alakban a z = + ı és a z = cos α + ı sin α komplex számokat. ) Számítsa ki és szerkessze meg a z z szorzatot, ha a) z = + 5ı z = ı b) z = + 5ı z = ı c) z = + 5ı z = ı ) Számítsa ki a ( ı)e ı π és a (cos 05 + ı sin 05 )(cos 5 + ı sin 5 ) szorzatokat.

12 ) Számítsa ki a ( + ı)( 7ı) szorzatot. 5) A z = ı komplex számot mint vektort forgassa el 60 -kal és zsugorítsa felére az abszolútértékét. 6) A z = 6ı komplex számot mint vektort hány fokos szöggel kell elforgatni, hogy eredményül a ++ı( ) komplex számot kapjuk? ( 7) Számítsa ki az 5e ı π ( ı) cos π + ı sin π ) szorzatot. 8) Számítsa ki a következő hányadosokat: a) d) + ı ı b) + ı cos 75 + ı sin 75 e) 5 + ı ı e ı π 6 + ı c) f) + ı ı ( ) ı e ı π g) ı ( ı)( + ı) h) cos 05 + ı sin 05 cos 5 + ı sin 5 i) ı + ı j) 5 ı ı k) + ı 9) Számítsa ki a következő hatványokat: l) + ı ı a) ( ı) 5 b) (ı ) 6 c) ( ) 8 ı ı d) ( ) ( ı)( + ı) e) (cos 5 + ı sin 5 ) f) ı ( e ı π 6 ) 8 g) ( ) ( + ı)e ı π h) ( ) 5 i) ı ( ) + ı ı 0) A (cos ϕ+ı sin ϕ) n = cos nϕ+ı sin nϕ összefüggés felhasználásával igazolja, hogy illetve cos 6ϕ = cos 6 ϕ 5cos ϕsin ϕ + 5cos ϕsin ϕ sin 6 ϕ, sin 8ϕ = 8sin ϕcos 7 ϕ 56sin ϕcos 5 ϕ + 56sin 5 ϕcos ϕ 8sin 7 ϕcos ϕ. ) Végezze el a következő gyökvonásokat:

13 a) d) 8 b) c) + ı e) + ı f) 5ı cos π + ı sin π g) j) ı ( + ı) h) i) 8 k) 6 8e ı π l) 5 ıe ı π ) Oldja meg a következő egyenleteket: a) x 5 = 0 b) x = 0 c) 5z = 8ı d) 9z = 0 e) (6 z)6 + = 0 f) z 8ı = 0 ) Oldja meg a következő egyenletrendszereket: } z + z = + ı ( + ı)z ( ı)z = 0 a) b) z + ız = ı ( + ı)z ( ı)z = 0 } ) Végezzük el a műveleteket: a) ( + ı) b) ( ı) 6 c) ( ı) 5) Végezzük el a műveleteket: a) ( + ı)( ı) b) +ı ı c) ( + ı) + ( + ı)( ı) d) ( ) 5 ı +ı 6) Számítsuk ki: ( ) 0 + 5ı ı ( ) 9 + 7ı. 9 ı 7) Igazoljuk, hogy a z 0 = +ı komplex szám megoldása a z z +8z+0 = 0 egyenletnek. 8) Igazoljuk, hogy tetszőleges z, z komplex szám esetén z + z + z z = ( z + z ). Mi a feladat geometria jelentése?

14 9) Igazoljuk a következő összefüggéseket: sin(a) + sin(a + r) sin(a + nr) = sin ( a + nr ) ( sin n+ ) r) ; sin ( r cos(a) + cos(a + r) cos(a + nr) = cos ( ) ( a + nr sin n+ r) sin ( ) r. 0) Számoljuk ki az ( + ı)z + z + ( ı) = 0 másodfokú egyenlet gyökeit. ) Legyen a síkban A,B,C,D négy pont és jelöljük a,b,c,d-vel az nekik megfelelő komplex számokat. Igazoljuk, hogy az AB és CD szakaszok pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha a b c d R. ) Legyen ABC és A B C két háromszög a síkban. Jelöljük kisbetűvel a pontnak megfelelő komplex számot. Igazoljuk, hogy az ABC és A B C háromszögek pontosan akkor hasonlóak, ha b a c a = b a c a. ) Szokás szerint kisbetű jelöli az A,B,C pontoknak megfelelő komplex számokat. Az ABC háromszög pontosan akkor egyenlő oldalú, ha a + b + c = ab + bc + ac.

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Skatulya-elv. Sava Grozdev

Skatulya-elv. Sava Grozdev Skatulya-elv Sava Grozdev Egy alapvető szabály, azaz elv azt állítja, hogy: ha m testet szétosztunk n csoportba és m > n, akkor legalább két test azonos csoportba fog kerülni. Ezt az elvet különböző országokban

Részletesebben

Matematika Gyakorló feladatok vizsgára 12. évf. emelt szint

Matematika Gyakorló feladatok vizsgára 12. évf. emelt szint Matematika Gyakorló feladatok vizsgára. évf. emelt szint Egyenletek, egyenlőtlenségek, paraméteres egyenletek. Oldd meg az alábbi egyenleteket! 4 c) d) e) 4. Oldd meg az alábbi egyenleteket! = c) =8 d)

Részletesebben

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus Az szám Szakdolgozat Készítette: Csuka Anita Matematika Bsc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható.

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható. 1. feladat. 013 pontosan egyféleképpen írható fel két prím összegeként. Mennyi ennek a két prímnek a szorzata? 40 Megoldás: Mivel az összeg páratlan, ezért az egyik prímnek párosnak kell lennie, tehát

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

19. Területszámítás. Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: 19. Területszámítás I. Elméleti összefoglaló Sokszög területe: Minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív valós számot. A hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: Az egység (oldalú) négyzet

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

MI ILYENNEK KÉPZELJÜK MATEMATIKA

MI ILYENNEK KÉPZELJÜK MATEMATIKA MI ILYENNEK KÉPZELJÜK Minta feladatsorok a középszintű MATEMATIKA érettségire való felkészüléshez II. RÉSZ Összeállították: a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium vezetőtanárai

Részletesebben

Helyi tanterv Matematika 9 12. évfolyam Felnőttoktatási tagozat

Helyi tanterv Matematika 9 12. évfolyam Felnőttoktatási tagozat MATEMATIKA Iskolánk felnőttoktatási tagozatán kétféle munkarend szerint tanítjuk a matematikát. Az esti munkarend szerint heti három órában minden évfolyamon. Ez évente összesen 111/96 órát jelent, ami

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

FELADATSOROK 3 IX. osztály... 3 X. osztály... 4 XI. osztály... 5 XII. osztály... 7

FELADATSOROK 3 IX. osztály... 3 X. osztály... 4 XI. osztály... 5 XII. osztály... 7 Tartalomjegyzék Előszó 2 FELADATSOROK 3 IX. osztály......................... 3 X. osztály.......................... 4 XI. osztály......................... 5 XII. osztály......................... 7 MEGOLDÁSOK

Részletesebben

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok 15. modul: SÍKIDOMOK 7 I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok Módszertani megjegyzés: A jelen modult többnyire kibővített ismétlésnek szántuk, és fő célja az alapfogalmak és az alapismeretek

Részletesebben