Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint
|
|
- Márton Lukács
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 TÁMOP / A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010. június összeállította: Nagy András
2 Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály 1) A táblázat egy-egy sora egy-egy háromszög adatait tartalmazza a szokásos jelölésekkel (az oldalak mértéke cm). Számítsd ki a hiányzó adatokat! a b c α β γ a) b) c) 13,4 11,7 79 d) e) ) Egy háromszög leghosszabb oldala 13 cm és a vele szemközti szög 83 -os. A háromszög legkisebb szöge 6 -os. Határozd meg a háromszög hiányzó oldalainak hosszát! 3) Egy hegyesszögű háromszög egyik szöge 70 -os, a vele szemközti oldal 3,5 cm hosszú. A háromszög egy másik oldalának hossza 10 cm. Mekkora a hiányzó oldal hossza és a szögek nagysága? 4) Egy háromszög egyik szöge 50 -os, a vele szemközti oldal 3,5 cm hosszú. A háromszög egy másik oldalának hossza 7 cm. Mekkora a hiányzó oldal hossza és a szögek nagysága? 5) Egy háromszögben a = 55 mm, b = 7 cm és α = Mekkorák az ismeretlen szögek és a harmadik oldal? 6) Egy háromszög kerülete 0 cm, szögei 40, 60 és 80. Mekkorák az oldalai? 7) Egy háromszög két oldalának összege 15 cm és e két oldallal szemközti szögek nagysága 49 és 73. Mekkorák a háromszög oldalai? 8) Adott a háromszögben a = 3 m, b = 6 m és α = 30. Határozd meg a háromszög ismeretlen oldalait és szögeit! 9) Szabályos ötszög átlója 8,5 cm. Mekkorák az ötszög oldalai? 10) Egy paralelogramma egyik oldala 13 cm, átlója 0 cm és egyik belső szöge 53. Mekkora a paralelogramma területe? 11) Egy trapéz hosszabbik alapja 1,48 cm, az egyik szára 7,7 cm. Az ismert szár és a hosszabb alap szöge 43. Az alapon fekvő másik szög 65. Mekkorák a trapéz ismeretlen szögei és oldalai? 1) Határozd meg annak az általános négyszögnek az oldalait, melynek BD átlója 0 cm hosszú. Ez az átló a β szöget egy 55 -os és egy 31 -os részre, a δ szöget pedig egy 43 -os
3 és egy 6 -os részre bontja úgy, hogy az 55 -os és a 43 -os szög az átló azonos oldalán van. 13) Egy torony magasságát kell meghatározni. A torony aljától kiinduló egyenesen, egymástól 50 m távolságra kijelöltünk két pontot. A közelebbi pontból a torony csúcsa 84 -ban látszik, a távolabbi pontból 51 -ban. Milyen magas a torony? 14) A táblázat egy-egy sora egy-egy háromszög adatait tartalmazza a szokásos jelölésekkel (az oldalak mértéke cm). Számítsd ki a hiányzó adatokat! a b c α β γ a),4 5 4, b) c) d) e) ) Egy háromszög két oldalának hossza 15 cm és 0 cm, az általuk bezárt szög Mekkora a háromszög harmadik oldala? 16) Egy háromszögben az oldalak hossza 10 dm, 4 dm és 5 dm. Mekkorák a háromszög szögei? 17) Egy háromszögben a = 30 cm, b = 4 dm és c = 500 mm. Mekkorák a háromszög szögei? 18) Egy háromszög oldalai 5 cm, 6 cm és 5 cm. Mekkorák a háromszög szögei? 19) Egy háromszög oldalainak hossza 1000 mm, 000 mm és 3000 mm. Mekkorák a háromszög szögei? 0) Egy háromszögben a:b = 3:4, γ = 78, c = 1 cm. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai? 1) Egy háromszög területe 37 cm. Két oldala 10 cm és 145 mm. Mekkora a háromszög harmadik oldala? ) Egy paralelogramma oldalainak hossza 0 m, 41 m és az egyik átló 37 m hosszú. Milyen hosszú a másik átló? 3) Egy paralelogramma oldalai 10 cm és 1 cm, az egyik szöge 11. Mekkora a rövidebb átlója? 3
4 4) Egy konvex négyszög oldalainak hossza rendre 5 cm, 55 mm, 8 cm és 0,7 dm, a 8 cm-es és az 55 mm-es oldal szöge 7. Mekkorák a négyszög ismeretlen szögei? 5) Egy szabályos hatszög oldalának hossza 8 cm. Határozd meg az átlóinak hosszát! 6) Egy háromszög két oldala 9 cm és 1 cm, közbezárt szögük 71. Milyen hosszú a 9 cm-es oldalhoz tartozó súlyvonal? 7) Egy repülőtérről két repülőgép száll fel azonos időpontban. Az egyik kelet felé repül km km 750 sebességgel, míg a másik délnyugati irányba repül 680 sebességgel. Milyen h h távol lesznek egymástól 45 perc múlva? 8) Milyen hosszúak az óra mutatói, ha végpontjaik 1 órakor 3,3 cm-re, 9 órakor 7, cm-re vannak egymástól? 9) Egy háromszög két oldala a és b, az általuk bezárt szög γ. Határozd meg a háromszög harmadik oldalának hosszát és a másik két szög nagyságát, ha: a) a = 10 cm, b = 15 cm, γ = 60 ; b) a = 5 cm, b = 8 cm, γ = ) Az ABC háromszögben a = 6 cm, b = 1 cm és γ = 96,38. Az A B C háromszögben b = 18 cm, c = 1 cm és β = 58,41. Hasonló-e illetve egybevágó-e a két háromszög? 31) Egy háromszög egyik oldala 15 cm, a másik két oldal különbsége cm. A 15 cm-es oldallal szemben lévő szög 139. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? 3) Egy háromszögben az egyik oldal hossza 8,4 cm és az oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 68 mm. Az oldal és a súlyvonal szöge 58. Mekkorák a háromszög szögei? 33) Egy trapéz két párhuzamos oldala 48,36 cm és 13,41 cm. Az egyik szár 57,8 cm. Ennek a nagyobbik alappal bezárt szöge 68,3. Határozd meg a trapéz negyedik oldalát és a trapéz ismeretlen szögeit! 34) Egy trapéz keresztmetszetű töltés alul + 5 m, felül m széles, oldalainak hossza m és 3 m. Mekkora a két oldal emelkedési szöge? 35) Egy domb tetején álló kilátó magasságát keressük. A kilátó tövétől induló lejtős úton lefelé haladva 30 métert, a kilátó 44,47 -os szögben látszik. További 50 métert haladva a kilátó 55 alatt látszik. Milyen magas a torony? 36) A pisai ferdetorony csúcsa a torony hajlásának irányában az aljától 0 méterre 73,99 -os emelkedési szögben látszik, az ellenkező irányba 11 métert haladva pedig 75,13 -os szögben látszik. Milyen magasan volt eredetileg a torony csúcsa a talajtól? 4
5 Megoldások 1) Alkalmazzuk a szinusztételt. A megoldás során vegyük figyelembe: egy háromszögben hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van és viszont; a háromszög belső szögösszege 180 ; háromszög-egyenlőtlenség tétele. a b c α β γ a) ,49 47, ,79 b) 5,89 10, ,75 c) 13,4 11,7 sin α >1 79 d) 5 6 c 1 = 9,94 β 3 1 = 7,96 γ 1 = 19,04 c = 1,11 β 1 = 15,04 γ = 4,96 e) 9 16,8 13, ) Készítsünk vázlatrajzot és alkalmazzuk az ábra jelöléseit! sin 6 b = b 5,74 cm. sin83 13 γ = 180 ( ) = 71. sin 71 c = c 1,38 cm. sin83 13 A háromszög hiányzó oldalainak hossza 5,74 cm és 1,38 cm. 3) A vázlatrajz alapján: sin β 10 = β 3,57. (β 156,43, mert b < a β < α = 70 ). sin 70 3,5 γ 180 (3, ) = 86,43. 5
6 sin86,43 c c 4,96 cm. sin 70 3,5 A háromszög ismeretlen oldala 4,96 cm, szögei 86,43 és 3,57. 4) Készítsünk ábrát és alkalmazzuk a jelöléseit! sin β 7 = sin β 0,8801 β 1 61,66 illetve β 118,34. sin 50 3,5 γ 1 68,34 illetve γ 11,66. sin 68,34 c1 sin11,66 c = c 1 8,51 cm, illetve = c 6,0 cm. sin 50 3,5 sin 50 3,5 A feladatnak kettő megoldása van: az ismeretlen oldal hossza 8,51 cm, a szögek 61,66 és 68,34 illetve az ismeretlen oldal hossza 6,0 cm, a szögek 118,34 és 11,66. 5) Alkalmazzuk a szinusztételt! sin β 70 = sin β 1,01 A feladatnak nincs megoldása. sin 5 30' 55 6) Alkalmazzuk a szinusztételt! sin 40 : sin 60 : sin 80 = a : b : c. sin 40 a = a 0,74b. sin 60 b sin80 c = c 1,137b. sin 60 b A kerületbe visszahelyettesítve: 0,74b + b + 1,137b = 0 b 6,95 cm, a 5,16 cm, c 7,90 cm. A háromszög oldalainak hossza megközelítőleg 6,95 cm, 5,16 cm és 7,90 cm. 6
7 7) Alkalmazzuk az ábra jelöléseit, írjuk fel a szinusztételt! sin 49 a = 15 a 8,38 cm, és b 6,6 cm. sin 73 a γ = 180 ( ) = 58. sin 58 c = c 7,43 cm. sin 73 8,38 A háromszög oldalainak hossza 8,38 cm, 6,6 cm és 7,43 cm. 8) Alkalmazzuk a szinusztételt! sin β 6 = β = 90, azaz a háromszög derékszögű. sin 30 3 γ = = 60. A hiányzó oldal hosszát Pitagorasz-tétellel vagy szögfüggvénnyel határozzuk meg. Így c = 3 3 cm 5,0 cm. A háromszög ismeretlen oldala 5, cm, szögei 60 és 90. 9) Alkalmazzuk az ábra jelöléseit! A szabályos ötszög átlói egyenlő hosszúságúak ε = = Az ADE háromszög egyenlő szárú, ezért α = δ = sin 36 a = a 5,5 cm. sin108 8,5 Az ötszög oldalának hossza 5,5 cm. 10) Alkalmazzuk az ábra jelöléseit! = 36. 7
8 β = = 17. sinδ 13 = δ 31,7. sin17 0 ε 180 ( ,7 ) = 1,73. a e sinε T = T ABC = 96,6 cm. Vagy a b oldalt határozzuk meg szinusztétellel: sin 1,73 b = b 9,7 cm. sin17 0 T = a b sin 53 96,4 cm. A paralelogramma területe megközelítően 96,5 cm. 11) Készítsünk ábrát és alkalmazzuk a jelöléseit! γ = = 137, δ = = 115. Toljuk el a d szárat a C csúcsba! A C BC háromszögben: sin 43 d = d 5,47 cm. sin 65 7,7 ε = 180 ( ) = 7. sin 7 1,48 c = c 4,85 cm. sin 65 7,7 A trapéz ismeretlen szögei 137 és 115, szára 5,47 cm, rövidebb alapja 4,85 cm. 1) Az ábra jelöléseit használva: 8
9 Az ábra alapján α = 180 ( ) = 13 és γ = 180 ( ) = 8. sin55 c A BCD háromszögben: = sin8 0 c 16,54 cm. sin 43 b = sin8 0 b 13,77 cm. sin 31 d A BDA háromszögben: = sin13 0 d 1,8 cm. sin 6 a = sin13 0 a 10,45 cm. A négyszög oldalai 10,45 cm, 13,77 cm, 16,54 cm és 1,8 cm. 13) Az ábra alapján ε = = 33. x sin 51 Az ABC háromszögben: = x 71,35 m. 50 sin 33 m A TAC háromszögben: sin 84 = m 70, 96 m. 71,35 A torony magassága megközelítőleg 71 méter. 14) Alkalmazzuk a koszinusztételt! A további lépések során alkalmazhatjuk a szinusztételt és a belső szögösszegre vonatkozó összefüggést. A c) esetben határozzuk meg a γ szöget, majd alkalmazzunk szögfüggvényt! A d) feladatnál alkalmazhatjuk a szinusztételt. Az e) feladatnál vegyük észre, hogy a háromszög szabályos! a b c α β γ a),4 5 4, 8,59 94,55 56,86 b) 11, ,39 60,61 c) ,40 43,60 90 d) 6, , ,1 e)
10 15) Az ábra alapján íjuk fel a keresett oldalra a koszinusztételt: a = cos 4 15 a 13,45 cm. A háromszög harmadik oldala 13,45 cm. 16) Íjuk fel a keresett oldalra a koszinusztételt: Az ábra alapján: 10 = cos α α 39,19. sin β 4 β 53,06. sin 39,19 10 γ 180 (39, ,06 ) = 87,75. A háromszög szögei 39,19, 53,06 és 87,75. 17) Vegyük észre, hogy a háromszög derékszögű (Pitagorasz-tétel). γ = 90. sin α = 5 3 α 36,87, β 90 36,87 = 53,13. A háromszög szögei 36,87, 53,13 és
11 18) A háromszög egyenlő szárú, így alkalmazhatunk szögfüggvényt: 3 cos α = α 53,13 ; 5 β ,13 = 73,74. A háromszög alapon fekvő szögei 53,13, szárszöge 73,74. 19) 1 cm + cm 3 cm nem létezik ilyen háromszög. 0) Legyen a = 3x és b = 4x. Írjuk fel a koszinusztételt c oldalra! 1) 1 = (3x) + (4x) 3x 4x cos78 x,86 cm, így a 8,05 cm és b 10,73 cm. A háromszög ismeretlen oldalai 8,05 cm és 10,73 cm ,5 sinγ A terület képlet alapján: 37 = γ 1 30,69 és γ 149,31 (két megoldás!). Alkalmazzuk a koszinusztételt! c = , ,5 cos 30,69 c 1 7,80 cm. 1 c = , ,5 cos 149,31 c 3,66 cm. A háromszög harmadik oldala 7,8 cm vagy 3,66 cm. 11
12 ) A vázlatrajz alapján: Az ABD háromszögben: 37 = cos α α 65,. β , = 114,78. Az ABC háromszögben: f = cos 114,78 f 9, m. A paralelogramma másik átlója 9, m. 3) Készítsünk vázlatrajzot! α = = 68. e = cos 68 e 1,41 cm. A paralelogramma rövidebb átlója 1,41 cm. 4) Készítsünk vázlatrajzot: Alkalmazzuk a koszinusztételt a DAB háromszögben: e = 5, ,5 8 cos 7 e 8,19 cm. Szinusztétellel: 1
13 sin β 1 8 = β 1 68,8, β 1 111,7, mert e > a α > β 1. sin 7 8,19 Alkalmazzuk a koszinusztételt a DBC háromszögben: 7 = 5 + 8,19 5 8,19 cos β β 58,7. β β 1 + β = 16,7. 8,19 = cos γ γ 84,3. δ 360 (7 + 16,7 + 84,3 ) = 77,41. A négyszög ismeretlen szögei 16,7, 84,3 és 77,41. 5) A vázlatrajz alapján: A szabályos hatszög köréírható körének sugara és a hatszög oldala egyenlő és átmérője megegyezik a hatszög hosszabbik átlójával, így: f = AD = 8 cm = 16 cm. A szimmetria miatt e 1 = e. Az ABC háromszögben írjuk fel a koszinusztételt. e = cos 10 e = 13,86 cm. A szabályos hatszög átlói 13,86 cm és 16 cm. 6) Alkalmazzuk az ábra jelöléseit! Írjuk fel az AFC háromszögben a koszinusztételt: s = 1 + 4,5 1 4,5 cos 71 s 11,36 cm. A keresett súlyvonal hossza 11,36 cm. 13
14 7) A keleti és a délnyugati irányok által bezárt szög 135. A kelet felé repülő repülőgép által megtett út hossza: s 1 = 750 A nyugat felé repülő repülőgép által megtett út hossza: s = 680 A koszinusztételt felírva: t = 56, ,5 510 cos 135 t 991,06 km. km 45 h = 56,5 km. h 60 km 45 h = 510 km. h 60 8) A két repülőgép 991,06 km távolságra lesz egymástól 45 perc múlva. 9 órakor az óramutatók szöge derékszög, így alkalmazható Pitagorasz tétele. 1 órakor az óramutatók szöge 30, alkalmazzuk a koszinusztételt. Írjunk fel egyenletrendszert: 7, = n + k 3,3 = n + k nk cos30 3,91 A két egyenletet egymásból kivonva, rendezés után n =. k Visszahelyettesítve az első egyenletbe: 3,91 + k = 51,84 k 1 3,99 cm és n 1 5,99 cm, illetve k k 5,99 cm és n 3,99 cm, nem lehetséges, mert n > k. Tehát az óra mutatói 6 cm és 4 cm hosszúak. 14
15 9) Írjuk fel az a és b oldalakra a koszinusztételt! Majd alkalmazzuk a szinusztételt és a belső szögösszegre vonatkozó összefüggést! a. c = cos 60 c = 175 = ,3 cm. sinα 10 = α 40,89, β 79,11 ; sin b. c = cos 135 c = 1,07 cm sinα 5 = α 17,03, β 7,97 ; sin135 1,07 30) Alkalmazzuk az ábra jelöléseit! A két háromszög biztosan nem egybevágó, mert b b. Az ABC háromszögben koszinusztételt alkalmazva: c = cos 96,38 c 14 cm. Szinusztétellel: sin β 1 = β 58,41. (β 11,59, mert β < γ = 96,38 ) sin 96,38 14 α 180 (96, ,41 ) = 5,1. Az A B C háromszögben koszinusztételt alkalmazva: 18 = 1 ' + ( a ) 1 a cos 58,41 ' a 1 13 cm illetve Ha a = 13 cm, akkor a két háromszög nem hasonló, hiszen Ha a = 9 cm, akkor a két háromszög hasonló, mert: ' ' ' a b c 3 = = =. a b c a 9 cm. ' ' ' a b. a b 15
16 31) Az ábra jelölését használva: b = c +. Koszinusztételt felírva: 15 = c + (c + ) c (c + ) cos 139 c = 7 cm és b = 9 cm. Alkalmazzuk a szinusztételt (csak hegyes szög lehet a megoldás, hiszen α tompaszög): sinγ 7 = γ 17,83. sin β 180 ( ,83 ) = 3,17. A háromszög keresett oldalai 7 cm és 9 cm, szögei 17,83 és 3,17. 3) Használjuk az ábra jelöléseit! Az FBC háromszögben koszinusztétellel: a = 6,8 + 4, 6,8 4, cos 58 a 5,8 cm. Szinusztétellel: sin β 6,8 = β 83,86. sin 58 5,8 (β 96,14, mert 6,8 < 5,8 + 4, a háromszög hegyesszögű.) Az AFC háromszögben koszinusztétellel: b = 6,8 + 4, 6,8 4, cos 1 b 9,7 cm. Szinusztétellel: sinα 6,8 = α 36,48. sin1 9,7 γ 180 (36, ,86 ) = 59,66. A háromszög szögei 36,48, 83,86 és 59,66. 16
17 33) γ ,3 = 111,7. A trapéz AD szárát toljuk el, képe legyen PC! PB = x = 48,36 cm 13,41 cm = 34,95 cm. Az PBC háromszögben koszinusztételt alkalmazva: d = 34, ,8 34,95 57,8 cos 68,3 d 55,41 cm. Szinusztételt alkalmazva: sinα 57,8 = α 75,8. sin 68,3 55,41 δ ,83 = 104,18. A trapéz szára 55,41 cm, ismeretlen szögei 111,7, 104,18 és 75,8. 34) A trapéz AD szárát toljuk el, képe legyen A C! Az A BC háromszögben koszinusztételt alkalmazva: = cos β β 39,3. Szinusztétellel: sinα 3 = α 50,86. sin 39,9 Az oldalak emelkedési szöge 50,86 illetve 39,3. 17
18 35) δ = ,47 = 135,53. ε = 44, ,55. A P 1 P C háromszögben szinusztétellel: x sin 55' = x 53 m. 50 sin 1,55 TP 1 C háromszögben a koszinusztétel alapján: m = cos 44,47 m 37,94 m. A torony magassága megközelítően 38 m. 36) γ = 180 (75, ,99 ) = 30,88 Az ABC háromszögben szinusztételt alkalmazva: sin 73,99 b = b 58,06 m sin 30,88 31 Az ATC háromszögben alkalmazzuk a koszinusztételt: t = , ,06 cos 75,13 t 56,5 m. A torony eredeti magassága megközelítőleg 56,5 m. (Mj.: a torony dőlési szöge megközelítőleg 3,97, a csúcsánál megközelítőleg 3,9 méterrel tér el a függőlegestől.) 18
Geometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik
RészletesebbenPitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
RészletesebbenHáromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek
2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,
Részletesebben. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.
Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.
Trigonometria III. TÉTEL: (Szinusz - tétel) Bármely háromszögben az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő. Jelöléssel: a: b: c = sin α : sin β : sin γ. Megjegyzés: A szinusz -
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenTRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben
RészletesebbenTrigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
Részletesebbena b a b x y a b c d e f PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat!
1 PSZT/PSZSZT 1.) Az ábrán e, f egyenesek párhuzamosak. Számítsd ki a hiányzó adatokat! a b a b x y a a b x b y 17 25 13 10 5 7 3 6 7 10 2 4 2 3 9 5 2.) Az ábrán lévő paralelogramma oldalai a) AB=26 cm,
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Részletesebben12. Trigonometria I.
Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenMATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 11. évfolyam 2. félév ESZKÖZÖK Matematika A 11. évfolyam 6. modul 6.1 kártyakészlet 6.1 kártyakészlet leírása A kártyákon pontok koordinátáit találjuk. A tanulók
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.
Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
Részletesebben1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
RészletesebbenGyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?
RészletesebbenHasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
RészletesebbenHasonlóság 10. évfolyam
Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
RészletesebbenGyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz
Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz Elmélet 1. Mit értünk két pont, egy pont és egy egyenes, egy pont és egy sík, két metszı, két párhuzamos illetve két kitérı egyenes, egy egyenes és egy
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Trigonometria 1 /6
Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
Részletesebben1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500
1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenA 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)
Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan
RészletesebbenSzélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenM/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24
OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenSíkbeli alakzatok. Szakaszok, szögek GEOMETRIA Alapszerkesztések Alapszerkesztések Alapszerkesztések.
Síkbeli alakzatok Szakaszok, szögek 13. Alapszerkesztések. 133. Alapszerkesztések. 134. Alapszerkesztések. a b 135. Ha x és y az egyes szakaszok hossza, akkor x + y = a és x - y = b. Így x = + ; a b y
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenVII.10. TORNYOSULÓ PROBLÉMÁK. A feladatsor jellemzői
VII.10. TORNYOSULÓ PROBLÉMÁK Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények a derékszögű háromszögben. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása gyakorlati problémák megoldásában. Előzmények Szinusz-
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenHúrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele
Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11C Húrnégyszögek Definíció: Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amely köré kör írható Vagyis az olyan konvex négyszögek, amelyeknek oldalai egyben
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező
Részletesebben1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:
1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenIsmételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
Részletesebben2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
RészletesebbenKisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
Részletesebben13. Trigonometria II.
Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája
Részletesebben8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenSíkgeometria. c) Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. (1 pont) 5) Egy háromszög belső szögeinek aránya 2:5:11. Hány fokos a legkisebb szög?
Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik. b) Egy négyszögnek lehet 180 -nál
Részletesebben2014. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 11. évfolyam
01. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
RészletesebbenSíkgeometria. Ponthalmazok
Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenBevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
Részletesebben11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.
osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z
Részletesebbenpont százalék % érdemjegy (jeles) (jó) (közepes) (elégséges) alatt 1 (elégtelen
A dolgozat feladatai az órán megoldott feladatok valamelyike, vagy ahhoz nagyon hasonló. A dolgozat 8 feladatból áll. 1. feladat 13 pont. feladat 8 pont 3. feladat 4. feladat 5. feladat 5 pont 6. feladat
RészletesebbenSzinusz- és koszinusztétel
Szinusz- és koszinusztétel. Htározzuk meg z oldlk rányát, h α 0, β 60. α + β + γ 80 γ 80 α β 80 0 60 90 A szinusztételt felhsználv z oldlk rány: zz : : : sin β : sin 0 : sin 60 : sin 90 : : : : : :. Htározzuk
RészletesebbenGEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
RészletesebbenTémák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás
Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
Részletesebben