Helyi tanterv Matematika évfolyam Felnőttoktatási tagozat

Átírás

1 MATEMATIKA Iskolánk felnőttoktatási tagozatán kétféle munkarend szerint tanítjuk a matematikát. Az esti munkarend szerint heti három órában minden évfolyamon. Ez évente összesen 111/96 órát jelent, ami lehetővé teszi a szükséges fogalmak alapos, precíz kialakítása mellett azok begyakorlását, elmélyítését is. A levelező munkarend első sorban a tanulók önálló tanulását támogató oktatási forma. A kialakított konzultációs rendszerrel kívánjuk biztosítani a tananyag optimális tagolását, ezzel biztosítva az otthoni célzott tanulást. A javasolt tankönyvet is azért választottuk, mert szerkezete világos, magyarázata szemléletes. Jól érthető nyelvezete nagyban hozzájárul a fogalmak megértéséhez. A konzultációkon az alapvető fogalmak, eljárások magyarázatán túl, a témakör minimális ismereteit is megkapják a diákok. Lehetőség van arra is, hogy az otthon felmerült kérdésekre, problémára választ kapjanak. A felnőttoktatás tanórai keretei között csak a középszintű követelményeket tanítjuk. A NAT bevezetőjében felsorolt célok, értékek és kompetenciák a matematika tantárgy oktatásában a következő területeken jelennek meg: Célok és feladatok A középfokú felnőttoktatási intézményekbe jelentkezők különböző körülmények között, különböző színvonalon, különböző időpontokban szerezték meg az alapfokú végzettséget, így nagyon különböző felkészültségűek. Ezért a középiskola első évfolyama az általános iskolai tananyag alapos, konkrét feladatokhoz kapcsolódó ismétlésével kell, hogy kezdődjön. Az ismétlés során megmutatjuk a tanult matematikai ismeretek rendszerét, az egyes fogalmak kialakulásának és fejlődésének útját, és azt a folyamatot, amely a probléma felvetésétől a megoldásig vezet. A középiskolai matematika tanítása-tanulása a felnőtt diákok matematikai ismereteinek bővítése mellett, a logikus gondolkodás, a modellalkotó képesség, a bizonyítási igény, a szintetizáló képesség, a deduktív gondolkodásmód fejlesztését szolgálja. A matematika belső szépségeinek felvillantása mellett a tanultak alkalmazására fektetjük a nagy hangsúlyt. A matematika a maga eszközeivel segíti a természettudományok, az informatika, a humán műveltségterületek, a szakmai ismeretek tanulmányozását, segítséget ad a mindennapi élet apróbb-nagyobb problémáinak megértéséhez, értelmezéséhez, helyes kezeléséhez, jó megoldásához. Ezért matematikatanításunk alkalmazásközpontú. Oktató-nevelő munkánkat a mindennapok gyakorlatára való hivatkozás jellemzi. Használjuk a rendelkezésre álló tanulást segítő eszközöket, és elsajátítatjuk azok helyes használatát. Nagy hangsúlyt fektetünk a tantárggyal szemben esetlegesen kialakult negatív érzelmek megszüntetésére, ezért munkánkban sokféle motivációs eszközt alkalmazunk, és nagy hangsúlyt fektetünk az alapvető matematikai fogalmak, eljárások elsajátíttatására, begyakoroltatására. Az esti-, és levelező munkarendben tanulók számára is ugyanazok a kimeneti követelmények, így a tantervi követelményeket a középszintű érettségi követelményrendszer figyelembevételével

2 terveztük meg. Figyelembe vettük a Nemzeti Alaptantervben foglaltakat, és a 4/2001. (I.26.) OM rendelettel módosított 28/2000. (IX.21.) OM rendeletet és 1. sz. mellékletét Fejlesztési követelmények Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása, a matematikai szemlélet fejlesztése Középiskolai tanulmányok során a fogalmak megerősítésére, definiálására, általánosítására is sor kerül. A megismert eljárások, összefüggések, tételek alkalmazásképes tudása, felhasználása a mindennapok egyszerűbb problémáinak megoldásában segíti a matematika hasznosságának felismerését, megértését. A tanulmányok végére meg kell ismerni a valós számkör fogalmát és benne a műveleteket. Műveleteket értelmezünk az algebra és a vektorok körében is. Célszerű, ha a műveletek gyors és helyénvaló elvégzéséhez - lehetőség szerint - használunk különböző elektronikus eszközöket. A helyes függvényszemlélet kialakítása, elemi függvények ábrázolása, elemzése gyakran segíti a természettudományos tárgyak, gyakorlati problémák leírását, megértését. Az elemi geometriai ismeretek, trigonometriai számítások, tételek-bizonyítások, síkés térgeometriai fogalmak, transzformációk fontosak az analógiás gondolkodás fejlesztésében, bizonyos gyakorlati feladatok megoldásában. A kerület, terület, felszín, térfogat kiszámításával kapcsolatos feladatok segítik a szakmák problémáinak megoldását is. A koordinátageometriai ismeretek megmutatják a matematika különböző ágainak kapcsolatát, komplexitását. A nyelv logikai elemeinek helyes használata (pl.: ha, akkor, akkor és csak akkor ) az élet minden területén hasznos és fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A matematikai tartalmú szövegek önálló értelmezése, elemzése hozzásegít az önálló problémamegoldáshoz. A problémák többféle megközelítése, a feltételek alapos vizsgálata, a többféle megoldás megkeresése fejleszti a logikus gondolkodást, a diszkussziós képességet. A tudományok és a mindennapi problémák megértését szolgálják a különböző számításos feladatok, a leíró statisztika, a valószínűség számítás elemeinek megismerése, alkalmazása. A dolgozók iskoláiban érdemes a tananyag feladatait a tanulók napi munkájához kapcsolni, ezzel is igazolva a matematika gyakorlati hasznosságát, felhasználhatóságát. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A évfolyamok matematika tanítása-tanulása során fontos szerepet kap az absztrakciós képesség fejlesztése, az induktív módszer mellett a deduktív következtetések határozottabb megjelenése, a bizonyítási igény továbbfejlesztése, bizonyítási módszerek megismerése, fogalmak, szabályok precíz megfogalmazása. A tanult halmazelméleti- és logikai ismeretek, modellek hozzásegítenek a rendszerben való látás kialakulásához, a matematika komplexitásának felismeréséhez. A logikus, fegyelmezett gondolkodás a szokatlan szituációkban ugyanolyan fontos, mint a már ismert algoritmusok használatánál. Az alkalmazásképes tudás fejlesztését szolgálja a jól megválasztott szemléltető ábrák, geometriai modellek, videofilmek, számítógépes animációk, Internet lehetőségek, grafikus zsebszámológépek felhasználása. Helyes tanulási szokások kialakítása, fejlesztése Nagyon fontosnak tartjuk a felnőttek esetében is a személyre szabott tanulási stratégiák kidolgozását. A napi munka mellett általában a szükségesnél kevesebb a tanulásra fordítható idő, így ami van, azt a nagyon intenzíven kell kihasználni. Fontos, hogy a hallgatókat megtanítsuk a lényeg kiemelésére, a probléma megoldásához vezető többféle út kipróbálására. Fejlesszük kezdeményezőképességüket, a bátor - de néha a tévedésektől sem mentes - gondolkodás kialakulását, megerősítését. Ismertessük meg a kerekítés, becslés, közelítő értékekkel való számolás előnyeit, az ellenőrzés, az eredmény realitásvizsgálatának fontosságát. Kívánjuk meg a

3 szövegek értő olvasását, szaknyelv helyénvaló használatát, a jelölésrendszer alkalmazását. Szoktassuk rá a tanulókat a helyes jegyzetelésre, a szakirodalmi könyvek és különböző szövegek tartalmának lényegkiemelésére. Az érvelések, jó kérdések fejlesztik a logikus gondolkodást, a toleranciát, a mások gondolatmenetének megértését, a kulturált és értelmes viták kialakulását. Pozitív motivációt jelenthet a könyvtár, az Internet célszerű használata és a különböző matematikatörténeti érdekességek, matematikai alkalmazások megismerése. A fentiek gyakorlati megvalósítását a házi feladatok mellett önkéntesen vállalt beszámolók, pár perces tájékoztatók tehetik változatossá. Szintrehozás Minden témakör elejére sok egyszerű gyakorlatorientált feladathoz kapcsolva rendszerező ismétlést tervezünk, melynek célja: az előző évfolyamokon tanultak összefoglaló áttekintése; megalapozása az új tananyagnak; a tanulói csoport tagjai számára egy olyan lehetőség felkínálása, melynek során közel azonos tudásszintre juthatnak. A 12. évfolyamon - az érettségi miatt nagy részben rendszerező ismétlés folyik, felkészülés az érettségire. Éppen ezért a tanév elején nem, hanem az új témákhoz kapcsolódva tervezünk ismétlést, hogy hatékonyabb legyen a vizsgára való felkészülés.

4 ESTI MUNKAREND Felhasználható órák 9. évfolyam 10. évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam Gondolkodási módszerek Számtan, algebra Függvények, sorozatok Geometria Valószínűség, statisztika Év végi ismétlés Összesen ÉVFOLYAM Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek (6 óra) A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyílt, zárt) A számegyenes mint a valós számok egy modellje, az irracionális számok geometriai szemléltetése. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége Alaphalmaz, üres halmaz fogalma, halmaz komplementere. Egyszerű azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Példák véges és végtelen halmazokra. Tájékozottság a racionális számkörben. Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége.

5 Számtan, algebra (39 óra) A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása. Alapműveletek és zárójelek kezelése a valós számkörben. (folyamatos) Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata. A műveleti azonosságok biztos alkalmazása ismeretlent tartalmazó kifejezésekkel A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b) 2, a 2 b 2 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása, Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai törtekkel végzett műveleteknél (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) Algebrai kifejezések értelmezési tartományának vizsgálata. Az értelmezési tartomány megváltozásának tipikus esetei. Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Törtes egyenletek. A megoldáshalmaz pontos meghatározása. Azonosság és ellentmondás fogalma. Szöveges feladatok a gyakorlati élet, valamint a fizikai, kémiai alkalmazások területéről. Szöveges feladatok alaptípusai. Százalékszámítás típusfeladatai, számítások arányos osztással. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja A másodfokú azonosságok alkalmazása. A műveleti azonosságok biztos alkalmazása racionális számkörben. A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel A négyzetes azonosságok és a szorzattá alakítás alkalmazása egyenletekben, a megoldáshalmaz és az értelmezési tartomány összevetése. Szöveges információk rögzítése matematikai jelekkel.

6 A rendszerező képesség fejlesztése. A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmélet alapvető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. Induktív gondolkodás fejlesztése (próbálgatás, általánosítás). Elsőfokú két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere, grafikus módszer) Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás Abszolút értékes egyenletek megoldása algebrai és grafikus úton. Relatív prímek, oszthatósági feladatok (számolás maradékokkal, oszthatósági szabályok. Példa számrendszerekre. Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban. Egyenlőtlenség megoldásának ábrázolása számegyenesen. 3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Függvények, sorozatok (18 óra) A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése A megfelelő modell megkeresése Egyenlet és függvény kapcsolatának megismertetése. A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolút érték függvény, másodfokú függvény, a négyzetgyök függvény, gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a fordított arányosság függvény. Értékkészlet, értelmezési tartomány, zérus hely, monotonitás, paritás, korlátosság, szélsőértékek. Az elemi függvények grafikonjainak geometriai tulajdonságai. Az alapfüggvények ábrázolása értéktáblázat nélkül, tulajdonságainak ismerete Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével.

7 Célszerű eszközhasználat. Függvény transzformációk Példák változó-, és érték transzformációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén, nyújtás és tükrözés az x tengelyre) Másodfokú függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással, elemi racionális törtfüggvény ábrázolása átalakítással. Két ismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. Az alapfüggvények transzformációi A teljes négyzetté alakítás módszerének ismerete. Geometria (36 óra) Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban. Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása. Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, sugarának meghatározása, körülírt köre, magasságpont, súlypont, a súlyvonal mint területfelező. Thalész tétele és megfordítása, néhány alkalmazás, a kör és érintői, érintősokszög fogalma. Pitagorasz tételének alkalmazása. Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. A nevezetes vonalak ismerete, a háromszögbe-, és köré írt kör ismerete, tompaszögű háromszög magasságvonalának meghatározása A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete Érintő szerkesztése Thalészkörrel.

8 A transzformációk mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése. Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, analizáló képesség és a diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése. Valószínűség, statisztika (6 óra) A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenő statisztikai adatok elemzése. Helyi tanterv Matematika évfolyam A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a paralelogramma ekvivalens tulajdonságai). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az alakzatok egybevágósága, sokszögek egybevágóságának, speciális sokszögek egybevágóságának esetei. A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe Egyszerű szerkesztési feladatok. Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése. Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (6 óra) A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben Háromszögek és speciális négyszögek egybevágósági alapeseteinek ismerete. Az ívmértékre való átváltás elvégzése. Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.

9 10. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek (6 óra) A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése A bizonyítási igény további fejlesztése. Számtan algebra (36 óra) A permanencia elve a számfogalom bővítésében. A hatványfogalom további kiterjesztése. A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése. Tétel és megfordítása (folyamatos) Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulyaelv konkrét példákon keresztül). Változatos kombinatorikai feladatok a hétköznapi életből. A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedes tört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között.. Példák irracionális számokra. A négyzetgyökvonás azonosságai: ismétlés. Az n- edik gyök fogalma, azonosságai. Racionális kitevős hatványok. A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezős alak. A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Törtes másodfokú egyenletek. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenletrendszerek. A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése. Egyszerű sorba rendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedes tört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben Számolás racionális kitevős hatványokkal. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. A gyökök száma és a diszkrimináns előjele közötti összefüggés ismerete. Másodfokú kifejezés szorzatalakjának felírása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.

10 Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál. Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban. Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata. Másodfokú egyenlőtlenség megoldása szozattá bontás és számegyenes segítségével. Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása A megoldások ellenőrzése. Megengedett és nem megengedett lépések körének ismerete egyenlőtlenség megoldása során. Függvények, sorozatok (21 óra) Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytranszformációk további alkalmazása A négyjegyű függvénytáblázatok, matematikai összefüggések és a zsebszámológép célszerű használata. Geometria (30 óra) A transzformációs szemlélet fejlesztése. A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, tgx és ctgx szabatos definíciója és értelmezési tartománya. Összefüggések a szög szögfüggvényei között. Az egységkör használata szögvisszakeresésben. Nevezetes szögek felismerése és szögfüggvényeinek meghatározása ívmértékes megadás esetén A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, korlátosság, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, paritás), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. Párhuzamos szelők tétele. A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága. A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x a sinx, x a cosx és x a tgx függvények ábrázolása és tulajdonságai. Szögvisszakeresés egységkörrel és/vagy fúggvénnyel. A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban.

11 Kreatív problémamegoldás Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata. Tervszerű munkára nevelés Az esztétikai érzék fejlesztése. Valószínűség, statisztika (12 óra) Modellalkotásra nevelés Modell és valóság kapcsolata. Helyi tanterv Matematika évfolyam A háromszögek hasonlóságának alapesetei A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel) Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. Két vektor skaláris szorzata A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása Szinusztétel, koszinusztétel Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek A háromszög szinuszos területképlete. Relatív gyakoriság A valószínűség klasszikus modellje. Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra) Az alapesetek ismerete A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.

12 11. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek (15 óra) A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód lehetőségének keresése Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal. A gráf modellként való felhasználása. Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számának meghatározása egyszerű esetekben Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög Véges halmaz részhalmazainak száma Vegyes kombinatorikai feladatok. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk Feladatok megoldása gráfokkal. Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása. A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai. Számtan, algebra (30 óra) A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény mélyítése Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése Az önellenőrzés igényének fejlesztése. A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre, a hatványozási azonosságok: ismétlés A logaritmus értelmezése. A logaritmus, mint a hatványozás inverz művelete. A logaritmus azonosságai. Exponenciális és logaritmikus egyenletek. A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész és racionális kitevő esetén. A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben. A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet esetén. Függvények, sorozatok (12 óra) A függvényfogalom fejlesztése Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között A bizonyításra való törekvés fejlesztése. A 2 x, a 10 x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverze.

13 Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban Függvények alkalmazása algebrai feladatokban. A szögfüggvényekről tanultak áttekintése. A tanult függvények tulajdonságai (értelmezésitartomány, értékkészlet, zérus hely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás). A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérus hely, szélsőérték). Geometria, mérés (36 óra) A térszemlélet fejlesztése Pontos fogalomalkotásra törekvés Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség fejlesztése. Adott probléma többféle megközelítése. A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése. A vektorműveletek tulajdonságai Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektor 90 -os elforgatottja koordinátarendszerben. Szakasz osztópontja A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenlete. Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kétismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. A kör adott pontbeli érintője. Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat). Vektorok alkalmazásai. Vektorok koordinátáinak biztos használata. Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása Két egyenes metszéspontjának meghatározása Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata.

14 Valószínűség, statisztika (12 óra) A körülmények kellő figyelembevétele Előzetes becslés összevetése a számításokkal. A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. Egyszerű valószínűségszámítási problémák Néhány konkrét eloszlás vizsgálata Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén ( és, vagy, nem ). Statisztikai mintavétel (Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.) Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra)

15 12. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 96 Gondolkodási módszerek (6 óra) Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A deduktív gondolkodás fejlesztése. Ekvivalencia, implikáció. A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Számtan, algebra (15 óra) Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és internethasználat). Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása. Tervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés Az önellenőrzés fontossága. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése. Rendszerező összefoglalás Számhalmazok Számelméleti összefoglalás. A valós számok és részhalmazai. A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek. Egyenletek Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok Az egyenletmegoldás módszerei Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

16 A problémamegoldó Szöveges feladatok gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése. Függvények, sorozatok (15 óra) A matematika alkalmazása a gyakorlati életben Matematikatörténeti feladatok A legfontosabb közgazdasági és pénzügyi számítások matematikai alapjainak áttekintése. Az absztrakciós készség fejlesztése A függvényszemlélet fejlesztése A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban. Geometria, mérés (30 óra) A térszemlélet fejlesztése Az esztétikai érzék fejlesztése. A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése. A sorozat fogalma Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első n elem összege Kamatoskamat-számítás Példák egyéb sorozatokra (rekurzió, pl. a Fibonaccisorozat). Rendszerező összefoglalás A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése Az alapfüggvények ábrázolása Függvénytranszformációk f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. A síkra merőleges egyenes tételének ismerete. Egyszerű poliéderek. A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A poliéderek felszíne, térfogata. A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata. Számtani és mértani sorozat esetén az n-edik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A megismert felszín- és térfogat számítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban.

17 A függvényszemlélet fejlesztése A deduktív gondolkodás fejlesztése. A matematika különböző területei közötti összefüggések felhasználása. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A geometriai transzformációk áttekintése Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Vektorok, vektorok koordinátái Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások Derékszögű koordinátarendszer Alakzatok egyenlete Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. Valószínűség, statisztika (6 óra) A leíró statisztika és a valószínűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Geometriai modell szerepeltetése a valószínűség meghatározására. Felkészülés az érettségire (24 óra) Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvélemény-kutatás, minőség ellenőrzés). A valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségével. A geometriai modellre visszavezethető feladatok A véletlen paradoxonai. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása.

18 LEVELEZŐ MUNKAREND A konzultációs órákon az adott témakör otthoni, önálló megtanulásához adunk segítséget. A megtanulandó tananyaghoz vázlatot kapnak a diákok, az alapvető fogalmak, eljárások ismertetése, magyarázata mellett. A tanórákon tanári magyarázat folyik. A diákoktól otthoni tanulás keretében a megadott (tankönyvből és példatárból ) kijelölt tananyag megtanulása, begyakorlása a feladat. Minden tanévben, az év során négy házi dolgozat elkészítése az otthoni, önálló gyakorlást szolgálja. Érdemjegyet ezekre a munkákra nem kapnak a diákok, de elkészítésük, beadásuk határidőre kötelező. A házi dolgozatokat kijavítás után visszakapják a tanulók. Arra törekszünk, hogy részletesen javításra kerüljenek a típushibák, ezzel is segítjük az otthoni hibátlan gyakorlást, rögzítést. Az önálló tanuláshoz ajánlott tankönyv: Koller Lászlóné: Matematika érettségire felkészítő tankönyv (rsz.12800), és Koller Balázs: Matematika érettségire felkészítő tankönyv feladatai és azok megoldásai (rsz.81426). Igény esetén arra is teremtünk lehetőséget, hogy tanfolyami keretek között is gyakorolják a matematikát. Érettségi előkészítő tanfolyam indítására is lesz lehetőség. Ezzel is a sikeres felkészüléshez szeretnénk segítséget nyújtani. A számonkérések formája minden vizsgán írásbeli vizsga. A számonkérések, vizsgák követelmény rendszere teljes egészében lefedi a középszintű érettségi követelményeket. Konzultációs témakörök Az alábbiakban megadott témakörök tananyag tartalma minden témakör esetén a fent részletezett tantervben írtakkal azonos. 9. ÉVFOLYAM Összesen 9 konzultáció, konzultációnként 3 óra 1. Az általános iskolai ismeretek rendszerezése 2. Halmazok, oszthatóság az egész számok halmazában 3. Hatványozás egész kitevővel, nevezetes négyzetes azonosságok 4. Műveletek polinomokkal és algebrai törtekkel 5. Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek, és elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek 6. Függvények 7. Nevezetes ponthalmazok, sokszögek 8. Egybevágósági transzformációk, műveletek vektorokkal 9. Statisztika Megfelelő tájékozottság a racionális számkörben, a tanult műveletek végzésében. Részhalmaz, unió, metszet, különbség két konkrét halmaz esetén. Normálalak. A legfeljebb másodfokú azonosságok ismerete és alkalmazása egyszerű példák esetén. Alapműveletek egyszerű algebrai egészekkel. Százalékszámítás gyakorlati alkalmazásai. Számok prímtényezős alakja. Oszthatóság (3, 9 számokkal). Egyszerű elsőfokú egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. A tanult alapfüggvények tulajdonságainak felismerése. Képlettel megadott, tanult függvény ábrázolása

19 (pl.: értéktáblázattal), egy lépéses transzformáció. Speciális három-, négyszögek, szabályos sokszögek (pl.: hatszög) tulajdonságai. Háromszög nevezetes vonalainak, beírt- és köré írt körének ismerete. A kör és a körrel kapcsolatos fogalmak ismerete. A tanult transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét matematikai és gyakorlati feladatokban. Több szám számtani közepének kiszámítása, medián és módusz ismerete. Kör- és oszlopdiagramok felismerése, értelmezése egyszerű esetekben. 10. ÉVFOLYAM Összesen 9 konzultáció, konzultációnként 3 óra 1. Négyzetgyökvonás és azonosságai, az n-edik gyök fogalma 2. A másodfokú egyenlet 3. A másodfokú függvény, és másodfokú egyenlőtlenség 4. Másodfokúra visszavezethető egyenletek 5. Hasonlóság 6. Szögfüggvények derékszögű háromszögben 7. A szögfüggvény fogalmának kiterjesztése 8. Trigonometrikus egyenletek 9. Kombinatorika, a valószínűség klasszikus fogalma Racionális és irracionális számok tizedes tört alakja. Négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben. Másodfokú egyenlet megoldó képletének ismerete, alkalmazása. Egyszerű négyzetgyökös egyenletek megoldása. Egyszerű szöveges feladatok. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma. Szögfüggvények definíciójának ismerete. A szinusz-, és koszinusz függvények tulajdonságai, ábrázolásuk. Hasonlóság szemléletes fogalma. Nagyítás és kicsinyítés alkalmazása konkrét gyakorlati feladatokban. A tanult geometriai tételek ismerete, felhasználása egyszerű kis számítási feladatokban. Egyszerű sorbarendezésiés kiválasztási feladatok. Valószínűségi feladatok megoldása a klasszikus modell alapján. 11. ÉVFOLYAM Összesen 10 konzultáció, konzultációnként 3 óra 1. Kombinatorika, a gráfelmélet alapfogalmai 2. A hatványozás kiterjesztése, exponenciális egyenletek 3. A logaritmus 4. Logaritmikus egyenletek 5. A szögfüggvényekről tanultak áttekintése 6. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal 7. Az egyenes egyenletei 8. A kör 9. Valószínűség számítás 10. A tanév anyagának rendszerezése Egyszerű kombinatorikai feladatok. A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai. A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész kitevők esetén. A logaritmus

20 fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben. A definíció és a tanult azonosságok egyszerű alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet esetén. Az alapfüggvénynek ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték). Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Vektorok alkalmazásai. A szinusztétel és koszinusz tétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). Vektorok koordinátáinak biztos használata. Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása. Két egyenes metszéspontjának meghatározása, a kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata. A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása. 12. ÉVFOLYAM Összesen 9 konzultáció, konzultációnként 3 óra 1. Matematikai logika 2. Algebra összefoglalás (számelmélet, algebrai azonosságok, első-, és másodfokú egyenletek) 3. Algebra összefoglalás (hatvány, gyök, logaritmus) 4. Sorozatok 5. Síkgeometria ismétlés (síkidomok területe, kerülete, nevezetes összefüggések derékszögű háromszögben) 6. Hasábok felszíne, térfogata 7. Gúlák, és a gömb felszíne, térfogata 8. Rendszerező összefoglalás 9. Érettségire készülés, gyakorlás Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: A számtani- és mértani sorozat n- edik tagja és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatos-kamatszámítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A megismert felszín-, és térfogat számítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban.