Függvény fogalma, jelölések 15

Átírás

1 DOLGO[Z]ZATOK Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük a reciprokukat. c) Az osztályod tanulóihoz hozzárendeljük a testvéreiket. d) A racionális számokhoz hozzárendeljük a tizedes tört alakjukat. e) A racionális számokhoz hozzárendeljük a közönséges tört alakjukat. A válaszokat indokoljuk!. Adjuk meg az alábbi függvények értékkészletét! a) f: { Z < 4} b) Minden emberhez hozzárendeljük a hét azon napját, amikor született. c) Minden valós számhoz hozzárendeljük a nála nem nagyobb, legnagyobb egész számot. d) Minden ötös lottószelvényhez hozzárendeljük a vele elért találatok számát. e) Minden pozitív egész számhoz hozzárendeljük a pozitív egész osztóinak számát. helyen vett helyettesítési ér- pont. f( )= +, D f =. Adjuk meg a függvény 4 tékét!.. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi függvények közül melyek kölcsönösen egyértelműek? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) A pozitív egész számokhoz hozzárendeljük a reciprokukat. c) Minden emberhez hozzárendeljük az édesanyját. d) Bármely pozitív egész számpárhoz hozzárendeljük a legnagyobb közös osztójukat. e) Bármely valós számhoz hozzárendeljük a neki megfeleltetett pontot a számegyenesen. A válaszokat indokoljuk!. Adjuk meg matematikai jelölésekkel a következő valós függvényeket! a) Minden pozitív egész számhoz hozzárendeljük a kétszeresüknél eggyel nagyobb számot. b) Minden nullától különböző valós számhoz hozzárendeljük a szám és reciprokának összegét. 6

2 FÜGGVÉNYEK c) Minden valós számhoz hozzárendeljük az abszolút értékének 4 részét. d) Minden természetes számhoz hozzárendeljük a nála hárommal kisebb szám köbét. e) Minden pozitív egész számhoz hozzárendeljük a nála nem nagyobb pozitív egész számok összegét.. f( )= +, D f =. Adjuk meg a függvény értékét! helyen vett helyettesítési pont.. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények, és azok közül melyek kölcsönösen egyértelműek? a) Minden emberhez hozzárendeljük a kedvenc ételét. b) Minden valós számhoz hozzárendeljük az abszolút értéküket. c) Minden kettes bob kormányosához hozzárendeljük a fékezőjét! d) Bármely pozitív egész számpárhoz hozzárendeljük a legkisebb közös többszörösüket. e) Bármely körhöz hozzárendeljük a középpontját. A válaszokat indokoljuk!. Adjuk meg az alábbi matematikai jelölésekkel megadott függvényeket szavakkal! a) f( )=, D f = ; + b) g( )= 0, D g = \{} 1 ;, ha 0 c) h ( )= D h = ;, ha < 0 d) i( )= +, D i = ; 1, ha > 0 e) j( )= 0, ha = 0 D j =. 1, ha < 0. f( )= +, D f =. Adjuk meg a függvény értékét! helyen vett helyettesítési pont 6

3 DOLGO[Z]ZATOK Függvény fogalma, jelölések 1 1. Adjuk meg az alábbi függvények értékkészletét! a) f( )= +, D f = [ ; [. b) Két kockával dobott számpárokhoz hozzárendeljük az összegüket. c) g( )=, ha páros, ha páratlan D g = +. d) Bármely pozitív egész számpárhoz hozzárendeljük a legkisebb közös többszörösüket. e) Bármely síkbeli körhöz hozzárendeljük a középpontját.. Adjuk meg az összes olyan, a pozitív valós számok halmazán értelmezett f függvényeket, melyekre bármely + esetén f( )+ 1 f = + 7! helyen vett helyettesíté-. f( )=, D f = \. Adjuk meg a függvény 4 4 si értékét! pont Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer 1 1. Ábrázoljuk a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben a következő pontokat: A ; ; B 14 ; ; C ; ; D ; ; E 0 ;! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Ábrázoljuk a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben azokat a P, y 4 ;! ( ) pontokat, melyekre igaz, hogy [ [ ( ) ( ) ( ). Egy téglalap három csúcsa A ;, B ;, C ;. Adjuk meg a területét! 4.. Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer 1 1. Egy paralelogramma egy körüljárási iránynak megfelelő három egymást követő csúcsa: A( ; ), B( ; ), C( ; ). Adjuk meg a negyedik csúcs koordinátáit és a paralelogramma területét! 64

4 FÜGGVÉNYEK. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. a) Függvény, mert minden magyarországi megyének pontosan egy székhelye van. b) Nem függvény, mert a nullának nincs reciproka. c) Nem függvény, mert lehet olyan osztálytársad, akinek nincs testvére vagy több testvére is van. d) Nem függvény, mert van olyan racionális szám, aminek két tizedes tört alakja van ( például1, = 1, 49 ). e) Nem függvény, mert van olyan racionális szám, aminek több közönséges tört alakja van ( például 4 = ) a) {0; 1; 4; 9}; b) {hétfő; kedd; szerda; csütörtök; péntek; szombat; vasárnap}; c) ; d) {0; 1; ; ; 4; }; e) +.. f 4 = 4 + = = Függvény fogalma, jelölések 1 1. a) Kölcsönösen egyértelmű, mert különböző megyéknek különböző székhelyük van. b) Kölcsönösen egyértelmű, mert különböző pozitív egész számoknak különböző reciproka van. c) Nem kölcsönösen egyértelmű, mert a testvéreknek ugyanaz az édesanyjuk. d) Nem kölcsönösen egyértelmű, mert különböző számpároknak lehet ugyanaz a legnagyobb közös osztója (például: relatív prímek). e) Kölcsönösen egyértelmű, mert különböző számoknak különböző pontok felelnek meg.. a) f( )= + 1, D f = + ; 1 b) g( )= +, D g = \{} 0 ; c) h ( )=, D h = ; 4 d) ( ), D i = N; e) i ( ) = D, j = Z +. 61

5 DOLGO[Z]ZATOK 9.. f = + =... Függvény fogalma, jelölések 1 1. a) Nem függvény, mert van olyan ember, akinek több kedvenc étele van. b) Függvény, mert minden valós számnak egy abszolút értéke van. Nem kölcsönösen egyértelmű, mert különböző valós számoknak lehet egyenlő az abszolút értéke ( például = ). c) Függvény, mert minden kettes bob kormányoshoz egyetlen fékezőt rendelünk. Kölcsönösen egyértelmű, mert egy fékező nem lehet egyszerre két kormányos mögött. d) Függvény, mert minden pozitív egész számpárnak egyetlen legkisebb közös többszöröse van. Nem kölcsönösen egyértelmű, mert különböző pozitív egész számpároknak lehet ugyanaz a legkisebb közös többszörösük. e) Függvény, mert minden körnek egy középpontja van. Nem kölcsönösen egyértelmű, mert különböző köröknek lehet azonos a középpontja (koncentrikus körök).. a) Minden természetes számhoz hozzárendeljük a négyzete kétszeresénél hárommal kisebb számot. b) Az egytől különböző pozitív egész számokhoz nullát rendelünk. c) A nemnegatív számokhoz a négyzetüket rendeljük, a negatív számokhoz a négyzetük ellentettjét rendeljük. d) Minden valós számhoz hozzárendeljük az abszolút értéke felénél kettővel nagyobb számot. e) A pozitív racionális számokhoz egyet, a negatívokhoz 1-et, a nullához nullát rendelünk.. f = + = + = + =.. 4. Függvény fogalma, jelölések 1 1. a) 8 ; ; [ [ b) {; ; 4; ; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 1}; c) + ; d) + ; e) A sík pontjai. 6

6 FÜGGVÉNYEK. A feltétel szerint + esetén: f( )+ 1 f = + 7 ( 1 ) Ez esetben 1 +, erre is igaz a feltételi egyenlet: 1 f f 7 + ( )= + ( ) Szorozzuk meg -mal a () egyenlet mindkét oldalát! 1 1 f + 9f( )= + 1 (). Vonjuk ki a () egyenletből az (1) egyenletet! 1 Azt kapjuk, hogy 8 f ( )= Innen f( )= f = = = 7 = Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer 1 1. y. E(0;) B( 1;4) A(;) 1 O 1 D( ; ) C(; ) = y 1 O 1 =4. AB = ( ) = 8és BC = ( ) =. Így a télalap területe: AB BC = 8 = 40. y A( ;) D( ; ) 1 O 1 B(;) C(; ) 6

7 ELŐSZÓ... HALMAZOK Halmaz fogalma, jelölések Számhalmazok, műveletek Részhalmazok Halmazműveletek Ponthalmazok Logikai szita Halmazok ALGEBRA, SZÁMELMÉLET Algebrai kifejezések Pozitív egész kitevős hatvány Egész kitevős hatvány Számok normálalakja Polinomok Két tag összegének és különbségének a négyzete Két tag összegének és különbségének szorzata Két tag összegének és különbségének köbe Nevezetes azonosságok Kiemelés, csoportosításos kiemelés Szorzattá alakítás azonosságok alkalmazásával Teljes négyzetté alakítás Polinomok szorzattá alakítása Algebrai tört helyettesítési értéke, értelmezési tartománya Algebrai tört egyszerűsítése, bővítése Algebrai tört szorzása és osztása Algebrai törtek összevonása Algebrai törtek Oszthatósági szabályok Prímfaktorizáció Legnagyobb közös osztó Legkisebb közös többszörös Számrendszerek Számelmélet Algebra és számelmélet FÜGGVÉNYEK Függvény fogalma, jelölések Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer Lineáris függvények Másodfokú függvények

8 TARTALOMJEGYZÉK 7.1. Legfeljebb másodfokú függvények Négyzetgyök Négyzetgyökös függvények Abszolút értékes függvények Lineáris törtfüggvények Függvények... 7 ELSŐ FÉLÉVI ÖSSZEFOGLALÁS Halmazok, számelmélet, algebra, függvények GEOMETRIA Sokszögek átlóinak száma Sokszögek belső és külső szögeinek összege Sokszögek átlói és szögei Háromszög-egyenlőtlenségek Speciális háromszögek Speciális négyszögek A kör és részei A háromszög köré írható kör A háromszögbe írható kör A háromszög körei Pitagorasz-tétel Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli elforgatás Eltolás Egybevágósági transzformációk Szimmetrikus ponthalmazok Háromszög súlyvonalai, súlypontja Háromszög magasságvonalai, magasságpontja Háromszög nevezetes pontjai, vonalai, körei Thalész-tétel Ívhossz, körcikk területe Vektorok Egybevágó síkidomok Geometria EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek grafikus megoldása Egyenletek megoldása algebrai úton I Egyenletek megoldása algebrai úton II Egyenlőtlenségek megoldása

9 74.1. Abszolútértékes egyenletek Szöveges egyenletek Egyenletrendszerek megoldása Szöveges egyenletrendszerek Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek STATISZTIKA Adatok ábrázolása Statisztikai közepek Statisztika MÁSODIK FÉLÉVI ÖSSZEFOGLALÁS Geometria, egyenletek, statisztika ÉV VÉGI ÖSSZEFOGLALÁS A 9. osztályos tananyag