Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Átírás

1 Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N N: {0 ; 1; 2; 3; 4; 5; 6; } Egész számok: A természetes számok és ellentettjeik. Jele: Z Z: { 5; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; } Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q alakban) ; ahol a nevező nem 0. A racionális számok tizedestört alakja vagy véges, vagy végtelen szakaszos. Jele: Q Irracionális számok: Azok a számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Pl: π; 2; Az irracionális számok tizedestört alakja végtelen nem szakaszos. Jele: Q* Valós számok: A racionális és az irracionális számok uniója. Q Q* = R Jele: R 1/b Számok kiválogatása, számhalmazba helyezése

2 2. tétel 2/a Törtek egyszerűsítés, bővítés, összeadás, kivonás, szorzás, osztás egész számmal, törtszámmal szabályok. Tört értelmezése: 2 3 Az egy egészet 3 egyenlő részre osztjuk, és az egyenlő részekből 2-t választunk. A 2 egészet 3 egyenlő részre osztjuk. Egy tört értéke nem változik, ha a számlálóját is és a nevezőjét is ugyanazzal a 0-tól különböző számmal szorozzuk, vagy osztjuk. Ha szorozzuk: bővítés Pl.: Ha osztjuk: egyszerűsítés Pl. : Egyenlő nevezőjű törteket úgy adunk össze, illetve vonunk ki, hogy a számlálókat összeadjuk, illetve kivonjuk; a nevezőt pedig változatlanul leírjuk. Különböző nevezőjű törtek összeadásakor, illetve kivonásakor közös nevezőre hozunk, majd alkalmazzuk az egyenlő nevezőjű törtekre vonatkozó szabályt. Törtet egész számmal úgy szorzunk, hogy a számlálót megszorozzuk az egész számmal, a nevezőt pedig változatlanul leírjuk. Törtet egész számmal úgy osztunk, hogy a számlálót elosztjuk az egész számmal, a nevezőt pedig változatlanul leírjuk. Ha számlálóban nincs meg maradék nélkül az egész szám, akkor a nevezőt szorozzuk, és a számlálót változatlanul hagyjuk. Törtet törttel úgy szorzunk, hogy a számlálók szorzatát osztjuk a nevezők szorzatával. (Számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel összeszorozzuk.) Törtet törttel úgy osztunk, hogy az osztandót megszorozzuk az osztó reciprokértékével. 2/b Műveletek törtekkel

3 3. tétel 3/a Hatvány fogalma, azonosságok Definíció: Az a n olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a. a n = a a a... a n db Pl.: 2 3 = A hatványozás azonosságai: Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy az alapot a kitevők összegére emeljük. Pl.: = = 2 7 Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy az alapot a kitevők különbségére emeljük. Pl.: = 57 4 = 5 3 Hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Pl.: (2 3 ) 4 = = 2 12 Azonos kitevőjű hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy az alapok szorzatát a közös kitevőre emeljük. Pl.: = (2 5) 3 Fordítva: Szorzatot úgy is hatványozhatunk, hogy a tényezők hatványait összeszorozzuk. Pl.: (2 5) 3 = Azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát a közös kitevőre emeljük. Pl.: = (3 4 ) Fordítva: Törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálót és a nevezőt külön hatványozzuk, majd vesszük ezek hányadosát. 5 5 Pl.: ( 3 4 ) = /b Hatványművelet elvégzése

4 4. tétel 4/a Oszthatósági szabályok, prímszám, összetett szám I. Az utolsó számjegy alapján 2-vel azok a számok oszthatók, amelyekben az utolsó számjegy osztható 2-vel. (0, 2, 4, 6, 8 ) 5-tel azok a számok oszthatók, amelyekben az utolsó számjegy osztható 5-tel. ( 0, 5 ) 10-zel azok a számok oszthatók, amelyek utolsó számjegye 0. II. Az utolsó két számjegy alapján 4-gyel azok a számok oszthatók, amelyekben az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4-gyel. 25-tel azok a számok oszthatók, amelyekben az utolsó két számjegyből álló szám osztható 25-tel. 100-zal azok a számok oszthatók, amelyek utolsó két számjegye 0. III. Az utolsó három számjegy alapján 8-cal azok a számok oszthatók, amelyekben az utolsó három számjegyből álló szám osztható 8-cal. 125-tel azok a számok oszthatók, amelyekben az utolsó három számjegyből álló szám osztható 125-tel rel azok a számok oszthatók, amelyek utolsó három számjegye 0. IV. A számjegyek összege alapján 3-mal azok a számok oszthatók, amelyek számjegyeinek összege osztható 3-mal. 9-cel azok a számok oszthatók, amelyek számjegyeinek összege osztható 9-cel.

5 Prímszám: Olyan szám, amelynek pontosan két osztója van a természetes számok halmazán. Prímszámok: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 71; 73; 79; 83; 89; 97 Összetett szám: Olyan szám, amelynek kettőnél több osztója van a természetes számok halmazán. A számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen felírható prímszámok szorzataként. 4/b Alkalmazás: Számokról megállapítani, mely számokkal osztható Pl.: Mivel osztható a ? Mit írjunk az x helyére, hogy osztható legyen 9-cel? 116x25 Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

6 5. tétel 5/a Arány, egyenes és fordított arányosság definíciója, tulajdonságai Arány: Két szám hányadosát másként két szám arányának is nevezzük. Pl.: 2 3 = 2 : 3 Két szám aránya megmutatja, hogy az egyik szám hányszorosa a másiknak. Egyenes arányosság: Két mennyiség egyenesen arányos, ha az egyik mennyiség valahányszorosára változik, akkor a másik mennyiség is ugyanannyiszorosára változik. Ha az egyik mennyiség kétszeresére, háromszorosára nő, akkor a másik mennyiség is kétszeresére, háromszorosára nő. Ha az egyik mennyiség felére, harmadára csökken, akkor a másik mennyiség is felére, harmadára csökken. Egyenes arányosság esetén az összetartozó értékpárok hányadosa állandó. Grafikonja: origón átmenő egyenes. Fordított arányosság: Két mennyiség fordítottan arányos, ha az egyik mennyiség valahányszorosára változik, akkor a másik mennyiség annak reciprokszorosára változik. Ha az egyik mennyiség kétszeresére, háromszorosára nő, akkor a másik mennyiség felére, harmadára csökken. Ha az egyik mennyiség felére, harmadára csökken, akkor a másik mennyiség kétszeresére, háromszorosára nő. Fordított arányosság esetén az összetartozó értékpárok szorzata állandó. Grafikonja: hiperbola. 5/b Arányossággal kapcsolatos feladatok

7 6. tétel 6/a Függvény definíciója, kapcsolódó fogalmak. Tanult függvények tulajdonságai Függvénynek nevezzük azt a hozzárendelést, amely az alaphalmaz minden eleméhez hozzárendeli a képhalmaz egy egy elemét. Az alaphalmaz a függvény ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNYa. Az elemek képét FÜGGVÉNYÉRTÉKEKnek; a függvényértékek halmazát pedig ÉRTÉKKÉSZLETnek nevezzük. Függvény megadása Meg kell adni: a függvény értelmezési tartományát értékkészletét a hozzárendelés szabályát Pl.: f(x): Q Q; x 2x + 3 A lineáris függvény Azokat a függvényeket, amelyeknek képe egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük. Általános alakja: x a x + b Pl.: f(x): Q Q f(x) = 2x 1 Ábrázolása: az y tengelyt a 1-ben metszi meredeksége: m = 2; 1-t jobbra; 2-t föl Jellemzése: a) ÉT: x Q b) ÉK: y Q c) Tengelymetszetek: Zérushelye: x = 0,5 Az y tengelyt az y = 1-ben metszi d) Menete: minden x-re: növekvő e) Szélsőértéke: nincs

8 Az abszolútérték függvény Jellemzése: a) ÉT: x R b) ÉK: y 0 c) Tengelymetszetek: zérushelye: x = 0 y tengelymetszete: y = 0 d) A függvény menete: ha x < 0: csökken ha x > 0: nő e) Szélsőértéke: Minimumhely: x = 0; értéke: y = 0 A másodfokú függvény Jellemzése: e) ÉT: x R f) ÉK: y 0 g) Tengelymetszetek: zérushelye: x = 0 y tengelymetszete: y = 0 h) A függvény menete: ha x < 0: csökken ha x > 0: nő f) Szélsőértéke: Minimumhely: x = 0; értéke: y = 0 6/b Függvény ábrázolása

9 7. tétel 7/a Négyszögek csoportosítása, definíciók, tulajdonságok Trapéz: Olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja. Húrtrapéz: Olyan trapéz, amelynek két-két szomszédos szöge egyenlő. Tulajdonságai: Két szára egyenlő hosszúságú Tengelyesen szimmetrikus Átlói egyenlő hosszúak, és a szimmetriatengelyen metszik egymást Paralelogramma: Olyan négyszög, amelynek két párhuzamos oldalpárja van. Tulajdonságai: Szemközti oldalai egyenlő hosszúságúak Szemközti szögei egyenlő nagyságúak Szomszédos szögeinek összege 180 Rombusz: Olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő. Tulajdonságai: Szemközti oldalai párhuzamosak Szemközti szögei egyenlőek mivel paralelogramma Szomszédos szögeinek összege 180 Átlói merőlegesen felezik egymást Átlói felezik a szögeket

10 Deltoid Olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, amelynek az egyik átlója a szimmetriatengely. Tulajdonságai: Két-két szomszédos oldala egyenlő A szimmetriaátló merőlegesen felezi a másik átlót A szimmetriaátló felezi a deltoid két szögét Van két egyenlő szöge Téglalap: Olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő Négyzet: Olyan négyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő. (Rombusz is és téglalap is.) 7/b Négyszögekkel kapcsolatos szögszámítási feladatok

11 8. tétel 8/a Szög fogalma, fajtái, mértékegységek, nevezetes szögek Szög: Közös kezdőpontból kiinduló két félegyenes a síkot két szögtartományra bontja. Szögek fajtái: Mértékegységek: 1 : a teljesszög 1/360-ad része 1 = 60 (szögperc) 1 = 60 (szögmásodperc) 8/b Nevezetes szög szerkesztése

12 9. tétel 9/a Háromszögek csoportosítása, háromszögek nevezetes vonalai, pontjai A háromszög A háromszögszerkesztés alapesetei: Háromszögek csoportosítása Oldalai szerint: Általános: oldalai különböző hosszúságúak Egyenlő szárú: Van két egyenlő oldala Egyenlő oldalú, vagy szabályos: Minden oldala egyenlő Szögei szerint : Hegyesszögű: Minden szöge hegyesszög Derékszögű: Van derékszöge Tompaszögű: Van tompaszöge Adott a három oldal (bármely kettő összege nagyobb a harmadiknál) Adott egy oldal és a rajta fekvő két szög Adott két oldal és a közbezárt szög Adott két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög Nevezetes vonalai, pontjai: a; A háromszög köré írható kör középpontja A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja. Az O pont helye: Hegyesszögű háromszög esetén: a háromszög belsejében Derékszögű háromszög esetén: az átfogón az átfogó felezőpontja Tompaszögű háromszög esetén: a háromszögön kívül

13 b; A háromszögbe írható kör középpontja A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja. c; A háromszög magasságpontja A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög magasságpontja. A magasságpont helye: Hegyesszögű háromszög esetén: a háromszög belsejében Derékszögű háromszög esetén: a derékszög csúcsában Tompaszögű háromszög esetén: a háromszögön kívül d; A háromszög súlypontja: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja. 9/b Háromszög szerkesztése

14 10. tétel 10/a Pitagorasz tétele a tétel kimondása, megfordítása. A derékszögű háromszög tulajdonságai Pitagorasz tétele: Ha egy háromszög derékszögű, akkor befogói hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével. a 2 + b 2 = c 2 A tétel megfordítása: Ha egy háromszögben két oldal hosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. 10/b Alkalmazás egy feladaton keresztül