Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Átírás

1 Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala különböző. Csúcsait nagybetűvel, oldalait kisbetűvel jelöljük. Általában az A csúcsnál lévő szöget α-val, a B csúcsnál lévő szöget β-val, a C csúcsnál lévő szöget γ-val jelöljük. oldal 1 / 8

2 Egyenlő szárú, vagy szimmetrikus háromszög: Két oldala megegyezik, ezeket az oldalakat nevezzük száraknak (b), a harmadik oldalt pedig alapnak (a). Szimmetrikus, mert van szimmetria, vagy tükörtengelye. A szimmetriatengely egyben az egyik magassága a háromszögnek, mely felezi az alapot, és a csúcsszöget. Egyenlő oldalú, vagy szabályos háromszög: Minden oldala egyenlő. Minden szöge egyenlő, 60. Szögei alapján csoportosítva Hegyesszögű háromszög: Minden szöge hegyesszög, azaz kisebb 90 -nál. Derékszögű háromszög: Van egy 90 -os szöge. A másik két szög hegyesszög, összegük szintén 90. A derékszöggel szemközti oldalát átfogónak nevezzük, a másik két oldalt pedig befogónak. Tompaszögű háromszög: Van egy tompaszöge, ami 90 -nál nagyobb. Összefüggések háromszög szögei, és oldalai között A háromszög belső szögeinek összege mindig 180, a szokásos jelölésekkel: α + β + γ = 180. A háromszög külső szögeinek összege mindig 360, a szokásos jelölésekkel: α + β + γ = 360. Egy háromszög egy belső, és a mellette fekvő külső szögének összege mindig 180, a szokásos jelölésekkel: α + α =180 β + β = 180 γ + γ = 180 Egy háromszögben egy külső szög mindig egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével, a szokásos jelölésekkel: α = β + γ α = β + γ γ = α + β Háromszög-egyenlőtlenség: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. oldal 2 / 8

3 Háromszögek nevezetes vonalai Szögfelezők: Olyan félegyenes, amely minden pontja egyenlő távolságra van a szög száraitól. A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja, a kör sugara ebből a pontból a háromszög oldalára bocsátott merőleges szakasz hossza. A beírható kör középpontja mindig a háromszög belsejében van. Magasságvonalak: A magasságvonal olyan vonal, mely a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldalra bocsátott merőleges egyenes. A háromszög magassága a magasságvonalnak a háromszög csúcsa és a szemközti oldal közötti szakasza. A magasságvonalak egy pontban, a magasságpontban metszik egymást. Ez a pont derékszögű háromszög esetén a derékszögű csúccsal egyezik meg; tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívülre esik. Oldalfelező merőlegesek: Olyan egyenes vonal, mely a háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. Az oldalfelező merőlegesek egy pontban, a háromszög köré írható kör középpontjában metszik egymást. Derékszögű háromszögben ez a pont az átfogó felezőpontja, tompaszögű háromszögeknél a háromszögön kívülre esik. Súlyvonalak: Olyan vonal, mely a háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenes. A háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban (S) metszik egymást. A súlypont a súlyvonalat 2: 1 arányban osztja. Az ábra alapján: F a S: SA = 1: 2 oldal 3 / 8

4 Középvonalak: Olyan szakasz, mely a háromszög két oldalfelezőpontját köti össze. A középvonal mindig párhuzamos a szemközti oldallal, és feleakkora. GF AB, GE BC, FE AC AC = 2 EF, AB = 2 GF, AC = 2 EF Derékszögű háromszögekben ismert tételek, összefüggések Pithagorasz-tétel: Minden derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a befogók négyzetének összegével. Thálesz-tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. α + β = 90 Befogótétel: Minden derékszögű háromszögben az egyik befogó négyzete egyenlő az átfogó, és az átfogóra eső merőleges vetületének szorzatával. a 2 = x c b 2 = y c Magasságtétel: Minden derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két részre bontja. Ennek a két résznek a szorzata megegyezik az átfogóhoz tartozó magasság négyzetével. m 2 = x y Párhuzamos szelők, és szelőszakaszok tétele: PSZT: PSSZT: AB A B = CD C D OA AA = OB BB oldal 4 / 8

5 Szögfüggvények derékszögű háromszögekben (definíciók) Elnevezések: a: α szöggel szemközti befogó vagy β szög melletti befogó b: β szöggel szemközti befogó vagy α szög melletti befogó c: átfogó sinα = tgα = α szöggel szemközti befogó átfogó α szöggel szemközti befogó α szög melletti befogó cosα = ctgα = α szög melletti befogó átfogó α szög melletti befogó α szöggel szemközti befogó Nevezetes szögek szögfüggvényei: sin cos tg 1 ctg 1 Összefüggések oldalak, és szögek között általános háromszögben Szinusztétel: Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik az oldalakkal szemközti szögek szinuszának arányával. Például: sinα sinβ = a b Koszinusztétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal, és a közbezárt szögük koszinuszának szorzatát. Például: c 2 = a 2 + b 2 2 a b cosγ oldal 5 / 8

6 Terület, és kerület számítása háromszögben: Síkgeometria T = a m a = b m b = c m c Héron képlet: T = s (s a)(s b)(s c), ahol s = a+b+c 2 a b sinγ T =, ahol γ az a és b oldal által bezárt szög 2 a b c T =, ahol R a háromszög köré írható kör sugara 4 R a + b + c T = r s, ahol r a háromszögbe írt kör sugara, és s = 2 Kerület: K = a + b + c Kör Egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmazát körvonalnak, röviden körnek nevezzük. h: húr d: átmérő r: sugár A kör kerülete: K = 2 r π A kör területe: T = r 2 π Érintő: a kört egy pontban érintő egyenes, mely merőleges a sugárra. Szelő: olyan egyenes, amely két pontban metszi a kört. Körívek és körcikk: Körív: Körcikk: oldal 6 / 8

7 Négyszögek Négyszög Kerület Terület Egyéb megjegyzés Általános négyszög K = a + b + c + d Speciális trapézok: Trapéz K = a + b + c + d szimmetrikus Paralelogramma K = 2a + 2b derékszögű - pontszimmetrikus - átlók felezik egymást - szembenfekvő szögek egyenlő nagyságúak Rombusz K = 4a - 4 egyenlő nagyságú oldal - tengelyesen szimmetrikus: e, f - e merőleges f -re - e és f felezik a szögeket Deltoid - e merőleges f -re - tengelyesen szimmetrikus: f - Konkáv deltoid: K = 2a + 2b oldal 7 / 8

8 Téglalap K = 2a + 2b T = ab - átlók egyenlő hosszúak - felezik egymást - tengelyesen szimmetrikus, pontszimmetrikus Négyzet K = 4a T = a² - átlók merőlegesek egymásra, felezik egymást - egyenlő hosszúak - tengelyesen szimmetrikus, pontszimmetrikus Az n-oldalú sokszög Sokszögek Az n-oldalú konvex sokszög: belső szögeinek összege = (n 2) 180 (n 3) n átlóinak száma = 2 Szabályos n-szög: Ha n adott Szabályos sokszög oldal 8 / 8